Universidad Fermín toro

Vice rectorado académico

Facultad de ingeniería

Escuela de Mantenimiento Mecánico

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales

Alumnos:

Jorge Montilla

C.I: 15187701

Mauren Torrealba

C.I: 18323817

Matemática 4

Cabudare, Junio del 2015

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales

1. Determine si la función es solución de la ecuación diferencialY= senx.Ln (cscx + ctgx) ; Y” + Y= -ctgxDerivando:Y´= cosx.Ln (cscx + cotgx) + senx . 1/cscx + ctgx . (-cscxcotgx-csc2x)Y´= cosx.Ln ( cscx + ctgx)- senxcscx (cotgx+csc 2 x)

(cscx + ctgx)

Y´= cosx.Ln (cscx+cotgx) – senx . 1/senxY´= cosx.Ln (cscx+ctgx)Y”= -senx.Ln (csx+cotx) + -cscxcotgx-(csc 2 x.cosx)

Cscx+ctgxY”= -senx.Ln (csx+cotx) – csx.cscx.(cscx+ctgx)

(cscx+ctgx)Y”= -senx.Ln (csx+cotx) – cosx . 1/senxY”= -senx.Ln (csx+cotx) – ctgx

Sustituyendo:Y” + Y = -senx.Ln (csx+cotx) – ctgx + senxLn(cscx+ctgx)Y” + Y = -ctgx

Así, Y= senxLn(cscx+ctgx) es solución de Y” + Y= -ctgx

2.- Resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

a.-) senxcosxY´ + Y=tg2x

Y´ + 1/senxcosx Y= tg2x/senxcosx

Y´ + 2/sen2x Y= tg2x/senxcosx

La ecuación es lineal con P(x)= 2/sen2x

q(x)= tg2x/ senxcosx

Factor integrante

μ=e∫P(x)dx = e∫2/senx. dx = e 2∫cscx2xdx

μ=e2 1/2xLn (csc2x-cotg2x) = csc2x-cotg2x

Solución

Y= 1/μ (∫μ4(x)dex+c)

Y= 1/csc2x-cotag2x (∫(csc2x-cotag2x). tg2x/senxcosx dx+c)

{ {

Y= 1/1-cos2x/sen2x ( ∫1-cos2x/sen2x . tg2x/senxcosx dx+c)

Y= sen2x/2sen2x ( ∫2sen2x/ sen2x . tg2x/senxcosx dx+c)

Y= 2senxcosc/sen2x (∫2sen2x/2senxcosc . tg2x/senxcosx dx+c)

Y= 2cosc/senx (∫tg2x/cos 2 x dx+c)

I= 2cotagx (∫1-cos2x/cos2x dx+c)

I= 2cotagx (∫sec 4xdx - ∫sec 2xdx dx+c)

I= 2cotagx (tgx+1/3tg3x-tgx+c)

I= 2cotagx. 1/3tg3x+c cotsx

I= 2/3 tg2x - c cotsx

b.-) (e2y-Ycosxy)dx+(2x e2y – xcosxy+2y)dy=0

M= e2y-Ycosxy ; N= 2x e2y – xcosxy+2y

∂M/∂y = 2x e2y-cosxy+xysenxy

∂N/∂y = 2x e2y-cosxy+xysenxy

∂M/∂y= ∂N/∂y la ecuación es exacta

La solución sería F(x,y)=c, siendo

∂f/∂x=M ∂f/∂x= e2y-Ycosxy (ec1)

∂f/∂y= N ∂f/∂y= 2x e2y – xcosxy+2y (ec2)

Integro la ec1:

F(x,y)= ∫( e2y-Ycosxy)dx +g(y)

F(x,y)=xe2x-senxy+g(y) (eca)

Derivo eca respecto a Y

∂f/∂y = 2x e2y – xcosxy+g`(y) (ecb)

