EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS

ASIGNATURAS MATEMÁTICAS BÁSICAS, CÁLCULO DIFERENCIAL Y ALGEBRA LINEAL PARA LOS PROGRAMAS DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

MECATRÓNICA

Realizados por:

Brayan Valencia Vidal 285671 Iván Henao Osorio 133152

Revisados por:

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá

Primer semestre de 2012

MATEMÁTICAS BÁSICAS

1. TEMA: Manejo de ecuaciones en circuitos Objetivos:

Mostrar un ejercicio con manejo de ecuaciones. Estudiar algunos conceptos de electricidad.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: En mecatrónica se trabajan con circuitos eléctricos y electrónicos para sistemas de control. Es útil saber la tensión que tiene algún dispositivo para darle una correcta alimentación y funcionamiento. Por otro lado el manejo de leyes fundamentales como las de Kirchhoff permite realizar aplicaciones de sensoria, realizando un circuito como un divisor de tensión para medir cambios de corriente o el manejo de un potenciómetro para utilizarlo como encoder de un motor.

a. Nombre del problema 1

Leyes de Kirchhoff Explicación del problema Dado el siguiente circuito. Calcular la tensión en los nodos.

Solución Lo primero que hacemos es tomar un nodo de referencia, a partir de este se va a tomar la diferencia de tensión de los otros dos nodos. En este caso tomamos al nodo inferior como referencia.

Planteando las leyes de Kirchhoff, las cuales dicen que la suma de las corrientes que llegan y salen de un nodo es cero y que la suma de las tensiones a través de un lazo es igual a cero:

Teniendo en cuenta la ley de ohm o

Se tienen las siguientes ecuaciones de nodo

( ) ( )

Organizando:

(1)

(2)

Así llegamos al sistema de dos ecuaciones.

Despejamos en la ecuación (1) a .

(3)

Sustituyendo (3) en la ecuación (2) y despejando tenemos:

(

*

Reemplazando este valor en la ecuación (3)

b. Nombre del problema 2

Circuito RC. Respuesta transitoria Explicación del problema Hallar la expresión de la tensión en el capacitor para cualquier

instante de tiempo teniendo en cuenta que en el interruptor se dispara.

Solución

Para un el capacitor es se comporta como un circuito abierto, por lo tanto la diferencia de tensión entre sus terminales es el mismo que el de la fuente.

Para un se da una respuesta transitoria y se empieza a disipar

la energía almacenada en el capacitor por la resistencia de 2 K. La ecuación del circuito RC es la siguiente:

( )

( ) {

c. Nombre del problema 3

Circuito RC. Explicación del problema Para el problema anterior hallar een que instante la tensión en la resistencia de 2 K es igual a 10 V. Solución

Partiendo de la ecuación: ( )

( )

2. TEMA: Cinemática. Ecuación de movimiento. Objetivos:

Plantear ecuaciones de movimiento para diferentes cuerpos Aplicar conceptos de trigonometría y manejo de ecuaciones

algebraicas.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cuando se tiene cuerpos en movimiento es necesario describir dicho movimiento con una ecuación matemática, para ello se debe tener presente todas las herramientas matemáticas que se conocen como la trigonometría.

a. Nombre del problema 1

Explicación del problema Un avión viajaba a una velocidad constante de 220 m/s, pero al quedarle poco combustible alcanza una aceleración de -0.5 m/s2. Un avión de abastecimiento que se encuentra a 2 Km de distancia emprende su rumbo con velocidad constante para darle combustible. ¿Cuál es la velocidad del segundo avión si los dos aviones se encuentran transcurridos 3 minutos? Solución Recordando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado:

( )

( )

Para el primer avión tenemos:

( )

Para el segundo avión como viaja a velocidad constante a = 0 ( )

Como y son iguales en un .

( )

( ) ( )

Despejando de la ecuación anterior:

b. Nombre del problema 2

Mecanismo Biela – Manivela Explicación del problema Para el siguiente mecanismo platear la ecuación de posición.

Solución Tomando al eje x en la dirección que se muestra en la figura y como punto de origen R + L cuando B se encuentra lo más alejado de 0.

Aplicando la ley del seno:

* (

*

+

( ) , * (

*

+

-

* (

*

+

(

*

( ) , * (

*

+

( )

CÁLCULO DIFERENCIAL

3. TEMA: Trayectoria de una partícula Objetivos:

Dar una definición formal para los conceptos de posición, velocidad y aceleración.

Mostrar una aplicación del uso de las derivadas en la cinemática de los cuerpos.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Un mecanismo es un conjunto de elementos unidos de tal forma que al desplazarse generen una trayectoria deseada. Una vez se tiene expresada de forma matemática la trayectoria del mecanismo se pueden conocer las velocidades y las aceleraciones en cada punto de la trayectoria aplicando las derivadas.

a. Nombre del problema 1

Pasador collarín. Explicación del problema La posición instantánea de un pasador que desliza por un collarín está dada por la siguiente ecuación:

Donde se expresa en metros y en segundos. Determinar la ecuación de la velocidad para cualquier instante de tiempo. Solución La velocidad instantánea de una partícula en un instante de tiempo se obtiene al elegir intervalos de tiempo y desplazamientos más cortos.

La expresión anterior coincide con la definición de derivada, por lo tanto podemos expresar la velocidad instantánea como:

Derivando la expresión de la posición del pasador con respecto al tiempo obtenemos así la velocidad para cualquier instante de tiempo

.

b. Nombre del problema 2

Pasador Collarín Explicación del problema Para el problema anterior determinar el valor de la aceleración cuando la velocidad es cero. Solución La aceleración es el cambio de la velocidad en un intervalo de

tiempo. Si tomamos ese intervalo de tiempo muy corto, se tiene la aceleración instantánea de la partícula:

Al derivar la expresión de la velocidad hallada en el punto anterior se obtiene la expresión de la aceleración del pasador.

(1)

Como nos interesa hallar cual es la aceleración cuando se debe

determinar el instante en el que se da esta situación. Tomando la ecuación de la velocidad

Factorizando:

( )( )

De lo anterior podemos concluir que existen tres instantes en los cuales la velocidad es cero. Pero en cada uno de ellos habrá un valor de aceleración, para hallarlo reemplazamos el valor de en la

ecuación (1). Tenemos ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

c. Nombre del problema 3

Mecanismo de 4 barras. Biela - Manivela. Explicación del problema Para el siguiente mecanismo determinar la ecuación de la velocidad.

Solución Partiendo de la ecuación de posición (mirar solución más arriba):

( )

Hay que tener en cuenta que el ángulo está en función del tiempo. Por lo tanto hay que recordar la derivación de funciones compuestas:

( ) ( )

Derivando la expresión de posición con respecto a hallamos la velocidad.

Vamos a denotar a como la derivada de con respecto al

tiempo.

,

-

d. Nombre del problema 4

Mecanismo de 4 barras. Biela - Manivela. Explicación del problema Para el mecanismo del problema anterior determinar la ecuación de la aceleración.

Solución Partiendo de la ecuación de velocidad hallada en el punto anterior:

,

-

Derivando esta expresión se obtiene la expresión de la aceleración.

,

-

,

-

ÁLGEBRA LINEAL

4. TEMA: Producto cruz. Objetivos:

Introducir al estudiante el concepto de fuerzas y momentos Aplicar operación entre matrices.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: En sistemas estáticos se presentan diferentes fuerzas. Estas Fuerzas generan una torsión entre los elementos que actúan relacionada con el momento de la fuerza. Es importante conocer este efecto pues más adelante permitirá realizar análisis en la resistencia de los materiales.

a. Nombre del problema 1

Momento de una fuerza Explicación del problema

Una fuerza F cuyas componentes son: ,

es aplicada a una palanca. El vector que se encuentra del punto

donde se aplica la fuerza al eje de rotación de la palanca es . Hallar el momento de la fuerza con respecto a el eje de rotación. Solución El momento de una fuerza está definido como:

|

|

,( )( ) ( )( )- ,( )( ) ( )( )- ,( )( ) ( )( )-

5. TEMA: Operación entre matrices. Objetivos:

Aplicar operaciones entre matrices.

Mostrar el uso de las matrices en la robótica

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Para describir el movimiento del efector final en un robot tipo serie cuyas articulaciones pueden ser rotacionales o lineales, se necesita manejar muy bien las matrices de rotación y transformación para cambiar de marcos de referencia y definir la posición del efector a partir de un marco de referencia fijo que no cambie con el movimiento del robot.

a. Nombre del problema 1

Matriz de rotación. Explicación del problema El efector final de un robot está en el punto P1 = [0;2;0] coordenadas dadas desde un marco asociado al eje de rotación del efector. Si el efector gira un ángulo de 30° sobre Z hallar la posición en la que queda ahora. Solución La matriz de rotación sobre el eje z está dada por:

( ) [

]

( ) [

]

( )

[

] [ ]

[

]

[

]

b. Nombre del problema 1

Transformación de coordenadas Explicación del problema La matriz de transformación de un robot que traslada un punto dado por el marco de referencia de su último eslabón (B) al marco de referencia de su base (A) es la siguiente:

(

,

La expresión de un punto definido desde el marco B del efector final del robot es:

, -

Hallar las coordenadas de este punto visto desde el marco de referencia B. Solución La matriz de transformación realiza la operación de giro y traslación de un vector a un nuevo punto o sistema coordenado. Así:

Entonces tenemos

[

] [

]

[

]

[

]

1. TEMA: ESTUDIO DEL CONCEPTO DE CENTRO DE MASA

Objetivos:

Lograr que el estudiante adquiera una comprensión clara de lo que significa

el centro de masa de un sistema de partículas y en especial el asociado a un

cuerpo rígido.

Aplicar herramientas del Algebra lineal tales como la suma de vectores y

manejar ecuaciones lineales con una incógnita.

Adquirir cierto nivel de destreza en el desarrollo de demostraciones para

agudizar el sentido lógico del estudiante.

1.1. Independencia de la posición del centro de masa de un conjunto de partículas con relación al sistema coordenado en el que se calcula

El concepto de centro de masa es ampliamente utilizado en Mecánica Clásica cuando se trabaja con sistemas de más de una partícula. Por definición, el centro de masa es un vector dado por la siguiente expresión:

* +

En la anterior ecuación las son las masas de las partículas que forman el

cuerpo y los vectores corresponden a sus posiciones. es por lo tanto la masa total. Para un cuerpo rígido (uno cuyas distancias entre las partículas que lo conforman son constantes) por ejemplo, el centro de masa está ubicado en un punto fijo con relación a cualquier partícula del cuerpo. Demuestre que el vector centro de masa de un cuerpo rígido apunta siempre hacia el mismo punto independientemente del origen del sistema coordenado con respecto al cual se calcule.

Explicación del problema: La siguiente figura ilustra lo que se pide demostrar:

De acuerdo con la parte a) de la figura, la flecha de debe conservar su posición aunque el sistema coordenado desde el que se origina sea desplazado. Solución: A partir de la figura anterior (parte b)) y teniendo en cuenta la representación gráfica de la suma vectorial se puede deducir lo siguiente:

Por lo tanto, el vector centro de masa en el sistema coordenado es igual a:

* +

{ ( ) ( ) ( )}

Agrupando todos los términos que tienen como factor a ,

* +

( )

Pero es por definición la masa total, . Por lo tanto,

* +

Nuevamente, recurriendo al método gráfico de sumar vectores se observa que esta

ecuación implica la convergencia de las flechas de y en el mismo punto. En este caso la demostración se realizó para 3 partículas pero exactamente el mismo procedimiento lleva a esta conclusión para un número arbitrario de ellas. Nótese que el

vector puede ser cualquiera y por lo tanto el resultado es completamente general en

este sentido.

1.2. Significado del centro de masa de un cuerpo rígido con respecto a su distribución de materia

En los cuerpos rígidos la posición del centro de masa es un buen indicador de la región alrededor de la cual se concentra la mayoría de su masa. Aunque este vector no necesariamente coincide con un punto en donde se sitúen partículas (el centro de masa puede ubicarse fuera del cuerpo), lo cierto es que si el cuerpo no es totalmente simétrico, alrededor de puede haber o bien muchas partículas en comparación con regiones más alejadas, o pocas pero con una cantidad de masa que supera a las restantes. Suponga que se tienen dos partículas unidas por una varilla sin masa como se muestra en la figura a continuación.

Hacia qué lado desde la mitad de la varilla se ubica si:

a). > b). > Desarrolle su razonamiento utilizando desigualdades. Calcule en el límite cuando tiende a infinito e interprete el resultado según lo planteado al comienzo del problema. Explicación del problema: La determinación de es mucho más sencilla si se usa un sistema cartesiano con uno de

sus ejes a lo largo de la varilla y se sitúa por ejemplo la masa en el origen:

En este sistema se tiene entonces que corresponde simplemente a un punto sobre el eje x de la forma ( ) y se debe verificar si es mayor o menor que .

Solución:

De la ecuación asociada a (ver ejercicio 1) se tiene que:

* +

puesto que que a). si > entonces + > ; esto es, + > . Al tomar los inversos de las expresiones a cada lado de la desigualdad su signo se invierte. Luego,

⇒

⇒

Por lo tanto en este caso el centro de masa está situado a la izquierda del punto medio de la varilla.

b). Para < el mismo desarrollo conduce a que

.

En el límite ,

Donde se ha utilizado la regla de L’Hopital.

La conclusión que se puede extraer es que a medida que se incrementa la posición del centro de masa se desplaza cada vez más hacia esta, confirmando el comentario inicial sobre su ubicación cerca de la región donde se concentra la mayor cantidad de masa. Las desigualdades obtenidas en los puntos a) y b) también verifican dicha afirmación.

