ejercicios de integraciÓn numÉrica...

Programación y Métodos Numéricos Carlos Conde, Arturo Hidalgo y Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

1

EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA PROPUESTOS EN EXÁMENES DE LA ASIGNATURA

CURSO 2001-2002

Examen final – Convocatoria de junio de 2002

Se considera el soporte formado por los puntos 0 110 14x , x3 3

⎧ ⎫= =⎨ ⎬⎩ ⎭

y el

intervalo de integración [3, 5]. Se pide:

a) Obtén la fórmula de integración de numérica de tipo interpolatorio

que con dicho soporte permita aproximar el valor de5

3

f(x).dx∫ . ¿Es

una fórmula de Newton-Cotes?. En caso de serlo indica si es cerrada o abierto y en el caso de no serlo indica por qué no puede ser considerada como tal.

b) Deduce la expresión del error de la fórmula de integración de la

fórmula anterior especificando el orden de exactitud de dicha fórmula.

c) Aplica la fórmula anterior para calcular de forma aproximada

53

3

(4.x 2.x 1).dx− +∫

Por otra parte, se sabe que en el intervalo [0, 2] los puntos de integración gaussiana de la fórmula con 2 puntos son:

0113

ζ = − 1113

ζ = +

Asimismo se conoce que en el intervalo [-1, 0] los coeficientes de la fórmula de integración gaussiana de una fórmula con dos puntos tienen el valor:

012

γ = 112

γ =

Se pide: d) Utilizando los datos anteriores obtén la fórmula gaussiana con dos

puntos de soporte que permite aproximar 5

3

f(x).dx∫ . Obtén de forma

razonada los puntos y los pesos de integración de dicha fórmula.


2

e)Obtén mediante la fórmula deducida en el apartado anterior el valor

aproximado de 5

3

3

(4.x 2.x 1).dx− +∫ y verifica que el error cometido

es el esperable justificando por q Solución: a) Con el soporte dado, el polinomio interpolador de cualquier función f(x) estaría dado por la expresión:

p(x) = f(x0) + 1 00

1 0

f(x ) f(x ) (x x )x x

−⋅ −

−

que, para los valores dados en el enunciado, nos conduce a:

p(x) = 10 4 14 10 10f f f x3 3 3 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Integrando el polinomio interpolador en el intervalo de integración [3, 5] resultará que:

2 25

3

10 3 14 10 10 10p(x).dx 2 f f f 5 33 4 3 3 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − ⋅ − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

10 3 14 10 25 1 3 8 10 3 8 142 f f f 2 f f3 8 3 3 9 9 8 3 3 8 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

10 14f f3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por tanto la fórmula pedida es:

5

3

10 14f(x).dx f f3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

La fórmula que se acaba de obtener no es una fórmula de Newton-Cotes. Ello es debido a que los puntos del soporte no están uniformemente repartidos en el intervalo de integración pues x0 – a = 1/3 , x1 – x0 = 4/3 y b – x1 = 1/3. 1/3 4/3 1/3

a x0 x1 b


3

b) Denotemos por h = 1/3, por a = 3, por b = 5, por x0 = 10/3 y por x1 = 14/3. Si la función f(x) es de clase C2([a,b]) tiene que el desarrollo en serie de Taylor nos permite escribir que: Vap = f(x0) + f(x1) = f(a+h) + f(a + 5.h) = f(a) + h.f’(a) + (½).h2.f”(a) + …. + f(a) + + 5.h.f’(a) + (25/2).h2.f”(a) + …. =

= 2.f(a) + 6.h.f’(a) + 13.h2.f”(a) + … = 2.f(a) + 2.f’(a) + 13 .f "(a)9

+ ….

El valor exacto de la integral, denotando por F(x) a una primitiva de f(x) se puede obtener mediante:

Vex = b

a

f(x).dx =∫ F(b) – F(a) = F(b + 6.h) – F(a) =

= F(a) + 6.h.F’(a) + 18.h2.F”(a) + 36.h3.F’’’(a) + …. – F(a) =

= 6.h.f(a) + 18.h2.f’(a) + 36.h3.f”(a) + … =

= 2.f(a) + 2.f’(a) + 12 f "(a)9

⋅ + ….

De las expresiones anteriores se infiere que:

Error = Vex – Vap = 1 1.f "(a) ..... .f "( )9 9

− + = − ξ

NOTA: La expresión del error podría acotarse en valor absoluto por:

|Error| [ ]x 3,5

1 max f "(x)9 ∈

≤ ⋅

c) El valor aproximado mediante la fórmula obtenida en el apartado a) para la integral propuesta en el enunciado es:

3 353

3

10 10 14 14(4.x 2.x 1).dx 4. 2. 1 4. 2. 13 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ≈ − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

= 142.48148..... + 398.185185.... = 540.6666.....

NOTA: El valor exacto de dicha integral es:

]5

5 5 53 4 233 3

3

(4.x 2.x 1).dx x x x 544 16 2 530⎤ ⎤− + = − + = − + =⎦ ⎦∫


4

produciéndose un error de (-10.666...). Puede observarse que en este caso la cota de error determinada en el apartado anterior está dada por:

|Error| [ ]x 3,5

1 120.max 24.x 13.333...9 9∈

≤ = =

que, efectivamente, es mayor que el error cometido. d) Siendo [ ],α β un intervalo de referencia en el que se conocen los puntos { }n

i i 0=ζ y

pesos de integración { }ni i 0=

γ de una fórmula gaussiana, el cálculo aproximado de una

integral sobre un intervalo genérico [a, b] puede realizarse sin más que considerar el cambio de variable dado por una función lineal ( )ϕ ζ que permite transformar [ ],α β en

[a , b]. Dicha función está dada por: [ ] [ ]: , a,b

a b (b a).( )

ϕ α β →⋅β − ⋅ α − ζ

ζ → ϕ ζ = +β − α β − α

Con ello, llamando:

i ia b (b a)x . (i = 0, 1, ..., n)⋅β − ⋅ α −

= + ζβ − α β − α

y habida cuenta de que ib a'( ) −

ϕ ζ =β − α

, resultará que:

( )b n

i ii 0a

(b a) (b a) (b a)f(x).dx f( ( )) d f( ( )) d .f ( )( ) ( ) ( )

