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Problemas 469

2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simblico; razonamiento cualitativo

6. ; Cierta cuerda uniforme se mantiene bajo tensin constante. a) Dibuje una instantnea lateral de una onda sinusoidal en una cuerda, como se muestra en los diagramas del texto. b) Abajo del diagrama a), dibuje la misma onda en un momento posterior de un cuarto del periodo de la onda. c) Luego, dibu-je una onda con una amplitud 1.5 veces mayor que la onda en el diagrama a). d) A continuacin, dibuje una onda que difiera de la del diagrama a) slo por tener una longitud de onda 1.5 veces mayor. e) Por ltimo, dibuje una onda que difiera del diagrama a) por tener una frecuencia 1.5 veces mayor.

7. Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una soga. El oscilador que genera la onda completa 40.0 vibraciones en 30.0 s. Ade-ms, dado un mximo viaja 425 cm a lo largo de la soga en 10.0 s. Cul es la longitud de onda de la onda?

8. Para cierta onda transversal, la distancia entre dos crestas suce-sivas es 1.20 m, y ocho crestas pasan un punto determinado a lo largo de la direccin de viaje cada 12.0 s. Calcule la rapidez de la onda.

9. Una onda se describe mediante y (2.00 cm) sen (kx Wt), donde k 2.11 radm, W 3.62 rads, x est en metros y t en segundos. Determine la amplitud, longitud de onda, frecuen-cia y rapidez de la onda.

10. Cuando un alambre particular vibra con una frecuencia de 4.00 Hz, se produce una onda transversal con longitud de onda de 60.0 cm. Determine la rapidez de las ondas a lo largo del alambre.

11. La cuerda que se muestra en la figura 16.10 se impulsa a una frecuencia de 5.00 Hz. La amplitud del movimiento es 12.0 cm y la rapidez de la onda es de 20.0 ms. Adems, la onda es tal que y 0 en x 0 y t 0. Determine a) la frecuencia angular y b) el nmero de onda para esta onda. c) Escriba una expre-sin para la funcin de onda. Calcule d) la mxima rapidez transversal y e) la mxima aceleracin transversal de un punto sobre la cuerda.

12. Considere la onda sinusoidal del ejemplo 16.2 con la funcin de onda

y 115.0 cm 2 cos 10.157x 50.3t 2 En cierto instante, el punto A est en el origen y el punto B es

el primer punto a lo largo del eje x donde la onda est 60.0 fuera de fase con A. Cul es la coordenada de B?

13. Una onda sinusoidal se describe mediante la funcin de onda

y 10.25 m 2 sen 10.30x 40t 2 donde x y y estn en metros y t en segundos. Determine para

esta onda a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el nme-ro de onda angular, d) la longitud de onda, e) la rapidez de onda y f) la direccin de movimiento.

14. ; a) Grafique y en funcin de t en x 0 para una onda sinus-oidal de la forma y (15.0 cm) cos (0.157x 50.3t), donde x y y estn en centmetros y t en segundos. b) Determine el periodo de vibracin de esta grfica. Argumente la comparacin de su resultado con el valor encontrado en el ejemplo 16.2.

15. a) Escriba la expresin para y como funcin de x y t para una onda sinusoidal que viaja a lo largo de una soga en la direc-cin x negativa con las siguientes caractersticas: A 8.00 cm, M 80.0 cm, f 3.00 Hz y y(0, t) 0 en t 0. b) Qu pasa-ra si? Escriba la expresin para y como funcin de x y t para la onda en el inciso a) si supone que y(x, 0) 0 en el punto x 10.0 cm.

16. Una onda sinusoidal que viaja en la direccin x (hacia la izquierda) tiene una amplitud de 20.0 cm, longitud de onda de 35.0 cm y frecuencia de 12.0 Hz. La posicin transversal de un elemento del medio en t 0, x 0 es y 3.00 cm, y el elemento tiene en este caso una velocidad positiva. a) Bosque-je la onda en t 0. b) Encuentre su nmero de onda angular, periodo, frecuencia angular y rapidez de onda. c) Escriba una expresin para la funcin de onda y(x, t).

17. Una onda transversal en una cuerda se describe mediante la funcin de onda

y 10.120 m 2 sen ap8

x 4pt b a) Determine la rapidez y aceleracin transversales de la cuer-

da en t 0.200 s para el punto en la cuerda ubicado en x 1.60 m. b) Cules son la longitud de onda, periodo y rapidez de propagacin de esta onda?

18. Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un pe-riodo T 25.0 ms y viaja en la direccin x negativa con una rapidez de 30.0 ms. En t 0, un elemento de la cuerda en x 0 tiene una posicin transversal de 2.00 cm y viaja hacia abajo con una rapidez de 2.00 ms. a) Cul es la amplitud de la onda? b) Cul es el ngulo de fase inicial? c) Cul es la mxima rapidez transversal de un elemento de la cuerda? d) Escriba la funcin de onda para la onda.

