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AnálisisIntegrales 1

1. Calcular la integral:

1. 2x2dx 2. x+ex dx 3. x3+3x2-x+12x

dx 4. 3dx2+2x2

5. sen(2x+1)dx 6. 1-2xdx 7. dx2x-3

8. x3dx

4-x49. xdx

2+x

10. dxx·lnx

11. dx

2-2x212. dx

9-4x213. dx

4+x214. 42xdx

15. (2-x)cos2x dx 16. lnxx3

dx 17. x2e2xdx 18. x2sen2x dx

19. x3e-2xdx 20. x3

x+2dx 21. x2

x2+x-2dx 22. x2+x-2

2x2-6dx 23. x3-2

x2+4x+4dx

24. x2+1x2+2

dx

2. (1) Describir el método de integración por cambio de variable.

(2) Usando el cambio de variable t = tgx, hallar dxcos2x+cosx·senx

3. Determinar una función f:ℜ→ℜ sabiendo que es tres veces derivable, que f ´´´(x) = 24x para cada punto x de ℜ yque f(0) = 0, f ´(0) = 1 y f ´´(0) = 2.

4. (1) Sabiendo que F es una primitiva de una función f, halla una primitiva de f que se anule en el punto x=a.(2) De una función g:ℜ→ℜ se sabe que es dos veces derivable y también que g(0) = 5, g´(0) = 0 y g´´(x) = 8, ∀x∈ℜ.Calcular una expresión algebraica de esta función g.

5. La gráfica de la función derivada de f(x) es una recta que pasa por el origen y el punto (2,1). Sabiendo que la gráficade f(x) pasa por el punto (0,-4), hallar la expresión analítica de la función f ´(x) y de la función f(x).

6. De la función f:ℜ→ℜ se sabe que f´´(x) = x2+2x+2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2).Hallar la expresión de f.

7. Hallar una función f:ℜ→ℜ sabiendo que en el origen su gráfica tiene tangente horizontal, siendo un punto deinflexión, y f ´´´(x) = 6.

8. Determinar la función f:ℜ→ℜ sabiendo que su derivada segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente asu gráfica en el punto de abscisa x=1 es 5x-y-3 = 0.

9. (1) Calcular, de manera razonada, todas las funciones ℜ→ℜ que verifican f ´(x) = ex , si x < 02x+1 , si x > 0

(2) Estudiar la derivabilidad de cada una de las funciones f halladas.

10. (1) Determinar razonadamente la expresión algebraica de una función continua f:ℜ→ℜ que cumpla las siguientes

condiciones: f(3) = 3 ; f ´(x) = 0 , si x < 3x , si x > 3

(2) Razona si la función f es derivable en el punto x = 3.(3) Esboza la gráfica de esta función f.

Página 1 de 7 29 de enero de 2006



11. En la figura adjunta se representa la gráfica de la función derivada f ´ de una ciertafunción f:[0,1]→ℜ.(1) Hallar una expresión algebraica de f sabiendo que su gráfica pasa por el origen decoordenadas.(2) Representar gráficamente la función f.(3) Estudiar la derivabilidad de la función f ´.

12. (1) Describe un procedimiento de integración por partes.(2) Determina una función f:[0,+∞)→ℜ sabiendo que su función derivada viene dada por f ´(x) = Ln[(x+3)(x+1)] y quef(0) = Ln(27), donde Ln representa el logaritmo neperiano de x.

13. De todas las primitivas de la función f:ℜ→ℜ dada por f(x) = 1 + x|x| determinar aquella cuya gráfica pasa por elpunto (1,0).

14. Calcular la integral:

1. 5

(x-3)2dx4

2. 1

5x4-3x2+2x-1 dx-1

3.

adxx+a

0

4.

π4tgx dx

0

5. π

sen2x dx0

6.

π2x·senx dx

0

7.

1

3x3+1x2-x-2

dx

0

15. Siendo f(x) = |x+2|, calcular 3f(x)dx

-3

16. Determinar un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que: P(0) = P(2) = 1 y 2P(x)dx

0 = 1

3.

17. De la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = ax3+bx2+cx+d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de

inflexión en (0,0) y que 1

f(x)dx0

= 54

.

Calcular a, b, c y d.

