ejercicios de teorรญa de grupos
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Este documento contiene algunos ejercicios resueltos sobre teorรญa de grupos, tomados en su mayorรญa del libro algebra abstracta de HersteinTRANSCRIPT
Grupo Matagalpino de matemรกticas: Los Karamasov 2011 1. Grupo de Orden 8 Consideremos el plano ๐ = ๐ฅ,๐ฆ : ๐ฅ ,๐ฆ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ y las aplicaciones ๐,๐ โ ๐ด(๐) definidas por
๐ ๐ฅ,๐ฆ = โ๐ฅ,๐ฆ y ๐ ๐ฅ,๐ฆ = โ๐ฆ, ๐ฅ . ๐ es la reflexiรณn respecto al eje ๐ฆ y ๐ es la rotaciรณn de
90ยฐ en sentido opuesto a las manecillas del reloj respecto del origen. Definiendo
๐บ = ๐๐๐๐ : ๐ = 0,1; ๐ = 0, 1, 2, 3 y sea * en G el producto de elementos de ๐ด(๐). Se tiene como
aplicaciรณn identidad
๐2 = ๐4.
2. Sea ๐บ el conjunto de todas las aplicaciones ๐๐ ,๐ :โ โ โ definidas por ๐๐ ,๐ ๐ =
๐๐ + ๐ para todo nรบmero real r, donde ๐, ๐ son nรบmeros reales ๐ โ 0. La pareja
(G,*) es un grupo, estando * definida como sigue:
๐๐ ,๐ โ ๐๐ ,๐ = ๐๐๐ ,๐๐+๐
Defรญnanse H y K como sigue,
๐ป = ๐๐ ,๐๐๐บ|๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐ y
๐พ = ๐1,๐๐๐บ|๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐ .
Las parejas (H,*) y (K,*) son grupos. El primero no abeliano, el segundo abeliano.
2.1 Demuรฉstrese que ๐ป๐,๐๐๐ฎ,๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ป๐,๐ โ ๐ฝ โ ๐ป๐,๐โ๐๐๐ฏ ๐๐ ๐ฝ๐๐ฏ.
Prueba
() Primero probamos que ๐ ๐ ๐๐ ,๐๐๐บ ๐ฆ ๐๐๐ป, entonces ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐ป.
* ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐3 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐3
๐0๐0 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐3 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐3
๐0๐1 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐3 ๐0๐0 ๐1๐3 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2
๐0๐2 ๐0๐2 ๐0๐3 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐1๐2 ๐1๐3 ๐1๐0 ๐1๐1
๐0๐3 ๐0๐3 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐3 ๐1๐0
๐1๐0 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐3 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐3
๐1๐1 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐3 ๐1๐0 ๐0๐3 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2
๐1๐2 ๐1๐2 ๐1๐3 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐0๐2 ๐0๐3 ๐0๐0 ๐0๐1
๐1๐3 ๐1๐3 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐3 ๐0๐0
Grupo Matagalpino de matemรกticas: Los Karamasov 2011
Si ๐๐๐ป, entonces tiene la forma ๐๐โฒ ,๐โฒ ๐๐๐ ๐โฒ โ โ ๐ฆ ๐โฒ โ โ, luego
๐๐ ,๐ โ ๐๐ โฒ ,๐ โฒ = ๐๐๐ โฒ ,๐๐ โฒ +๐ ; luego el inverso de ๐๐ ,๐ es ๐๐ ,๐โ1 = ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0, luego
๐๐๐ โฒ ,๐๐ โฒ +๐ โ ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 = ๐๐ โฒ ,๐ โฒ ๐+๐ โฒ ๐+๐ = ๐๐ โฒ ,๐(2๐ โฒ +1) ; como ๐โฒ โ โ ๐ฆ ๐(2๐โฒ +
1) ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ entonces ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐ป.
() Ahora probamos que ๐ ๐ ๐๐ ,๐๐๐บ ๐ฆ ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐ป , entonces ๐๐๐ป.
๐๐ ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐ป entonces ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐
โ1 = ๐๐โฒ ,๐โฒ con ๐โฒ โ โ, ๐ โ โ ,
ademรกs el inverso tiene la forma ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 โ ๐ป, luego tenemos que
๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 โ ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1 = ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 โ ๐๐โฒ ,๐โฒ de donde
๐ โ ๐๐ ,๐โ1 = ๐๐โฒ๐โ1 ,โ๐โฒ๐โ1๐+๐โฒ๐โฒ multiplicando esto รบltimo por ๐๐ ,๐ resulta
๐ = ๐๐ โฒ ,โ๐ โฒ ๐โ1
๐+๐โ1๐ โฒ ๐+๐โฒ๐โฒ= ๐๐โฒ ,๐โฒ๐โฒ como ๐โฒ โ โ,๐โฒ๐โฒ โ โ ,luego ๐ โ ๐ป.
