Lista No. 1 de problemas de Topologa ISemestre 2014-1

1. Sea X = {a, b, c, d, e, f}. Determine cuales de las siguientes colec-ciones de subconjuntos de X son una topologa sobre X (Justifiquesus respuestas):

(a) T1 = {X, ;, {a}, {a, f}, {b, f}, {a, b, f}};(b) T2 = {X, ;, {a, b, f}, {a, b, d}, {a, b, d, f}};(c) T3 = {X, ;, {f}, {e, f}, {a, f}}.(d) T4 = {X, ;, {c}, {b, d, e}, {b, c, d, e}, {b}};(e) T5 = {X, ;, {a}, {b, d, e}, {a, b, d}, {a, b, d, e}};(f) T6 = {X, ;, {b}, {a, b, c}, {d, e, f}, {b, d, e, f}}.

2. Sea (X,T) un espacio topologico cualquiera. Verifique que la inter-seccion de cualquier numero finito de miembros de T es un miembrode T. (Sugerencia: Use induccion matematica.)

3. Demuestre que cada una de las siguientes colecciones de subconjuntosde R es una topologa sobre R:

(i) T1 esta formada por R, ; y todo intervalo (n, n) con n 2 N;

(ii) T2 esta formada por R, ; y todo intervalo [n, n] con n 2 N;

(iii) T3 esta formada por R, ; y todo intervalo [n,1) con n 2 N.4. Demuestre que cada una de las siguientes colecciones de subconjuntos

de N es una topologa sobre N:

(i) T1 esta formada por N, ; y todo conjunto {1, 2, ..., n} con n 2 N.(Esta es llamada la topologa de los segmentos iniciales de N .)

(ii) T2 esta formada por N, ; y todo conjunto {n, n+1, ...} con n 2 N.(Esta es llamada la topologa de los segmentos finales.)

5. Liste todas las topologas posibles sobre los conjuntos siguientes:

(i) X = {a, b};

(ii) Y = {a, b, c}.

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6. Sea X = {0, 1} y sea = {;, X, {0}}. Entonces es una topologasobre X y al espacio (X, ) se le conoce como espacio de Sierpinski.

7. Sea X un conjunto no vaco. Es la familia

1 := {;} [ {U X : |X \ U | @0}una topologa sobre X?

8. Sea X un conjunto infinito y T una topologa sobre X. Si cada sub-conjunto infinito de X pertenece a T, demuestre que T es la topologadiscreta.

9. Exactamente, tres de las siguientes diez colecciones de subconjuntosde R son topologas sobre R. Identifquelas y justifique sus respuestas:

(i) T1 esta formada por R, ; y todo intervalo (a, b) con a, b 2 R y a < b.

(ii) T2 esta formada por R, ; y todo intervalo (r, r) con r > 0.

(iii) T3 esta formada por R, ; y todo intervalo (r, r) con r 2 Q posi-tivo.

(iv) T4 esta formada por R, ; y todo intervalo [r, r] con r 2 Q positivo.

(v) T5 esta formada por R, ; y todo intervalo (r, r) con r 2 R \ Qpositivo.

(vi) T6 esta formada por R, ; y todo intervalo [r, r] con r 2 R \ Qpositivo.

(vii) T7 esta formada por R, ; y todo intervalo [r, r) con r > 0.

(viii) T8 esta formada por R, ; y todo intervalo (r, r] con r > 0.

(ix) T9 esta formada por R, ;, todo intervalo [r, r] y todo intervalo(r, r) con r > 0.

(x) T10 esta formada por R, ;, todo intervalo [n, n] y todo intervalo(r, r) con n 2 N y r > 0.

10. Sea (X, ) un espacio topologico y A X. Demuestre que si paracada x 2 A existe U 2 tal que x 2 U A, entonces A 2 .

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11. SeaB una coleccon de subconjuntos de un conjuntoX tal que ;, X 2 By B es cerrado bajo uniones finitas e intersecciones arbitrarias. De-muestre que la coleccion

= {X \ C : C 2 B}

es una topologa sobre X.

12. Sea E un subconjunto de X. Corrobore la exactitud de la afirmacionla coleccion T(E) = {;}[ {A X : E A} es una topologa en X.Como es T(E) si E = ; (respectivamente, si E = X)?