18. Una locomotora sale de una estación y viaja durante una hora a lo largo de una trayectoria rectilínea. La velocidaddela locomotora al cabo de t horas viene dada, en km/h, por la fórmula v(t) = 400t3-1200t2+800t (0≤t≤1).(1) Calcular el espacio total que recorre la locomotora.(2) Determinar la velocidad máxima que alcanza la locomotora y el instante en que lo hace.

19. Considerar la función f:ℜ→ℜ definida de la forma f(x) = 1+x|x|.(1) Hallar la derivada de f.(2) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(3) Calcular 2

xf(x)dx-1

20. (1) Definir el concepto de derivada de una función en un punto.(2) Estudiar la derivabilidad de la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = |x|ex.

(3) Siendo f la función dada en el apartado anterior, calcular 1f(x)dx

0.




21. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) = -2x3-9x2-12x.(a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(b) Determinar los extremos relativos α y β de f, con α<β, y calcular β

f(x)dxα

.

22. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) = x , si x ≤ 0x·sen(x) , si x > 0

.

(1) Estudiar su derivabilidad.

(2) Calcular π/22f(x)dx

-1.

23. (1) Estudia, según los valores de b, la derivabilidad de la función f definida por f(x) = 1

x-1, si x < 0

x2+bx-1 , si x ≥ 0

(2) Calcular 3f(x)dx

-1

24. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considerar la función f:(-1,+∞)→ℜ definida por f(x) = a(x-1) si -1 < x ≤ 1xLn(x) si x > 1

(a) Determinar el valor de a sabiendo que f es derivable.

(b) Calcular 2f(x)dx

0.

25. Dada la función f definida por f(x) = 2

x-2, x < 1

x+a , x ≥ 1(1) Hallar el valor de a para que la función sea continua.(2) Estudiar la derivabilidad.

(3) Calcular 3f(x)dx

-3

26. Sea f:[-a,a]→ℜ, con a>0, una función continua tal que af(x)dx = 0

-a. Responde razonadamente a las siguientes

preguntas:(1) ¿Es necesariamente f(x) = 0 para todo x∈[-a,a]?

(2) ¿Es necesariamente a|f(x)|dx = 0

-a?

(3) ¿Es necesariamente af(-x)dx = 0?

-a

(4) ¿Cuánto vale a[f(x) + 2x]dx

-a?

27. Sabiendo que 5f(x)dx = 3

1,

5g(x)dx = 3

1,

3f(x)dx = 3

1 y

5g(x)dx = 3

3, calcular

5f(x)+3g(x) dx

3 -

33f(x)+g(x) dx

1

28. Sea f la función definida por f(x) = 3x2-4

, para x ≠ 2 y x ≠ -2.

(1) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.




(2) Teniendo en cuenta como es la función en el intervalo [3,4] demostrar, sin calcular la integral, que se cumple:

14

≤ 4f(x)dx

3 ≤ 3

5

29. Si una función f:[1,b]→ℜ es integrable, se llama valor medio de f en el intervalo [a,b] al número m = 1b-a

bf(x)dx

a.

Para hacer un estudio sobre la capacidad de memorizar de un niño se utiliza el siguiente modelo: Si x es su edad enaños, entonces su capacidad de memorizar viene dada por: f(x) = 1 + 2xLn(x) 0 ≤ x ≤ 5 , donde Ln(x) es ellogaritmo neperiano de x.(1) Describe el método de integración por partes.(2) Encuentra, usando el modelo descrito, el valor medio de la capacidad de memorizar de un niño entre su primer ytercer cumpleaños.

30. Calcular la derivada de la siguiente función, sin efectuar la integral: f(x) = x

t2+2t-2 dt0

31. (1) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral.(2) Aplicar dicho teorema para calcular las abscisas de los máximos y mínimos locales de la función f:ℜ→ℜ, definida

por f(x) = x

t3-4t dt0

, sin efectuar la integración.

32. Hallar los máximos y mínimos relativos de la siguiente función: f(x) = x

t3-t dt0

1 2 3 4 5 6 7

1

-1

X

Y33. La figura siguiente representa la gráfica de una función f:[0,7]→ℜ. Sea

F:[0,7]→ℜ la función definida por F(x) = xf(t)dt

0.

(1) Calcular F(4) y F(7).(2) Dibujar la gráfica de F, explicando el proceso.