1.3. El concepto de centro de masa aplicado a la Balanza La condición que rige el estado de equilibrio de una balanza tiene su base en el concepto físico denominado torque. Cuando el torque total que actúa sobre un sistema es nulo entonces el momentum angular total de este se conserva. Para un sistema tipo balanza el requerimiento de que el torque neto sea cero se reduce a la siguiente ecuación:

Donde es la fuerza aplicada a una distancia del punto de apoyo y la ejercida a

una distancia desde dicha posición (ver figura adjunta). En una balanza común y

corriente y las fuerzas normalmente son debidas al peso de las masas que se colocan a cada lado. Así pues, la ecuación escrita implica que el equilibrio se logra si los masas utilizadas son iguales.

Demuestre que para la condición de equilibrio es equivalente a que el centro de masa del sistema se encuentre justo en la posición del punto de apoyo (desprecie la masa de la balanza en sí misma). Explicación del problema:

Se debe demostrar que si entonces la flecha del vector asociado a las masas sobre la balanza debe situarse sobre el punto de apoyo de la misma. Solución:

Las fuerzas y son iguales a los pesos de las masas:

siendo las aceleración debida a la gravedad. Entonces,

⇒

Si se sitúa la posición de la masa 1 en el origen del sistema coordenado y la balanza es

paralela al eje x por ejemplo, el vector es según su definición:

* ( ) ( )+ ( )

Despejando de la ecuación de equilibrio y sustituyendo en la expresión para el centro de masa se obtiene:

( )

(

*

(

*

Con esto queda demostrado efectivamente corresponde el punto de apoyo de la balanza. Nótese que la elección del sistema de coordenadas siempre es arbitraria ya que el punto a donde apunta dicho vector es independiente de esta (ver ejercicio 1.1).

2. TEMA: CINEMATICA

Objetivos:

Adquirir habilidad en el manejo de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método gráfico y el método analítico.

Entender los conceptos cinemáticos de posición y velocidad. Ver las desigualdades como una herramienta útil en donde a simple vista todo

parece ser dado en términos de ecuaciones.

2.1. Punto de encuentro de dos móviles que se mueven en direcciones paralelas

Dos objetos 1 y 2 se desplazan de occidente a oriente según muestra la figura.

Cuando se encuentran en las posiciones señaladas ha pasado un tiempo y sus velocidades son desconocidas. Determine de forma gráfica la condición para que después de dicho instante el cuerpo 1 alcance al cuerpo 2 si las velocidades de ambos son constantes. ¿es posible saber gráficamente si eventualmente los móviles se encontraron en un tiempo pasado?

Explicación del problema: Si el móvil 1 alcanza al móvil 2 esto significa que sus posiciones con respecto al origen en la figura del problema deben ser las mismas. Es necesario plantear las ecuaciones que relacionan la distancia recorrida por cada uno con el tiempo para poder determinar lo que se pide. Estas resultan en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Solución:

Para un móvil que avanza a velocidad constante la magnitud de su vector posición se relaciona con el tiempo a través de la siguiente ecuación:

( ) ( ),

donde es la posición en el tiempo y es su velocidad. puede ser positiva o negativa dependiendo de la dirección de movimiento. Para el problema que nos compete, ambos objetos se mueven a velocidades mayores que cero ya que avanzan en la dirección positiva del eje x. Sus respectivas ecuaciones de movimiento son:

( ) ( )

Siendo el tiempo requerido por ambos para llegar a sus posiciones iniciales. La figura a continuación muestra las gráficas de las anteriores ecuaciones en los casos en los que y :

dado que la distancia varía linealmente con estas corresponden a rectas de pendientes y y puntos de corte con el eje vertical y . Sabiendo que dos

rectas se cortan solo si sus pendientes son diferentes entonces las velocidades deben ser distintas. Por otro lado, de las gráficas se observa que habrá un punto de corte en un

tiempo posterior a , , cuando . Si sucede lo contrario entonces el punto de corte se da un tiempo anterior y en efecto la posición de encuentro de los móviles y el tiempo en el que este se dio pueden ser determinados gráficamente.

2.2. Solución del problema 2.1 a través de desigualdades Aunque las gráficas son muy útiles para tener una visión global de qué caracteriza a un problema dado, es importante tener en cuenta que muchas veces un desarrollo más riguroso manipulando directamente las expresiones algebraicas puede dar luz sobre aspectos adicionales del mismo e incluso evitar errores que la intuición gráfica puede

hacer cometer. Por esta razón se propone verificar como debe ser la relación entre y en el problema anterior para que los móviles se crucen en su trayecto con el uso de desiguadades. Después de realizar esto calcule las distancias recorridas por los móviles a partir de las posiciones iniciales y al momento de encontrarse si

y ; determine también el tiempo transcurrido desde . Solución:

Supongamos que ; teniendo en cuenta que se desea saber si los cuerpos se

encuentran en un tiempo entonces y se puede multiplicar a ambos lados de la desigualdad de las velocidades sin alterar su signo:

( ) ( ) Puesto que se deduce que al sumar a ambos lados de la anterior desigualdad

su signo es ahora de estrictamente “menor que”:

( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

Este resultado significa lo siguiente: si y entonces para cualquier

tiempo tal que la distancia recorrida por el objeto 1 siempre será menor que la del objeto 2 y por lo tanto nunca lo alcanzará. Así, la única opción que queda es que y por consiguiente:

( ) ( ) Como los lados de esta desigualdad representan funciones monótonamente crecientes entonces aunque debe existir algún valor de tal que:

( ) ( )

Despejando de la anterior ecuación se obtiene:

( )

Sustituyendo los valores dados en el problema,

( )

El tiempo transcurrido a partir de es entonces . La distancia a la que se cruzan es:

( ) ( )

( )

Por lo tanto el espacio recorrido a partir de su posición inicial es para el móvil 1 y para el 2, 3. TEMA: TRABAJO EFECTUADO CON UN SISTEMA SIMPLE DE POLEAS

Objetivos:

Entender los conceptos de trabajo y de rodadura sin deslizamiento.

Aplicar temas de Geometría, Algebra lineal (producto escalar) y Trigonometría en la solución de problemas.

3.1. Deducción de la relación de transmisión para dos poleas unidas por una correa inextensible.

El concepto de relación de transmisión es de gran importancia cuando se analizan sistemas de poleas y engranajes. Esta se define como la razón entre las velocidades angulares de dos ruedas que están conectadas entre sí por medio de correas o el contacto entre los dientes en su periferia. Suponga que se dispone de dos poleas de radios y unidas por una correa como se

muestra en la figura más abajo.

Si se hace girar el sistema, establezca la relación entre las velocidades angulares de las poleas en el caso en que estas sean constantes. ¿Se sigue manteniendo dicha relación si las velocidades de rotación cambian con el tiempo? (ayuda: tenga en cuenta la definición de velocidad como la derivada temporal del desplazamiento).

Explicación del problema: Teniendo en cuenta que la correa de unión es inextensible, se requiere saber cuál es el ángulo recorrido por una rueda durante un cierto tiempo cuando la otra recorre su correspondiente ángulo. Como el tiempo transcurrido es el mismo para ambas de este modo se puede establecer la relación entre sus velocidades angulares. Solución: Considérese nuevamente la figura que ilustra el sistema de poleas. En la parte b) de esta se ilustra el hecho de que la distancia avanzada por una polea es igual a la que recorre la otra debido a que la correa que las une no se expande ni se contrae. Estos desplazamientos corresponden a longitudes de arco y en términos de las variaciones angulares se pueden expresar de la siguiente forma:

⇒

Dividiendo a ambos lados por el tiempo necesario para girar estos ángulos, , se obtiene:

Puesto que

y

son las velocidades angulares y entonces la relación de

transmisión es:

⇒

La anterior deducción fue posible gracias a que las velocidades de rotación se supusieron constantes y por lo tanto la razón entre la variación angular y el tiempo transcurrido es siempre la misma. Si la velocidad de rotación es variable, su valor instantáneo en un

tiempo es por definición:

( )

( ) ( )

( )

Dado que independientemente de que sea muy pequeño la igualdad de los desplazamientos sigue siendo válida, la relación de transmisión se transforma en la siguiente ecuación:

( )

( )

⇒ ( ) ( ) ⇒

( )

( )

Es decir que se sigue cumpliendo la ecuación de forma instantánea aunque tal vez ya no sea preciso referirse a esta como la relación de transmisión.

3.2. Trabajo realizado por un ciclista al desplazarse en su bicicleta

El dispositivo que permite a las bicicletas trasladarse es fundamentalmente el sistema de dos poleas descrito en el problema anterior. Al pedalear, un ciclista debe efectuar una fuerza sobre la rueda que contiene los pedales, la cual se transmite a la llanta trasera a

través de la cadena. El efecto que produce una fuerza cuando desplaza un objeto en

cierta cantidad se cuantifica por medio de una magnitud física conocida como trabajo:

. El trabajo es pues igual al producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento. En general la fuerza puede ser una función de la posición por lo que de manera aproximada el trabajo neto al actuar sobre una serie de desplazamientos muy

pequeños, , es: ∑ ∑ ( )

(la expresión exacta

corresponde a una integral sobre el trayecto recorrido). Sin embargo, si se supone que es constante en magnitud durante todo el recorrido y es paralela a cada entonces

, siendo la norma de la fuerza y la distancia sobre la que actuó. Suponga que al pedalear el ciclista ejerce una fuerza cuya componente tangencial al

piñón, , es siempre constante e igual para ambos pedales. Calcule el trabajo total que

este realiza al recorrer una distancia y expréselo en función de esta distancia y de los radios de la llanta trasera y del piñón que tiene unido. Explicación del problema: El cálculo del trabajo se debe realizar teniendo en cuenta la longitud que avanza cada pedal y la fuerza que se ejerce sobre esta distancia. Para poder relacionar el resultado con el trayecto recorrido suponga que la llanta rueda sin deslizarse. Solución: En la siguiente figura se muestra la fuerza que los pies del ciclista hacen sobre cada pedal en un cierto instante de tiempo. Nótese que cada una de las fuerzas tiene además de su componente tangencial una componente radial (a lo largo del pedal) que no tiene por que ser constante ni igual para ambas.

Un pequeño desplazamiento realizado por un pedal, , es igual en magnitud al asociado

al otro pedal. Entre menor es la magnitud de su dirección tiende a ser paralela a la de

( ) ; por lo tanto el trabajo efectuado a lo largo de este desplazamiento es:

*( ) ( ) +

Por definición, el producto punto entre dos vectores y satisface la ecuación:

, siendo y sus normas y el ángulo que estos forman. Si se hace tan

pequeño que se pueda considerar paralelo a ( ) entonces simultáneamente es

perpendicular a ( ) y se obtiene lo siguiente:

( )

El trabajo que resulta de la contribución de ambos pies es así:

( )

ya que se asume que la fuerza tangencial realizada sobre ambos pedales es igual. Por otra parte, teniendo en cuenta que la magnitud del desplazamiento total de los pedales se puede ver como la suma de muchas contribuciones de longitud y que en cada una

( ) es paralela (la fuerza tangencial sigue al pedal en su movimiento), el trabajo total

resulta ser:

∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ( )

siendo la distancia neta recorrida por un pedal. Para hallar la expresión del trabajo en términos de la distancia que se desplaza la bicicleta es conveniente conocer el ángulo total de giro de su llanta trasera. Este ángulo puede ser calculado por medio de la ecuación de la que se partió en la solución del ejercicio 3.1,

. De este modo, si y son el radio y ángulo recorrido por la rueda de los pedales, entonces el ángulo asociado al piñón en la llanta es: ( ) .

Adicionalmente es también el ángulo que barre la llanta misma ya que está pegado a esta; este cual genera un desplazamiento en su periferia de:

(

*

donde es el radio de la llanta.

De la relación y del hecho de que la bicicleta avanza sin deslizamiento:

⇒ (

*

⇒

Reemplazando este resultado en la ecuación obtenida para el trabajo,

( )

3.3. Trabajo efectuado por el ciclista al subir una cuesta

En relación con el ejercicio anterior, considere que el ciclista debe pedalear sobre una superficie inclinada un cierto ángulo como se muestra en la figura adjunta.

Asumiendo que la única fuerza que actúa sobre el conjunto bicicleta+ciclista es su propio peso, encuentre el trabajo realizado al subir una distancia si ( ) es proporcional a la

magnitud de la fuerza paralela a la cuesta y escríbalo como función de (establezca el dominio de esta función). Explicación del problema: El hecho de que la única fuerza actuante sobre el sistema bicicleta+ciclista sea su peso implica que la fuerza paralela a la cuesta es precisamente la componente del peso en esa dirección. Para calcular la magnitud de tal fuerza se debe entonces escribir el peso en términos de componentes perpendiculares y utilizar las funciones trigonométricas seno y coseno para relacionar las fuerzas con el ángulo de inclinación. Solución:

La figura del problema muestra la descomposición del peso en una fuerza paralela a la

cuesta y otra perpendicular a esta. Existe un teorema en trigonometría que establece que dado un cierto ángulo entonces el ángulo que resulta entre dos rectas perpendiculares a las que forman el primero es de igual magnitud. Aprovechando este teorema se deduce la igualdad entre los ángulos mostrados en la figura. Por lo tanto, la norma de la fuerza paralela a la cuesta es:

( )

siendo la magnitud del peso. Como ( ) es proporcional a entonces ( ) con

una constante adimensional. Sustituyendo esta expresión para ( ) en la ecuación

obtenida al final del ejercicio 7 se obtiene:

( )

⇒ ( )

( ( ))

De acuerdo con el dominio en el que varía , ( ) es una función creciente del ángulo de

inclinación y además es proporcional al peso tal como se podría esperar intuitivamente. 4. TEMA: TERMODINAMICA-PROCESO ISOBARICO

Objetivos:

Aprender a manejar eficazmente la información de la que se dispone cuando se trabajan sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Que el estudiante adquiera la costumbre de verificar la consistencia de sus resultados y sepa que herramientas usar para ello.

