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EJERCICIOS. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

1. Escala de autoestima.

En una muestra de 500 mujeres que reciben asistencia queremos saber como la pobreza afecta a su autoestima.

Medimos la autoestima con una escala de actitud de 20 puntos (variable continua). Suponemos que la distribución sigue una curva normal

Datos

Media autoestima: 8 Desviación típica (Sx): 2

A. ¿Qué porcentaje de las destinatarias de la asistencia tienen puntuaciones de autoestima

entre 5 y 8?

Generalmente, para buscar los valores de Z (puntuación tipificada) en la tabla de distribución

normal, debemos tener presente esta tabla:

En nuestro caso, estamos buscando valores comprendidos entre 5 y 8, por lo tanto que estén por

debajo de la media. Esto hará que cuando tengamos que buscar en la tabla de la distribución

normal, busquemos en la columna B)

.

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Transformamos las puntuaciones en tipificadas (Z).

Nos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1,50, que en la columna B)

vemos que es ,4332.

Solución: Más del 43% de las mujeres están entre 5 y 8 de autoestima. Si una persona es

seleccionada al azar hay un 43% de posibilidades de que tenga una autoestima entre 5 y

8.

B. ¿Qué proporción de mujeres destinatarias tiene una puntuación igual o más de 13 en la

escala de autoestima?

Ahora se nos pide un valor igual o más alto que 13, que está por encima de la media, por

lo que tendremos que mirar sobre la columna C). (Situado entre +2 desviación típica y +3

desviación típica).

Realizamos la misma operación, pero ahora la X = 13.

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Nos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 2,5. En la columna C) nos sale

,0062.

Solución: Menos de un 1% de las destinatarias de asistencia tiene una puntuación mayor

de 13 de autoestima. Se seleccionamos en un archivo donde se alojan casos al azar,

existe menos de un 1% de oportunidad de que saliera un caso con una puntuación más

alta de 13 en autoestima.

C. ¿Qué proporción de las destinatarias tiene una proporción entre 4 y 10 en la escala?

Ahora nos hallamos en la situación en que queremos la porción comprendida entre dos

valores, uno por debajo de la media y otro por encima. Sería:

Para resolver este ejercicio tenemos que hacer la tipificación de cada valor:

Nos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos -2 y en la columna B) sale:

,4772. Esta es la porción que está por debajo de la media, ahora necesitamos la otra

porción.

Buscamos 1 en la tabla, y vemos que en la columna B) nos sale: ,3413.

Sumamos ambas porciones: Zx1 + Zx2 = 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

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Solución: Un 81,85% de las destinatarias de asistencia tienen una puntuación entre 4 y 10

de autoestima. Si seleccionamos un nombre al azar del archivo de casos hay casi un 82%

de probabilidad de que la persona seleccionada puntúe entre 4 y 10 de autoestima.

D. ¿Cuál es la probabilidad de que una destinataria de asistencia seleccionada al azar

obtenga una puntuación de 10.5 o menos en la escala de autoestima?

En este caso estamos buscando lo siguiente:

Para resolver este ejercicio hacemos lo siguiente:

Calculamos la Z:

En la tabla de distribución normal buscamos el valor de 1,25 y en la columna B) vemos que

vale ,3944.

Ahora bien, este valor nos muestra el que está comprendido entre 8 (la media) y 10,5.

Nosotros queremos también los valores por debajo de la media, por lo que hay que

sumarle la otra mitad: 0,5.

P[ deX = 10,5aX = 8] = 0,3944 + 0,5 = 0,8944.

Solución: Existe un 89,44% de probabilidad de que una persona seleccionada al azar

obtenga una puntuación menor o igual que 10,5 de autoestima.

2. Ejercicio: altura de adolescentes Andalucía.

Supongamos que la altura de adolescentes en Andalucía a los 10 años sigue una distribución

normal, siendo la media 140 cm y la desviación típica 5 cm.

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DATOS:

Media: 140 cm.

Desviación típica (Sx): 5 cm.

A. ¿Qué porcentaje de niños tienen una talla menor de 150 cm?

Al igual que en el ejercicio anterior, tendremos que calcular la porción que se encuentra

entre 140 (la media) y 150 y luego sumarle la otra mitad.

Calculamos la Z:

En la tabla de distribución normal buscamos el valor de 2 y en la columna B) vemos que

vale ,4772

Ahora hay que sumarle la otra mitad: 0,5.

