ejercicios analisis3

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIF. ORDINARIAS METODO DE VARIABLES SEPARABLES

1.- (1+ y2 )dx+(1+x2 )dy=0 ÷ (1+ y2 ) (1+x2)

dx

(1+x2)+ dy

(1+ y2 )=0

∫ dx

(1+x2 )+∫ dy

(1+ y2 )=0

arctg (x )+arctg ( y )=C

2.- ( y2+x y2) y '+x2− y x2=0

( y2+x y2) dydx

+ x2− y x2=0 ×dx

( y2+x y2)dy+( x2− y x2 )dx=0

y2(1+x)dy+x2 (1− y )dx=0 ÷ (1+x ) (1− y )

∫ y2dy(1− y )

+∫ x2dx(1+x )

=0

( x+ y ) (x− y−2 )+2 ln (1+x )(1− y )

=C

3.- x √1+ y2+ y y '√1+x2=0

x √1+ y2+ ydydx

√1+x2=0 ÷dx

√1+ y2 ∙√1+x2

xdx

√1+x2+ ydy

√1+ y2=0

∫ xdx

√1+ x2+∫ ydy

√1+ y2=0

√1+x2+√1+ y2=C

4.- (1+ y2 )dx=xdy ÷ (1+ y2 ) x

t=1+e y

dt=ey dy

z=1+x2

dz=2xdx

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL CHIMBORAZO

∫ dxx

=∫ dy

(1+ y2 )

ln (x)−arct ( y)=C

ln (x)=arct ( y)+C

e ln ( x)=earct( y)eC

x=earct (y )C

5.- e y (1+ x2 )dy−2x (1+e y )dx=0 ÷ (1+x2 ) (1+e y)

∫ dy

(1+e y )−∫ 2 xdx

(1+x2)=0

∫ dtt

−∫ dzz

=0

ln (t )−ln ( z )=ln (C )

ln (1+ey )−ln (1+x2 )=ln (C)

ln(1+e y )(1+x2 )

=ln (C )

e y=C (1+ x2 )−1

ANALISIS MATEMATICO III


EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE ECUACIONES DIFIFERENCIALES

1. una bala atraviesa una pared de 20cm de ancho viajando a una velocidad de 320m/s. si la bala

sale de la pared con una velocidad de 160m/s, y la fuerza de resistencia de la pared al

movimiento de la bala es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad, determinar el

tiempo en que atraviesa la pared

h=0,2m

mdvdt

=−k v2

t=mk ( v1−v0

v0 v1 )mdvdt

=md2 vd t2

k v2=mdvdt

dxdx

dx=mkdvdv

h=mkdvdv

mk= h

ln (v1v0

)

t= h

ln (v1v0

)( v1−v0v0 v1 )

t=0,2m

ln( 120360 )( 120−360(120 ) (360 ) )

t=0.00101 s



2. Interés compuesto capitalizado continuamente significa que en un instante cualquiera la cantidad S de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante. A) si en una cuenta de ahorros se deposita $5 000 000 a un interés compuesto, que se capitaliza continuamente de 6%. Calcule la cantidad de dinero acumulado después de 5 años. B) ¿En cuantos años se duplicara la suma inicial?

S=cantidad dedinero

t=dinero

dsdt

=ks

∫ dss

=∫ kdt

lnS=kt+lnC

lnSC

=kt

S=Cekt

c (t o )=5000000

a) k=6%=0.06

t=5años

S=Cekt

S=5000000x e0.06 (5 )

S=$6749294 038

b) Cuando S=10000000

10000000=5000000ekt

ln 2=kt

t= ln20.06

t=11años552dias


h=2m

L

a

xo

yo

y

x


3. Un depósito con paredes verticales tiene sección cuadrada de 4m2 de área. El agua sale del deposito por un orificio de 5/3 cm2. Si el nivel de agua esta 2 m por encima del orificio, halle el tiempo necesario para que descienda 1m.

