1. Transformada de LAPLACE con MATLAB

Se tiene el siguiente ejemplo que muestra el funcionamiento de la Transformada de LAPLACE con variables que se pueden elegir libremente. Así tenemos que para una variable t (tiempo) hemos puesto una variable “u”, y para obtener respuesta en el dominio de la frecuencia se usó “v” en vez de s. Así:

>> syms u v>> F=laplace(u^2,v) F = 2/v^3

1.1. Ejemplos (Comprobar con MATLAB)

Ejemplo 1: Transformada de LAPLACE de: f(t) = 1

>> syms t s>> laplace(1,t,s) ans = 1/s

Ejemplo 2: Transformada de LAPLACE de: f(t) = e^-at

>> syms a;>> laplace(exp(-a*t),t,s) ans =1/(s+a)

Ejercicio 3: Calcular la Transformada de LAPLACE de

a) f(t) = t>> syms t s>> laplace(t,t,s)ans =1/s^2

b) f(t) = t²>> syms t s>> laplace(t^2,t,s) ans =2/s^3

c) f(t) = t³>> syms t s>> laplace(t^3,t,s)ans = 6/s^4

2. Calculo de la FUNCIÓN GAMMA con MATLAB :

2.1. Ejemplos: Comprobar con MATLAB.

Ejemplo 1: Comprobar experimentalmente la igualdad: γ(n) = (n -1)!>> gamma(4)ans = 6>> factorial(3)ans = 6

Ambas funciones tienen la misma respuesta: gamma(4) = factorial(3) = 6

Ejemplo 2: Calcular γ(1/2), γ(17/3) mediante una de las 3 formas mencionadas:>> gamma(1/2)>> maple('gamma(1/2)')>> int('t^(1/2-1)*exp(-t)',0,inf)>> gamma(1/2)ans = 1.7725

>> maple('gamma(1/2)')ans =pi^(1/2) = 1.7724538>> int('t^(1/2-1)*exp(-t)',0,inf)ans =pi^(1/2) = 1.7724538

>> gamma(17/3)ans = 68.6532

>> maple('gamma(17/3)')ans = 2320/243*gamma(2/3) = 68.6532

>> int('t^(17/3-1)*exp(-t)',0,inf)ans = 12320/243*gamma(2/3) = 68.6532

3. RESPUESTA TRANSITORIA DE CIRCUITOS DE R-L-C aplicando la transformada y la transformada inversa de Laplace.

3.1 Ejemplos: Usar MATLAB para los cálculos en circuitos R-L.

Ejemplo 1: Desarrolle y Realice el cálculo analítico de la respuesta transitoria del circuito de la figura 1. (Emplee MATLAB en los cálculos de la transformada directa e inversa de Laplace). Téngase en cuenta que:

-Para una entrada de un pulso rectangular: Ig(t)= 3A, de 10 mseg de duración, calcule la expresión para Ul(t), IR(t), IL(t) para el circuito de la figura 1.

R LIg

FIG. 1

SOLUCION:

Lo tenemos expresado en el dominio del tiempo (los valores no han sido puestos aún). Ahora lo expresaremos en el dominio de la frecuencia:

sIg R Ls

Podemos poner como ejemplo el hecho de hallar la corriente en la bobina L. Así, podemos hallar por divisor de corriente:

IL( s )=IgR

s (R+Ls )

Con ayuda del MATLAB, declaramos las variables para poder procesar nuestros resultados después. Así, tendremos que:

>> syms s R L Ig>> il=(Ig*R)/(s*(R+L*s))

il = Ig*R/s/(R+L*s)

>> ilaplace(il)

ans =Ig*R*(1/R-1/R*exp(-R*t/L))

Lo cual podemos interpretar como:

IL( t )=Ig−Ige−RLtA

Finalmente con los datos dados por la figura, tenemos que: R= 1KΩ, L=10mH e Ig=3A, que nos daría:

IL( t )=3−3e−100000 t A

Y para el caso de la corriente en la resistencia tendremos:Ig=IL+ IR

Lo cual, calculando nos daría:

IR=3e−100000 t A

Para el caso de los voltajes, como tenemos un circuito en paralelo, se cumplirá que:

U L(s )=RIR(s )=Ls [I L(s ) ]

Y en el dominio del tiempo será:

U L( t )=3000e−100000 t V

Ejemplo 2: Empleando MATLAB grafique las formas de Onda U(t), IR(t) e IL(t) , para los circuitos de las figura 1.

Solución:

FIGURA 1:Para el caso de “il”, tenemos:

>> t=0:0.00000001:0.0001;>> iI=3-3*exp(-100000*t);>> plot(t,il)

Luego, para el caso de IR, planteamos: >> Ir=3*exp(-100000*t);>> plot(t,lr)

Y la forma de Onda de respuesta para el Voltaje en la Bobina: UL será:

>> Ul=3000*exp(-100000*t);

>> plot(t,Ul)