P(x<150) = P(z<2) = 0,4772 + 0,5 = 0,9772.

Solución: El 97,7% de los niños tienen una talla menor de 150 cm.

También se puede hacer de la siguiente forma:

Restándole al total (1) la porción que está por encima de 150.

Para ello, buscamos el valor 2 en la tabla, y

en la columna C) vemos que vale ,0228.

P(x<150) = 1 - p(z>2) = 1 - 0,0228= 0,9772

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B. ¿Qué porcentaje de niños tienen una talla por encima de 150cm?

Ahora se nos pide un valor mayor que 150 cm, que está por encima de la media, por lo que

tendremos que mirar sobre la columna C).

En el ejercicio anterior mostramos otra forma de hacer el ejercicio para lo que era

necesario calcular lo que se nos pide aquí.

P(x>150) = P(z>2) = 0,0228

Solución: El 2,28% de los niños tienen una talla superior a los 150 cm.

C. ¿Cuál es el porcentaje de niños con una talla comprendida entre 137,25 y 145,50 cm?

La situación que se nos expone es:

Calculamos las tipificaciones:

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Podemos hacerlo de dos maneras:

1. Calculando la porción que está por debajo de la media, entre 140 y 137,25 y la

porción que está por encima, entre 140 y 145,50, y luego las sumamos.

P(x < 145,50) = P(z < 1,1) = 0,3643

P(x > 137,25) = P(z > -0,55) = 0,2088

P(137,25 < x < 145,50) = P(-0,55 < z < 1,1) = 0,3643 + 0,2088 = 0,5731.

2. Restándole la porción que está por debajo de 137,25 a lo que se encuentra por

debajo de 145,50.

P(137,25 < x < 145,50) = P( - 0,55 < z < 1,1)=P(z < 1,1) - P(z < - 0,55) =

= 0,8643 - 0,2912 = 0,5731.

Solución: El 57,31% de los niños tienen una estatura entre 137,25 y 145,50 cm.

3. Ejercicio: Glucemia basal.

La glucemia basal de los diabéticos atendidos en la consulta de enfermería puede considerarse

como una variable normalmente distribuida con media 106 mg por 100ml y desviación típica de 8

mg por 100 ml N (106,8).

DATOS:

Media: 106 mg/mL

Desviación típica (Sx): 8 mg/mL.

A. Calcula la proporción de diabéticos con una glucemia basal inferior o igual a 120.

La situación que se nos presenta es la siguiente:

P = P1 + P2

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Queremos calcular la porción que se encuentra por debajo de 120. Para ello calculamos la

tipificación (Z):

En la tabla buscamos 1,75 y el valor que nos sale en la columna B) es ,4599. Pero ese es

el valor que está comprendido entre 106 (la media) y 120. Necesitamos sumarle 0,5 (la otra

mitad de la campana) para completar el resultado.

P(x≤120) = P(z≤1,75) = 0,4599 + 0,5 = 0,9599.

En % : p(100) = 95,99%.

Solución: La proporción de diabéticos con una glucemia basal de 120 mg por 100 mL es

del 96%.

B. La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por

ml.

Calculamos:

Buscamos en la tabla el valor 0,5 y en la columna B) vemos que vale ,1915.

P(106≤ x ≤ 110) = 0,1915

Solución: La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre esos

valores es de 19,15%.

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C. La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de 120 mg por 100 ml.

Calculamos:

Buscamos en la tabla el valor 1,75 y en la columna C) vemos que vale ,0401.

P(106≤ x ≤ 110) = 0,0401

Solución: La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de 120 mg por 100

mL es del 0,04%.

D. El nivel de glucemia basal tal que por debajo de él están el 25% de los diabéticos, es decir,

el primer cuartil.

Se pide el valor de glucemia basal que cumpla la siguiente condición:

P(x<a) = 0,25

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Nos está preguntando por la x, que despejaremos de la ecuación:

Tenemos la media, y la desviación típica. Nos falta por saber la Z, para ello buscamos

P = 0,25 en la columna C). Como no está exacto, hacemos la media entre los valores 0,67

y 0,68 y ese es el valor que usamos para despejar.

Tenemos en cuenta que la Z es negativa por encontrarse por debajo de la media.

Solución: El 25% de los diabéticos de la población estudiada tienen una glucemia basal

inferior a 100,6.