34. Calcular el área del recinto limitado por:

1. Las rectas x+y = 0, y = 0, x = 2, x = 8. 2. La parábola y = x2 y la recta y = x.

3. La curva y = 2 x y la recta y = x. 4. La curva y = x3+1, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 4.

5. La parábola y = -x2-2x+3 y sus tangentes en la intersección de la curva con el eje OX.6. La gráfica de la función y = senx entre 0 y π y el eje OX.

7. Las gráficas de las funciones f(x) = 1 + x3

y g(x) = x+1.

8. La curva y = lnx, el eje OX y la recta x = e.

35. Consideremos F(x) = xf(t)dt

0.

(a) Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indicar si son verdaderas ofalsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:i) F(α) = 0.ii) F´(α) = 0.iii) F es creciente en (0,α).




(b) Calcular F(1) siendo f(t) = 1t+1

36. Hallar el área del recinto que aparece en la figura adjunta, sabiendo que la parte curva

tiene como ecuación y = 2x+21-x

37. Dibujar la región (y calcular su área) limitada por:

1. La recta y = -x+3 y la curva de ecuación y = x2-4x+3.

2. La recta y = 3 y las gráficas de las funciones f(x) = 3x2 y g(x) = 1-x2.

3. Las curvas de ecuaciones y = x-x2 e y = x4-x2.

4. La curva de ecuación y = 21+x2

y las rectas de ecuaciones x = 1 e y = 3x+2.

5. La curva y = 12

+ cosx, los ejes de coordenadas y la recta x = π

38. Considerar las funciones f:ℜ→ℜ y g:ℜ→ℜ definidas por: f(x) = x2+3x+2 y g(x) = -x2-3x+10.(1) Representar gráficamente ambas funciones.(2) Hallar el área de la región del plano que está formada por todos los puntos (x,y) que cumplen f(x) ≤ y ≤ g(x).

39. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) = xe-x. Esbozar el recinto limitado por la curva y = f(x), los ejescoordenados y la recta x = -1. Calcular su área.

40. Considerar la función f:[0,4]→ℜ definida por f(x) =

4x si 0 ≤ x ≤ 116

(x+1)2si 1 < x < 3

4-x si 3 ≤ x ≤ 4

.

(1) Esbozar la gráfica de f.(2) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

41. (1) Describir el procedimiento de integración por partes.(2) ¿Cuál es el área de la región limitada por la gráfica de la función f:(0,+∞)→ℜ definida por f(x) = [Ln(x)]2, el ejeOX y las rectas cuyas ecuaciones son x = 1 y x = e? (Ln(x) denota logaritmo neperiano de x).

42. (1) Hallar el punto de inflexión de la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = xe-x.(2) Dibujar la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y la recta x=b, donde b es la abscisa del punto deinflexión hallado en el apartado anterior.(3) Calcular el área de la región descrita en el apartado anterior.

43. La función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = 3-kx2 , si x ≤ 1

2kx

, si x > 1 es derivable en todo su dominio.

(1) ¿Cuánto vale k? ¿Cuánto vale f ´(1)? Justificar las respuestas.(2) Para el valor de k hallado en el apartado anterior, dibujar la región limitada por la gráfica de la función f, el ejeOX, el eje OY y la recta x=2.(3) Hallar el área de la región descrita en el apartado anterior.

44. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) = x3-3x2+2.




(1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en su punto de inflexión.(2) Dibujar el recinto limitado por la gráfica de la función f, la recta tangente en su punto de inflexión y el eje OY.(3) Hallar el área del recinto descrito en el apartado anterior.

45. (1) Hallar el área del triángulo formado por el eje OX y las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y = e-xenel punto de abscisa x = -1.(2) Hallar el área de la región limitada por la curva de ecuación y = e-x y el eje OX, para los valores -1 < x < 0.

46. Calcular el valor de α, positivo, para que el área encerrrada entre la curva y = αx-x2 y el eje de abscisas sea 36.Representa la curva que se obtiene para dicho valor de α.

47. Hallar b sabiendo que la recta y = b divide en dos partes que tiene la misma área la región acotada por la curva deecuación y = 9-x2 y el eje de abscisas.

48. Calcular el volumen del cuerpo engendrado por la rotación alrededor del eje OX del recinto limitado por lasparábolas y = 2 x e y = x+3.

49. Calcular el volumen generado al girar 360º alrededor del eje OX el recinto limitado por la parábola y = x2

4 y la recta

y = x.