4. Encuentre la curva para la cual, cualquier tangente a la curva al cortarse con el eje de las ordenadas forma un punto que equidista del punto de tangencia y del origen de coordenadas


v1=−∆ v2

L2∆h=−Bu√2ghdt

∫2

1

4m2 dh√h

=−53∫√2gdt

8m2√h 1¿2

=−53

√2 g t

t=0.45 s

y− y0= y ' (x−x0 )⇒ x=o

y= y0− y ' x0=d1

d1=√x02+(d1− y0)2

x0( x0y ' x0

+ y0)=2¿x2+2x0 y0 y

'− y02=0÷ x2

z= yx

1+2 z ( z ' x+z )−¿0

−2 zdzz2+1

=dxx

−ln ( z2+1 )=lnx−lnC

xC

= 1

z2+1⇒ 1

y2

x2+1

x2+ y2=Cx


5. Se lanza un cohete desde una posición inicial (x0 , y0) con una velocidad inicial V 0 y un ángulo θ(0+90 °). Hallar las coordenadas horizontal y vertical x (t) Λ y (t) como funciones de tiempo, suponga que no hay resistencia del aire y que la fuerza de la gravedad es constante.


Eje xa=0

∫ d vx=∫0dtV x=C1

Condiciones iniciales

t=0 seg;v x=v0cos (θ )

vx=v0cos (θ )

dxdt

=v0 cos (θ )

∫ dx=∫ v0 cos (θ )dtx=v0cos (θ ) t+C2

Condiciones inicialest=0 seg; x=x0

x=v0cos (θ )+x0

Eje ya=−g

dxdt

=v0 cos (θ )

∫ d v y=∫−gdt

v y=−¿+C1

Condiciones iniciales

t=0 seg;v y=v0 sen (θ )

v y=−¿+v0 sen (θ )

dydt

=−¿+v0 sen (θ )

∫ dy=∫ [−¿+v0 sen (θ ) ]dt

y=−g t 2

2+v 0 sen (θ ) t+C2

Condiciones inicialest=0 seg; y= y 0

y=−g t 2

2+v 0 sen (θ ) t+ y0


EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS POR SUSTITUCION

1. (x2 y2+1 )dx+2 x2dy=0

z=xy y=z / x dy= xdz−zdx

x2

(x2 zx22

+1)dx+2 x2( xdz−zdxx2 )=0

z2dx+dx+2xdz−2 zdx=0

dx (z¿¿2+1−2 z )+2xdz=0¿ ÷2x (z¿¿2+1−2 z )¿

∫ dx2 x

+∫ dz(z¿¿2−2 z+1)=0

¿

12∫

dxx

+∫ dz

(z−1)2=0

12ln ( x )− 1

( z−1 )=C

ln (√x )− 1( xy−1 )

=C

2.dydx

=( x+ y+1 )2−2

z=x+ y+1 y=z / x dydx

=dzdx

−1

dzdx

−1=z2−2

dzdx

−( z2−1 )=0÷dx / (z2−1)

∫ dz

( z2−1 )+∫ dx=0

12ln ( z−1 )−1

2ln (z+1 )−x=C

12ln

( z−1 )( z+1 )

=x+C

√ ( x− y )( x− y+2 )

=exC



3. y '=ax+by+c

dy=(ax+by+c )dx

z=ax+by+c

dydx

=( dzdx−a)/bdz−adx

dx=bzdx

dz−adx−bzdx=0

dz−dx (a−bz)=0

∫ dza+bz

−∫ dx=0 t=a+bzdt=bdz

1b∫

bdza+bz

−∫ dx=0

1b∫

dtt

−∫ dx=0

1blnt−x=0

1bln (a+bz)−x=0

ln (a+b(ax+by+c))1 /b=C+x

4. (x+ y)2 y '=a2

(x+ y )2 dydx

=a2

z=x+ ydzdx

=1+ dydx

dydx

=dzdx

−1

z2( dzdx−1)=a2 z2dzdx

−z2=a2dx

z2dz−z2dx−a2dx=0

z2dz−dx ( z2+a2 )=0÷(z2+a2)

∫ z2dzz2+a2

−∫dx=0 z−aarctgza−x=C



x+ y−aarctgza−x=C y−aarctg

za=C

5. x2 ( xdx+ ydy )=(x¿¿2+ y2)dx ¿

z=x2+ y2

dz=2xdx+2 ydy

dz=2(xdx+ ydy)

x2

2dz=zdx

∫ dzz

=2∫ dx

x2

ln z ¿C− 2x

ln (x¿¿2+ y2)¿C−2x¿

ln (1¿¿2+22)¿C−21

¿

C=ln (5 )+2

ln (x¿¿2+ y2)¿2 ln (5)−2x¿



EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS HOMOGENEAS

1. xdy= y+√ y2−x2dx

xdy= y+√ y2−x2dx

M (x , y )=x N ( x , y )= y+√ y2−x2

M ( λx , λy )=λx N ( λx , λy )=λy+√ λ2 y2−λ2 x2

M ( λx , λy )=λM ( x , y ) N ( λx , λy )=λN ( x , y )