β β

=α α

− − − ⎛ ⎞= ϕ ζ ⋅ ⋅ ζ = ⋅ ϕ ζ ⋅ ζ ≈ ⋅ γ ϕ ζ =⎜ ⎟β − α β − α β − α ⎝ ⎠

∑∫ ∫ ∫

( )n

i ii 0

(b a) .f x( )=

⎛ ⎞⎛ ⎞−= ⋅ γ⎜ ⎟⎜ ⎟β − α⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

De la expresión anterior se infiere que los puntos del soporte de integración gaussiana en [a, b]estarán dados por la expresión:

i i ia b (b a)x ( ) . (i = 0, 1, ..., n)⋅β − ⋅ α −

= ϕ ζ = + ζβ − α β − α

y los pesos de la fórmula por:

i ib ac . (i = 0, 1, ..., n)−

= γα − β


5

En nuestro caso, se trabaja con dos puntos (i = 0, 1), y se sabe que los puntos en el

intervalo [ ],α β = [0, 2] son 0 11 11 , 13 3

⎧ ⎫ζ = − ζ = −⎨ ⎬

⎩ ⎭. Para determinar los puntos en

[a, b] = [3, 5] basta con aplicar la relación que se acaba de obtener resultando:

03 2 5 0 (5 3) 1 1 1x . 1 3 1 4

2 0 2 0 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −

= + − = + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

13 2 5 0 (5 3) 1 1 1x . 1 3 1 4

2 0 2 0 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −

= + + = + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En cuanto a los pesos de la fórmula de integración, se indica en el enunciado que estos,

en el intervalo [ ],α β = [-1, 0], tienen el valor 0 11 1,2 2

⎧ ⎫γ = γ =⎨ ⎬⎩ ⎭

. Por tanto, según la

fórmula antes deducida, en el intervalo [a, b] = [3, 5] tendrán el valor:

05 3 1c 1

0 ( 1) 2−

= ⋅ =− −

y 15 3 1c 1

0 ( 1) 2−

= ⋅ =− −

En resumen, la fórmula buscada será:

5

0 0 1 13

1 1f(x).dx c f(x ) c f(x ) f 4 f 43 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ ⋅ + ⋅ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

e) La aplicación de la fórmula anterior a la misma función considerada en el apartado c) nos conduce a que:

53

3

(4.x 2.x 1).dx− + ≈∫

3 31 1 1 14. 4 2. 4 1 4. 4 2. 4 13 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟≈ − − − + + + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

530

Este valor, que coincide con el valor exacto de la integral (véase la “nota” realizada en el apartado c) ), es el esperado pues las fórmulas de integración de Gauss –Legendre construidas sobre un soporte de (n+1) puntos son exactas para todo polinomio de grado menor o igual que (2.n+1) y como en este caso n = 1, la fórmula es exacta para todo polinomio de grado menor o igual que 3 como el que se ha utilizado en este apartado.


6

Examen final – Convocatoria de septiembre de 2002 Se está interesado en obtener fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio que utilizando soportes de (n+1) puntos distintos tengan un orden de exactitud igual a (n+1). Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones sobre ellas:

a) Tales fórmulas no existen pues las fórmulas de tipo interpolatorio construidas sobre un soporte con (n+1) puntos sólo son exactas para los polinomios de grado menor o igual que n.

b) Si se encuentra una fórmula de tipo interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos y que además sea exacta para la función f(x) = x(n+1), entonces dicha fórmula será exacta para todo polinomio de grado menor o igual que (n+1).

c) Las únicas fórmulas de tipo interpolatorio construidas sobre soportes de (n+1) puntos que permiten integrar sin error polinomios de grado mayor que n, son las fórmulas de cuadratura gaussiana. Pero estas fórmulas tienen orden de exactitud (2n + 1) por lo que no se pueden encontrar fórmulas como las que se señalan al comienzo de este ejercicio.

d) Todas aquellas fórmulas de integración de tipo interpolatorio para las que los (n+1) puntos del soporte {x0, x1, ..., xn} satisfagan la condición:

b n

ii 0a

(x x ).dx 0=

− =∏∫

serán de orden de exactitud (n+1). Como en la ecuación anterior hay (n+1) incógnitas (los puntos del soporte), se pueden tomar libremente en [a, b] n puntos del soporte. El punto restante del soporte debe seleccionarse de forma tal que se verifique la ecuación. Por ello, sobre un mismo intervalo podrán encontrarse infinitas fórmulas como las buscadas.

Solución: En las respuestas de este apartado deben utilizarse los tres teoremas siguientes (todos ellos tratados en el tema sobre integración numérica): Teorema 1 Las únicas fórmulas de integración numérica que, con un soporte de (n+1) puntos son exactas para todo polinomio de grado menor o igual que n son las fórmulas de tipo interpolatorio.


7

Teorema 2 Si una fórmula de integración numérica es exacta de orden k (es decir es exacta para los polinomios {1, x, x2, ..., xk}) entonces es exacta para todo polinomio de grado menor o igual que k. Teorema 3 Sea q un entero mayor que 0 y menor que (n+1). Para que una fórmula de integración numérica construida con un soporte de (n+1) puntos { }0 1 nx , x ,..., x del intervalo de integración [a, b] sea exacta de orden (n+q) es necesario y suficiente que se verifiquen las condiciones siguientes:

i) Que sea de tipo interpolatorio

ii) b n

ki

i 0a

x . (x x ).dx 0=

− =∏∫ (k = 0, ..., q-1)

Habiendo recordado estos tres teoremas procedamos a analizar cada una de las afirmaciones que se realizan en el enunciado.

a) La afirmación a) es falsa ya que afirma que no existen fórmulas de integración construidas sobre soportes de (n+1) puntos que sean exactas para todo polinomio de grado menor o igual que m > n, y por el teorema 3 se sabe que pueden existir hasta de orden (2n + 1) (por ejemplo las de Gauss-Legendre).

b) La afirmación b) es correcta pues por el teorema 1 se sabe que las fórmulas de tipo interpolatorio son exactas para todos los polinomios de grado menor o igual que n y, por tanto, lo serán para {1, x, ...,xn}. Por tanto si se encontrase una fórmula de integración de tipo interpolatorio construida sobre (n+1) puntos que además sea exacta para x(n+1) resultará que dicha fórmula es exacta para los monomios {1, x, ..., xn ,x(n+1)} y, por el teorema 2, lo será para odo polinomio de grado menor o igual que (n+1).