4.1. Temperatura final alcanzada por un gas ideal en un proceso isobárico En termodinámica se denomina proceso isobárico a aquel que ocurre a presión constante. Para un gas ideal, la presión se relaciona con otras variables de estado a través de la

ecuación . : presión; : volumen; : número de partículas; temperatura

absoluta; constante de Boltzmann. Por otro lado, la primera ley de la termodinámica

establece que la energía interna de un sistema cambia por adición o sustracción de calor

o por efecto de trabajo mecánico . Esto es, . La convención de signos

termodinámica implica que en esta ecuación es el calor agregado al sistema y el trabajo hecho sobre el sistema. Por otra parte, la energía interna de un gas ideal está

dada por: .

/

Calcule la temperatura final de un gas ideal en un proceso isobárico a presión si se conocen las siguientes cantidades: volumen final , temperatura inicial y trabajo y

calor agregados o sustraídos durante el proceso. Explicación del problema: Es necesario verificar entre las ecuaciones suministradas y las variables conocidas cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas se tienen para así hacerse una idea de la naturaleza de la solución. Lo que se espera es que el sistema posea solución única en la cual debe estar incluida la temperatura final.

Solución: De la primera ley de la Termodinámica y la ecuación para la energía interna del gas ideal se tiene que:

(

* ⇒ (

*

La variación de temperatura es igual a la diferencia entre las temperaturas final e inicial. Luego,

(

* ( ) ( )

Por otro lado, la ecuación de estado implica que:

⇒ ( )

Las ecs. (1) y (2) representan así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y . Despejando de (2) se obtiene:

Sustituyendo en la ec. (1),

(

*

( )

La anterior ecuación ya contiene solo a y cantidades que se dan en el problema. A

partir de esta se encuentra que:

4.2. Verificación del signo de la temperatura obtenida en el anterior

problema La temperatura absoluta es una cantidad que siempre debe ser positiva. Corrobore que esto se cumple en el resultado hallado para ; de no ser así es seguro que se cometió

algún error en el desarrollo que condujo a tal expresión. Explicación del problema: Para la determinación del signo de alguna cantidad es conveniente examinar el que corresponde a las variables que la componen y usar la ley de multiplicación de signos. Las

ecuaciones proporcionadas en el planteamiento del ejercicio 9 son suficientes para verificar lo que se pide. Solución: Escribiendo como:

entonces se debe cumplir que

sea menor que cero para que el signo de la

temperatura final sea positivo, puesto que el signo del numerador es negativo. Dado que

.

/ ( ) según la ec. (1) del ejercicio 9 y que por la

ecuación de estado del gas ideal,

(

* (

*

(

*

Como y son cantidades positivas entonces se constata que el denominador de

tiene el mismo signo que el numerador y así es mayor que cero.

5. TEMA: OPTIMIZACION Objetivos:

Hacer uso de las herramientas que proporciona el Cálculo diferencial en una de sus principales aplicaciones.

Manejar formulas típicas de la Geometría. Incentivar al estudiante para que vea más allá de lo inmediato en el problema y

afine su capacidad de razonamiento.

5.1. Optimización del área de un tanque de combustible Un depósito de combustible de cierta máquina tiene la forma mostrada en la siguiente figura:

Determine el área superficial mínima que puede contener un volumen fijo . Explicación del problema: En cualquier problema de optimización se busca hallar máximos o mínimos de una función. En este caso se requiere minimizar un área y es necesario expresar esta en términos de una sola variable para poder tomar la derivada y efectuar el procedimiento correspondiente. Solución:

El área total del tanque es de acuerdo con la figura igual al área de una esfera de radio

(suma de las áreas de las semiesferas a cada lado) más el área de un cilindro de altura e igual radio, sin tener en cuenta la base ni la tapa. Por consiguiente,

Esta ecuación expresa en términos de las variables y . La condición de que el volumen del tanque sea fijo permite relacionarlas para que el área quede con una sola variable. Nuevamente, el volumen total está dado por la suma de los volúmenes de las semiesferas y del cilindro que las une:

⇒

{

}

De este modo,

( )

{

}

Derivando el área con respecto a e igualando a cero:

( )

⇒

⇒ {

}

Reemplazando este valor de en la ecuación para se obtiene el área mínima:

( )

{

}

{

}

(

*

5.2. Condición necesaria y condición suficiente para la minimización del área del anterior punto

Según el ejercicio anterior, el área superficial del tanque de combustible es igual a la suma de la correspondiente a una esfera más la de una parte de un cilindro. Analice la siguiente cuestión: ¿minimizar dicha área es equivalente a minimizar las áreas que la componen por separado? Explicación del problema: Esta es una pregunta de lógica más que un ejercicio de cálculo. Se requiere tener claro las reglas de la lógica elemental en lo que tiene que ver con implicación y doble implicación. Solución: Notando como ( ) y ( ) las áreas asociadas a la esfera y al cilindro respectivamente,

( ) ( ) ( ).

Se sabe que para minimizar se debe derivar con respecto a e igualar a cero y que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas:

( )

( )

( )

Se podría pensar entonces que bastaría con igualar a cero cada uno de los sumandos en

la anterior ecuación, lo cual equivaldría a minimizar y de forma independiente. Veamos que si se siguen las reglas de la lógica se deduce que tal suposición es errada:

Para empezar, igualar a cero las derivadas de y es aparentemente una

condición suficiente para que la derivada de sea nula mas no necesaria. Esto

significa que si dicha condición es equivocada la proposición

( ) no se ve

afectada. Al minimizar y de forma separada se obtienen valores de diferentes. Esto

se puede verificar tomando las expresiones explícitas de donde se ve inmediatamente que el radio que minimiza el área de la esfera es cero.

La optimización del área total tiene como condición necesaria que la suma de las

derivadas de y sea igual acero. En este caso obviamente la ecuación que

surge da como solución un que minimiza el área total, el cual se calculó en el problema anterior.

Como conclusión, minimizar las áreas componentes separadamente no es equivalente a minimizar el área total ya que de existir un mínimo este debe

corresponder a un bien definido y al considerar y por aparte se obtienen dos valores diferentes. Esto significa que separar las derivadas no es ni siquiera una condición suficiente como se había sugerido al comienzo. En otras palabras, minimizar las áreas por aparte no implica que se minimice la total y tampoco se tiene la implicación inversa.

6. TEMA: EL TORNILLO Objetivos:

Comprender la estructura geométrica del tornillo. Aplicar herramientas básicas de la Geometría y la Trigonometría en la solución de

problemas.

Estimular un tipo de razonamiento que es de gran importancia para estudiantes de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Mecatrónica como lo es el razonamiento espacial.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: El tornillo es una pieza imprescindible de la tecnología y la industria en todas sus manifestaciones. Es apenas natural entonces que un análisis de su estructura y funcionamiento deba ser tenido en cuenta en diversas ramas de la ingeniería y en especial en campos como la Ingeniería Mecánica y la Ingeniería Mecatrónica. Los ejercicios que se desarrollan a continuación pueden tener relación con el curso “Dibujo de Máquinas”.

6.1. Geometría del tornillo Este ejercicio está orientado a entender gráficamente la estructura del tornillo a partir de un modelo geométrico que permitirá al estudiante identificar y comprender cómo surge cada una de sus componentes fundamentales. Las partes más generales de cualquier tornillo son mostradas en la sección a) de la figura adjunta. En la parte b) se ilustra a su vez la subdivisión de la rosca en los siguientes elementos: El filete, que corresponde al enrollado como tal; la cresta y la raíz conforman las partes más saliente y de mayor profundidad del filete respectivamente; el paso de rosca es la separación entre dos crestas consecutivas.

Imagine una hoja de papel con forma de plano inclinado (triángulo rectángulo), la cual se enrolla alrededor de un cilindro de tal modo que uno de los catetos es paralelo al eje del cilindro e igual a su altura. Trate de visualizar el recorrido que realiza la hipotenusa al efectuar el enrollamiento desde el principio hasta el final. Si tiene a su disposición un tornillo observe detenidamente la rosca e intente sacar conclusiones con relación al ejercicio mental propuesto. Después deduzca geométricamente la dependencia entre el paso de rosca con el ángulo de inclinación y el radio del cilindro. Aplique el concepto de función monótonamente creciente o decreciente para examinar el comportamiento del ángulo de inclinación con respecto al radio si se fija el paso de rosca. Realice el cálculo correspondiente para un paso de rosca de 2mm y dos radios de 3mm y 5mm. Explicación del problema: La idea es identificar el filete del tornillo con el borde del plano inclinado enrollado en el cilindro. Si se logra esto lo más probable es que el resto del ejercicio sea mucho más fácil de abordar. Aunque es fácil implementar lo que se pide de forma manual es aconsejable

llegar a la solución usando solo la imaginación ya que ello contribuye a entrenar la mente en su capacidad de razonamiento gráfico. Solución: La figura a continuación muestra tres etapas del enrollamiento. En la primera la hoja se encuentra totalmente desenvuelta y lista para dar inicio al proceso. En la segunda se ha dado una vuelta completa al cilindro. Finalmente, la última etapa concluye con el enrollado total y se observa claramente que el borde de la hoja correspondiente a la hipotenusa recorre un trayecto análogo al del filete en un tornillo. Nótese que al efectuar una vuelta, el punto de la hipotenusa (cuadrito negro) cuya distancia al cateto vertical es igual al perímetro del cilindro se sitúa justamente sobre dicho cateto; de acuerdo con esto es necesario que la longitud del cateto horizontal sea por lo menos igual a tal perímetro para que se logre dar como mínimo una vuelta completa.

Para determinar el paso de rosca es útil observar nuevamente la segunda etapa de la figura. Este corresponde a la separación vertical que resulta entre dos puntos de la

hipotenusa cuyo recorrido angular se diferencia en , es decir, una vuelta. De la figura

se deduce entonces que el paso de rosca es igual a y su valor se relaciona con el

perímetro y con el ángulo de inclinación de acuerdo con la ecuación:

⇒

Puesto que se tiene que:

( ) La anterior ecuación indica que para un mismo paso de rosca el ángulo de inclinación disminuye al incrementar el radio del cilindro. A tal conclusión se llega despejando y teniendo en cuenta que esta función es monótonamente creciente, esto es, para dos

ángulos y , si y solo si . Así pues, la expresión

implica que es inversamente proporcional a y por consiguiente debe ser una función decreciente del radio. Veamos ahora qué ángulos de inclinación se requieren para lograr un paso de rosca de 2mm en dos tornillos de radios 5mm y 3mm:

( ) ⇒ ( )

( ) ⇒ ( )

Los resultados obtenidos muestran que efectivamente el ángulo se redujo al aumentar la magnitud del radio.

6.2. Tipos de rosca La forma de una sección del tornillo paralela a su eje y que pase por su centro es lo que caracteriza el filete o tipo de rosca. La figura muestra diferentes tipos de rosca según una clasificación aceptada a nivel internacional.

Para la rosca denominada “V aguda” el ángulo entre dos crestas consecutivas es de 60°. Si se tiene un tornillo de 4 cm de largo cuyo perfil de filete es de esta clase y consta de 18 crestas, ¿cuál es la longitud de la sección de rosca que separa una cresta y una raíz consecutivas? Explicación del problema: Averiguando primero cuál es el paso de rosca es fácil deducir lo que se pregunta aplicando una fórmula trigonométrica o utilizando el teorema de Pitágoras.

Solución: Puesto que el paso de rosca es igual a la separación entre dos crestas vecinas, entonces por cada crestas hay una longitud de veces el paso de rosca (ver figura anterior y la primera figura del ejercicio 6.1). Luego,

( ) ⇒

De acuerdo con la figura del problema, si se trazara una línea vertical desde una raíz hasta la intersección con la línea que representa el paso de rosca se obtendría la siguiente relación:

(

* ( )

donde es la distancia incógnita que corresponde a la hipotenusa del triángulo formado en dicha construcción. Por lo tanto,

( )

Nótese que el resultado es justamente igual al valor del paso de rosca, lo cual era de esperarse dado que en un triángulo equilátero sus ángulos internos son de 60°. Una forma alternativa y un poco más larga de llegar a la respuesta sería la siguiente:

( )

⇒

( )

√( ) ( ) √ 7. TEMA: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Objetivos:

Estudiar una clase de movimiento que representa un paradigma de la Mecánica Clásica.

Entender la relación entre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple.

Ejercitarse en el uso de herramientas matemáticas tales como funciones trigonométricas y sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: El movimiento armónico simple constituye el modelo más sencillo para analizar sistemas que presentan un carácter oscilatorio. Ejemplos típicos de estos sistemas en Mecánica son el péndulo, la masa atada a un resorte y el mismo movimiento circular uniforme. Sin embargo, este no se reduce sólo al estudio de dispositivos mecánicos sino que su

formalismo se aplica también en áreas como el análisis de circuitos eléctricos que manejan corrientes y/o voltajes alternos.

