Ecuaciones Diferenciales IPRACTICO 2

(1) Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones de segundo orden,a) y′′ − 2y′ + 2y = 0,b) y′′ + 9y = 0,c) y′′ + y′ + 1, 25y = 0,

(2) Usar el metodo de reduccion de orden para encontrar una segunda solucion de laecuacion dada.

a) x2y′′ + 2xy′ − 2y = 0, x > 0, y1(x) = x.b) xy′′ − y′ + 4x3y = 0, x > 0, y1(x) = senx2.

c) x2y′′ + xy′ + (x2 − 0, 25)y = 0, x > 0, y1(x) = x−12 . sin(x).

(3) Una ecuacion de la forma

x2y′′ + αxy′ + βy = 0, x > 0

donde α y β son constantes reales se llama una ecuacion de Euler. Mediante el cambiode variable z = lnx, transformar una ecuacion de Euler en una ecuacion lineal concoeficientes constantes. Resolver las siguientes ecuaciones para x > 0:a) x2y′′ + xy′ + y = 0, b) x2y′′ − 4xy′ − 6y = 0.

(4) a) Si a, b y c son constantes positivas, mostrar que limt→+∞ y(t) = 0 para todasolucion de ay′′ + by′ + cy = 0.b) Si a > 0 y b > 0 pero c = 0, muestre que el resultado obtenido en el incisoanterior ya no es cierto, pero que todas las soluciones tienden cuando t → +∞, auna constante que depende de las condiciones iniciales en t = 0.

(5) Resolver los siguientes problemas de Cauchy y graficar las soluciones describiendo sucomportamiento para x→ ±∞

a) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1b) y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1

(6) Considerar la ecuacion lineal homogenea de orden n dada por

y(n) + a1(t)y(n−1) + · · ·+ an−1(t)y

′ + an(t)y = 0,

en la que los coeficientes a1, . . . an son funciones continuas definidas en un intervaloI. Sea S ⊂ Cn(I) el conjunto de todas las soluciones de la misma. Probar que S esun espacio vectorial real de dimension n y encontrar una base del mismo. Ayuda:considerar el caso n = 2.

(7) Hallar un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial y(iv) + y = 0.Hallar la solucion φ(t) que satisface condiciones iniciales φ(0) = 1, φ′(0) = −1, φ′′(0) =2, φ′′′(0) = 1

2.

(8) a) Hallar el Wronskiano de dos soluciones arbitrarias de la ecuacion x2y′′ − x(x +2)y′ + (x+ 2)y = 0 sin resolver la ecuacion.b) Si y1 e y2 son soluciones L.I. de x2y′′ − 2y′ + (3 + x)y = 0, y si W (y2, y2)(2) = 3,hallar el valor de W (y1, y2)(4).

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(9) Decidir si los siguientes pares de funciones son l.d. o l.i.:a) {f = x2 + 5x, g = x2 − 5x}.b) {e3x, e3(x−1)}.c) {x, x−1}.

(10) Mostrar que las funciones f(x) = x|x| y g(x) = x2 son L.D. en 0 < x < 1 y en−1 < x < 0, pero son L.I. sobre −1 < x < 1. Aunque f y g son L.I. en ese intervalo,mostrar que W (f, g)(x) = 0 ∀x ∈ (−1, 1). Luego f y g no pueden ser soluciones deuna ecuacion del tipo y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 con p y q continuas sobre (−1, 1).

(11) Si y1 e y2 son soluciones L.I. de y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, probar que entre dos cerosconsecutivos de y1 existe uno y solo un cero de y2. Este resultado esta corroboradopor las soluciones y1(x) = cos x, y2(x) = senx de la ecuacion y′′ + y = 0.

(12) Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial dada:a) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2t, b) y′′ + 2y′ = 3 + 4sen2t,c) 2y′′ + 3y′ + y = t2 + 3sent,

(13) El siguiente es un metodo alternativo para resolver la ecuacion,

y′′ + by′ + cy = L[y] = (D2 + bD + c)y = g(t),

donde b y c son constantes, y D = ddt

. Sean r1 y r2 las raices del polinomio carac-terıstico de la correspondiente ecuacion homogenea L[y] = 0. Estas raices pueden serreales y diferentes, reales e iguales o numeros complejos conjugados.

a) Verificar que la ecuacion puede reescribirse como

(D − r1)(D − r2)y = g(t)

donde r1 + r2 = −b y r1r2 = c.b) Sea u = (D− r2)y. Mostrar que la solucion de la ecuacion diferencial puede ser

hallada resolviendo las dos siguientes ecuaciones de primer orden:

(D − r1)u = g(t), (D − r2)y = u(t)

(14) Usar el metodo del ejercicio anterior para resolver las siguientes ecuaciones,a) y′′ − 3y′ − 4y = 3e2t, b) y′′ + 2y′ = 3 + 4sen2t.

(15) Hallar la solucion de los siguientes problemas:a) y′′ + 4y = x2 + 3ex, y(0) = 0, y′(0) = 2,b) y′′ + 4y = 3sen2x, y(0) = 2 y′(0) = −1.

(16) Determine una forma adecuada para una solucion particular Y (x) si se usa el metodode coeficientes indeterminados (sin calcular las constantes) en los casos siguientes,

a) y′′ − 5y′ + 6y = ex cos 2x+ e2x(3x+ 4)senx,b) y′′ + 4y = x2sen2x+ (6x+ 7) cos 2x.

(17) Hallar la solucion general de las siguientes ecuacionesa) y′′ + y = tanx, 0 < x < π/2b) y′′ + 4y = 3 csc 2x, 0 < x < π/2c) y′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2)

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(18) Verificar que las funciones y1 e y2 dadas satisfacen la correspondiente ecuacion ho-mogenea en x > 0, luego encontrar una solucion particular de la ecuacion no ho-mogenea dada:

a) xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, y1(x) = 1 + x, y2(x) = ex.

b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 lnx, y1(x) = x2, y2(x) = x2 lnx.

c) x2y′′ + xy′ + (x2 − 0.25)y = g(x), y1(x) = x−1/2senx, y2(x) = x−1/2 cosx.

(19) El metodo de reduccion de orden tambien puede ser usado para las ecuaciones nohomogeneas:

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x),

siempre que una solucion y1 de la correspondiente ecuacion homogenea sea conocida.Proponniendo y = v(x)y1(x), demostrar que y satisface la E.D. anterior si y solo si ves una solucion de

y1(x)v′′ + [2y′1(x) + p(x)y1(x)]v′ = g(x).

Resolviendo esta ecuacion, integrando el resultado y luego multiplicando por y1(x)lleva a la solucion general de la E.D.

Usar este metodo para resolver las siguientes ecuaciones,a) x2y′′ − 2xy′ + 2y = 4x2, x > 0; y1(x) = x.b) (1− x)y′′ + xy′ − y = 2(x− 1)2e−x, 0 < x < 1; y1(x) = ex.

(20) Mostrar que la solucion del problema

mu′′ + γu′ + ku = 0, u(t0) = u0, u′(t0) = u′0

puede expresarse como la suma u = v+w, donde v satisface las condiciones inicialesv(t0) = u0, v

′(t0) = 0, y w satisface las cond. iniciales w(t0) = 0, w′(t0) = u′0.