ejercicios ecuaciones diferenciales

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ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4 GUIA UNIDAD 5

GUÍA DE TRABAJO

Asignatura : ECUACIONES DIFERENCIALES Código: 5799

Unidad 5: Transformada de Laplace

Guía No. 5/5 Tiempo estimado para desarrollo :

Autor de la Guía: Freddy Tello Revisado por :ICFM

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Usar la definición de transformada de Laplace para funciones discontinuas.

Verificar condiciones de existencia de la transformada de una función.

Usar tablas para encontrar la transformada de Laplace de funciones simples.

Aplicar los teoremas de valor inicial y valor final.

Usar las propiedades de linealidad para encontrar las transformadas de Laplace.

Obtener la transformada de primera y segunda derivadas.

Invertir una transformada usando tablas y fracciones parciales.

Resolver problemas de valor inicial usando transformada de Laplace.

Comparar este método de solución con el método de función. complementaria/integral particular.

Obtener la función de transferencia de un simple sistema lineal invariante en el tiempo.

Determinar la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero.

Usar los teoremas de traslación para encontrar la transformada de Laplace.

Usar la función escalón unitario en la definición de funciones por partes o discontinuas.

Usar el teorema de "multiplicar por t" para encontrar derivadas de una transformada.

Aplicar el teorema de la convolución.

Encontrar la transformada de una integral.

Resolver ecuaciones integro-diferenciales.

Determinar la transformada de funciones periódicas.

Conocer la transformada de Laplace de la función impulso unitario.

Obtener la respuesta al impulso de un sistema simple.

1. PREREQUISITOS

Los temas necesarios para esta unidad son :

Integrales impropias Tipos de discontinuidad de funciones Gráficas de funciones por partes Representación matemática de funciones por partes Funciones periódicas Descomposición en fracciones parciales Todos los conceptos revisados en la Guía de Aprendizaje de las unidades 3 y 4.

2. MATERIAL DE APOYO

AUTOR: ZILL DENNIS G,; CULLEN, MICHAEL R. TITULO: “Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera / Cengage Learning. Mexico 7ma. edición . 2009.

Tabla de integrales y fórmulas extraída del texto

Software matemático

Calculadora con CAS

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ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4 GUÍA UNIDAD 5

3. ACTIVIDADES ESPECÍFICAS

Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en

clase. Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada

etapa del desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados.

Análisis crítico de los ejercicios desarrollados. 4. METODOLOGÍA DE TRABAJO

El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje.

En clase los estudiantes organizan equipos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta

El docente realiza el control de desarrollo de guías y califica en clase según la rúbrica de evaluación y si no termina el grupo de desarrollar completamente la guía, entonces entregará la parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesión.

5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)

Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesión como preparación para el estudio de la unidad 5. Esta tarea extraclase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad 5.

5.1 Representar gráficamente la siguiente función por partes :

= 0 ≤ < 12 − ≥ 1

5.2 Grafique las siguientes funciones e indicar que tipo de discontinuidad tienen :

a) =

b) = ln − 4

c) =

5.3 Hallar una representación matemática de la siguiente gráfica :

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

1

2

3

4

5

t

f(t)

3


5.4 Graficar la siguiente función periódica :

= cos4 0 ≤ < 0 ≥

+ = 5.5 Hallar una representación matemática de la siguientes gráficas :

a)

b)

5.6 Descomponer en fracciones parciales las siguientes expresiones : a)

b)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

t

f(t)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1

1

2

t

f(t)

4


c)

5.7 Resolver las siguientes integrales e indicar el intervalo de convergencia.

a) ∙ "

b) ∙ cos3 "

c) ∙ " + ∙ 2 − "$$

d) ∙

" 6. ACTIVIDADES A DESARROLLAR

AC1 Determine la transformada de Laplace de la siguientes funciones :

a) = 9 − 4 + 5'(6

b) = 0 ≤ < 12 − ≥ 1

c)

d)

1 2 3 4

1

2

t

f(t)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

t

f(t)

5


AC2 Determine la transformada de Laplace de la siguiente función:

f(t)=(3t+1)U(t-1)

AC3 Trace la gráfica y determine la transformada de Laplаce de la siguiente función

a) usando la definición b) aplicando teorema de traslación

= *0, 0 ≤ < 22, 2 ≤ < 40, ≥ 4 AC4 Dada la siguiente gráfica:

a) Expresarla como y=f(t) b) Expresarla en como una combinación de escalones. c) Encontrar su transformada.

AC5 Determinar la transformada de Laplace de la siguiente función cuya gráfica se da

AC6 Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones, aplicando propiedades

a) f(t)=t2cost

b) f(t)=te-3tcos4t

1 2 3 4

1

2

t

f(t)

π/2 π 3π/2 2π

−2

−1

1

2

t

f(t)

cos(t)

6


AC7 Hallar la transformada de Laplace de la función periodica cuya gráfica está representada en la figura 1.