7.1. Relación entre el movimiento de una masa atada a un resorte y el de una rueda que gira a velocidad angular uniforme

Una masa atada a un resorte que se desplaza de su posición de equilibrio y se deja oscilar libremente es un ejemplo típico lo que se denomina movimiento armónico simple. Siempre y cuando la fuerza que ejerce el resorte sea proporcional a su estiramiento o compresión,

la posición de la masa en función del tiempo estará dada por ( ) ( ) donde

es la frecuencia angular y es igual a la raíz del cociente entre la constante de elasticidad

y la masa: √ . A es la amplitud del movimiento y una fase que da cuenta de la

posición en el instante .

Suponga que justo en el momento el resorte empieza a oscilar y que se coloca una

rueda de radio cuyo centro coincide con la posición de equilibrio de este. Simultáneamente con el inicio del movimiento del resorte la rueda empieza a girar con

velocidad angular constante . Esta posee una marca en su perímetro que parte desde el

ángulo y recorre un ángulo ( ) . ¿Qué relación se requiere entre y para que la proyección de la posición de la marca sobre el eje horizontal coincida siempre con la posición de la masa del resorte? (ayuda: tenga en cuenta que dos funciones ( ) y ( ) son iguales si y solo si ( ) ( ) para todo y aplique está definición en el caso en el

que y son funciones compuestas) .

Explicación del problema: La figura a continuación muestra en detalle lo que significa el enunciado del problema.

El montaje descrito justo antes de empezar el movimiento se muestra en la parte a); para que el resorte comience a oscilar es necesario estirarlo o comprimirlo (en la figura este se

estira) y qué tanto se desplace de su posición de equilibrio es lo que da la amplitud . Por lo tanto, de acuerdo con la información del problema en ese momento la marca de la rueda y la masa están en la misma posición. En la parte b) la rueda ya ha girado un cierto ángulo a la vez que la masa se encuentra en el punto señalado. La proyección de la marca se sitúa precisamente sobre este punto y se debe determinar la velocidad angular de la rueda para que durante todo el movimiento siempre se de esta condición. Solución:

De la figura anterior se observa que en un tiempo cualquiera la proyección de la marca

es igual a: ( ( )) ( ). Por otro lado, según se dijo la posición de la

masa al iniciar la oscilación es igual a la amplitud y por lo tanto,

( ) ( )

La ecuación anterior se satisface si . Como esta fase es la misma en todo el movimiento entonces

( ) ( ) Luego, si ( ) ( ) entonces ( ) ( ) para todo . Adicionalmente, las funciones y son iguales a la función ( ) ( ) compuesta con ( ) y ( ) respectivamente. Entonces,

( ) ( ) ⇔( )( ) ( )( )

⇔

Esta última igualdad se cumple solo sí ó equivalentemente si . En palabras esto significa que la velocidad angular de la rueda debe ser igual a la frecuencia angular del resorte.

7.2. La ecuación general para la posición en el movimiento armónico simple y su relación con las condiciones iniciales (parte 1)

En el ejercicio anterior se vio que la posición de la masa en un tiempo está dada por:

( ) ( ). Exprese la posición como una función seno y como una suma de

funciones seno y coseno. Nótese que ( ) está caracterizada por la amplitud y por la

fase . ¿Al reescribir ( ) de estas maneras cuáles son los nuevos parámetros que determinan la función posición? Ahora considere un experimento en el que dos personas miden con dos cronómetros

distintos. Al comienzo de la oscilación el cronómetro de una de ellas marca y el de la

otra . Escriba la posición en términos de: el tiempo que mide cada persona en su

cronómetro y el tiempo transcurrido desde que inicia el movimiento.

Explicación del problema: En la primera sección del ejercicio es conveniente utilizar la identidad trigonométrica asociada a la suma de dos ángulos. La segunda parte busca que el estudiante comprenda qué significa tener una condición inicial (la posición inicial) medida en diferentes tiempos. Para resolverla se debe pensar en el hecho de que la posición registrada en cada instante es la misma independientemente del reloj que se use para medir el tiempo. Solución:

El coseno de la suma de dos ángulos y está dado por:

( ) Por consiguiente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )+ ( ) * ( )+ ( )

Puesto que y son constantes entonces los términos entre corchetes en la anterior

igualdad también lo son. Llamando y al primero y segundo respectivamente,

( ) ( ) ( ) Teniendo en cuenta que es la misma en esta forma de expresar la posición, los nuevos

parámetros que la caracterizan son precisamente y . Es de resaltar el hecho de que estos son dos como en la función original. En general, se puede afirmar que dada una función caracterizada por parámetros, dicho número se debe mantener al reescribir la función de cualquier otra manera.

Finalmente, nótese que el coseno es igual al seno desplazado en un ángulo hacia la izquierda. Por lo tanto,

( ) ( ) ( ) ( )

En este caso los parámetros característicos son y . La frecuencia

nuevamente permanece inalterada. Con este desarrollo se espera que al estudiante le quede claro que la esencia del

movimiento armónico simple es la periodicidad expresada a través de la frecuencia . Las diferentes expresiones deducidas son equivalentes y utilizar una u otra es una cuestión de conveniencia. Utilicemos ( ) ( ) para analizar lo que resulta al variar los tiempos iniciales.

Si es la posición que mide la persona cuyo cronómetro marca cero al empezar la

oscilación y la registrada por la otra persona,

( ) ( ) ⇒ ( ) (( ) ) ⇒ ( )

Entonces,

( ) ( ) ( ) ( )

siendo y los correspondientes tiempos que cada uno registra. Por otro lado, el tiempo transcurrido es igual a la diferencia entre el tiempo en un instante dado y el marcado inicialmente. Así por ejemplo si la persona 2 ve que su cronómetro

señala el tiempo trascurrido para ella es de Nótese que para la

persona 1 y consecuentemente ( ). Para verificar que la posición

que las dos personas miden en cada momento es la misma es necesario expresar y en términos de la misma variable de tal modo que se pueda hacer la comparación. Por cada segundo que pasa en un cronómetro un segundo pasa en el otro y además en , Luego,

Sustituyendo en la ecuación para ,

( ( ) ) ( )

7.3. La ecuación general para la posición en el movimiento

armónico simple y su relación con las condiciones iniciales (parte 2)

En los problemas 7.1 y 7.2 se ha tratado la cuestión de representar la posición en el movimiento armónico simple en función del tiempo. A partir de la definición de la velocidad como la derivada de con respecto al tiempo, encuentre la expresión para ( ) y ( ) si en el resorte está comprimido y se mueve a hacia la derecha.

Asuma que . Explicación del problema: Primero que todo se requiere tener claro cómo escribir las condiciones de posición y velocidad iniciales. Si el origen del sistema coordenado se sitúa en la posición de equilibrio del resorte entonces una compresión del mismo implica una posición negativa, esto es,

( ) . Por otra parte, dado que se está moviendo hacia la derecha su velocidad

es positiva: ( ) . Después se procede a calcular la forma general de derivando ( ) y usando esta información se obtiene un sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas el cual permitirá deducir las soluciones particulares para la velocidad y la posición. Solución: Siguiendo uno de los resultados del ejercicio 7.2, una manera de expresar la posición es:

( ) ( ) ( ). La velocidad es pues,

( )

( ) ( )

⇒ ( ) (

* (

* .

/ .

/

√

( )

( )

( .

/ .

/)

√

( )

Cabe resaltar que para la ecuación de la velocidad la frecuencia angular que sale como

factor común debe ser escrita con su valor explícito de . Como argumento de las

funciones seno y coseno en cambio, , y dada la periodicidad de la

contribución que importa es la de . El sistema de ecuaciones que se debe resolver es entonces:

{

√

√

cuyas incógnitas son los coeficientes y . Sumando las dos ecuaciones se obtiene:

√

√ ⇒

Sustituyendo este resultado en la primera ecuación,

√ ⇒

Luego,

( ) (

* (

*

( )

{ (

* (

*}

7.4. Truco mnemotécnico para recordar los valores de las funciones trigonométricas evaluadas en los ángulos notables

En el movimiento armónico simple la posición de una partícula puede ser expresada por medio de la ecuación (para mayor información véase el ejercicio 7.1) ( ) ( ), donde y son la amplitud y la frecuencia angular del movimiento y el tiempo. La frecuencia angular es por definición:

siendo el periodo de oscilación o tiempo requerido por la partícula para retornar a su posición original.

Determine la posición y la velocidad de la partícula en los siguientes instantes: y . Explicación del problema: Este ejercicio es bastante simple de comprender y de resolver. Sin embargo, el método que utilizará para llegar a la solución mostrará al estudiante una regla simple para evaluar las funciones seno y coseno en los ángulos notables sin necesidad de tener que memorizarlas. Solución: La ecuación asociada a la velocidad es:

( )

( )

Para los tiempos dados en el problema se tiene que:

Estos son precisamente los ángulos notables que en grados sexagesimales corresponden a

y respectivamente. Al realizar un cálculo explícito es posible que eventualmente no se recuerden los valores de las funciones trigonométricas en estos ángulos. La figura adjunta muestra los ángulos notables representados en la circunferencia de radio unidad; según esta,

( )

( )

Nótese que y por lo tanto ( ) ( ). El estudiante debe tener claro que para este ángulo alguna de las dos funciones vale 1/2 y es conveniente que recuerde que

es la menor de ellas, es decir, ( ). Con esta información se puede deducir el valor de

( ) utilizando la identidad trigonométrica:

( ) ( ) ⇒ ( )

⇒ ( )

√

Por otro lado, se observa que y . Esto implica que

( ) ( ) √

, ( ) ( )

Finalmente, de la figura es claro que y por consiguiente ( ) ( ) .

Luego,

( ) ( ) ( ) ⇒ ( )

√

√

( )

En conclusión, solo es necesario conocer el valor de ( ) y la identidad trigonométrica utilizada para obtener las demás incógnitas si se sigue el procedimiento indicado. Es importante señalar que 1/2 es mucho más fácil de memorizar que los otros números implicados y que dicha identidad también es fácil de recordar. Así, en lugar de tener en cuenta 6 datos basta con recordar solo dos y aplicar una regla simple para obtener los demás.

8. TEMA: CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL Objetivos:

Realizar una revisión del concepto de Energía Mecánica utilizando el método de curvas de energía potencial.

Aplicar al estudio de estas curvas el uso de desigualdades que es un tema del curso de Matemáticas Básicas.

Proporcionar un ejemplo en el que el que se resalta la importancia de manejar temas que aparentemente no tienen mucha aplicación, como es el caso de la continuidad de funciones y el cálculo de límites.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: El concepto de Energía juega un papel fundamental en la comprensión de una gran variedad de fenómenos, tanto en profesiones científicas como en las Ingenierías. En muchos casos es mucho más cómodo recurrir a su utilización para extraer información sobre el movimiento de un cuerpo y su interacción con otros agentes que intentar deducir de manera exacta su comportamiento. Uno de las características más llamativas y más potentes a la hora de abordar problemas por este medio es la aplicación de la ley de la conservación de la energía que en su forma mecánica posee un formalismo muy asociado al cálculo diferencial e integral.

8.1. Partícula con movimiento restringido por la función de energía potencial

En Mecánica se requiere muchas veces analizar el comportamiento dinámico de algún objeto bajo la acción de ciertas fuerzas externas. Cuando es difícil o innecesario conocer con exactitud el movimiento que este describe, el concepto de energía puede ser de gran utilidad para obtener información parcial como la relacionada con su velocidad. Dependiendo del tipo de fuerzas que actúen sobre el cuerpo, la energía total es una cantidad física que se conserva o que cambia con el tiempo. Para el primer caso esta se define como , siendo la energía cinética y la energía potencial que es la que

da cuenta de la naturaleza conservativa del sistema físico. A su vez, es por definición

igual al producto de la masa del objeto por el cuadrado de su velocidad dividida entre dos: ( ) . La energía potencial es una función de la posición y por medio de su

derivada se conoce la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo. En conclusión, la ecuación asociada a la energía total es:

( )

Para un cierto valor de , , despeje la velocidad de la anterior ecuación y establezca una condición general para definir su dominio. ¿Cómo interpretaría este resultado a la luz del movimiento del objeto que posee dicha energía? Suponga un potencial determinado por la siguiente función:

( ) { | |

| |

De acuerdo con la interpretación que dio anteriormente deduzca en qué intervalos podría encontrarse la partícula confinada. Explicación del problema: Lo que se pide inicialmente es una condición general, es decir que no se debe proporcionar un dominio explícito sino más bien entender el significado de tal condición. Los intervalos que se deben hallar posteriormente están relacionados precisamente con el dominio de la función velocidad y si se ha entendido bien la primera parte esta última seguramente tendrá una respuesta correcta. Solución: Despejando se obtiene:

√ ( ( ))

Por lo tanto, su dominio está dado por todos los valores de para los que el término entre la raíz es positivo:

( ) * ( ) + Como no se conoce la forma explícita de ( ) entonces no se puede decir más. No

obstante, los valores de que no satisfacen la anterior desigualdad son aquellos para los

cuales la velocidad de la partícula no está definida y esto significa que la misma no puede pasar por estas posiciones en su movimiento. En otras palabras, el espacio disponible para

la partícula es el conjunto solución que representa el dominio de . Para continuar con la siguiente parte es necesario definir explícitamente las regiones en

las que ( ) es igual a cero. La inecuación | | se soluciona de la siguiente forma:

| | ⇒ {

El conjunto solución será la intersección de los intervalos que resulten de las dos desigualdades y por ello se ha resaltado la letra y. Para la primera se tiene:

⇒ ⇒ | | √ ⇒ ( √ √ )

Análogamente,

⇒ ⇒ | | √ ⇒ *( √ ) (√ )+

Al realizar la intersección se obtiene:

( √ √ ) *( √ ) (√ )+ ( √ √ ) (√ √ )

La siguiente gráfica muestra la forma de ( ) según este resultado.