Homogénea primer grado Homogénea primer grado

y=vx dy=vdx+ xdv

x (vdx+xdv )−(vx+√ v2 x2−x2)dx=0

x (vdx+xdv−vdx−√v2−1dx)=0÷x

xdv−√v2−1dx=0÷ x√v2−1

∫ dv

√v2−1−∫ dx

x=0

ln (v+√v2−1 )−lnx=ln (C )

ln(v+√v2−1)

x=ln (C)

(v+√v2−1)x

=C

yx+√ y

x2

2

−1=Cx

y+√ y2−x2

x=Cx

y+√ y2−x2=x2C

2. ycos (x )dx+(2 y−sen (x))dy=0



t=sen ( x )dt=cos ( x )dx

ydt+(2 y−t)dy=0

M (t , y )= y N ( t , y )=2 y−t

M ( λt , λy )=λy N ( λt , λy )=2 λy+λt

M ( λt , λy )=λM ( t , y ) N ( λt , λy )= λN ( x , y )


y=vt dy=vdt+tdv

vtdt+ (2vt−t )(vdt+tdv)=0

vtdt+ t (2v−1 ) ( vdt+tdv )=0÷ t

vdt+(2v−1 ) (vdt+ tdv )=0

vdt+2v2dt+2vtdv−vdt−tdv=0

2v2dt+ tdv (2v−1 )=0÷2v2 t

∫ dtt

+∫ (2v−1 )dv2v2

=0

ln t+∫ 2 vdv2v2

−∫ dv

2v2=C

lnt+ln ( v )− 12v

=C

ln ( tv )− 12v

=C

ln ( sen (x) ysen(x ) )− sen (x)

2 y=C

lny−sen( x)2 y

=C



3. (x− ycosyx )dx+xcos ( yx )dy=0

M (x , y )=x− ycos ( yx) N ( x , y )=xcos ( yx )

M ( λx , λy )=λx−λycos ( λyλx ) N ( λx , λy )=λxcos( λyλx )M ( λx , λy )=λ (x− ycos ( λyλx )) N ( λx , λy )=λxcos( yx )M ( λx , λy )=λM (x , y) N ( λx , λy )=λN (x , y )


y=vx dy=vdx+ xdv v= yx

( x−vxcosv )dx+xcos(v )(vdx+xdv )=0

xdx−vxcosvdx+xvcosvdx+ x2 cos (v )dv=0

x (dx+x cos (v )dv )=0÷ x

dx+x cos (v )dv=0÷x

∫ dxx

+∫ cosvdv=0

x+senv=C

lnx+sen( yx )=C

4. x y'=√ y2− x2

M (x , y )=x N ( x , y )=√ y2−x2

M ( λx , λy )=λx N ( λx , λy )=√ λ2 y2−λ2 x2

M ( λx , λy )=λM (x , y) N ( λx , λy )=√ λ2( y2−x2)

Homogénea primer grado N ( λx , λy )=λ√ y2−x2

N ( λx , λy )=λN (x , y )

Homogénea primer grado



y=vx dy=vdx+ xdv

xdy=√ y2−x2

xvdx+x2dv−(√v2 x2−x2) dx=0

xvdx+x2dv−x√v2−1dx=0

x (vdx+xdv−√v2−1dx )=0÷ x

vdx+xdv−√v2−1dx=0

dx (v−√v2−1 )+ xdv=0÷ (v−√v2−1 ) x

∫ dxx

+∫ dv

√v2−1=0

lnx+ ln (v+√v2−1 )=lnC

ln ( x (v+√v2−1 ))=lnC

x ( yx +√ yx

2

−1)=C

y+x (√ yx

2

−1)=C



5. 4 x2−xy+ y2+ y ' (x2−xy+4 y2)=0

(4 x2−xy+ y2 )dx+(x2−xy+4 y2)dy=0

M (x , y )=4 x2−xy+ y2 N ( x , y )=x2−xy+4 y2

M ( λx , λy )=4 λ2 x2−λxλy+λ2 y2 N ( λx , λy )=λ2 x2−λxλy+4 λ2 y2

M ( λx , λy )=λ2 (4 x2−xy+ y2 ) N ( λx , λy )=λ2 (x2−xy+4 y2 )