c) La afirmación c) es falsa. En efecto todo cuanto se dice de las fórmulas de Gauss es cierto para las fórmulas de Gauss-Legendre (es decir que teniendo un soporte de (n+1) puntos son exactas de orden (2.n+1)). Precisamente estas fórmulas se obtienen considerando un soporte que verifique el teorema 3 con q = n+1. Pero nada impide construir otras fórmulas que verifiquen el teorema 3 para valores de q menores. Y en concreto para el caso q = 1 se podrán construir fórmulas de orden (n+1) sin necesidad de llegar hasta orden (2n+1).

d) La afirmación del apartado d) es cierta. En efecto, como caso particular del teorema 3 se tiene que en el caso q = 1 se pueden obtener fórmulas de tipo interpolatorio construidas sobre un soporte de (n+1) puntos y que sean exactas de orden (n+1). La única condición que deben verificar dichos soportes es:

b n

ii 0a

(x x ).dx 0=

− =∏∫

Y efectivamente, como en el soporte hay (n+1) puntos y sólo se impone una condición, se podrán elegir libremente n de ellos obligándose al (n+1)-ésimo a que verifique la ecuación.


8

CURSO 2002-2003 Examen final – Convocatoria de diciembre de 2002 Suponiendo que f(x) es una función integrable, una función primitiva g(x) de la función f(x) puede obtenerse como:

g(x) = ξ ξ∫x

0

f( )·d

Obviamente, en cualquier punto “a” se verificará que g’(a) = f(a). Una forma de verificar el comportamiento de fórmulas de derivación y de integración numérica consiste en comparar este valor exacto de g’(a) con el que se obtiene al aplicar las fórmulas aproximadas a la expresión de g(x) arriba escrita. Como caso particular de ello, siendo “a” un punto cualquiera de la recta real y “h” otro valor real, consideremos la fórmula de derivación numérica centrada y con un soporte formado por los dos puntos x0 = a – h, x1 = a + h que nos permitiría escribir:

g’(a)

+ −

+

−

−+ − −

≈ = =∫ ∫

∫

a h a h

a h0 0

a h

f(x)·dx f(x)·dxg(a h) g(a h) 1 · f(x)·dx

2·h 2·h 2·h

Para acabar de obtener la fórmula que buscamos, se considerará que la integral que aparece en la expresión anterior es evaluada mediante una fórmula de integración gaussiana con soporte de 2 puntos. Se pide:

a) Sabiendo que en el intervalo [0, 1] los puntos de soporte de una fórmula de integración gaussiana son:

ζ = −01 12 2· 3

, ζ = +11 12 2· 3

y que los coeficientes (pesos) de dicha fórmula son γ0 = γ1 = ½ , determina la expresión de la fórmula que nos permitirá evaluar g’(a).

b) La fórmula así obtenida, ¿es una fórmula de derivación numérica

de tipo interpolatorio? , ¿o es una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio?, ¿o es una fórmula de interpolación?, ¿o no es nada de lo anterior?. Justifica tu respuesta y, en todo caso, suponiendo que f(x) es suficientemente regular determina el orden del error que se comete al determinar el valor de f(a) = g’(a) mediante dicha fórmula.


9

c) Verifica el comportamiento de la fórmula obtenida aplicándola a la función f(x) = x3.e-x con a = 1 y para el valor de h = 0.1. Repite los mismos cálculos con tamaños de paso: h = 0.05 y h = 0.01 y razona si el comportamiento del error se ajusta a lo esperado o no.

Solución: a) Determinemos los puntos y pesos de integración de la fórmula gaussiana en el intervalo [a-h, a+h] a partir de los dados en el intervalo [0, 1]. Para ello, denotando por f(ζ) = m· ζ + n a la aplicación que transforma [0, 1] en [a-h, a+h] se debe verificar que: f(0) = a-h m·0 + n = a-h f(1) = a+h m·1 + n = a+h de donde: m = 2·h y n = (a-h). Por tanto la expresión de la función que transforma [0, 1] en [a-h, a+h] es: f(ζ) = (2·h)·ζ + a –h Ello nos conduce a que los puntos de integración gaussiana en [a-h, a+h] serán:

x0 = f(ζ0) = (2·h)· ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 12 2· 3

+ a –h = −1a ·h3

x1 = f(ζ1) = (2·h)· ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 12 2· 3

+ a –h = +1a ·h3

En cuanto a los pesos de la fórmula de integración, habida cuenta de que el jacobiano de la transformación utilizada es (2·h), resultan ser: c0 = (2·h)·γ0 = 2·h·(½) = h , c1 = (2·h)·γ1 = 2·h·(½) = h Usando la formula gaussiana correspondiente se tiene finalmente que:

g’(a)+

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ ≈ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫

a h

a h

1 1 h h· f(x)·dx ·h· f a f a2·h 2·h 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 h h· f a f a2 3 3

b) Puesto que g’(a) = f(a) la fórmula anterior se puede escribir como:


10

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 h hf(a) · f a f a2 3 3

que es una fórmula de interpolación (mediante la cual se aproxima el valor en el punto “a” como la semisuma de los valores de la función f en dos puntos equidistantes de “a”). Más concretamente, es una fórmula de interpolación polinómica lagrangiana usando el

soporte x0 = −1a ·h3

y x1 = +1a ·h3

.

El orden del error puede obtenerse sin más que considerar que:

⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2h h hf a f(a) ·f '(a) ·f "(a) ....33 3

⎛ ⎞

+ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2h h hf a f(a) ·f '(a) ·f "(a) ....33 3

de donde:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = + + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2h h hf a f a 2·f(a) ·f "(a) ....33 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

21 h h hf(a) · f a f a ·f "(a) ....2 63 3

por lo que si f(x) es de clase C2([a-h, a+h]) se tendrá que:

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + − − ξ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

21 h h hf(a) · f a f a ·f "( )2 63 3

[ ]ξ∈ − +a h,a h

En resumen la fórmula anterior presenta un error de orden 2.


11

c) Para los distintos valores de h considerados, siendo a = 1 y f(x) = x3·e-x, se tiene que: h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01

x0 −3 0.13

−3 0.05

3

−3 0.013

x1 +3 0.13

+3 0.05

3

+3 0.013

c0 = c1 0.2 0.1 0.02 f(x0) 0.326061 0.346799 0.363638 f(x1) 0.410924 0.389266 0.372133 Vinterpolado 0.368492 0.368027 0.367888 Vexacto 0.367879 0.367879 0.367879 Vinterpolado - Vexacto -0.00613 -0.000153 -0.6·10-5 Si se comparan los valores absolutos de los errores cometidos puede observarse como:

• una reducción del paso a la mitad (de h = 0.1 a h = 0.05) reduce el error a (aproximadamente) la cuarta parte,

• una reducción del paso a la décima parte (de h = 0.1 a h = 0.01) reduce el error (aproximadamente) a la centésima parte,

• una reducción del paso a la quinta parte (de h = 0.05 a h = 0.01) reduce el error (aproximadamente) a la vigésimoquinta parte.