También se muestran dos valores de la energía, y , que están por debajo y por

encima del máximo valor de respectivamente (naturalmente y deben tener unidades de energía pero para los objetivos del ejercicio no es necesario colocarlas). La velocidad es en cada caso:

√ ( ( )) √ ( ( ))

Dado que entonces el dominio de es todo el eje . Sin embargo, y por consiguiente el dominio de se restringe a los intervalos en los que ( ) es cero.

Así pues, en este ejemplo un objeto con una energía total menor que 1 solo podrá moverse en estos intervalos; más aún, nótese que si la partícula se encontrara en el

intervalo (√ √ ) por ejemplo, no podría pasar al otro ya que para ello debería

cruzar la región ( √ √ ) en la cual su velocidad no está definida.

8.2. Uso de la función de energía potencial para analizar el comportamiento de la fuerza ejercida sobre una partícula

En una dimensión, la energía potencial que posee una partícula se relaciona con la fuerza que siente a través de la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )

Así, es una función de la posición que es igual a menos la derivada de la energía

potencial . Considere la gráfica mostrada:

Con respecto a esta, responda cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a). La fuerza es monótonamente creciente en el intervalo ( ) b). La fuerza es monótonamente decreciente en el intervalo ( ) c). La fuerza no es monótonamente creciente en el intervalo ( ) pero es máxima en .

d). La fuerza tiene un mínimo en y el potencial es monótonamente decreciente en ( ) e). La fuerza es cero en y el potencial es monótonamente creciente en ( ).

Después analice el comportamiento de en y concluya si es continua o discontinua en este punto. Explicación del problema: Observando la gráfica de la función es posible estudiar el comportamiento de su derivada sin necesidad de conocer su forma explícita. Se debe tener en cuenta que es la segunda

derivada de la que permite saber si es creciente o decreciente. Posteriormente, lo más conveniente es hacer uso de la definición de derivada para analizar la continuidad de la fuerza en . Solución: La respuesta correcta es la e). Es claro que la energía potencial es tal que ( ) ( ) si y y pertenecen a tal intervalo. Además, la pendiente de la recta tangente

a en es cero y por lo tanto ( ) No obstante, las demás opciones también pueden ser tentadoras y si ocurre que no se tiene seguridad sobre la e) es necesario descartarlas. Empecemos con las afirmaciones a) y b). A simple vista parece ser que una es la negación de la otra y en consecuencia alguna de las dos debería ser verdadera. Sin embargo, una función que no sea monótonamente creciente ni monótonamente decreciente en un intervalo es simplemente creciente en una parte del mismo y

decreciente en otra. Esto es precisamente lo que ocurre con la fuerza en ( ); la figura más abajo ilustra este hecho.

En el intervalo ( ) la magnitud de aumenta como se puede deducir del aumento de

la pendiente que tiene la recta tangente en los dos puntos señalados. En ( ) en

cambio, se observa que dicha pendiente disminuye en dos puntos consecutivos y por consiguiente la magnitud de la fuerza se hace menor. Esto es suficiente para desechar las

opciones a) y b); se debe recordar que es menos el valor de tales pendientes pero ello no cambia la esencia de la deducción. La afirmación c) queda inmediatamente descartada por lo discutido hasta el momento. Aunque el potencial es monótonamente decreciente en ( ) la fuerza no tiene un mínimo en ya que es positiva acercándose a este punto

por la izquierda y negativa para valores cercanos por la derecha. Entonces la opción d) también queda eliminada y todas las restantes diferentes de la e). Veamos ahora cómo es en . Nótese que la pendiente de ( ) es igual a cero a

derecha e izquierda de este punto:

( )

( )

( )

( )

De acuerdo con esto, parece correcto afirmar que ( ) es continua en . A pesar de

que los límites laterales de la función son los mismos se debe recordar que para tener la continuidad se requiere que estos sean iguales a ( ) Pero no está definida en esta posición si se utiliza la definición de derivada:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Según la gráfica de , ( ) y ( ) se aproxima cada vez más a 1 al hacer tender

a cero (téngase en cuenta que es positivo por definición). Entonces

( )

( )

Luego, la fuerza es discontinua en dicho punto.

8.3. Comportamiento asintótico de un potencial particular

Suponga que una partícula se mueve bajo la acción de la siguiente función de energía potencial:

( )

Revise la solución del ejercicio 8.1 para responder qué valores de hacen que este potencial prohíba a la partícula encontrarse en ciertas regiones independientemente del valor de su energía total (ayuda: examine el comportamiento asintótico de ). Explicación del problema: En el problema 8.1 se vio que dada una energía total el espacio disponible para la

partícula moverse está dado por el conjunto: * ( )+ . Por lo tanto, se requiere

averiguar los valores de en los números naturales tales que siempre existan regiones de

la recta real que no satisfacen la anterior desigualdad. Dichos subconjuntos constituyen justamente el espacio no permitido para la partícula. Solución:

( ) es un potencial bien comportado en cuanto a que no posee singularidades

resultantes de dividir por cero. La razón de esto es que siempre es mayor o igual

a 0.5 para cualquier . En consecuencia, siempre es finito para valores de su

argumento finitos. En tal caso siempre es posible escoger valores de lo suficientemente grandes para que superen al potencial y así la partícula pueda moverse libremente. Aun

así, falta verificar qué ocurre si tiende a . Puesto que es un número natural, es par y por lo tanto ( ) ( ). Entonces los límites en ambas direcciones deben ser

iguales. Veamos pues cómo es uno de ellos:

( )

Este límite resulta en una indeterminación de la forma . Aplicando regla de L’Hopital reiteradamente,

( )

( )

Se deduce entonces que para ( ) diverge si el exponente es mayor que cero:

⇒

Si satisface la anterior desigualdad lo que sucede es que independientemente de la

energía total de la partícula, siempre existirá un intervalo ( ) (recuérdese que es

simétrico) tal que sea menor que el potencial para puntos por fuera de ese intervalo.

Para comprender mejor esto grafíquese por ejemplo ( ) si en el software online

Wolfram Alpha y nótese que cualquier función constante siempre será superada al considerar valores de lo bastante alejados del origen.

Por otro lado, si o , el potencial tiende hacia valores finitos y en consecuencia la partícula puede recorrer toda la recta real siempre y cuando su energía sea suficiente

para sobrepasar a en todo punto. 9. TEMA: CRITERIO DE SIGNOS TERMODINÁMICO. Objetivos:

Comprender a fondo el significado de la primera Ley de la Termodinámica, proponiendo para ello un ejercicio en el que esta se debe escribir de diferentes formas.

Analizar un ciclo termodinámico y obtener información de la primera Ley haciendo uso de inecuaciones.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: La primera Ley de la Termodinámica es la forma más general de expresar la conservación de la energía. Un entendimiento apropiado de su significado es imprescindible para avanzar en un curso de Termodinámica, el cual deben tomar los estudiantes de Ingeniería Mecánica. Por tal motivo los ejercicios que siguen están diseñados especialmente para reforzar la comprensión de esta Ley.

9.1. Distintas formas de escribir la Primera Ley de la Termodinámica

La primera Ley de la Termodinámica relaciona los cambios en la energía interna de un sistema de partículas como un gas con el calor que se introduce o que sale y con el

trabajo mecánico realizado sobre o por el sistema. Denotando como a la energía interna

y asociando al trabajo y al calor las variables y respectivamente, la forma general de esta ley se puede expresar como sigue:

El símbolo indica que todas las combinaciones para los signos de y de son posibles. La escogencia de estos signos depende de si el trabajo y el calor son cantidades que “entran” o “salen” del sistema. Para establecer tal criterio se debe seguir la siguiente convención que se basa en el significado físico de las variables implicadas en la primera ley: la energía interna aumenta si se hace trabajo sobre el sistema y disminuye en caso contrario; análogamente, si entra calor esta se incrementa y se es reducida en caso contrario. Teniendo en cuenta esta convención escriba las 4 formas equivalentes que puede tener la primera Ley de la Termodinámica.

Explicación del problema: El ejercicio es básicamente una cuestión de notación y de entender la relación de equivalencia de la lógica fundamental. Es necesario “llamar” de diferentes formas a las cantidades que entran y salen del sistema y verificar cómo debe ser su signo para ser consistentes con la convención indicada. Solución: Sean * + el conjunto de variables que corresponden a trabajo hecho sobre el sistema

y al calor agregado, y * + el asociado a trabajo hecho por el sistema y calor extraído

del mismo.

Veamos primero cómo queda la Ley en términos de las cantidades del primer conjunto:

Supongamos que no hay trabajo mecánico y por lo tanto . Entonces la energía interna solo puede variar a causa de que se intercambie calor con el exterior. Como al entrar calor la energía debe aumentar, esto es equivalente a

decir que los signos de y son iguales. Más concretamente, se define como: , siendo y las energías internas final e inicial

respectivamente. significa que entra calor y que sale. Según la

convención se tiene lo siguiente:

⇔ ⇔

⇔ * ⇔ ⇔ +.

Luego, si , y deben tener el mismo signo:

El mismo razonamiento conduce a que si no hay intercambio de calor,

Para el caso en el que ambas cantidades varían basta considerar que la contribución total a la variación de es igual a su suma:

.

Para deducir la expresión que surge del segundo conjunto se tiene en cuenta lo siguiente: Si sale calor es mayor que cero mientras que es negativo y lo mismo ocurre con el trabajo mecánico. Entonces los signos de las variables entre los dos conjuntos son siempre diferentes. Es decir,

Por lo tanto,

Las ecuaciones restantes que expresan la Ley son inmediatas:

9.2. Aplicación de la Primera Ley de la Termodinámica para

determinar los signos de cantidades intercambiadas en un proceso cíclico

La energía interna es un ejemplo de lo que en Termodinámica se denomina variable de estado. En un gas por ejemplo, las transformaciones termodinámicas están ligadas a variaciones en su volumen y/o presión y la energía interna no cambia si el gas parte de un estado caracterizado por una presión y volumen iniciales y retorna a los mismos valores. Esto es lo que define a las variables de estado: el hecho de que en procesos cíclicos su variación es nula. La información sobre el estado termodinámico del gas se puede representar a través de un diagrama PV. En este además de usar el eje horizontal para indicar el volumen y el vertical para la presión que ejerce el gas, es posible deducir el trabajo mecánico en una cierta etapa del proceso asociándole el área bajo la curva correspondiente a esa etapa. Siguiendo la notación del ejercicio anterior, si el proceso se

da en dirección hacia la derecha y viceversa. Físicamente lo que ocurre es que moverse a la derecha en el diagrama implica que el gas aumenta su volumen y hace

trabajo, mientras que decrece en la dirección contraria y ello se debe a un trabajo hecho desde afuera. Observe el proceso cíclico ilustrado en el siguiente diagrama PV:

Teniendo en cuenta que al realizar un ciclo completo, llene la siguiente tabla con

los signos , y con cero en cada una de las etapas indicadas:

Etapa

1 +

2 +

3

Explicación del problema: Con la ecuación de la Primera Ley de la Termodinámica apropiada (ver problema anterior) y el diagrama PV es fácil obtener los signos requeridos. Además del carácter de variable

de estado de también es clave no olvidar que el área bajo la curva del diagrama da la magnitud del trabajo realizado por el gas. Solución: De acuerdo con las variables que se utilizarán, la expresión adecuada para la primera Ley es:

En la primera etapa el trayecto que sigue el diagrama es paralelo al eje P y por lo tanto el área bajo este es nula. Automáticamente se tiene que ( ) . Luego, ( ) y

según lo indicado en la tabla debe ser positivo. La etapa 2 corresponde a un aumento del volumen a presión constante (proceso isobárico) y el área bajo la recta

asociada es igual a ya que el proceso se da hacia la derecha. Entonces,

( ) ( ) teniendo en cuenta que la tabla muestra que en esta parte la energía interna aumenta. Finalmente, la última etapa corresponde a un proceso en el que tanto el calor como la energía interna son completamente desconocidos. El cambio en la energía interna es cero

a lo largo de todo el ciclo y el trabajo total es debido a la contribución del área menos

(en esta parte el diagrama se recorre hacia la izquierda). Luego,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⇒ ( ) *( ) ( ) + ( )

Dado que ( ) y ( ) son mayores que cero entonces ( ) . Similarmente,

De este modo, la tabla completada es la siguiente:

Etapa

1 + 0 +

2 + + +

3 - - -

10. Momento de inercia de dos masas puntuales El momento de inercia es una magnitud física utilizada al estudiar el movimiento de rotación, la cual juega un papel análogo al de la masa en el movimiento lineal. Para un conjunto de masas puntuales este se define a través de la ecuación:

∑

donde es la masa de la partícula i-ésima y su distancia de separación al eje con

respecto al que se evalúa . Para tener más claro el concepto obsérvese la figura adjunta;

en esta se ve que corresponde a una longitud medida sobre una línea perpendicular al eje escogido.

Considere dos masas de 1Kg y 2Kg unidas por una varilla rígida de masa despreciable (masa igual a cero para efectos del cálculo) de longitud 2m. Si el momento de inercia con respecto a un eje que cruza la varilla y es perpendicular a la misma es igual a 2.75Kg.m2, determine a qué distancia se encuentra dicho eje de la masa de 1 Kg. Explicación del problema: En el caso de dos masas la ecuación general del momento de inercia se reduce a:

Reemplazando los datos proporcionados en el problema en esta expresión se llega a una ecuación cuadrática en la distancia incógnita, la cual conducirá naturalmente a la respuesta.

