ejercicios-esponda-unido

Estadística y Probabilidades

INDEPENDENCIA

PROBLEMA 2Se entrevistó a 120 personas que visitaron B&B, una nueva tienda por departamentos, durante el fin de semana pasada. Se sabe que fueron entrevistados 84 mujeres y que 30 de las personas entrevistadas tenían la tarjeta de crédito de la tienda; también se sabe que un tercio de los hombres tenían la tarjeta de crédito de la tienda.

si tarjeta no tarjeta totalhombre 12 24 36mujer 18 66 84total 30 90 120

a. Calcule la probabilidad de que una de las personas entrevistadas, elegido al azar, sea mujer o tenga tarjeta de crédito de la tienda.

A= sea mujerB=si tarjeta P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩B)P (AUB) =0.7+0.125-0.15P (AUB) =0.675

b. Se selecciona uno de los entrevistados al azar y se verifica que tiene la tarjeta de crédito de la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente entrevistado sea mujer?

P (mujer/si tarjeta)=18/30=0.6

c. Sean los eventos H= el cliente seleccionado es hombre y T= el cliente seleccionado tiene tarjeta de crédito de la tienda. Son H y T eventos independientes? Justifique claramente su respuesta.

P (H ∩ T) =P (H) x P (T)P (H) =0.3P (T) =0.25P (H ∩ T) = 0.10.3x0.25 ≠ 0.10.75 ≠ 0.1No son independientes.

PROBLEMA 3

Durante el primer año de uso un amplificador de radio puede repetir 3 tipos de reparaciones y las probabilidades correspondientes son 0.05, 0.04 y 0.02 ¿Cuál es la probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparación durante su primer año de uso? Cada tipo de reparación es independiente de los 2.

Reparación ProbabilidadTipo 1 0.05Tipo 2 0.04Tipo 3 0.02


El amplificador puede requerir reparación de cada uno de los tipos, de 2 de ellos o de todas las probabilidades respectivas serán:

Tipo 1:

x= 0.050.05+0.04+0.02

=0.45

Tipo 2:

x= 0.040.05+0.04+0.02

=0.36

Tipo 3:

x= 0.020.05+0.04+0.02

=0.19

Tipo 1 y 2:

x= 0.05+0.040.05+0.04+0.02

=0.81

Tipo 1 y 3:

x= 0.05+0.020.05+0.04+0.02

=0.63

Tipo 2 y 3:

x= 0.04+0.020.05+0.04+0.02

=0.54

Tipo 1, 2 y 3:

x=0.05+0.04+0.020.05+0.04+0.02

=1

PROBLEMA 4

LAN Perú tiene 5 vuelos diarios de Lima a Chiclayo. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.2

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy?Aplicamos P (0)=0.32768

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los dos vuelos llegue tarde hoy?Aplicamos P (0)=0.4096

PROBLEMA 5Una compañía desea actualiza su sistema de computación y una parte importante de la actualización es un sistema operativo. La compañía ha pedido a un ingeniero que evalué el sistema operativo. Suponga que la probabilidad de una evaluación favorable es 0.65. Si la probabilidad de que la compañía actualice su sistema dada una evaluación favorable es 0.85,¿ cuál es la probabilidad de que la compañía actualice su sistema y reciba una evaluación favorable?A=favorableB=actualiceP (A ∩ B) =P (A)x P(B/A)=0.65x0.85=0.5525


PROBABILIDAD CONDICIONAL PROBABILIDIDAD TOTAL DE BAYES

PROBLEMA 1

En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencia el 60% son varones y los de letras son varones el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que:

0.6 varónCiencias

0.7 0.4 Mujer

Estudiantes 0.4 varón

0.3 Letras

0.6 Mujer

a. Sea una estudiante varónP (Varón)=0.54

b. Sea un estudiante varón si es de cienciasP (Varón/ciencias)=0.6

c. Sea un estudiante de ciencias, si es varónP (ciencias /varón)= 0.78

d. Sea un estudiante de ciencias y varónP (Ciencias ∩Varón)=0.42

PROBLEMA 2 Si se eligen al azar 2 artículos de un cargamento de 250, de los cuales 20 están defectuosos. Halle la probabilidad de que ambos estén defectuosos si:

a) La selección es sin reemplazob) La selección es con reemplazo

a) Para el primer artículo:

P (1 )= 20250

=0.08

Luego, para el segundo artículo (considerando que no hay reemplazo):

P (2 )= 19249

=0.076


La probabilidad será:

P (a )=P (1 )∗P (2 )=0.08∗0.076=0.00608

a) Para el primer artículo:

P (1 )= 20250

=0.08

Luego, para el segundo artículo (considerando que hay reemplazo):

P (2 )= 20250

=0.08

La probabilidad será:

P (a )=P (1 )∗P (2 )=0.08∗0.08=0.0064

PROBLEMA 3

Un hombre tiene 2 carros viejos, A y B estos tienen problemas para arrancar las mañanas frías. La probabilidad de que ambos arranquen es 0.1; la probabilidad arranca B y A no es de 0.2, la probabilidad que ninguno de ellos arranque es 0.4. Hallar la probabilidad que:

a. El carro A arrancaA: “El carro a arranca” B: “El carro b arranca” P [A∩B] = 0.1 P [A’∩B] = 0.2 P [A’∩B’] = 0.4 A’ = (A’∩B) U (A’∩B’) P [A’] = P [(A’∩B) ∪ (A’∩B’)]=0.2 + 0.4 = 0.6 Ya que los eventos A’∩B y A’∩B’ son mutuamente excluyentes. Luego: P [A] = 1 – P [A’] =1 - 0.6 = 0.4

b. Arranca A, dado que arranco B

Debemos calcular antes P [B]. Observe que B = (A∩B) ∪ (A’∩B), P [B] = (A∩B) ∪ (A’∩B) = 0.1 + 0.2 = 0.3 Ya que los eventos A∩B y A∩B son mutuamente excluyentes. Entonces:P [A/B]= P [A∩B]/P[B]=0.1/0.3=0.333

c. Arranca B, dado que A no arranco

P [B/A’]= P [A’∩B]/P[A’]=0.4/0.6=0.6667

PROBLEMA 4Los registros de una planta industrial indican que el 12% de todos los obreros lesionados ingresan a un hospital para recibir tratamiento, el 16% regresa al día siguiente y el 2% ingresan a un hospital pero vuelven al trabajo al día siguiente. Si un obrero se selecciona:


a. Halle la probabilidad que ingresara en un hospital para recibir tratamiento o que regresara al día siguiente.A: ingrese a un hospitalB: regrese al trabajo al día siguienteP (AUB)=0.12+0.16-0.02=0.26

b. Calcule la probabilidad de que ingrese a un hospital pero no regrese al trabajo al día siguienteP (ingrese/no regrese)=0.83

c. Determine la probabilidad de que ingrese a un hospital ni regrese al trabajo al día siguienteA: ingrese a un hospitalB: no regrese al trabajo al día siguienteP (A∩B)=0.1

d. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a un hospital o no regrese al trabajo al día siguiente?A: ingrese a un hospitalB: no regrese al trabajo al día siguienteP (AUB)=0.12+0.84-0.10=0.86

PROBLEMA 5Una cadena de hoteles está estudiando la posibilidad de abrir un nuevo hotel en cuzco, para tener una decisión definitiva la gerencia considera de gran importancia que el banco el crédito le apruebe el prestamos que esta solicitando, la probabilidad de abrir un nuevo hotel es de 0.9; contrariamente, si no recibe es prestamos, la probabilidad de abrir un nuevo hotel es de 0.2 la presidencia estima que la probabilidad de recibir el préstamo es 0.6.Encuentre:

a. La probabilidad que la cadena de hoteles instale el nuevo hotel en el cuzcoP [Nuevo]=0.6x0.9+0.4x0.2=0.62

b. Se sabe que el hotel de cuzco fue abierto. ¿cuál es la probabilidad que haya recibido el préstamo?P[prestamos/nuevo]=0.54/0.62=0.87

PROBLEMA 6

Los administradores de ventas Juan, Cesar y Edgar estiman los costos de 30%, 20% y 50% respectivamente, de todos los trabajados licitados por una compañía. Las probabilidades de cometer error grave, al estimar el costo, de los ingenieros son: 0.01, 0.03, 0.02 respectivamente.