19. Una onda sinusoidal, con 2.00 m de longitud de onda y 0.100 m de amplitud, viaja en una cuerda con una rapidez de 1.00 ms hacia la derecha. Al inicio, el extremo izquierdo de la cuerda est en el origen. Encuentre a) la frecuencia y frecuencia angular, b) el nmero de onda angular y c) la funcin de onda. Determine la ecuacin de movimiento para d) el extremo izquierdo de la cuerda y e) el punto en la cuerda en x 1.50 m a la derecha del extremo izquierdo. f) Cul es la mxima rapidez de cualquier punto en la cuerda?

20. Una onda en una cuerda se describe mediante la funcin de onda y (0.100 m) sen (0.50x 20t). a) Demuestre que un elemento de la cuerda en x 2.00 m ejecuta movimiento armnico. b) Determine la frecuencia de oscilacin de este punto particular.

4FDDJwO-BSBQJEF[EFPOEBTFODVFSEBT 21. Un cordn de telfono de 4.00 m de largo, que tiene una

masa de 0.200 kg. Un pulso transversal se produce al sacudir un extremo del cordn tenso. El pulso hace cuatro viajes de atrs para adelante a lo largo del cordn en 0.800 s. Cul es la tensin del cordn?

22. Una onda progresiva transversal en un alambre tenso tiene una amplitud de 0.200 mm y una frecuencia de 500 Hz. Viaja con una rapidez de 196 ms. a) Escriba una ecuacin en uni-dades SI de la forma y A sen (kx Wt) para esta onda. b) La masa por unidad de longitud de este alambre es 4.10 gm. Encuentre la tensin en el alambre.

23. Una cuerda de piano, que tiene una masa por unidad de lon-gitud igual a 5.00 103 kgm, est bajo una tensin de 1 350 N. Encuentre la rapidez con la que una onda viaja en esta cuerda.

24. Pulsos transversales viajan con una rapidez de 200 ms a lo largo de un alambre de cobre tenso cuyo dimetro es de 1.50 mm. Cul es la tensin en el alambre? (La densidad del cobre es 8.92 gcm3.)

[email protected] tecleadoXX





[email protected] tecleadoX


470 Captulo 16 Movimiento ondulatorio


25. Un astronauta en la Luna quiere medir el valor local de la aceleracin en cada libre al cronometrar pulsos que viajan por un alambre del que cuelga un objeto de gran masa. Suponga que un alambre tiene una masa de 4.00 g y una longitud de 1.60 m, y suponga que de l est suspendido un objeto de 3.00 kg. Un pulso requiere 36.1 ms para atravesar la longitud del alambre. Calcule gLuna a partir de estos datos. (Puede ignorar la masa del alambre cuando calcule la tensin en l.)

26. Un pndulo simple consiste de una bola de masa M que cuelga de una cuerda uniforme de masa m y longitud L, con m M. Sea T el periodo de oscilaciones para el pndulo. Determi-ne la rapidez de una onda transversal en la cuerda cuando el pndulo cuelga en reposo.

27. Ondas transversales viajan con una rapidez de 20.0 ms en una cuerda bajo una tensin de 6.00 N. Qu tensin se requiere para una rapidez de onda de 30.0 ms en la misma cuerda?

28. Problema de repaso. Una cuerda ligera, con una masa por unidad de longitud de 8.00 gm, tiene sus extremos amarrados a dos paredes separadas por una distancia igual a tres cuartos la longitud de la cuerda (figura P16.28). Un objeto de masa m se suspende del centro de la cuerda y pone tensin en la cuerda. a) Encuentre una expresin para la rapidez de onda transversal en la cuerda como funcin de la masa del objeto colgante. b) Cul debe ser la masa del objeto suspendido de la cuerda si la rapidez de onda es de 60.0 ms?

4FDDJwO 3BQJEF[EFUSBOTGFSFODJBEFFOFSHrBNFEJBOUFPOEBTTJOVTPJEBMFTFODVFSEBT 32. Una soga tensa tiene una masa de 0.180 kg y una longitud de

3.60 m. Qu potencia se debe suministrar a la soga para que genere ondas sinusoidales que tengan una amplitud de 0.100 m y una longitud de onda de 0.500 m y viajen con una rapidez de 30.0 ms?

33. Una onda acutica en dos dimensiones se dispersa en ondula-ciones circulares. Demuestre que la amplitud A a una distancia r desde la perturbacin inicial es proporcional a 1> r . Suge-rencia: Considere la energa que porta una ondulacin que se mueve hacia afuera.