Solución: Para un eje que cruce perpendicularmente la varilla la suma de las distancias que lo separan de las masas debe ser igual a la longitud de la varilla:

⇒

Si m1=1Kg, m2=2Kg, entonces,

( ) ( )( )

( )

Agrupando los términos que tienen iguales potencias,

( ) ( )

⇒ ( ) ( )

A partir de la fórmula general que da la solución de las ecuaciones cuadráticas se obtiene:

( ) √( ) ( )( )

( )

√ )

Por lo tanto,

Esto significa que hay dos posiciones del eje para las cuales el momento de inercia es de 2.75Kg.m2.

MATEMÁTICAS BÁSICAS

6. TEMA: Descripción de movimiento Objetivos:

Emplear el manejo de ecuaciones de segundo orden. Estudiar el movimiento parabólico.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Conociendo algunos principios de la mecánica clásica es posible describir el comportamiento de los cuerpos con unas sencillas expresiones matemáticas.

a. Nombre del problema 1

Objetos en movimiento parabólico Explicación del problema En una planta de manufactura se requiere que un material, una vez terminado el proceso realizado en el área A, sea llevado al área B para continuar con la producción. Estos dos espacios de trabajo están separados y tienen una división de dos metros, además se necesita que el material esté lo más pronto posible en el otro lado, sin necesidad de instalar muchos componentes en el espacio para realizar esta operación. Por ello, los ingenieros han diseñado un mecanismo que lanza el material desde el área A hasta el área B. Este mecanismo permite lanzar el material a una velocidad de 8 m/s con un ángulo de 60° sobre la horizontal. Aún falta especificar cuál debe ser la altura desde la cual se realiza el lanzamiento, pero se sabe que el área B en la cual va a caer el material está a 0.8 m del piso. El esquema del espacio de trabajo de la situación planteada es el siguiente:

Solución El movimiento parabólico es una combinación de movimientos: movimiento uniforme a lo largo del horizonte (x) y otro uniformemente acelerado afectado por la gravedad sobre la vertical (y).

Partiendo de las ecuaciones de estos dos movimientos:

(1)

(2)

(3)

Despejando t de la segunda ecuación tenemos:

(4)

Y reemplazando en la 3:

(5)

( ) ( )

De la ecuación anterior se puede observar con claridad que la trayectoria que describe el objeto en el espacio es una parábola. Para el problema planteado, en el cual se requiere hallar la altura ( ) a la cual se debe realizar el lanzamiento para cumplir las condiciones de:

Reemplazando en la ecuación 5 se tiene:

Despejando tenemos:

√

7. TEMA: Fuerzas en Vigas Objetivos:

Introducir el manejo algebraico en la descripción de diagramas de momento flector.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: En resistencia de materiales se utilizan los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga a la cual se aplica unas cargas determinadas. Estos sirven para analizar las fuerzas internas a lo largo de la viga. Para el manejo de ello es necesario tener buenos conocimientos en el manejo expresiones algebraicas.

a. Nombre del problema 1

Máximo momento flector.

Explicación del problema

La siguiente curva describe el momento flector de una viga. Hallar cual es el máximo momento que soporta la viga y en que punto de ésta se da.

Solución Lo primero que se va a hacer es factorizar la expresión de momento M para identificar las partes de la parábola, debido a que el momento máximo se da en el vértice de esta cuerva.

Sabemos que:

( )

Es la ecuación general de la parábolo donde El vértice se ubica en ( ) Factorizando:

( ) Completando el cuadrado dentro del paréntesis sabiendo que ( )

Completamos sumando nueve dentro del paréntesis, pero como este esta multiplicado por -15 al otro lado de la igualdad se tiene que

sumar:

( ) Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

( )

De la ecuación anterior tenemos que el vértice es ( )

Esto quiere decir que el máximo momento que afecta la viga es 135 kN*m y se da en la mitad de la longitud de ésta.

8. TEMA: Estabilidad de sistemas Objetivos:

Aplicar el criterio de Routh-Hurwitz para hallar los valores de K que hacen estable el sistema.

Establecer la estabilidad de un sistema a partir de los polos de su ecuación característica

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Siempre que se trabajan en sistemas de control se quiere que estos sistemas sean estables. Según los polos de la ecuación característica se puede determinar la estabilidad de sistema. Por lo general esta estabilidad se cumple para un intervalo de parámetros.

a. Nombre del problema 1

Estabilidad del sistema

Explicación del problema Un sistema de control de segundo orden tiene la ecuación característica:

( ) ( )

Determinar para que valores de K el sistema es estable. Solución Para que un sistema sea estable los polos de la ecuación característica deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. Aplicando el criterio de Routh Hurwitz tenemos:

( )( ) ( )

La primera columna todos los términos deben ser > 0 entonces las condiciones para que el sistema sea estable son:

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

De las condiciones anteriores tenemos que el sistema es estable si y solo si: 3.6 < K < 5.54

b. Nombre del problema 1

Estabilidad del sistema

Explicación del problema Un sistema de control de tercer orden tiene la ecuación característica:

( )

Determinar los valores de K para los cuales el sistema es estable. Solución El criterio de Routh Hurwitz es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad de un sistema lineal inveriante en el tiempo. Este criterio prueba si cualquiera de las raíces de la ecuación característica se encuentra en el semiplano derecho del plano s.

Para el polinomio anterior se organiza una matriz como sigue:

Para que el sistema sea estable los coeficientes de la primera columna deben tener el mismo signo. Entonces para el problema planteado tenemos:

( )

Para el renglón se tiene:

Del renglón se puede plantear:

Factorizando: Multiplicamos y dividimos por 4

( )

( )( )

( )( )

Así tenemos que

Por lo tanto para que el sistema sea estable, ya que K no puede ser negativo:

CÁLCULO DIFERENCIAL

9. TEMA: Fuerzas en Vigas Objetivos:

Aplicar las derivadas para el estudio de las fuerzas y momentos presentes en una viga.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: En resistencia de materiales se utilizan los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga a la cual se aplica unas cargas determinadas. Estos sirven para analizar las fuerzas internas a lo largo de la viga. Para el desarrollo de estos diagramas se deben manejar conceptos como derivación e integración.

a. Nombre del problema 1

Fuerzas cortantes en vigas

Explicación del problema Dado el diagrama de momento cortante para una viga hallar el diagrama de fuerza cortante.

Solución Cuando una viga es sometida a cargas estás producen en ella unas fuerzas internas como respuesta a las cargas ejercidas. Estas se llaman fuerzas cortantes V, que dependen su magnitud y dirección del punto en la viga en el cual se estudie. También se presenta un

momento M, que se surge para balancear el momento de las cargas aplicadas. Las relaciones entre carga, fuerza conrtante y momento flector son:

Para el intervalo x < a donde:

( ) ( )

( )

En

( ) *

( )

(

*

+

( ) ( )

( )

( )

En

( ) ( )

( ) ( )

Entonces el diagrama del momento flector sobre la viga sería:

b. Nombre del problema 1

Fuerzas cortantes en vigas

Explicación del problema Dado el diagrama de momento flector, hallar la reacciones de los apoyos en los puntos extremos de la viga de longitud L.

Solución Siguiendo un procedimiento similar al del ejercicio anterior tenemos:

[

.

/

.

/

.

/

]

[

]

[

]

Evaluando la función anterior en V(0) y V(L) obtenemos las reacciones en los apoyos así:

( ) [

]

( ) [

]

(

*

10. TEMA: Limites-Sistemas en estado estable Objetivos:

Estudiar una aplicación de los limites Encontrar la respuesta de estado estable de un sistema

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Los sistemas de control se utilizan para asegurar que una determinada planta siga de la respuesta que uno quiera, siga una referencia. Estas plantas, que pueden ser un sistema mecánico, por ejemplo un amortiguador, o un filtro en electrónica, toman un tiempo en que el valor de su salida alcance la referencia deseada. Cuando ello ocurre se dice que el sistema sea estabilizado y para ello se debe mirar el sistema en un tiempo muy grande o un t que tiende a infinito.

a. Nombre del problema 1

Sistemas en estado estable. Explicación del problema

Para el sistema mostrado:

Se tiene que:

( )

( )( )

Hallar el erros en estado estable ess para una entrada rampa de magnitud 1 (R(s) =1/s2).

Solución El error para un sistema en el dominio de tiempo se define como:

( ) ( ) ( )

Donde r(t) es la señal de referencia y y(t) es la salida del sistema, la respuesta que da el sistema ante la entrada r(t). En control se busca que este error sea lo más cercano posible a 0 en un tiempo mínimo. Para hallar el error en estado estable se mira el error en un tiempo muy posterior, una vez el sistema se estabiliza después de haber ingresado al sistema la referencia r(t), esto quiere decir que:

( )

Cuando se tiene la función de transferencia del sistema, el error en estado estable en el dominio de s se define:

( )

( ) ( )

( )

Entonces tenemos para una entrada rampa ( )

. /

( )

( ( ))

( )

( )

Al límite de la expresión anterior se le denomina constante de error rampa o de velocidad kv

( )

El error en estado estable para una entrada rampa de magnitud R se define:

=>

En el problema plantea donde R=1.

[

( )( )]

( )( )

CÁLCULO INTEGRAL

11. TEMA: Centroide Objetivos:

Hallar áreas aplicando la integración. Aplicar las integrales para el cálculo de centroides.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: En el mundo real existen una gran cantidad de fuerzas que interactúan sobre los objetos, una de ellas es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra. Si dividimos un cuerpo en otros infinitesimalmente cada una de estas pequeñas divisiones estará sometida a dicha fuerza y la suma de todas ellas nos dará como resultado el peso del cuerpo. Para superficies descritas de forma matemática necesitamos de las integrales como sumas infinitesimales para hallar el centroide de determinadas figuras o distribuciones de carga.

a. Nombre del problema 1

Cálculo de centroides. Explicación del problema Para la hélice de un helicóptero mostrada en la siguiente figura, calcular su centroide.

Solución Si se considera una placa homogénea el punto en donde se puede concentrar todo el peso del cuerpo se define como centro de gravedad que por ser una placa homogénea coincide con su centro geométrico o centroide. La definición de este punto es la siguiente:

∫

∫

( ) Si lo vemos como una distribución de fuerzas, C sería el punto en donde se puede aplicar la suma resultante de todas las fuerzas teniendo el mismo momento respecto a un punto determinado. Para calcular el área tomamos un diferencial de área que vamos a ir variando sobre el eje x desde 0 hasta a, como lo muestra la figura:

∫

El área para esta área infinitesimal será la comprendida entre las dos curvas, su altura será entonces la resta de estas dos y al multiplicarla por su ancho infinitesimal dx obtenemos el diferencial de área.

(

+

La altura total será la suma de estas pequeñas divisiones que no es más que integrar el diferencial de área

∫

∫ ∫ (

+

∫

(

+ |

∫ ∫

(

+(

+

∫ (

+

(

+ |

∫

∫

b. Nombre del problema 2

Cargas distribuidas

Explicación del problema La distribución de una carga sobre una viga es la mostrada en la figura. Determinar la carga total ejercida sobre la viga.

Solución La carga total ejercida sobre la viga es igual al área bajo la curva de carga.

∫

∫

*

+

c. Nombre del problema 2

Cargas distribuidas y fuerzas en los apoyos

Explicación del problema Para la viga del ejercicio anterior hallar la reacción en los apoyos. Solución Se puede reemplazar una carga distribuida w por una carga concentrada W igual en magnitud al área A bajo la cuerva de carga y esta carga resultante será aplicada en el centroide C de dicha área.

Esta carga aplicada en dicho punto ejercerá los mismos efectos en los apoyos que si aplicamos la carga distribuida. Por lo anterior hallamos el centroide de la cuerva de carga siguiendo el mismo procedimiento llevado para hallar el centroide del punto punto de la hélice del helicóptero.

∫ ∫ .

/

*

.

/

.

/

.

/+

∫ ∫

.

/

*

.

/ (

) .

/+

De la solución al problema anterior tenemos que la carga total es:

∫

∫

Una vez tenemos la carga total y el punto en donde esta puede ser reemplazada, aplicamos las ecuaciones de estática. Para fuerzas:

∑

Y para momentos:

∑

ALGEBRA LINEAL

12. TEMA: Sistemas de control en variables de estado Objetivos:

Hallar las funciones de transferencia de un sistema a partir de su representación matricial

Mostrar la aplicación de las matrices en la descripción de sistemas

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo se pueden modelar describiéndolos mediante funciones de transferencia y ecuaciones dinámicas. Estas relacionan cómo se comporta un sistema de acuerdo a los valores de sus entradas y estado actual.

a. Nombre del problema 1

Función de transferencia de un sistema. Explicación del problema Hallar la función de transferencia del siguiente sistema dada sus ecuaciones de estado

( ) 0

1 ( ) 0

1 ( )

( ) , - ( )

Solución Un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede expresar con una serie de ecuaciones de estado que expresadas en forma de matriz tienen la siguiente forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) Donde x(t) es el vector de estados, u(t) el vector de entradas y y(t) será el vector de salida. Así, para el ejercicio planteado se tienen entonces 2 entradas al sistema y dos salidas. La función de transferencia para un sistema está dada por:

( ) ( )

Así lo primero que tenemos que hacer es hallar ( )

( ) ( )

( )

( ) 0

1 0

1 0

1

| | ( ) ( )( )

Recordando que:

Adj0

1 0

1

Tenemos entonces

( ) 0

1

Ahora

( ) , - 0

1 0 1

, - 0

1

Así:

( )

b. Nombre del problema 2 Estabilidad de un sistema de control Explicación del problema Comentar sobre la estabilidad del siguiente sistema en lazo abierto.