M ( λx , λy )=λ2M (x , y) N ( λx , λy )=λ2N (x , y )

Homogénea segundo grado Homogénea primer grado

y=vx dy=vdx+ xdv

(4 x2−x2 v+v2 x2 )dx+(x2−x2 v+4v2 x2)(vdx+ xdv)=0

x2 (4−v+v2 )dx+x2 (1−v+4 v2 ) (vdx+xdv )=0÷ x2

4 dx−vdx+v2dx+vdx+xdv−v2dx−vxdv+4 v3dx+4v2 xdx=0

4 dx+xdv−vxdv+4 v3dx+4 v2 xdx=0

dx (4+4 v3 )+xdv (1−v+4 v2 )=0÷ (4+4v3 ) x

∫ dxx

+∫ (1−v+4 v2)dv4+4 v3

=0

lnx+ 32ln ( v+1 )−3

2ln (v2−v+1 )=lnC

lnx (v+1 )

32

(v2−v+1 )32

=lnC

x ( v+1 )32

(v2−v+1 )32

=C



Integración por fracciones parciales

4+4v3= (v+1 ) (4 v2−4v+4 )

∫ (1−v+4 v2)dv(v+1 ) (4v2−4 v+4 )

= Av+1

+ Bv+C4 v2−4 v+4

4 v2−v+1=4v2 A−4 vA+4 A+Bv2+Cv+Bv+C

v2:4 A+B=4B=4−4 A

v1:4 A+B+C=−14 A+4−4 A+1−4 A=−1

v0: 4 A+C=1C=1−4 A

5−4 A=−1 4 ( 32 )+B=4 4 ( 32 )+C=1

−4 A=−6 6+B=4 6+C=1

A=32

B=−2 C=−5

∫ (1−v+4 v2)dv(v+1 ) (4v2−4 v+4 )

=∫ 3dv2 ( v+1 )

−∫ (2 v+5 )dv4 (v2−v+1)

¿ 32∫

dv(v+1 )

−14∫

(2 v+5 )dv(v2−v+1 )

z=v2−v+1

¿ 32∫

dv(v+1 )

−14∫

(2 v+5−1+1 )dv(v2−v+1 )

d z=(2v−1 )dv

¿ 32ln (v+1)−6

4∫dzz

¿ 32ln (v+1)−6

4lnz

¿ 32ln (v+1)−6

4ln (v2−v+1 )



EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS

1. (2 x+2 y−1 )+ y ’ (x+ y−2 )=0(2 x+2 y−1 )dx+( x+ y−2 )dy=0

(2 x+2 y−1 )=0

( x+ y−2 )=0

|2 21 1|=2−2=0z=2 x+2 y ÷2

dz=2dx+2dy

dy=( dz−2dx2 )( z−1 )dx+( z2−2)( dz−2dx2 )=0( z−1 )dx+( z−42 )( dz−2dx2 )=0(4 z−4 )dx+(z−4 )(dz−2dx )=0

4 zdx−4dx+zdz−2 zdx−4dz+8dx=0

(2 z+4)dx+(z−4)dz=0

∫2dx+∫ z−4z+2

dz=0

z−4z+2

=∫ dz+∫ 6z+2

dz

2 x+z−6 ln(z+2)=C

4 x+2 y−6 ln(2 x+2 y+2)=C

2. (2 x+2 y−1 )+ y ’ (x+ y−2 )=0z=x+ y dz=dx+dydy=dz−dx

(2 z−1)dx+(z−2)(dz−dx )=0

2 zdx−dx+zdz−2dz−zdx+2dx=0

(z+1)dx+(z−2)dz=0

∫ dx+∫ z−2z+1

dz=0

z−2z+1

=∫ dz+∫ 3z+1

dz

2 x+ y−3 ln(x+ y+2)=C



3. (3 y−7 x+7)dx−(3x−7 y−3)dy=0

3 y−7 x+7=0 −7 3−3 x+7 y+3=0 −3 7

=−49+9=−40

3 y−7 x+7=0(3)−3 x+7 y+3=0 (−7)