Estos resultados concuerdan con el obtenido en el apartado anterior sobre el orden cuadrático del error de la fórmula utilizada. * Considérese una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio

para aproximar ∫b

a

f(x)·dx y que está construida sobre un soporte de tres

puntos {x0, x1, x2}. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones :


12

e) Si se verifica f[x0, x1, x2] = 0 entonces la fórmula considerada

permitirá calcular la integral ∫b

a

f(x)·dx sin error (salvo los

errores de redondeo que se produzcan en la aplicación de la fórmula).

f) Los puntos del soporte pueden ser elegidos de forma tal que

pueda evaluarse la integral de cualquier polinomio de grado menor o igual que 5 sin error (salvo los errores de redondeo) .

g) Trabajando en el intervalo [0, 1] y no considerando los errores

de redondeo, ninguna elección de los tres puntos del soporte

permitirá evaluar el valor exacto de la integra −∫1

7

0

(x 2·x)·dx .

Solución: a) La afirmación realizada es falsa en un caso general. El que f[x0, x1, x2] sea nula implica que el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) en el soporte {x0, x1, x2} es:

p(x) = f(x0) + f[x0 , x1]·(x – x0)

pero ello no implica ni que la función y el polinomio interpolador coincida ni que tengan por qué hacerlo sus respectivas integrales en un intervalo [a, b] cualquiera. Ilustrémoslo con un ejemplo. Sea f(x) = (x3 + x)/2 y sean:

a = 2, = x0 = -1, x1 = 0 y b = x2 = 1 Se verifica que:

f(x0) = -1 f[x0, x1] = 1 f[x0, x1, x2] = 0

f(x1) = 0 f[x1, x2] = 1

f(x2) = 1


13

siendo el polinomio interpolador de f(x) en el sentido de Lagrange el polinomio: p(x) = -1 + 1·(x+1) = x

Se comprueba fácilmente que:

1 1

2 2

3 21p(x)·dx f (x)·dx2 8− −

− −= ≠ =∫ ∫

b) La afirmación b) es correcta pues las fórmulas de integración gaussiana construidas con soportes de (n+1) puntos permiten integrar sin error polinomios de grado menor o igual que (2·n+1). Como en este caso hay tres puntos, n = 2 y (2·n +1) = 5. c) La afirmación es falsa. Es bien sabido que las fórmulas gaussianas que proporcionan el mayor orden de integración, con tres puntos, permitirían integrar sin error todo polinomio de grado menor o igual que 5. Pero eso no implica que no pueda haber otras elecciones particulares de los tres puntos de integración que permitan integrar sin error un polinomio concreto de mayor grado. En efecto, se tiene que:

17

0

7(x 2·x)·dx8

−− =∫

y la única restricción que deben tener los puntos del soporte es que (-7/8) debe ser también el valor de la integral del polinomio interpolador de la función f(x) = (x7 – 2·x). Esto se traducirá en una única ecuación no lineal y en el polinomio tendremos tres grados de libertad (los puntos del soporte). Por tanto no puede descartarse que existan soluciones en el intervalo [0, 1] de dicha ecuación. Si por ejemplo fijamos dos puntos en los valores x0 = 0 y x2 = 1 y, por simplicidad denotamos por z a la posición en la que ubicar x1 se tendrán los polinomios de base de Lagrange:

L0(x) = (x z)·(x 1)z

− − , L1(x) = x·(x 1)z·(z 1)

−−

, L2(x) = x·(x z)(1 z)

−−

Cuyas integrales en [0, 1] toman los valores:

1

00

1 (1 z)L (x)·dx 13·z 2·z

+= − +∫


14

1

10

1L (x)·dx6·z·(1 z)

=−∫

1

20

1 bL (x)·dx3·(1 z) 2·(1 z)

= −− −∫

siendo la fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio:

1 1 1 1

0 1 20 0 0 0

f (x)·dx f (0)· L (x)·dx f (z)· L (x)·dx f (1)· L (x)·dx≈ + + =∫ ∫ ∫ ∫

7z 2·z z 1

6·z·(1 z) 2·(1 z) 3·(1 z)−

= + −− − −

Si se obliga a que este valor coincida con (-7/8) debe satisfacerse la ecuación:

7z 2·z z 1 7 06·z·(1 z) 2·(1 z) 3·(1 z) 8

−+ − + = ⇒

− − −

7z 2·z z 1 7·(1 z) 06·z 2 3 8−

⇒ + − + − = ⇒

61 3 5·z ·z 0

6 8 24⇒ − + = ⇒

64·z 9·z 5 0⇒ − + =

Cualquier solución de la ecuación anterior perteneciente al intervalo [0,1] nos proporcionará la posición del punto del soporte que estamos buscando. Tal solución puede buscarse, por ejemplo, mediante el método de Newton-Raphson, es decir, empleando el esquema iterativo:

6 6i i i

i 1 i 5 5i i

4·z 9·z 5 20·z 5z z24·z 9 24·z 9+

− + −= − =

− −

Partiendo de z0 = 0.5, se tienen los valores recogidos en la tabla siguiente: i xi |xi – xi-1|

0 0.5 1 0.568181818 0.068181818 2 0.570945491 0.002763583 3 0.570951773 0.63719·10-5 4 0.570951773 1.0·10-9


15

por lo que x1 = 0.570951773. En resumen el soporte {0, 0.570951773, 1} permitiría evaluar exactamente el

valor de 1

7

0

(x 2·x)·dx−∫ , mediante una fórmula de integración numérica de tipo

interpolatorio. NOTA: Existen muchas otras opciones para la elección del soporte de integración. Basta para determinarlas fijar dos puntos del soporte en posiciones diferentes a la aquí considerada.