0.3 juan0.1 error

0.99 no error

0.2 cesar0.03 error

0.97 no error


0.5 edgar 0.2 error0.98 no error

a) Halle la probabilidad de que el error grave sea de Juan al estimar el costo de licitación.

P ( juan /error )= 0.3∗0.010.3∗0.01+0.2∗0.03+0.5∗0.02

=0.16

b) Si una licitación en particular se incurre en un error grave al estimar los costos del trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero 2 haya cometido el error?

P (cesar /error )= 0.2∗0.030.3∗0.01+0.2∗0.03+0.5∗0.02

=0.32

c) Si en una licitación en particular no se incurre en un error grave al estimar los costos del trabajo ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero 3 haya hecho el trabajo?

P (c )= 0.5∗0.980.3∗0.99+0.2∗0.97+0.5∗0.98

=0.49

PROBLEMA 7Suponga que las maquinas A,B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20%, del número total de artículos producidos por la empresa ETERNIT, y que los porcentajes de unidades defectuosas producidos por estas máquinas son:3%,4% y 5% respectivamente. Si se elige un artículo al azar y no es defectuoso. Hallar la probabilidad que haya sido producido por la maquina A.

P( Anodefectuoso )= 0.5∗0.97

0.3∗0.96+0.5∗0.97+0.2∗0.95=0.5036

PROBLEMA 8Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de lima. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que unes este sector con el centro de la ciudad. Si el municipio aprueba esta autopista, hay una posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de 0.2. Basándose en la información disponible, el presidente de la Cia estima que hay una probabilidad de 0.6 que la autopista sea aprobada.

Sean los eventos:A: la autopista es aprobadaB: el centro comercial es construido


a. ¿cuál es la probabilidad que la compañía construya el centro comercial?P (B) = P (A) P (B/A) + P (A’) P (B/A’)P (B)=0.6x0.90+0.40x0.20=0.62

b. Dado que el centro comercial fue construido, ¿cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada?P(A/B)=(0.6x0.9)/0.62=0.87

PROBLEMA 9

La CIA ensambladora de automóviles CAR-PERU, se ha presentado a una licitación, para ensamblar un Nuevo modelo de automóvil. La probabilidad que CAR-PERU gane la licitación es 0.90 si una firma competidora MOTOR ANDINO no se presente a ella; en tanto que es de solo 0.2 si MOTOR ANDINO se presenta. El gerente general de CAR-PERU estima que hay una probabilidad de 0.80 que MOTOR ANDINO se presente.

M: MOTOR ANDINO presente licitaciónM’: MOTOR ANDINO no presente licitaciónC: CAR -PERU gane

a) ¿Cuál es la probabilidad que CAR-PERU gane la licitación?P (C)=P (M) x P(C/M)+ P (M’) x P (C/M’)=0.8x0.2+x0.2x0.9=0.34

b) Dado que CAR-PERU ganó la licitación ¿Cuál es la probabilidad que MOTOR ANDINO se haya presentado a ella?P (M/C)=0.2x0.8/0.34=0.47

PROBLEMA 10 Los registros de los delitos en una cuidad muestran que 20% de ellos son violentos y 80% son no violentos. Se señala también que son denunciados 90% de los delitos violentos y solo el 70% de los delitos no violentos.

a) Estime la proporción global de delitos que se denuncian en la cuidad, es decir, calcule la probabilidad de que un delito sea denunciado en esta ciudad.

b) Si no se denuncia un delito ante la policía, ¿cuál es la probabilidad de que el delito sea violento?


SOL

a) Usando el teorema de Bayes:

P (a )=0.2∗0.9+0.8∗0.71

=0.74

b) Usando el teorema de Bayes:

P (b )= 0.2∗0.10.2∗0.1+0.8∗0.3

=0.077

PROBLEMA 11Es una fábrica de motores hay 3 máquinas para pistones. La máquina A produce el 50% de los pistones; la maquina B el 32% y la maquina C el resto. Se ha observado que el 7% de los pistones producidos por la maquina A salen afuera de especificaciones, al igual que el 8% de los producidos por la maquina B, y el 6% de los producidos por la maquina C. si seleccionamos al azar un pistón del lote general de producción de las tres máquinas ¿Cuál es la probabilidad de que este fuera de especificaciones?