Figura 1. Rectificación de media onda de sen(t)

AC8 Hallar la transformada de Laplace de la función periódica cuya gráfica está indicada

AC9 Determine la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

ℒ-1 ,-,.,-/

ℒ-1 $-0/

AC10 Determine la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

ℒ-1 1234,$5/

ℒ-1 124$/

AC11 Determine la transformada inversa de Laplace de la siguiente función:

ℒ-1 ,$5/

AC12 Use la Transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial:

y′′ − 4y′ = 6e8 − 3e8 y0 = 1; y′0 = −1

1 2 3 4 5 6

1

2

t

f(t)

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AC13 Resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones iniciales:

y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = sin 3t y0 = 0, y′0 = 0, y′′0 = 1

AC14 Use la Transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial: <== + 4< = <0 = 0 <=0 = −1

donde = 1, 0 ≤ < 10, ≥ 1

AC15 Determine la transformada de Laplace de la siguiente función > ∗ @

a) Primero hallando la convolución y luego Laplace de la función resultante b) Aplicando Teorema de convolución.

AC16 Hallar la transformada de Laplace de la siguiente expresión ABC D EFAG − DHDGI

AC17 Determine la carga q(t) en un circuito RC en serie, cuando la carga inicial es cero y Et = 12e8, t > 0. R= 2.5 ohm , C = 0.08 farads

AC18 Suponga que una pesa de 32 libras estira 2 pies un resorte. Si la pesa se suelta desde el reposo, en la posición de equilibrio, deduzca la ecuación del movimiento, yt si una fuerza aplicada ft = 20t actúa sobre el sistema durante 0 ≤ t < 5, y se elimina después. No tenga en cuanta la fuerza de amortiguamiento. Use una graficadora para trazar la grafica de yt en el intervalo [0, 10]. AC19 (a) Con la transformada de Laplace determine la corriente it en un circuito en serie LR con un solo bucle, i0 = 0, L = 1h, R = 10Ω y et es la que muestra la figura

(b) Use un software matemático para trazar la it en el intervalo 0 ≤ t ≤ 6. Con la gratica estime iRST e iRUV, los valores máximos y mínimos de la corriente. AC20 Resuelva la ecuación integro-diferencial sujeta a las condiciones iniciales: dydt + 6yt + 9 X yτdτ = 1, y0 = 08

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AC21 Obtener la carga y la corriente en un circuito RLC , suponiendo carga y corriente inicial nulas con los datos dados de L,R,C y E(t). Use una graficadora para trazar la gráficas de la corriente y carga en el intervalo 0≤t≤3. Determine sus máximos. L = 0.1h, R = 1Ω, C =0.05f, E(t) es la función diente de sierra de AC8. AC22 Resuelva el modelo de un sistema masa-resorte forzado con amortiguamiento con la fuerza externa especificada . m=1, β=2 , K=1 , desplazamiento y velocidad inicial cero , la fuerza externa es la onda cuadrada :

AC23 En una viga de longitud 6 metros, de perfil de acero IPN 200 ( Módulo elasticidad E = 210000 Kg/mm2 , I = 0,0000214 m4 . Se aplica una fuerza puntual de valor 2000 Kg. a una distancia del extremo izquierdo de 4m. La viga esta simplemente apoyada en los extremos Determinar :

a) La curva elástica de la viga y graficarla. b) Use un sistema algebraico de cómputo para determinar en forma aproximada el punto

donde se produce la flexión máxima (flecha ).¿ cuanto vale la flexión máxima? c) Que sucede si se toma en cuenta la influencia del peso propio de la viga.

AC24 Resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones iniciales: <= + < = [ − 1 <0 = 2

7. OBSERVACIONES ESPECIALES Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía.

Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por

el docente. Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes

Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios. Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.

8. BIBLIOGRAFÍA

AUTOR: ZILL DENNIS G.; CULLEN, MICHAEL R. TITULO: “Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera/Cengage Learning. 7ma. Edición. 2009.

π 2π 3π 4π 5π

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

t(seg)

F(new)

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AUTOR: NAGLE, R. KENT; SAFF, EDWARD B.; SNIDER, ARTHUR DAVID. TITULO: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera/ Pearson Educación. México. 4ta. Edición. 2005.

AUTOR: ZILL, DENNIS G.; CULLEN, MICHAEL R.

TITULO: Matemáticas avanzadas para ingeniería: ecuaciones diferenciales/ McGraw Hill. México. 3a. Edición. Tomo I. 2008.

AUTOR: EDWARDS, C. HENRY; PENNEY, DAVID E.

TITULO: Ecuaciones diferenciales/ Pearson Educación. México. 2da. Edición. 2001

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