16

CURSO 2003-2004 Examen final – Convocatoria de junio de 2004 Dada la función [ ]( )3 , ,f C a b∈ , se pide: a) Demostrar que la fórmula de integración numérica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )5 12 310

b

a

b af x dx f a f c f b R f

−= − + + +∫

es de tipo interpolatorio si se toma , , 22

ha h c b h= − = − = .

b) En las condiciones del apartado a), comprobar que la fórmula dada es exacta para todo polinomio de grado igual o menor que 2.

Solución: a) El polinomio interpolador de f(x) relativo al soporte {a, b, c} es:

( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 22

, , ,

1 1= 10 24 15 12 315 15

1 12 10 215

p x f a f a b x a f a b c x a x b

f b f c f c f af c f a b c c af a x a x a x c

c a b a

f a f c f b f a f c f b xh

f c f a f b xh

= + − + − − =

− −−− − −= + − + − − =

− −

− + + + − + + +

+ − + +

luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 -5 12 310

-5 12 310

b b

a a

hf x dx p x dx R f a f c f b R f

b aa f c f b R f

= + = + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

−= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

b) Sea F(x) la primitiva de la función f(x), es decir, F’(x) = f(x) o bien:

( ) ( ) ( ) ( )( 3 )b

a

f x dx F b F a F a h F a= − = + −∫

Si desarrollamos en serie de Taylor F(a+3h) alrededor de a:


17

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 39 273 3

2 6h hF a h F a hF a F a F a′ ′′ ′′′+ = + + + +…

resultando que el valor exacto de la integral, Iex, se puede expresar como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4

2 3 4

2 3 4

( 3 ) 3

9 27 8132 6 24

9 9 8132 2 24

9 9 8132 2 24

b

exa

iv

iv

I f x dx F b F a F a h F a F a h

h h hF a hF a F a F a F a F a

h h hhF a F a F a F a

h h hhf a f a f a f a

= = − = + − = + =

′ ′′ ′′′= + + + + + − =

′ ′′ ′′′= + + + + =

′ ′′ ′′′= + + + +

∫

…

…

…

Por otra parte:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

2 3

9 273 32 6

2 2 4 2 8 6

h hf b f a h f a hf a f a f a

h h h hf c f a f a f a f a f a

′ ′′ ′′′= + = + + + +

⎛ ⎞ ′ ′′ ′′′= + = + + + +⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠

…

…

con lo cual el valor aproximado, Iap, de la integral es:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3 4

5 12 310

9 9 3332 2 8

ap

b aI a f c f b

h h hhf a hf a f a f a

−= − + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

′ ′′ ′′′= + + + + =…

Por tanto, el error es:

( ) ( ) ( ) [ ]4

481 33 3 , ,24 8 4ex ap

hR f I I h f a f a bξ ξ⎛ ⎞ ′′′ ′′′= − = − + = − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

…


18

Examen final – Convocatoria de septiembre de 2004 Dada la fórmula de integración numérica:

( ) ( ) ( ) ( )34

b

a

b af x dx f a f a h R f−= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∫

donde 0 h b< ≤ y se supone que [ ]( )3 , ,f C a b∈ . Se pide determinar el valor de h para que con la fórmula dada se pueda integrar de forma exacta cualquier polinomio de grado igual o menor que dos. Solución: Método 1 Sea ( ) 2

0 1 2p x a a x a x= + + e integrémoslo mediante la fórmula dada, obligando a que la solución sea exacta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

20 1 2

220 1 2 0 1 2

220 1 2

34

34

4 3 34 4

b b

a a

b ap x dx a a x a x dx p a p a h

b a a a a a a a a a h a a h

b a b ab a a a h a a a h a

−= + + = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

− ⎡ ⎤= + + + + + + + =⎣ ⎦

− −= − + + + + +

∫ ∫

(*)

y, por otra parte:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 32

0 1 2 0 1 2

2 2 3 30 1 2

2 31 12 3

bb b

a a a

x xp x dx a a x a x dx a x a a

a b a a b a a b a

⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + − + −

∫ ∫ (**)

Identificando los coeficientes de a0, a1 y a2 en (*) y (**):

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

22 3 3

[1]1[2] 4 3

4 21[3] 3

4 3

b a b ab a a h b a

b a a a h b a

− = −

−+ = −

−+ + = −

De [2]:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 24 34 2 2 3

b a a h b a b a b a h b a−+ = − = − + ⇒ = −

siendo fácil comprobar que este valor de h también satisface la ecuación [3]. Método 2


19

Sea F(x) la función primitiva de f(x):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4

2 3 4

2 6 24

2 6 24

b

exa

iv

I f x dx F b F a F a b a F a

b a b a b aF a b a F a F a F a F a F a

b a b a b ab a f a f a f a f a

= = − = + − − =

− − −′ ′′ ′′′= + − + + + + − =

− − −′ ′′ ′′′= − + + + +

∫

…

…

Por otra parte:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

34

3 33 34 2 6

apb aI f a f a h

b a h hf a f a hf a f a f a

−= + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤− ′ ′′ ′′′= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

…

El error de integración numérica es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3 2

4 3

3 32 4 6 8

324 24

ex ap

b a b a h b a b a hR f I I f a f a

b a b a hf a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −′ ′′= − = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤− −

′′′+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…

Para que la fórmula sea exacta para todo polinomio de grado igual o menor que 2 es necesario que se anulen los coeficientes de f’(a) y de f’’(a):

( ) ( ) ( )2 3 20

2 4 3b a b a h

h b a− −

− = ⇒ = −

Es fácil comprobar que para este valor de h también se anula el coeficiente de f’’(a):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 32

433 9 06 8 6 8

b a b ab a b a h b a − −− − −− = − =

Y el error de integración resultante para este valor de h es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]4 433

, ,24 24 216

b a b a h b aR f f a f a bξ ξ

⎡ ⎤− − −′′′ ′′′= − + = ∈⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦…


20

CURSO 2004-2005 Examen final – Convocatoria de diciembre de 2004 Aproximar:

4

4

cos( )x dx

π

π−

∫

mediante una fórmula de cuadratura de Gauss de cuatro puntos, sabiendo que en el intervalo [0,π] los pesos, ωi, y las abcisas, ξi, correspondientes a esta fórmula son:

ξi ωi 0.21814 0.54640 1.03676 1.02438 2.10484 1.02438 2.92346 0.54640

Solución: Dado que conocemos los pesos y las abcisas de la fórmula en el intervalo [0,π],

hemos de transformar el intervalo de integración ,4 4π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

en el [0,π], para ello:

10

4 4 4 21 1

4 2 2

a b a xx a b

a b b dx d

π π π ξξ

π π ξ

⎧− = − ⋅ = − = − +⎪⎪= + ⇒ ⇒ ⇒⎨⎪ = + = =⎪⎩

Por tanto:

4 3

004

1 1 1 1cos( ) cos cos 1.4142022 4 2 2 4 2i i

i

x dx d

ππ

π

π πξ ξ ω ξ=

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ≈ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∫ ∫

Como comprobación, calculemos el valor exacto de esta integral:

4

4

cos( ) sin sin 2sin 2 1.4142144 4 4

x dx

π

π

π π π

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫


21

De una función f(x), que se supone integrable en el intervalo [0,h] (h>0), se conocen los siguientes valores: f(0), f’(h) y f’’(2h). Se pide:

a) Determinar una fórmula de integración numérica que, utilizando

como soporte los puntos {0, h, 2h}, permita aproximar:

( )0

hf x dx∫

en función de f(0), f’(h) y f’’(2h).

b) Determinar el error de integración numérica de la fórmula obtenida en el apartado a).

Solución: Disponemos de tres condiciones para definir un polinomio, p(x), que aproxime la función f en el intervalo [0, 2h]. Así pues, p(x) será un polinomio de segundo grado de la forma:

( ) 2p x a bx cx= + +

y deberá cumplirse:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

20

0 0 0 02 2

2 2 2 1 22

a ff p a b c af h p h b ch b f h hf hf h p h c

c f h

⎧ =⎪⎫= = + ⋅ + ⋅ = ⎪⎪ ⎪′ ′ ′ ′′= = + ⇒ = −⎬ ⎨⎪ ⎪′′ ′′= = ⎭ ⎪ ′′=⎪⎩

Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 210 2 22

p x f f h hf h x f h x′ ′′ ′′= + − +

Aproximamos la integral de f(x) mediante la integral de p(x):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

2 3

2 32

ε

1 10 2 2 ε2 6

0 2 ε 6 0 3 2 2 ε2 3 6

h hf x dx p x dx x

f h f h hf h h f h h x

h h hhf f h f h x f hf h h f h x

= + =

′ ′′ ′′+ − + + =

′ ′′ ′ ′′⎡ ⎤+ − + = + − +⎣ ⎦

∫ ∫


22

donde ( )ε x es el error de integración numérica. Supongamos que F(x) es la primitiva de f(x). El valor exacto de la integral es:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

2 3 4

2 3 4

2 3 4

0

0 0 0 0 0 02 6 24

0 0 0 02 6 24

0 0 0 02 6 24

h

exacta

iv

iv

I f x dx F h F

h h hF hF F F F F

h h hhF F F F

h h hhf f f f

= = − =

⎡ ⎤′ ′′ ′′′= + + + + + − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

′ ′′ ′′′= + + + + =

′ ′′ ′′′= + + + +

∫…

…

…

Por otra parte, desarrollando en serie de Taylor alrededor de x = 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

2 3

0 0 0 02 6

4 82 0 2 0 0 02 6

iv

iv v

h hf h f hf f f

h hf h f hf f f

′ ′ ′′ ′′′= + + + +

′′ ′′ ′′′= + + + +

…

…

Y, sustituyendo estos valores en la fórmula de integración numérica obtenida, podemos obtener el valor de la integral aproximada:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 3 4 5

6 0 3 2 26

5 210 0 0 0 02 6 12 36

aprox

iv

hI f hf h h f h

h h h hhf f f f f

′ ′′⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦

′ ′′ ′′′= + + − − =

Por tanto, el error es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

2 3 4

2 3 4 5

4 4

ε 0 0 0 02 6 24

5 210 0 0 0 02 6 12 36

11 110 ξ , ξ 0, 224 24

exacta aprox

iv

h h hx I I hf f f f

h h h hhf f f f f

h hf f h

′ ′′ ′′′= − = + + + + −

⎛ ⎞′ ′′ ′′′− + + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

′′′ ′′′= + = ∈

…

…


23

Examen final – Convocatoria de junio de 2005 Determinar los puntos de integración, 0 1, , , nx x x… , para que la fórmula de cuadratura gaussiana:

( ) ( ) ( )1

01

n

i ii

f x dx c f x r f=−

= +∑∫

sea exacta para todo polinomio de grado igual o menor que 5.

Solución: a) Dado que las fórmulas de cuadratura gaussiana son exactas de orden 2n+1, una

fórmula de este tipo que sea exacta de orden 5 ha de tener 3 puntos de soporte, n=2, que serán, en el intervalo [-1, 1], las raíces del polinomio de Legendre de grado 3. Los dos primeros polinomios de Legendre son:

( )( )

0

1

1p x

p x x

=

=

Si ( ) 2

2 0 1 2p x a a x a x= + + es el polinomio de Legendre de grado 2, éste cumplirá:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 12

0 2 0 1 2 0 2 01 1

11 12

21 2 0 1 2 11 1

20 2 13

02 303

p x p x dx a a x a x dx a a aa

ap x p x dx x a a x a x dx a

− −

− −

⎫= = + + = + =⎧⎪

⎪ ⎪⇒ =⎬ ⎨⎪ ⎪ = −= = + + = ⎩⎪⎭

∫ ∫

∫ ∫

Si ( ) 2 3

3 0 1 2 3p x a a x a x a x= + + + es el polinomio de Legendre de grado 3, éste cumplirá:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 12 3

0 3 0 1 2 3 0 2 01 1

1 1 12 3

1 3 0 1 2 3 1 3 21 1

1 132 2 3

1 3 0 1 2 3 21 1

20 2 031

2 20 03 55

8 30 1 315

p x p x dx a a x a x a x dx a a aa

p x p x dx x a a x a x a x dx a a a

ap x p x dx x a a x a x a x dx a

− −

− −

− −

⎫= = + + + = + ⎪ =⎧

⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎪ ⎪= = + + + = + ⇒ =⎬ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪ = −

⎪⎪ ⎩= = − + + + = −⎪⎭

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Es decir, ( ) 33

53

p x x x= − , cuyas raíces son 0 1 23 3, 0,5 5

x x x= − = = .

b) Si se desea calcular los coeficientes de la fórmula basta tener en cuenta que:


24

1 2

01

0,1, 2ji

j i jj i

x xc dx i

x x=−≠

−= =

−∏∫

luego:

( )1 1

1 20

0 1 0 21 1

12

1

1 1 3053 3 30

5 5 5

5 3 106 5 18

x x x xc dx x x dxx x x x

x x dx

− −

−

⎛ ⎞− −= = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

1 1

0 21

1 0 1 21 1

12

1

1 1 3 35 53 30 0

5 5

5 3 83 5 9


x dx

− −

−

⎛ ⎞⎛ ⎞− −= = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

( )1 1

0 12

2 0 2 11 1

12

1

1 1 3 053 3 3 0

5 5 5

5 3 106 5 18


x x dx

− −

−

⎛ ⎞− −= = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Es decir, la fórmula resultante es:

( ) ( ) ( )1

1

10 3 8 10 308 5 9 8 5

f x dx f f f r f−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Nota 1: debido a la simetría de las fórmulas de cuadratura gaussiana, no es necesario realizar el cálculo de c2 pues, necesariamente, c2 = c0.