( ) 0

1 ( ) 0 1 ( )

( ) , - ( )

Solución La estabilidad de un sistema depende de los polos de su función de transferencia, o dicho de otra forma para que valores el denominador de la función de transferencia del sistema es cero. Por esta razón lo primero que tenemos que hacer es hallar la función de transferencia: Del problema anterior sabemos que:

( ) ( )

( ) ( )

( )

| | |

|

( ) 0

1

( ) , - 0

1 0 1

( )

Un sistema es estable si todos los polos de la función de transferencia están en el semiplano izquierdo. En este caso el sistema tiene dos polos en el origen (0) por lo tanto el sistema es inestable.

11. TEMA: MECANICA DE FLUIDOS

11.1. Principio de Arquímedes El Principio de Arquímedes es un famoso Principio Físico que establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza igual al peso del volumen que desaloja, la cual está dirigida en dirección contraria a su propio peso. Considere un fluido compuesto de dos capas de líquidos no miscibles como se muestra en

la figura adjunta y suponga que se sumerge una esfera de volumen y densidad

uniforme . Analice en qué región alcanzará el equilibrio la esfera (capa 1, capa 2 o

interface entre las dos) si y realice el cálculo correspondiente para ( ) y ( ) .

Explicación del problema: Para deducir en qué región se sitúa la posición de equilibrio no se requiere de cálculos explícitos sino de pensar hacia donde tenderá a moverse la esfera dependiendo de la densidad de la capa de líquido en la que se encuentre. Dicha tendencia estará determinada por la fuerza neta que actúe sobre esta, la cual resulta de la suma de su peso y de la fuerza ejercida por el fluido. Solución: En general, la fuerza total sobre la esfera está dada por:

( )

donde es la aceleración de la gravedad, el volumen sumergido en la capa 1 y el

sumergido en la capa 2. Nótese que la suma de los volúmenes y debe ser igual a

si la esfera está completamente sumergida y pueden tener cualquier valor entre cero y en caso contrario. En el caso considerado se tiene lo siguiente:

Si la esfera está situada en la capa superior ( ) su peso siempre superará la fuerza ejercida por el líquido y en consecuencia tendrá un movimiento hacia abajo:

( )

⇒ ( ) ( )

Si la esfera se encuentra en la capa inferior ( ) experimentará una fuerza neta hacia arriba y será impulsada en esa dirección:

( ) ( ) ( )

De esto se concluye que la esfera no puede permanecer en reposo en ninguna de las dos capas y por lo tanto debe alcanzar el equilibrio en la interface que las separa. En tal

situación y . Luego,

( ( )) ⇒

Si ( ) y ( ) se obtiene:

11.2. Principio de Pascal

El Principio de Pascal es una importante ley de la Mecánica de Fluidos aplicable a líquidos incompresibles en régimen hidrostático. Régimen Hidrostático significa que dichos líquidos se encuentran en reposo e incompresibilidad se refiere al hecho de que su densidad se mantiene constante en todo punto. Según este Principio, si se ejerce presión sobre una porción de un líquido que cumpla tales características esta es transmitida a todas las partes del mismo con igual magnitud en cualquier dirección. Para que esto suceda se requiere además que el líquido esté contenido en un recipiente de paredes indeformables. El Principio de Pascal es el fundamento físico en el que se basan las prensas hidráulicas. Estas aprovechan el hecho de que la presión es totalmente transmitida para multiplicar o reducir la acción de una fuerza (ver figura) de acuerdo con la siguiente ecuación:

siendo la fuerza que actúa sobre un área y la presión resultante.

Haciendo uso de esta ecuación deduzca cuál de las siguientes prensas hidráulicas es más efectiva, es decir, cuál de todas tiene el mayor efecto multiplicador de la fuerza.

Explicación del problema: En la figura se observa que en dos de las prensas se ejercen presiones intermedias entre la inicial y la final. Utilizando el Principio de Pascal se debe analizar cuál es el efecto de dichas presiones sobre el efecto neto de la prensa. Solución: A pesar de que no parece haber duda de que la prensa c) multiplica la fuerza y luego la reduce, entre las prensas a) y b) podría ser tentador afirmar que la b) multiplica más la

fuerza debido a una posible contribución del área intermedia . Sin embargo, basta utilizar la ecuación del planteamiento para verificar que en realidad ambas generan el mismo resultado. La fuerza intermedia en la prensa b) es:

⇒

Aplicando nuevamente la ecuación se obtiene la fuerza resultante:

⇒

Reemplazando la expresión para la fuerza intermedia,

(

*

Este es justamente el valor que se obtiene para la prensa a). Nótese que al final del cálculo el área intermedia se cancela ya que esta es en un caso el área inicial y en el otro el área final. Es sencillo demostrar que en cualquier caso la acción de la prensa hidráulica solo depende de las áreas de los extremos. De este modo, la fuerza resultante para la

prensa c) es de y se concluye que las prensas a) y b) son más efectivas; sin embargo, es claro que entre las dos la prensa a) debe ser mucho más sencilla de construir.

12. TEMA: ELEMENTOS DE CIRCUITOS

12.1. Resistencias en serie y en paralelo Un componente típico en los circuitos electrónicos es la resistencia. Esta cumple la función básica de presentar una oposición a la corriente que circula por el circuito, siguiendo la Ley de Ohm:

La anterior ecuación significa que para un voltaje aplicado , la corriente es

inversamente proporcional a la resistencia . En un circuito generalmente se tienen varias resistencias distribuidas en “serie” o en “paralelo”. El efecto total de todas las resistencias es el de una sola resistencia equivalente para la cual es válida la Ley de Ohm y se calcula del siguiente modo:

Resistencias en serie: ∑

Resistencias en paralelo:

∑

Demuestre que en un circuito con cierto voltaje aplicado y con resistencias, la corriente que resulta de colocarlas todas en paralelo siempre es mayor que la generada cuando todas se disponen en serie. Explicación del problema: Recordando que la corriente puede ser calculada a través de la Ley de Ohm con la resistencia equivalente, basta demostrar en cual caso dicha resistencia es menor para saber cuándo la corriente será mayor. La demostración puede efectuarse para el caso de solo 3 resistencias y siguiendo la misma idea generalizarla para un número arbitrario de estas. Solución: Para 3 resistencias en paralelo, despejando de la ecuación dada en el planteamiento se tiene:

⇒

La expresión obtenida se puede agrupar para reescribirse de la siguiente forma:

(

*

El término que queda entre paréntesis es menor que 1 puesto que el denominador es igual al numerador más dos sumandos que son positivos:

⇒

Por lo tanto, es menor que y obviamente también que ( y son

positivos). Pero , es decir, la resistencia resultante de la configuración en serie. Se concluye entonces que

⇔

⇔

⇔

denota la corriente asociada a las resistencias en paralelo e la correspondiente a

resistencias en serie.

12.2. Compuertas lógicas En Electrónica Digital es posible realizar operaciones lógicas utilizando circuitos que contienen ciertos elementos conocidos como compuertas lógicas. Los valores de verdad “falso” y “verdadero” son representados formalmente con los números 0 y 1 respectivamente y corresponden en la práctica a determinados valores de voltaje. Una compuerta lógica es un dispositivo electrónico que típicamente tiene dos entradas a las cuales llegan los voltajes 0 ó 1, y una salida que produce el resultado de una operación lógica (dicha salida también corresponde a ceros o unos para ser consistentes). La representación gráfica de las compuertas básicas y las operaciones que realizan se muestran en la figura a continuación:

Para cada posible valor de las entradas A, B y C calcule la salida del siguiente circuito lógico:

Explicación del problema: Para obtener las salidas del circuito se debe tener claro cuáles son las tablas de verdad asociadas a las operaciones “OR”, “NOT” y “AND”,. Con las dos primeras se hallan las salidas de las primeras compuertas y combinando estas la salida de la compuerta AND. Solución: En primer lugar, es conveniente tener claro todas las posibles combinaciones de entradas que se pueden dar. Dado que las entradas son 3 (A, B y C) y cada una puede contener

dos valores (0 ó 1), el total de combinaciones es: . La primera tabla muestra las salidas de las compuertas OR y NOT para cada combinación y la del medio el resultado de operar con la compuerta AND dichas salidas. De acuerdo con estas, la última tabla corresponde a la salida del circuito en cada caso.

A B C

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 1 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 1

1 1 1 1 0

( ) ( )

0 1 0

0 0 0

1 1 1

1 0 0

1 1 1

1 0 0

1 1 1

1 0 0

A B C ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

13. TEMA: SISTEMAS LINEALES

13.1. Respuesta de un Sistema Electrónico Lineal a una señal sinusoidal

Matemáticamente una trasformación lineal es una operación que cumple la siguiente propiedad con respecto a los elementos sobre los que actúa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En palabras, esto significa que la transformación aplicada sobre una suma de elementos es igual a la suma de las trasformaciones y que al aplicarla sobre el producto de una

constante por un elemento genera el producto entre dicha constante y la transformación. En la práctica un dispositivo que implemente una transformación lineal puede ser por ejemplo algún circuito electrónico que cumpla estas propiedades con elementos de entrada correspondientes a señales de voltaje. Suponga que se tiene un dispositivo de este tipo que efectúa la siguiente operación:

( ( )) ( ) ( ( )) ( )

y que además es lineal:

( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

Dicho dispositivo actúa sobre señales de voltaje sinusoidales que varían en el tiempo con

frecuencia .

Si , evalúe la señal de salida del dispositivo si la señal de entrada tiene la forma mostrada a continuación:

Explicación del problema: Dado que lo que se sabe es la acción del dispositivo sobre las funciones seno y coseno y no sobre una de estas funciones desplazada como es el caso de la señal de la entrada, es necesario tratar de expresar esta en términos de dichas funciones y aprovechar la propiedad de linealidad que posee el dispositivo. Solución:

De la figura se observa que la señal es la correspondiente a ( .

/* corrida 0.125 s

hacia la izquierda. Esto es:

(

( )* (

*

Utilizando la identidad trigonométrica asociada a la suma de dos ángulos se obtiene:

[ .

/ (

* .

/ (

*]

√

[ (

* (

*]

√

, ( ) ( )-

Por lo tanto, el voltaje de salida es:

( ) √

( ( ) ( ))

√

( ( )) ( ( ))

√

, ( ) ( )-

14. TEMA: CICLO DE CARNOT

14.1. Construcción del ciclo de Carnot El ciclo de Carnot es un ciclo Termodinámico en el que un sistema sufre transformaciones sometido a la acción de dos fuentes a temperatura constante. Para una máquina térmica que trabaje bajo este ciclo la fuente a mayor temperatura cumple la función de suministrar calor a esta, del cual una parte es convertida en trabajo útil y la otra es expulsada en forma de calor a la fuente de menor temperatura. El ciclo completo debe regirse por las leyes de la Termodinámica y la ecuación de estado particular del sistema que represente la máquina. En el caso del gas ideal, las ecuaciones que deben cumplirse son:

( ) ( )

En la primera ecuación es la variación de la energía interna del gas, la cual es debida a

calor que entre al gas y a trabajo realizado por este. En la ecuación de estado las

variables son la presión del gas, , el volumen que ocupa, , el número de partículas, , y

la temperatura absoluta ; es una constante conocida como constante de Boltzmann. La figura a continuación muestra la forma del ciclo de Carnot para el gas ideal.

A partir del estado inicial ( ) construya el ciclo de Carnot completo si mientras el

sistema se encuentra a temperatura el volumen se expande hasta . En otras

palabras, determine las coordenadas termodinámicas ( ) y ( ) , así como las

constantes y de las curvas que conectan las isotermas en función de y . Explicación del problema: Para solucionar este ejercicio lo más importante es determinar los puntos de corte entre los diferentes tipos de curvas que conforman el ciclo. Teniendo claro qué función matemática describe cada curva, de las ecuaciones que resulten en dichas intersecciones es posible despejar cada una de las incógnitas buscadas. Solución: Teniendo en cuenta la figura del problema la ecuación para el punto de corte ( ) se

deduce de la siguiente forma: La presión para la curva isoterma se puede despejar de la ecuación de estado:

Análogamente, de la curva adiabática de la derecha resulta:

En el punto de intersección estas presiones son iguales y por consiguiente,

⇒ ( )

El punto de corte ( ) se determina a partir de la intersección de la adiabática de la

derecha con la isoterma inferior:

⇒ (

*

Puesto que ya se conoce en función de entonces puede expresarse como función de esta variable:

( ) (

)

(

*

Realizando el mismo procedimiento con la adiabática del lado izquierdo se llega al siguiente resultado:

( )

( ) (

*

Los valores de y se hallan simplemente reemplazando los correspondientes volúmenes en la ecuación de estado:

(

*

(

*

14.2. Trabajo en el Ciclo de Carnot

La primera Ley de la Termodinámica es válida para cualquier sección del Ciclo, incluyendo

el proceso completo. En todo proceso de este tipo se cumple que al completarse

el ciclo. Adicionalmente, la energía interna de una gas ideal está dada por: .