P ( fuera )=0.5 x0.07+0.32x 0.08+0.18 x 0.06=0.1086

PROBLEMA 12En una línea de inspección, un supervisor, escoge las piezas las cuales deben pasar por una inspección completa, el 12% de todos los artículos producidos son defectuosos; 56% de todos los artículos defectuosos y 30% de los no defectuosos pasan por una inspección completa ¿cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que paso por una inspección completa?

P( defectuosopasainspeccion )= 0.12 x 0.56

0.12x 0.56+0.88 x 0.30=0.2

PROBLEMA 13

TC. Fox, gerente de comercialización de la productora de películas Metro-Goldmine Motion, cree que el próximo estreno de los estudios tiene 60% de posibilidades de ser un éxito de taquilla, 25% de conseguir un éxito moderado y 15% de ser un fracaso. Para probar la inspección, los espectadores califican la película en una escala del 1 al 10. Se du larga experiencia en la industria cinematográfica. T.C , sabe que 60% de las veces una película de gran éxito recibirá calificación de 7 o mayor; 30% de las veces, obtendrá calificaciones de 4,5 o 6 y 10% de las veces recibirá una calificación de 3 o menor. Para una película de éxito modera, las respectivas probabilidades son 0.30 ,0.45 y 0.25, para una película sin éxito, las probabilidades son 0.15, 0.35 y 0.50, respectivamente.

a) Si en la primera proyección de prueba se tiene un resultado de 6, ¿cuál es la probabilidad de que la película tengan gran éxito?

P( granexito6 )= 0.3x 0.600.3 x0.6+0.45x 0.25+0.15 x 0.35

=0.5217

b) Si la primera proyección de prueba produce un resultado de 6 y la segunda de 2, ¿cuál es la probabilidad de que la película sea un fracaso (suponiendo que los resultados de cada proyección son independiente entre sí)?


Primera proyección:

P( fracaso6 )= 0.35 x0.150.3 x 0.6+0.45 x0.25+0.15 x0.35

=0.152

Segunda proyección:

P( fracaso2 )= 0.5 x0.150.6 x 0.1+0.25 x0.25+0.15x 0.5

=0.3797

Ejercicios1. En un salón de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar

¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

P(X)=1232

2. En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo el resto. Si se elige una de las personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

P(x)=2860

3. En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona esta no sea mujer?

P(x)=1230

4. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

P(x)=31000

Probabilidad con eventos complementarios5. Se lanza dos veces una moneda ¿Cuál es la probabilidad de no obtener dos caras?

P(x)=34

6. De un grupo de 40 alumnos las notas de estadística tienen la siguiente distribución

Notas Hasta 2.0 Entre 3.0 y 3.9 Entre 4.0 y 7.0Cantidad de alumnos 2 8 30

Al elegir un alumno del curso al azar, la probabilidad de que no tenga una nota entre 3.0 y 3.9 es:

P(x)=3240

7. En un curso de 50 alumnos las notas de inglés tienen la siguiente distribución


notas Hasta 2.9 Entre 3.0 y 3.9 Entre 4.0 y 7.0Cantidad de alumnos 15 10 25

Al elegir un alumno del curso al azar, la probabilidad de que no tenga una nota entre 3.0 y 3.9

P(x)=4050

8. Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es 0.89 ¿Cuál es la probabilidad de que no cometa el penal?P(x)=1- 0.89=0.11

Probabilidad de unión de eventosEventos excluyentes

9. En la tabla adjunta, X representa el número de hijos por familia en un grupo de 20 familias elegidos al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia ¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos?

x 0 1 2 3N° de familias 9 6 3 2

P(x)=620

+ 320

= 920

10. En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea verde o naranja?

P(x)=39+ 49=79

11. Se tienen una tómbola con bolitas numeradas de 10 al 25. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números obtenidos sea par?

P(x)=715

12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 5 o 7 al lanzar simultáneamente dos dados?

P(T)=P(5)+P(7)=436

+ 636

=1036

13. Se lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya suma será 5 o 12

P(T)=436

+ 136

= 536

14. Al lanzar un dado rojo y uno azul. ¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje sea menor que 4 o mayor que 11?

P(T)=236

+ 236

= 436

15. Al lanzar dos dados comunes ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 como mínimo, en la suma de los puntos de una sola tirada?

P(T)=636

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