Soluciones

1.1. 2x2

3 + c 1.2. x2

2 + ex + c 1.3. x3

6 + 3x2

4 - x

2 + ln|x|

2 + c 1.4. 3

2arc tg x + c 1.5. - 1

2cos(2x+1) + c 1.6. - 1-2x 3

3 + c 1.7. 1

2ln|2x-3| + c

1.8. - 4-x4

2 + c 1.9. 2 2+x 3

3 - 4 2+x + c 1.10. ln|ln x| + c 1.11. 2

2arc sen x + c 1.12. 1

2 arc sen2x

3 + c 1.13. 1

2arc tg x

2 + c 1.14. 42x

2ln4

+ c 1.15. 2(2-x)sen2x - cos2x4

+ c 1.16. -2lnx - 14x2

+ c 1.17. 2x2-2x+1 e2x

4 + c 1.18. 1-2x2 cos2x+2x·sen2x

4 + c 1.19. -4x3-6x2-6x-3 e-2x

8 +

c 1.20. x3

3 - x2 + 4x - 8ln|x+2| + c 1.21. 3x + ln|x-1| - 4ln|x+2|

3 + c 1.22. x + 3- 3

6ln x+ 3 + 3+ 3

6ln x- 3 + c 1.23. x2

2 - 4x + 12ln|x+2| + 10

x+2

+ c 1.24. x - 22

arc tg x2

+ c 2. ln|1+tgx| + c 3. f(x) = x4 + x2 + x 4. (1) F(x) - F(a) (2) g(x) = 4x2 + 5 5. f(x) = x2

4 - 4 ; f ´(x) = x

2 6. f(x) =

x4

12 + x

3

3 + x2 - 10x

3 + 47

12 7. f(x) = x3 8. f(x) = 3x2

2 + 2x + 9

2 9. (1) f(x) = ex+ a , x < 0

x2+2x+b , x > 0 (∀a,b ∈ℜ) (2) ℜ - {0} 10. (1) f(x) =

3 , x ≤ 3x2 - 3

2, x > 3

(2) No (3) X

Y

11. (1) f(x) = x2 , 0 ≤ x < 1

2

-x2 + 2x - 12

,12

≤ x ≤ 1 (2)

1

1

X

Y

(3) ℜ - 12

12. f(x) = x·ln x2+4x+3 - 2x + ln|x+1| +

3ln|x+3| 13. F(x) = x - x

3

3 - 4

3, x < 0

x + x3

3 - 4

3, x ≥ 0

14.1. 73

14.2. -2 14.3. ln2 14.4. 2- 22

14.5. π2

14.6. 1 14.7. 92

- 233

ln2 15. 13 16. 54

x2 -

52

x + 1 17. -1, 0, 3, 0 18. (1) 100km. (2) vm= 800 39

; tm = 3- 33

19. (1) f ´(x) = 2|x| (2) Creciente en ℜ (3) 234

20. (2) ℜ-{0} (3) 1 21. (a)

Creciente en (-2,-1) (b) α= -2 , β= -1 ; 92

22. (1) ℜ-{0} (2) 1 23. (1) ℜ, para b = -1 (2) 12+9b-2ln22

25. (1) -3 (2) ℜ-{1} (3) -2(ln5+1) 26. No, No,

Si, 0 27. 0 28. Creciente en (-∞,0) 29. 3ln3-2 30. f ´(x) = x2+2x-2 31. máximo: x=0 ; mínimos: x=±2 32. máximo: 0 ; mínimos: ±1 33. (1) 4,

3 (2)

1 2 3 4 5 6 7-1

1

3

5

X

Y

34.1. 30 34.2. 16

34.3. 83

34.4. 2674

34.5. 163

34.6. 2 34.7. 16

34.8. 1 35. (a) No, si, si (2) 2 2 - 2 36.




4·ln2 + 12

37.1. 92

37.2. 83

37.3. 14

37.4. 7 - π2

37.5.

3 - π3

38. 1253

39. 1 40. 132

41. e-2 42. (1) 1 (2) (3) e2-3e2

43. (1) 1 , -2

(2) (3) 8+6ln23

44. (1) y= -3x+3 (2) (3) 14

45. (1) e3+e2

(2) e-1 46. 6

2 4 6 8-2

2

6

X

Y

47. 9 3 4-13 4

48. 6π

49. 128π15


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