Nota 2: Otra forma de resolver esta cuestión es hacer uso del siguiente teorema: La

fórmula ( ) ( ) ( )0

b n

i iia

f x dx c f x r f=

= +∑∫ es exacta para todo polinomio de grado menor o

igual que n+q, 1 1q n≤ ≤ + si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

a) Es de tipo interpolatorio.

b) ( )0

0, 0,1, , 1b n

ki

ia

x x x dx k q=

− = = −∏∫ …

En nuestro caso:


25

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

( )

( )

1

0 1 20 1 2 0 1 21

01

0 1 2 0 1 0 2 1 2 11

212 0 1 2 0 1 2

0 1 21

20 2 03 0.77459666922 20 0 05 3

0.77459666922 2 00 5 3

x x x x x x dx x x x x x xx

x x x x x x x dx x x x x x x xx

x x x x x xx x x x x x x dx

−

−

−

⎫⎫− − − = ⎪ + + + = ⎪⎪ = −⎪⎪⎪ ⎪− − − = ⇒ + + + = ⇒ =⎬ ⎬

⎪ ⎪ =⎪ ⎪+ + + =⎪ ⎪− − − = ⎭⎪⎭

∫

∫

∫

Determinar los puntos de integración, 0 1 2, ,x x x , para que la fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio:

( ) ( ) ( )1 2

01i i

i

f x dx c f x r f=−

= +∑∫

sea del mayor orden de exactitud posible.

Solución: Las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio de orden de exactitud más elevado son las de cuadratura gaussiana, cuyo orden de exactitud es 2n+1. Como la fórmula dada tiene 3 puntos de soporte, n = 2, su orden de exactitud será 5. Por tanto, la resolución de este ejercicio es idéntica a la del ejercicio anterior. Examen final – Convocatoria de septiembre de 2005 Sea h un número real estrictamente positivo. Se consideran los tres puntos x0=0, x1=h y x2=2h. Si f(x) es una función integrable en el intevalo [h/2, 5h/2], se pide:

a) Encontrar una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio que, utilizando como soporte {x0, x1, x2}, permita aproximar:

( )52

2

h

h

f x dx∫

b) Determinar el error de integración numérica cometido al utilizar

la fórmula obtenida en el apartado a)


26

Solución:

a) El polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) relativo al soporte {x0, x1, x2} dado es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 0 0 1 20 2

20 0

2f x f x f x f x f x

p x f x x x x hh h− − +

= + − + − −

que, una vez integrado entre h/2 y 5h/2 resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

5 52 22 2

1 00

2 2

3 2 3 20 1 2

2

0 1 0 0 1 2

0 1 2

5 252 2 2 4 2 4

2 125 252 3 8 2 4 3 8 2 4

92 3 216

10 1312

h h

h h

f x f xh h h hf x dx p x dx f xh

f x f x f x h h h hh hh

hf x h f x f x h f x f x f x

h f x f x f x

− ⎛ ⎞⎛ ⎞≈ = − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + ⎛ ⎞+ − − + =⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

= + − + − +

= + +

∫ ∫

Por tanto, la fórmula buscada es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )52

2

0 10 13 212

h

h

hf x dx f f h f h r f= + + +∫

donde r(f) es el error de integración numérica.

b) Sea F(x) la función primitiva de f(x), esto es, f(x)=F(x). Por el

teorema fundamental del Cálculo sabemos que:

( )52

2

5 22 2 2 2

h

h

h h h hf x dx F F F h F⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Desarrollando en serie de Taylor alrededor de h/2:

2 3 45 4 8 162 22 2 2 2 2 2 6 2 24 2

ivh h h h h h h h h hF F h F hF F F F⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= + = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…


27

Por tanto:

( )52

22 3 4

2 3 4

5 22 2 2 2

2 4 8 162 1 2 2 2 6 2 24 2 2

2 4 8 161 2 2 2 6 2 2

h

exh

iv

h h h hI f x dx F F F h F

h h h h h h h h h hF F F F F F

h h h h h h hF F F

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= + + + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

…

3 42

4 24 22 2

2 2 3 2 3 2

iv hF

h h h h h hhf h f f f

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…

…

´

Por otra parte:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 3

0

2 3

1

2

02 2 2 2 2 2 4 2 6 8 2

2 2 2 2 2 2 4 2 6 8 23 32

2 2 2 2 2

h h h h h h h h hf x f f f f f f

h h h h h h h h hf x f h f f f f f

h h h h hf x f h f f f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= = − = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= = + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛′= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

…

…

2 39 272 4 2 6 8 2

h h h hf f⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′′+ + +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠…

de donde:

( ) ( ) ( )( )3 4

20 1 2

4 510 13 2 212 2 2 3 2 8 2aph h h h h h hI f x f x f x hf h f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′= + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠…

Luego, el error de integración numérica es:

( ) ( )4 4277 277 5, ,

648 2 648 2 2ex aph h h h hr f I I f f ξ ξ⎛ ⎞ ⎡ ⎤′′′ ′′′= − = − + = − ∈⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

…


28

CURSO 2005-06 Examen final – Convocatoria de junio de 2006 Aproximar:

3

20 1

x dxx+∫

mediante una fórmula de cuadratura de Gauss de cuatro puntos sabiendo que en el intervalo [1,2] las abcisas (ξi, i = 0, 1, 2, 3) y los coeficientes (ωi, i = 0, 1, 2, 3) de una fórmula de este tipo son:

i ξi ωi 0 1.069 0.174 1 1.330 0.326 2 1.670 0.326 3 1.930 0.174

Solución: Como nos dan los coeficientes y las abcisas de la fórmula de Gauss en el intervalo [1, 2], habremos de transformar el intervalo de integración, [0, 3], en el intervalo [1, 2]. Para ello hagamos el cambio de variable:

0, 1: 0 3 3 33, 2 : 3 2 3 3

x xx

x dx dξ α β α ξ

α βξξ α β β ξ

⎧ = = = + = − = − +⎧ ⎧= + ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨= = = + = =⎩ ⎩⎩

luego:

( ) ( )

3 2 3

2 2200 1

3 33 33 3 1.1484148061 1 3 3 1 3 3

ii

i i

x dx dx

ξξ ξ ωξ ξ=

− +− += ≈ =

+ + − + + − +∑∫ ∫

Examen final – Convocatoria de septiembre de 2006 De una cierta función f(x) se conocen los valores f0, f1 y f2 que toma respectivamente en los puntos x0, x1 y x2, equidistantes una distancia h.

Además, se consideran los puntos ( )0 112

a x x= + y 2b x h= + . Se pide:

a) Determinar una fórmula de integración numérica de tipo

interpolatorio que, utilizando como soporte {x0, x1, x2}, permita aproximar:

( )

b

af x dx∫


29

b) Determinar el error de integración numérica de la fórmula obtenida en el apartado a)

Solución:

a) Tomemos: 0 1 20, , 2 , , 32hx x h x h a b h= = = = = y aproximemos

f(x) mediante su polinomio interpolador, p(x), relativo al soporte {x0, x1 y x2}:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1 0 2 1 00 0 0 12

1 0 2 1 00 2

20 1 2 2 1 00 2

22

22

3 4 22 2

f f f f ff x p x f x x x x x xh h

f f f f ff x x x hh h

f f f f f ff x xh h

− − +≈ = + − + − − =

− − += + + − =

− + − += − +

e integrando éste entre a y b:

( ) ( ) ( )0 1 25 2 1124

b b

a a

hf x dx p x dx f f f≈ = − +∫ ∫

que es la fórmula pedida en el apartado a).

b) Sea F(x) la primitiva de f(x), es decir: ( ) ( )f x F x′= :

( ) ( ) ( ) ( )0 3 02

b

a

hf x dx F b F a F h F ⎛ ⎞= − = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ,

Desarrollemos en serie de Taylor alrededor de x=0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 49 27 810 3 0 3 0 0 0 0

2 6 24ivh h hF h F hF F F F′ ′′ ′′′+ = + + + + +…

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4

0 0 0 0 0 02 2 8 48 384

ivh h h h hF F F F F F⎛ ⎞ ′ ′′ ′′′+ = + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

…

por tanto:


30

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2 3 4

9 27 810 3 0 0 0 02 6 24

0 0 0 0 02 8 48 384

5 35 215 12950 0 0 02 8 48 3845 35 215 12950 0 0 02 8 48 384

iv

iv

iv

h h hF b F a F hF F F F

h h h hF F F F F

h h h hF F F F

h h h hf f f f

′ ′′ ′′′− = + + + + + −

′ ′′ ′′′− − − − − − =

′ ′′ ′′′+ + + + =

′ ′′ ′′′+ + + +

…

…

…

…

Por otra parte:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

1 0

2 3

2 0

0 0 0 02 6

4 82 0 2 0 0 02 6

h hf x f x h f hf f f

h hf x f x h f hf f f

′ ′′ ′′′= + = + + + +

′ ′′ ′′′= + = + + + +

…

…

y, por tanto:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2

2 3 2 3

2 3

5 2 11245 4 82 0 0 0 0 0 11 0 2 0 0 024 2 6 2 6

5 43 8712 0 21 0 0 024 2 6

h f f f

h h h h hf f hf f f f hf f f

h h hf hf f f

− + =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′′′− + + + + + + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞

′ ′′ ′′′+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

… …

…

En definitiva, el error será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]

2 3 4

2 3

4 4 4

5 35 215 12950 0 0 02 8 48 384

5 43 8712 0 21 0 0 024 2 6

1295 5 87 45 450 0 , ,384 24 6 28 28

h h h hr f f f f f

h h hf hf f f

h f h f h f a bξ ξ

′ ′′ ′′′= + + + + −

⎛ ⎞′ ′′ ′′′− + + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′′′ ′′′ ′′′= − + = + = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

…

…

… …


31

CURSO 2006-07 Examen final - Convocatoria de diciembre de 2006 Las abcisas y los coeficientes de la fórmula de cuadratura gaussiana:

( ) ( ) ( )2 3

01i i

i

f d f r fξ ξ ω ξ=

= +∑∫

son: i ξi ωi 0 1.0694 0.1740 1 1.3301 0.3261 2 1.6701 0.3261 3 1.9306 0.1740

Se pide:

a) Determinar las abcisas y los coeficientes de la fórmula de cuadratura gaussiana:

( ) ( ) ( )1 3

00i i

i

f x dx a f x r f=

= +∑∫

b) Aplicar la fórmula obtenida en el apartado a) para aproximar el valor de:

( )1

0

xe x dx−∫

Solución: a) Hagamos el cambio de variable:

0, 1 0 11, 1

1, 2 1 2x x

xx dx d

ξ α β ξα βξ α β

ξ α β ξ= = ⇒ = + = − +⎧ ⎧

= + ⇒ ⇒ = − = ⇒⎨ ⎨= = ⇒ = + =⎩ ⎩

lo que transforma la integral en:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

00 1

1 1i ii

f x dx f d f r fξ ξ ω ξ=

= − + = − + +∑∫ ∫

siendo las abcisas por tanto:

0

1

2

3

1 1.0694 0.06941 1.3301 0.3301

11 1.6701 0.67011 1.9306 0.9306

i i

xx

xxx

ξ

= − + =⎧⎪ = − + =⎪= − + ⇒ ⎨ = − + =⎪⎪ = − + =⎩


32

y los coeficientes, , 0,1, 2,3i ia iω= = .

b) Utilizando la fórmula obtenida en el apartado a):

( ) ( ) ( )

( ) ( )

10.0694 0.3301

0

0.6701 0.9306

0.1740 0.0694 0.3261 0.3301

0.3261 0.6701 0.1740 0.9306 1.2186

xe x dx e e

e e

− ≈ − + − +

+ − + − =

∫

ejercicios de integraciÓn numÉrica...

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