Integro ecb y ec2

2x e2y – xcosxy+g`(y)= 2x e2y – xcosxy+2y

g`(y)= 2y → g= y2

sustituyo g(y) en eca

F(x,y)=xe2x-senxy+y2

La solución sería

F(x,y)=c

xe2x-senxy+y2= c

3.- Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados

a.- Y”+Y´= 2e2xsenx

b.- Y”+9Y= 93x+3cosx

a.- Y”+Y´= 2e2xsenx

Ecuación Homogénea Raices

Y”+Y´=0 m2+m=0

m(m+1)=0

m1=0 , m2=-1

Solución homogénea:

Yh= c1em1x + c2em2x

Yh= c1e0 + c2e-1x

Yh= c1+ c2e-x

Solución particular

Yp= e2x(Acosx+Bsenx), ya que F(x)= 2e2xsenx

Derivando:

Yp`= e2x(2Acosx+2Bsenx- Asenx+Bcosx)

Yp`= e2x((2A+B)cosx+(2B- A)senx)

Yp`= e2x((4A+2B)cosx+(4B-2A)senx)+ (-2A-B)senx+(2B- A)cosx)

Yp”: e2x ((3A+4B)cosx+ (-4A-3B)senx)

Sustituyo en la ecuación diferencial

Y”+Y´= 2e2xsenx

e2x[(5A+5B)cosx+(-5A+5B)senx]= 2e2xsenx

{5A+5B=0 A=-1/5

-5A+5B=2 B= 1/5

Así: Yp= e2x (-1/5 cosx + 1/5 senx)

La solución es:

Y= Yh+Yp

Y= c1+c2e-x+ e2x (-1/5 cosx + 1/5 senx)

b.- Y”+9Y= 93x+3cosx

Ecuación Homogénea Raices

Y”+9Y= 0 m2+a=0

m= ±3i

Solución Homogénea

Yh= C1cos3x+C2sen3x

Solución Particular

Como F(x)= 93x+3cosx

Entonces:

Yp= Ax+B+Ccosx+Dsenx

Derivando:

Yp´= A-Csex+Dcosx

Yp”= -Ccosx-Dsenx

Sustituyo en la ecuación diferencial

Yp”+9Yp= 93x+3cosx

-Ccosx-Dsenx+3ª+3B+3cosx-3Dsenx=93x+3cosx

2Ccosx-4Dsenx+3Ax+3B= 93x+3cosx

2C=3 C=3/2

-4D=0 D=0

3A=93 A=31

3B=0 B=0

Luego: Yp= 31x+3/2 cosx

Solución general

Y= Yh+Yp

Y=C1cos3X+C2sen3x+31x+3/2 cosx

4.- Resolver por variación de parámetros

Y”+9Y= ¼ (cosec3X)

Ecuación homogénea Raices

Y”+9Y=0 m2+a=0

m= ±3i

Solución Homogenea

Yh= C1cos3x+C2sen3x

Solución Particular

Yp= cos3x. C1(x)+sen3x. C2(x)

Resuelvo el sistema:

cos3x. C1`(x)+sen3x. C2`(x)=0

-3sen3xC1`(x)+ 3cos3x C2`(x)= ¼ cosec3X

Aplicando Cramer:

0 sen3x

C1`(x)= ¼ cosec3x 3cos3x

Cos3x sen3x

-3senx 3cos3x

C1`(x)= -1/4 csc3x.sen3x = -1/4 1/sen3x sen3x

3cos23x+ 3sen23x 3

C1`(x)= -1/12 => C1`(x)= -1/12 x

Cos3x 0

C2`(x)= -3sen3x ¼ csc3x

3

C2`(x)= 1/3. ¼ cos3x.csc3x= 1/12 cotg3x

C2`(x)= 1/12 ∫ cotg3xdx = 1/12 . 1/3 Ln(sen3x) = 1/36 Ln Isen3xI

Luego:

Yp= -1/12 x . cos3x + 1/36 Ln Isen3xI sen3x

Solución general

Y= Yh + Yp

Y= C1cos3x+C2sen3x - 1/12 x . cos3x + 1/36 Ln Isen3xI sen3x