34. En una soga bajo tensin constante se generan ondas trans-versales. En qu factor aumenta o disminuye la potencia re-querida si a) la longitud de la soga se duplica y la frecuencia angular permanece constante, b) la amplitud se duplica y la frecuencia angular se reduce a la mitad, c) se duplican tanto la longitud de onda como la amplitud, y d) se reducen a la mi-tad tanto la longitud de la cuerda como la longitud de onda?

35. Ondas sinusoidales de 5.00 cm de amplitud se transmitirn a lo largo de una cuerda que tiene una densidad de masa lineal de 4.00 102 kgm. La fuente puede entregar una potencia mxima de 300 W y la cuerda est bajo una tensin de 100 N. Cul es la frecuencia ms alta a la que puede funcionar la fuente?

36. Un segmento de 6.00 m de una cuerda larga contiene cuatro ondas completas y tiene una masa de 180 g. La cuerda vibra sinusoidalmente con una frecuencia de 50.0 Hz y un despla-zamiento de cresta a valle de 15.0 cm. (La distancia cresta a valle es la distancia vertical desde la posicin positiva ms lejana hasta la posicin negativa ms lejana.) a) Encuentre la funcin que describe esta onda que viaja en la direccin x positiva. b) Determine la potencia a suministrar a la cuerda.

37. Una onda sinusoidal en una cuerda se describe mediante la funcin de onda

y 10.15 m 2 sen 10.80x 50t 2 donde x y y estn en metros y t en segundos. La masa por uni-

dad de longitud de esta cuerda es 12.0 gm. Determine a) la rapidez de la onda, b) la longitud de onda, c) la frecuencia y d) la potencia transmitida a la onda.

38. La funcin de onda para una onda sobre una cuerda tensa es

y 1x, t 2 10.350 m 2 sen a10pt 3px p4b

donde x est en metros y t en segundos. a) Cul es la rapidez promedio a la que se transmite la energa a lo largo de la cuer-da si la densidad de masa lineal es de 75.0 gm? b) Cul es la energa contenida en cada ciclo de la onda?

39. Una cuerda horizontal puede transmitir una potencia mxima 0 (sin romperse) si por ella viaja una onda con amplitud A y frecuencia angular W. Para aumentar esta potencia mxima, un estudiante dobla la cuerda y usa esta cuerda doble como medio. Determine la potencia mxima que se puede transmitir a lo largo de la cuerda doble, si supone que la tensin en las dos hebras juntas es la misma que la tensin original en la cuerda individual.

40. ; En una regin lejana del epicentro de un terremoto, una onda ssmica se modela como transporte de energa en una sola direccin sin absorcin, tal como lo hace una onda en una cuerda. Suponga que la onda ssmica se mueve de granito a

29. El lmite elstico de una pieza de alambre de acero es 2.70 108 Pa. Cul es la mxima rapidez a la que pulsos de onda transversales pueden propagarse a lo largo de este alambre sin exceder este esfuerzo? (La densidad del acero es 7.86 103 kgm3.)

30. ; Una estudiante en un examen encuentra en una hoja de referencia las dos ecuaciones siguientes

y vTm

f1T

Ella olvid lo que representa T en cada ecuacin. a) Use anli-sis dimensional para determinar las unidades requeridas para T en cada ecuacin. b) Explique cmo puede identificar, a partir de las unidades, la cantidad fsica que representa cada T.

31. Un alambre de acero de 30.0 m de longitud y un alambre de cobre de 20.0 m de longitud, ambos con 1.00 mm de dimetro, se conectan extremo con extremo y se estiran a una tensin de 150 N. Durante qu intervalo de tiempo una onda transversal viajar toda la longitud de los dos alambres?

Figura P16.28

3L/4

L/2L/2

m






Problemas 471


fango con densidad similar pero con un mdulo volumtrico mucho menor. Suponga que la rapidez de la onda cae gradual-mente en un factor de 25.0, con reflexin despreciable de la onda. Explique si la amplitud del suelo que se agita aumenta-r o disminuir. Cambia en un factor predecible? Este fen-meno condujo al colapso de parte de la autopista Nimitz en Oakland, California, durante el terremoto de Loma Prieta en 1989.

4FDDJwO -BFDVBDJwOEFPOEBMJOFBM 41. ; a) Evale A en la igualdad escalar (7 3)4 A. b) Evale

A, B y C en la igualdad vectorial 7.00 i 3.00k A i B j C k. Explique las respuestas para convencer a un estudiante, quien cree que usted no puede resolver una sola ecuacin para tres incgnitas diferentes. c) Qu pasara si? La igualdad funcional o identidad

A B cos 1Cx Dt E 2 17.00 mm 2 cos 13x 4t 2 2 es verdadera para todos los valores de las variables x y t, medida

en metros y en segundos, respectivamente. Evale las constan-tes A, B, C, D y E. Explique cmo llega a las respuestas.

42. Demuestre que la funcin de onda y eb(xvt) es una solucin de la ecuacin de onda lineal (ecuacin 16.27), donde b es una constante.