2.2 Demuรฉstrese que ๐ป๐,๐๐๐ฏ, ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ป๐,๐ โ ๐ฝ โ ๐ป๐,๐โ๐๐๐ฒ ๐๐ ๐ฝ๐๐ฒ.
Prueba
() Primero probamos que ๐ ๐ ๐๐ ,๐๐๐ป ๐ฆ ๐๐๐พ, entonces ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐พ.
Si ๐๐ ,๐๐๐ป y ๐๐๐พ, entonces ๐ = ๐1,๐ ๐ โ โ , ademรกs ๐๐ ,๐โ1 = ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 de ahรญ
que
๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1 = ๐๐ ,๐ โ ๐1,๐ โ ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0
= ๐๐ ,๐๐+๐ โ ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0
= ๐1,โ๐+๐๐+๐
= ๐1,๐๐ ๐๐พ
() Ahora probamos que ๐ ๐ ๐๐ ,๐๐๐ป ๐ฆ ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐พ , entonces ๐๐๐พ.
Si ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐โ1๐๐พ entonces ๐๐ ,๐ โ ๐ โ ๐๐ ,๐
โ1 = ๐1,๐ ๐ โ โ, multiplicando ambos
lados por ๐๐ ,๐ queda ๐๐ ,๐ โ ๐ โ (๐๐ ,๐โ1 โ ๐๐ ,๐) = ๐1,๐ โ ๐๐ ,๐ de donde ๐๐ ,๐ โ ๐ =
๐๐ ,๐+๐ multiplicando nuevamente ambos lados por ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 i.e.
๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 โ ๐๐ ,๐ โ ๐ = ๐๐โ1 ,โ๐โ1๐+0 โ ๐๐ ,๐+๐ resulta
๐ = ๐1,๐+๐โ๐๐
= ๐1,๐ ๐ ๐๐พ.
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3. Si G es un grupo abeliano, probar que (๐ โ ๐)๐ = ๐๐ โ ๐๐ para todos los
enteros ๐.
Prueba
Haciendo inducciรณn sobre ๐ โฅ 0
Si ๐ = 0 se tiene (๐ โ ๐)0 = ๐0 โ ๐0 , lo cual es verdadero. Supongamos que
(๐ โ ๐)๐ = ๐๐ โ ๐๐ es verdadero para todo ๐ โฅ 0. Veamos quรฉ sucede tomando
como exponente ๐ + 1.
(๐ โ ๐)๐+1 =
(๐ โ ๐)๐ ๐ โ ๐ definiciรณn de potencias
=
๐๐ โ ๐๐ ๐ โ ๐ Por hipรณtesis inductiva
=
๐๐ โ ๐ ๐๐ โ ๐ Por asociatividad y conmutatividad
=
๐๐+1 โ ๐๐+1 Por definiciรณn de potencias
Por lo que (๐ โ ๐)๐+1 = ๐๐+1 โ ๐๐+1.
Para โ๐ < 0 , podemos escribir (๐ โ ๐)โ๐ = ๐โ๐ โ ๐โ๐ como (๐ โ ๐)โ1 ๐ =
๐โ1 ๐ โ ๐โ1 ๐ , luego por lo probado anteriormente se concluye que (๐ โ ๐)๐ =
๐๐ โ ๐๐ es vรกlido para todo entero ๐.
4. Si G es un grupo en el cual ๐๐ = ๐ โ๐๐๐ฎ, demuรฉstrese que G es abeliano.
Esto es, debemos probar que Si ๐2 = ๐ โ๐๐๐บ โ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐; โ๐, ๐๐๐บ.
Prueba
Si realizamos el producto
๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ =
๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐
=
๐ โ ๐2 โ ๐
=
๐ โ ๐
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= =
๐2 ๐
Hemos encontrado que ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐, por otro lado como todo elemento al
cuadrado en G es la identidad, entonces podemos plantear:
๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ Porque ambos son ๐.
๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ Multiplicando ambos lados por ๐ โ ๐ y
asociando (๐ โ ๐)2 โ ๐ โ ๐ = (๐ โ ๐)2 โ ๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ โ ๐ Dado que todo
elemento de G elevado al cuadrado es ๐.
๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ Propiedad de identidad.
5. Si G es el grupo definido en 2, encuรฉntrese todas las ๐ป๐,๐ โ ๐ฎ tales que
๐ป๐,๐ โ ๐ป๐,๐ = ๐ป๐,๐ โ ๐ป๐,๐
Como ๐๐ ,๐ โ ๐1,๐ฅ = ๐๐ ,๐๐ฅ+๐ y ๐1,๐ฅ โ ๐๐ ,๐ = ๐๐ ,๐+๐ฅ , entonces
๐๐ ,๐๐ฅ+๐ = ๐๐ ,๐+๐ฅ = ๐๐ ,๐ฅ+๐ cuando ๐ = 1, de ahรญ que las aplicaciones buscadas
deben ser de la forma ๐1,๐ .
6. Grupo Diรฉdrico de orden 6
Sea P el plano y f la aplicaciรณn como en el punto 1. Sea ๐ = 3 y h la rotaciรณn del plano
respecto al origen a travรฉs de un รกngulo de 2๐
๐= 120 en sentido opuesto a las agujas del
reloj. Se define ๐บ = ๐๐๐๐| ๐ = 0, 1; ๐ = 0, 1, 2 y el producto * en G vรญa el producto usual
de aplicaciones. Se verifica que ๐2 = ๐3 = ๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ y que la pareja (G,*) es un
grupo de orden 6 no abeliano, como se ve en la tabla.
* ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2
๐0๐0 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2
๐0๐1 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐0 ๐1๐2 ๐1๐0 ๐1๐1
๐0๐2 ๐0๐2 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐0
๐1๐0 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐0๐0 ๐0๐1 ๐0๐2
x
yx
y
x
y
h0
h1
h2
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Para elaborar la tabla se debe tomar en cuenta las siguientes igualdades.
๐0๐0 ๐ฅ,๐ฆ = ๐ฅ,๐ฆ
๐0๐1 ๐ฅ, ๐ฆ = ๐1 ๐ฅ,๐ฆ = ๐ฅ๐๐๐ ๐ + ๐ฆ๐ ๐๐๐,๐ฆ๐๐๐ ๐ โ ๐ฅ๐ ๐๐๐
๐0๐2 ๐ฅ,๐ฆ = ๐2 ๐ฅ,๐ฆ = ๐ฅ๐๐๐ 2๐ + ๐ฆ๐ ๐๐2๐,๐ฆ๐๐๐ 2๐ โ ๐ฅ๐ ๐๐2๐
๐1๐0 ๐ฅ,๐ฆ = ๐1 ๐ฅ,๐ฆ = โ๐ฅ,๐ฆ
๐1๐1 ๐ฅ,๐ฆ = โ๐ฅ๐๐๐ ๐ โ ๐ฆ๐ ๐๐๐,๐ฆ๐๐๐ ๐ โ ๐ฅ๐ ๐๐๐
๐1๐2 ๐ฅ,๐ฆ = โ๐ฅ๐๐๐ 2๐ โ ๐ฆ๐ ๐๐2๐,๐ฆ๐๐๐ 2๐ โ ๐ฅ๐ ๐๐2๐
Ademรกs, se toma en cuenta que ๐1๐1 ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ฅ๐๐๐ 2๐ + ๐ฆ๐ ๐๐2๐, ๐ฆ๐๐๐ 2๐ + ๐ฅ๐ ๐๐2๐ = โ๐ฅ๐๐๐ ๐ โ ๐ฆ๐ ๐๐๐, ๐ฆ๐๐๐ ๐ โ ๐ฅ๐ ๐๐๐
cuando ๐ = 120.
Una fรณrmula conocida para encontrar los resultados de la tabla es la siguiente:
๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐+๐๐ โ1 ๐๐+๐
7. Refirรกmonos al punto 6 anterior. Probar que (G,*) es un grupo para ๐ง = ๐.
Prueba La fรณrmula ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐+๐๐ โ1 ๐๐+๐ del pรกrrafo anterior nos da la cerradura.