/ ,

lo cual implica que solo depende de la temperatura. Usando esta información y la ecuación de la Primera Ley demuestre que el trabajo total realizado a lo largo de las curvas adiabáticas es nulo. Explicación del problema: Este problema se resuelve aplicando la Primera Ley de la Termodinámica al ciclo total y a cada una de las isotermas en conjunto con la ecuación para la energía interna. Solución: El cambio neto en la energía interna desde que el gas parte del estado ( ) hasta que

retorna al mismo es cero. Por lo tanto,

⇒

Esto significa que el trabajo total efectuado por el gas es igual al calor neto que consume

durante el ciclo. Por otro lado, se puede expresar como la suma de los trabajos realizados a lo largo de cada una de las curvas que constituyen el ciclo:

( )

y son los trabajos realizados por el gas al pasar por las isotermas y el término

entre paréntesis es la suma de los trabajos asociados a las curvas adiabáticas, es decir, el trabajo total asociado a dichas curvas.

Entonces, se debe demostrar que este término es nulo o equivalentemente que

es igual a . Por definición, las curvas isotermas son caracterizadas por una

temperatura constante. Luego, de la ecuación para la energía interna del gas se tiene que:

Aplicando la Primera Ley a estas curvas,

⇒

⇒

Sumando las ecuaciones obtenidas se verifica que:

teniendo en cuenta que en las adiabáticas no hay intercambio de calor. Luego,

( ) ⇔

14.3. Eficiencia del Ciclo de Carnot La eficiencia es una magnitud que mide qué tanto trabajo útil realiza una máquina en comparación con la energía que consume. En el caso de una máquina térmica, esta es igual a la razón entre el trabajo realizado y la cantidad de calor que se le suministra para tal fin:

Recuérdese que la fuente de mayor temperatura es la que proporciona calor a la máquina y este es según la notación que se ha venido usando. El trabajo generado a lo largo

de una isoterma del gas ideal está dado por:

(

*

siendo y los volúmenes final e inicial respectivamente.

Utilizando esta ecuación y teniendo en cuenta los resultados de los ejercicios 14.1 y 14.2

calcule la eficiencia del Ciclo de Carnot en términos de y . Explicación del problema: Basta con expresar y en función de los trabajos asociados a las isotermas y usar la

ecuación del planteamiento para llegar al resultado que se pide.

Solución: De acuerdo con el anterior problema, y . Entonces,

Se sabe que y son los trabajos correspondientes a las isotermas. Por lo tanto,

observando la figura del problema 14.1,

(

* (

*

⇒

( )

( )

Por otra parte, en este mismo problema se llegó a que

(

*

(

*

⇒

Luego,

( )

( )

( )

( )

14.4. Interpretación de la Eficiencia De acuerdo con la expresión para la Eficiencia hallada en el anterior punto, realice una

gráfica de como función de

. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función? ¿Cómo se

puede asociar este resultado a la definición original,

?

Explicación del problema: Hay dos cuestiones fundamentales a considerar en este caso: que y son

temperaturas absolutas y que . Solución:

El dominio de está representado por los valores que puede tomar

. Definiendo esta

variable como ,

⇒

ya que tanto como son mayores que cero. Además, es menor que 1 puesto que

es más pequeña que . En conclusión,

( ) ( ) La gráfica de ( ) es pues la recta restringida al intervalo ( ):

Según esta gráfica el rango de la Eficiencia es igual a su dominio. El hecho de que sea siempre mayor que cero significa que independientemente de las condiciones particulares del ciclo de Carnot el trabajo efectuado, , será siempre positivo dado que lo es.

La cota superior de 1 implica que este trabajo es menor que el calor suministrado a la máquina por lo que este nunca podrá aprovecharse totalmente sino que una parte se gastará en la fuente de menor temperatura. 15. Movimiento parabólico En cinemática el movimiento parabólico se presenta como una superposición de un movimiento a velocidad constante y uno uniformemente acelerado. Este tiene especial interés cuando se quiere analizar la trayectoria descrita por un objeto que se mueve bajo la acción de la fuerza de gravedad y posee una componente de velocidad paralela a la superficie terrestre, no nula. Si se desprecia la fuerza generada por la fricción con el aire resulta que efectivamente dicha trayectoria tiene la forma de una parábola, esto es, la distancia horizontal y la altura recorridas se relacionan por medio de una ecuación de la forma:

( )

Las ecuaciones cinemáticas que describen el movimiento parabólico son las siguientes:

( ) ( )

( ) ( )

Las variables implicadas se representan en la siguiente figura. es la aceleración de la

gravedad, el tiempo transcurrido desde que da inicio el movimiento y ( ) la velocidad

final a lo largo del eje .

Pruebe a partir de las anteriores expresiones que y se relacionan a través de la ecuación de una parábola. Deduzca la altura máxima alcanzada y verifique que esta es igual a la obtenida por medio de las ecuaciones cinemáticas. Explicación del problema:

Nótese que la variable tiempo aparece tanto en como en y es esta la que permite

relacionarlas. Un paso necesario es completar cuadrados en la ecuación para . Solución:

Despejando de la expresión para y sustituyendo en ,

( ) ⇒ ( )

( )

(

( ) *

( )

( )

( )

Ahora se lleva a cabo la compleción de cuadrados:

,

( )

( )

( ) - 2

( )

.√

( )

/.√( )

( )

( ) /3

0√

( )

√( )

( )

( ) 1

( )

(( )

( ) )

De este modo se demuestra la relación buscada. El signo menos en el paréntesis cuadrado indica que la parábola abre hacia abajo tal como se muestra en la figura al comienzo. Por lo tanto, la altura máxima corresponde a la coordenada vertical del vértice de dicha parábola:

( )

(( )

( ) )

( )

Utilizando las ecuaciones cinemáticas se tiene que la altura máxima se alcanza cuando la velocidad final a lo largo del eje vertical es cero:

( ) ⇒ ( ) ⇒ ( )

Reemplazando este valor de en la expresión para la altura se obtiene:

( ) ( )

(( )

)

( )

con lo cual queda comprobado que las alturas máximas encontradas por ambos métodos son iguales.

6. TEMA: Esfuerzos en el plano Objetivos:

Introducir conceptos sobre resistencia de materiales Aplicar herramientas de matemáticas básicas para hallar esfuerzos en

materiales.

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Cuando se realiza el diseño de una viga se debe identificar el punto crítico en donde se presenta las mayores cargas luego hay que analizar en este punto de forma infinitesimal para ver cuáles son los esfuerzos máximo y mínimos a los cuales está sometido y determinar de esta manera un factor de seguridad para que no falle.

a. Esfuerzos principales

Explicación del problema Para el estado de esfuerzos planos de la figura determinar los esfuerzos principales.

Solución Los esfuerzos principales son los esfuerzos máximos y mínimos que actúan sobre el elemento estos se hallan por medio de rotación de coordenadas. Para un caso bidimensional como el ejercicio planteado los esfuerzos principales son los valores propios de:

Podemos tenemos que :

Por ser un estado de esfuerzos bidimensional seran la solución a la ecuación anterior:

√(

*

√(

*

Así para el estado de esfuerzos planteado tenemos:

√(

*

√( )

√(

*

b. Esfuerzos cortante máximo

Explicación del problema Para el estado de esfuerzos planos de la figura anterior determinar el esfuerzo cortante máximo y su esfuerzo normal correspondiente. Solución

√.

/

O también se puede escribir como:

Entonces tenemos:

( )

El esfuerzo normal correspondiente a este máximo esfuerzo cortante es:

7. TEMA: Optimización

Objetivos:

Optimizar parámetros de diseño Demostrar una aplicación de las derivadas en la optimización de

problemas mecánicos

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Es frecuente en el diseño querer minimizar o maximizar ciertos parámetros como volumen, máxima capacidad, reducción de material de fabricación, minimizar costos, para ello hay que tener en cuenta como depende una variable de la otra, planteando una función que relacion estos parámetros que se quieren optimizar.

a. Cámara de secado

Explicación del problema Para el diseño de una cámara de secado de frutas se busca optimizar su área superficial haciendo esta lo más mínima posible pero cumpliendo un volumen de 1 m3. La cámara de secado por otros criterios de diseño se ha decidido hacer de forma cilíndrica. Solución

El área superficial de la cámara la podemos expresar como el área lateral que es, el perímetro de su base por la altura, más el área de sus bases:

El volumen de la cámara es:

Despejando h

Se puede reescribir el área superficial dejándola toda en términos del radio:

( ) (

*

Como se desea optimizar As se deriva la expresión anterior e igualamos a cero.

[

]

[

]

*

+

Para comprobar si es un máximo o un mínimo aplicamos la segunda derivada si esta da mayor a cero quiere decir que es un mínimo.

[

]

[

]

0

1

, -

Se comprueba que es un mínimo Por lo tanto:

Y para h:

b. Resistencia de Vigas

Explicación del problema Para la construcción de una estructura se requiere diseñar unas vigas lo más resistentes posibles pero la sección transversal de estas deben quedar inscritas en una circunferencia de diámetro 10’’. Determinar cuáles son las dimensiones de la viga de sección transversal con mayor resistencia que se puede optener Solución La resistencia (R) de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su ancho (a) por el cuadrado de su altura (h). Es decir:

Donde k es una constante.

De la figura de arriba se puede apreciar aplicando pitagoras:

Sustituyendo en la expresión anterior tenemos

( ) ( ) ( )

( )

Al igualar a cero:

( )

√

(

√ *

√

c. Calentador de agua

Explicación del problema La cámara de un calentador de agua se realizará de forma cilíndrica usando para ello bases de cobre y lados de hojalata Teniendo en cuenta que el cobre cuesta 5 veces lo que cuestas la hojolata, determinar la razón entre radio y altura que hace que el costo sea mínimo para un volumen (V) dado. Solución

El costo total será

Siendo ch el costo de hojalata por unidad de área

( ) ( ) Sustituyendo h en la expresión anterior para obtener una función en términos de r.

( ) ( ) (

*

( )

Derivando e igualando a cero:

√

Entonces h es:

(√

)

d. Diseño de bandejas

Explicación del problema Solución

e. Diseño de bandejas Explicación del problema Solución

8. Máximos y mínimos

a. Objetos en movimiento parabólico Explicación del problema Para el problema de la planta de manufactura. Se vuelve a poner el enunciado. En una planta de manufactura se requiere que un material, una vez terminado el proceso realizado en el área A, sea llevado al área B para continuar con la producción. Estos dos espacios de trabajo están

separados y tienen una división de dos metros, además se necesita que el material esté lo más pronto posible en el otro lado, sin necesidad de instalar muchos componentes en el espacio para realizar esta operación. Por ello, los ingenieros han diseñado un mecanismo que lanza el material desde el área A hasta el área B. Este mecanismo permite lanzar el material a una velocidad de 8 m/s con un ángulo de 60° sobre la horizontal. El lanzamiento se realiza desde una altura de 1.43 m y el área B en la cual va a caer el material está a 0.8 m del piso. Al realizar el cálculo los ingenieros no tuvieron en cuenta la altura máxima que podría alcanzar el objeto, es necesario hallarla para determinar si la operación podría causar daños en las instalaciones. Solución Del punto desarrollado anteriormente de este ejercicio en el que se encontró la altura inicial tenemos que:

( ) ( )

Derivando esta expresión respecto a x considerando a

:

Para verificar si este punto pertenece a un máximo:

Por lo tanto en este punto hay un máximo. Así suponiendo xo=0

(

)

(

)

Para este ejercicio se tiene:

b. Máxima distancia Explicación del problema Se tiene configurado un sistema de lanzamiento de piezas para agilizar el proceso de producción con extrema precisión desde un área de la fábrica hasta la otra. Estos espacios se piensan separa aun más de lo que ya están. Las piezas se lanzan desde un artefacto a una velocidad de 8 m/s desde el nivel del piso. Cuál es el ángulo con el que se deben lanzar para obtener la distancia máxima. La trayectoria que describe el objeto es una parábola y por lo tanto del ejercicio anterior podemos plantear. Que la distancia máxima Xmáx=2x siendo xo=0=yo=0

(

)

Para

( )

Derivando:

( )

Igualando a 0:

( )

( )

9. Dinámica a. Velocidades instantáneas elementos.

Explicación del problema

El elemento A se desplaza con una velocidad constante de 6m/s sobre el eje horizontal, este está asociado al elemento B que se desplaza sobre el plano vertical. Determinar cuál es la velocidad de B para el instante mostrado en la figura. Solución La longitud del eslabón que une a los dos collarines es

Por pitagoras se plantea:

Esto se cumple para cualquier punto en el que se encuentre A y B.

Realizando derivación implícita en la ecuación de arriba respecto al tiempo tenemos.

Como

es la velocidad del collarín A, y

es la velocidad del

collarín B podemos escribir

Entonces para el instante dado:

Esta velocidad es la misma que el collarín a solo que sobre el eje B y en sentido opuesto, una pequeña demostración matemática de lo que por intuición podríamos haber esperado.

b. Velocidades instantáneas Explicación del problema

En la configuración mostrada la barra C gira con un velocidad angular

constante haciendo que el elemento collarín A se deslise sobre esta

y a su vez la barra B gira. Determinar la velocidad con la que se desplaza el collarin sobre la barra c para un x dado.

Solución

Planteando las ecuaciones trigonométricas, siendo el angulo interno que forma la barra B:

Derivando respeto al tiempo:

( )

Entonces tenemos que

( )

Y estaría definida por.

Bibliografía [1] Beer, Ferdinand y Johnston, Rusell Mecánica Vectorial Para Ingenieros: Dinámica, Editorial Mc Graw Hill, México, 2007

[2] Beer, Ferdinand y Johnston, Rusell Mecánica Vectorial Para Ingenieros: Estática, Editorial Mc Graw Hill, México, 2007

[3] Craig, Introducción a la Robótica, Editorial Pearson, tercera edición.