43. Demuestre que la funcin de onda y In[b(x vt)] es una solucin de la ecuacin 16.27, donde b es una constante.

44. a) Demuestre que la funcin y(x, t) x2 v 2t 2 es una solucin a la ecuacin de onda. b) Demuestre que la funcin en el inci-so a) se puede escribir como f(x vt) g(x vt) y determine las formas funcionales para f y g. c) Qu pasara si? Repita los incisos a) y b) para la funcin y(x, t) sen (x) cos (vt).

1SPCMFNBTBEJDJPOBMFT 45. La ola es un tipo particular de pulso que se puede propagar

a travs de una gran multitud reunida en un estadio deportivo (figura P16.45). Los elementos del medio son los espectadores, con posicin cero cuando estn sentados y posicin mxima cuando estn de pie y elevan sus brazos. Si una gran cantidad de espectadores participa en el movimiento ondulatorio, se de- sarrolla una forma de pulso de cierta estabilidad. La rapidez de la onda depende del tiempo de reaccin de las personas, que por lo general est en el orden de 0.1 s. Estime el orden de magnitud, en minutos, del intervalo de tiempo requerido para que tal pulso d una vuelta completa alrededor de un gran estadio deportivo. Establezca las cantidades que mida o estime y sus valores.

46. ; Una onda sinusoidal en una cuerda se describe mediante la funcin de onda

y 10.150 m 2 sen 10.800x 50.0t 2 donde x est en metros y t en segundos. La masa por cada

longitud de la cuerda es 12.0 gm. a) Encuentre la mxima aceleracin transversal de un elemento en esta cuerda. b) De-termine la mxima fuerza transversal sobre un segmento de cuerda de 1.00 cm. Establezca cmo se compara esta fuerza con la tensin en la cuerda.

47. Las pelculas se proyectan a 24.0 cuadros por segundo. Cada cuadro es una fotografa de 19.0 mm de alto. Con qu rapidez constante pasa la pelcula en el proyector?

48. Una onda transversal sobre una cuerda se describe mediante la funcin de onda

y 1x, t 2 10.350 m 2 sen 3 11.25 rad>m 2x 199.6 rad>s 2 t 4 Considere el elemento de la cuerda en x 0. a) Cul es el

intervalo de tiempo entre los primeros dos instantes cuando este elemento tiene una posicin de y 0.175 m? b) Qu distancia recorre la onda durante este intervalo de tiempo?

49. Problema de repaso. Un bloque de 2.00 kg cuelga de una cuerda de caucho, y se sostiene de modo que la cuerda no se estira. La longitud no estirada de la cuerda es de 0.500 m y su masa es de 5.00 g. La constante de resorte para la cuerda es 100 Nm. El bloque se libera y detiene en el punto ms bajo. a) Determine la tensin en la cuerda cuando el bloque est en este punto ms bajo. b) Cul es la longitud de la cuerda en esta posicin estirada? c) Encuentre la rapidez de una onda transversal en la cuerda si el bloque se mantiene en esta posi-cin ms baja.

50. Problema de repaso. Un bloque de masa M cuelga de una cuerda de caucho. El bloque se suspende de modo que la cuer-da no se estira. La longitud no estirada de la cuerda es L0 y su masa es m, mucho menor que M. La constante de resorte para la cuerda es k. El bloque se libera y detiene en el punto ms bajo. a) Determine la tensin en la cuerda cuando el blo-que est en el punto ms bajo. b) Cul es la longitud de la cuerda en la posicin estirada? c) Encuentre la rapidez de una onda transversal en la cuerda si el bloque se mantiene en la posicin ms baja.

51. ; Un terremoto o un deslizamiento de tierra produce una onda ocenica de corta duracin que transporte gran ener-ga, llamada tsunami. Cuando su longitud de onda es gran- de comparada con la profundidad del ocano d, la rapidez de una onda acutica se conoce aproximadamente por v gd . a) Explique por qu la amplitud de la onda aumenta a me-dida que la onda se aproxima a la playa. Qu se considera constante en el movimiento de cualquier cresta de la onda? b) Suponga que un terremoto se presenta a lo largo de la frontera de una placa tectnica que corre de norte a sur y produce una cresta de onda tsunami recta que se mueve en todas partes hacia el oeste. Si la onda tiene una amplitud de 1.80 m cuando su rapidez es de 200 ms, cul ser su amplitud donde el agua tenga 9.00 m de profundidad? c) Explique por qu se debe esperar que la amplitud en la playa sea todava mayor, pero no se puede predecir significativamente mediante su modelo.

52. Problema de repaso. Un bloque de masa M, sostenido por una cuerda, descansa sobre un plano inclinado sin friccin que forma un ngulo V con la horizontal (figura P16.52). La Figura P16.45




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