13. Sea X un conjunto mas que numerable y T = {;}[{E X : |X \E| 6@0}. Demuestre que T es una topologa enX que llamaremos topologaconumerable. Mas generalmente, sea un numero cardinal infinito ysea T = {;}[{E X : |X\E| < }. La coleccion T es una topologaen X, es igual a la topologa discreta si |X| < , es la topologa cofinitasi = @0, y es igual a la topologa conumerable si = @1.

14. (Extensiones unipuntuales Lindelof-) Sea un numero cardinal in-finito. Para un conjunto X y un conjunto E0 que no intersecta aX consideramos el conjunto Y = X [ E0. Verifique que la coleccionTE0, = {E : E X} [ {E Y : E0 E y |Y \ E| < } es unatopologa en Y . Cuando E0 esta formado por un solo punto p, escribi-mos Tp, en vez de T{p},. Cuando |X| > y E0 = {p}, al espacio(Y,Tp,+) le llamamos extension unipuntual Lindelof- de X.

15. (Compactacion de Alexandro del espacio discreto de cardinalidad) En el caso en que |X| = > @0 y = @0, el espacio (Y,Tp,@0)definido en el ejercicio anterior recibe el nombre de compactacion porun punto del espacio discreto X de cardinalidad o compactacion deAlexandro de X, indistintamente, y se le denota como A(X) o A().Pruebe que si C es una coleccion de abiertos de A() cuya union esigual a todo el espacio, entonces existe una subcoleccion finita de Ccuya union es todo el espacio.

16. (a) Si { : 2 I} es una familia de topologas sobre un conjunto novacoX, entonces

\2I

es una topologa sobreX. Demuestre tambien

que no es necesariamente cierto que[2I

es una topologa.

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(b) Si { : 2 I} es una familia de topologas sobre un conjunto novaco X, entonces hay una unica topologa -mnima (es decir, es lamnima respecto a la contencion) que contiene a cada para 2 I.

17. Observe que si (X,T) es un espacio discreto o indiscreto, entoncescada conjunto abierto es tambien un conjunto cerrado. Encuentreuna topologa sobre el conjunto X = {a, b, c, d}, que no sea discreta oindiscreta, pero que tenga la propiedad de que cada conjunto abiertotambien sea cerrado.

18. Sea X un conjunto infinito. Si T es una topologa sobre X tal que cadasubconjunto infinito de X es cerrado, demuestre que T es la topologadiscreta.

19. Sea X un conjunto infinito. Si T es una topologa sobre X con lapropiedad de que el unico subconjunto infinito de X que es abierto esel propio X. Es (X,T) necesariamente un espacio indiscreto?

20. (i) Sea T una topologa sobre un conjunto X tal que T consta precisa-mente de cuatro conjuntos, esto es, T = {X, ;, A,B} donde A y B sonsubconjuntos propios no vacos de X. Demuestre que necesariamenteA y B tienen que satisfacer exactamente una de las siguientes trescondiciones:

(a) B = X \A; (b) A B; (c) B A.

(Sugerencia: Muestre primero que A y B satisfacen al menos una delas tres condiciones, y luego muestre que no pueden satisfacer mas deuna de ellas simultaneamente.)

(ii) Usando (i) liste todas las topologas sobre X = {1, 2, 3, 4} queconstan exactamente de cuatro conjuntos.

21. Si es la topologia cofinita sobre un conjunto X y si X tiene tressubconjuntos distintos que son a la vez abiertos y cerrados, demuestreque entonces X es finito.

22. Para cualquier a, b 2 Z con b > 0 definamos Na,b := {a+ nb : n 2 Z}.Ahora, decimos que un conjunto O Z es abierto si O = ; o bien sipara cada a 2 O existe b > 0 tal que Na,b O.(a) Verifique que efectivamente los abiertos definidos as forman unatopologa en Z.

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(b) Demuestre que cualquier conjunto abierto no vaco es infinito.(c) Demuestre que el conjuntoNa,b es cerrado para cualesquiera a, b 2 Zcon b > 0.(d) Demuestre que si P es el conjunto de los numeros primos, entonces

{1,1} = Z \[p2P

N0,p

(e) Finalmente, con ayuda de todo lo anterior, concluya que el conjuntode los numeros primos es infinito.

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