A continuaciรณn probamos la asociatividad
๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐ โฒ๐๐
โฒ = ๐๐+๐๐ โ1 ๐๐+๐ โ ๐๐ โฒ
๐๐ โฒ = ๐ ๐+๐ +๐ โฒ
๐ โ1 ๐โฒ โ1 ๐๐+๐ +๐ โฒ
= ๐๐+ ๐+๐ โฒ ๐
โ1 ๐โฒ โ1 ๐๐+ โ1 ๐
โฒ๐ +๐ โฒ
= ๐๐+ ๐+๐ โฒ ๐ โ1 ๐
โฒ โ1 ๐๐+ โ1 ๐
โฒ๐+๐โฒ
= ๐๐๐ โ1 ๐โฒ โ1 ๐๐ โ ๐ ๐+๐ โฒ ๐ โ1 ๐
โฒ๐+๐โฒ
= ๐๐๐๐ โ (๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ๐๐โฒ)
Como en 6, la identidad es siempre ๐0๐0 . Encontremos la forma que tiene el inverso de cualquier
elemento de G. Para esto tomemos ๐๐๐๐ . Si ๐ ๐๐๐ es el inverso de ๐๐๐๐ entonces debe ocurrir
๐1๐1 ๐1๐1 ๐1๐2 ๐1๐0 ๐0๐2 ๐0๐0 ๐0๐1
๐1๐2 ๐1๐2 ๐1๐0 ๐1๐1 ๐0๐1 ๐0๐2 ๐0๐0
Imรกgenes de los ejes coordenados bajo la rotaciรณn h.
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que ๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐ = ๐0๐0 = ๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ . Aplicando de 6, resulta ๐๐+๐๐ โ1 ๐๐+๐ = ๐0๐0 de
ahรญ que ๐ + ๐ = 0 y โ1 ๐๐ + ๐ = 0 por tanto ๐ = ๐ y ๐ = โ โ1 ๐๐ , luego existe inverso y
tiene la forma ๐ ๐๐๐ = ๐๐๐โ โ1 ๐๐ .
Por todo lo anterior, la pareja (G,*) es un grupo.
Aclaraciรณn: La suma realizada con los exponentes de ๐ coincide con la suma en โค2 y anรกlogamente
para ๐ en โค4.
8. Demuรฉstrese que cualquier grupo G de orden 4 o menor es abeliano.
Prueba
(1) Si G tiene sรณlo un elemento, este elemento debe ser la identidad, por tanto es evidente
que es conmutativo.
(2) Si el grupo es de orden 2 entonces tiene dos elementos ๐ ๐ฆ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐ โ ๐. Tomamos
๐ como la identidad. Si la operaciรณn es โ entonces ๐ โ ๐ = ๐ = ๐ โ ๐, ๐ โ ๐ = ๐ ๐ โ ๐ = ๐.
En el caso de ๐ โ ๐ el resultado no puede ser ๐ dado que ๐ โ ๐ = ๐ implica que
๐ โ ๐ โ ๐โ1 = ๐ โ ๐โ1 de donde ๐ = ๐. Esta รบltima igualdad contradice la hipรณtesis de
que el grupo tiene 2 elementos.
(3) Si el grupo es de orden 3, entonces tiene tres elementos diferentes: ๐,๐, ๐. Supongamos
que ๐ es la identidad. Tenemos las igualdades siguientes:
๐ โ ๐ = ๐ = ๐ โ ๐ , ๐ โ ๐ = ๐ = ๐ โ ๐ , ๐ โ ๐ = ๐ . Ahora bien, debemos indicar a quรฉ
elementos son iguales las siguientes expresiones ๐ โ ๐, ๐ โ ๐, ๐ โ ๐ ๐ฆ ๐ โ ๐. Dado que
๐ โ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ = ๐ ๐ฆ ๐ โ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ = ๐ ๐ฆ ๐ โ ๐ = ๐ nos
conducen a contradicciones debe ocurrir que ๐ โ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ = ๐,๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ = ๐ .
Revisando todas las igualdades, vemos que el grupo es conmutativo.
(4) Para un grupo de orden 4, tenemos las tablas del grupo cรญclico de orden 4 y del grupo de
Klein en las cuales se puede ver que se cumple la conmutatividad.
Grupo de Klein Grupo cรญclico de orden 4
โ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
โ e a b c
e e a b c
a a c e b
b b e c a
c c b a e
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9. Si G es cualquier grupo y ๐,๐, ๐ โ ๐ฎ, demostrar que si ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐, entonces
๐ = ๐, y si ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐, entonces ๐ = ๐.
Prueba
Supongamos que ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐, entonces multiplicando ambos lados por el inverso
de ๐, nos queda ๐โ1 โ ๐ โ ๐ = ๐โ1 โ ๐ โ ๐ de donde sale ๐ = ๐. Anรกlogamente
para la otra parte.