−2 (x+9 y+2 )=02(x−49 y−2)=0

−40 y=0xo=0yo=1

[3 (k )−7 (h+1 )+7 ]dh−[3 (h+1 )−7 ( k )−3 ]dk=0

(3k−7h )dh− (3h−7k )dk=0

k=vh dk=vdh+hdv

h (3v−7 )dh−h (3−7 v ) ( vdh+hdv )=0÷h

7 (v2−1 )dh+h (7 v−3 )dv=0

7∫ dhh

+∫ (7 v−3 )(v2−1 )

dv=0

7v−3(v+1)

= A(v−1)

+ B(v+1)

7 v−3=A ( v+1 )+B ( v−1 )

v=1 4=2 A A=2v=−1 −10=−2B B=5

∫ 2dvv−1

+∫ 5dvv+1

7 lnh+2 ln ( v−1 )+5 ln ( v+1 )=lnC

( x−1 )7( yx−1

−1)2

( yx+1

−1)5

=C

( y−x+1 )2 ( y+x−1 )5=C


x=xo+h y=0+k

x=1+h y=k

dx=dh dy=dk


EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES EXACTAS

1. (seny+ ysenx+ 1x )dx+(xcosy−cosx+ 1

y )dy=0∂Mdy

=cosy+senx ∂ Ndx

=cosy+senx

∫x0

x

(seny+ ysenx+ 1x )dx+∫

y0

y

(xcosy−cosx+ 1y )dy

xseny− ycosx+lnx x¿ x0

+ x0 seny− ycos x0+ lnyy

¿ y0=C

seny− ycosx+ lnx+lny=C

seny− ycosx+ lnxy=C

2. ( xy

√1+x2+2xy−

yx )dx+(√1+x2+x2−lnx )dy=0

∂Mdy

= x

√1+¿+2 x−1x∂ Ndx

=x

√1+x2+2x−

1x¿

∫x0

x

( xy

√1+x2+2xy− y

x )dx+∫y0y

(√1+x02+x02−ln x0 )dy=0

y √1+x2+x2 y− ylnx x¿ x0

+ y√1+x02+ y x02−ln x0 y

y¿ y0

=C

y √1+x2+x2 y− ylnx=C

3. (3 x2−2 x− y )dx+(2 y−x+3 y2 )dy=0

∂Mdy

=−1 ∂Ndx

=−1

∫x0

x

(3x2−2 x− y )dx+∫y0

y

(2 y−x+3 y2 )dy=0



x3−x2− yx x¿ x0

+ y2+x0 y+ y3 y¿ y0

=C

x3−x2− yx+ y2+ y3=C

4. ( sen 2xy+x )dx+( y− sen2 x

y2 )dy=0∂Mdy

=−sen2xy2

∂ Ndx

=−se n2 xy2

∫x0

x

( sen2 xy+x )dx+∫

y0

y

( y− sen2 xy2 )dy=0

−cos2 x2 y

+ x2

2x

¿x0+ y2

2+se n2 x0

yy

¿ y0=C

−cos2 x2 y

+ x2

2+ y2

2=C

−cos2 x+ y x2+ y3=C

5. x (2x2+ y2 )+ y (x2+2 y2 ) y '=0

(2 x3+ y2 x )dx+(6 x2 y+4 y3)dy=0

∂Mdy

=2 yx ∂Ndx

=2 xy

∫x0

x

(2x3+ y2 x )dx+∫y0

y

(6 x2 y+4 y3 )dy=0

x4

2+ y2 x2

2x

¿ x0+x02 y2

2+ y4

2y

¿ y0=C

x4

2+ y2 x2

2+ y 4

2=C

x4+ y2 x2+ y4=C



EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES CON FACTORES DE INTEGRACION

1. ( x+senx+seny )dx+cosydy=0

∂Mdy

=cosy∂ Ndx

=0

∂Mdy

−∂Ndx

N (x , y )=cosy−0cosy

=1FI=e∫dx=ex

ex [ ( x+senx+seny )dx+cosydy ]=0

(x ex+ex senx+ex seny )dx+ (ex cosy )dy=0

∂Mdy

=excosy∂ Ndx

=ex cosy

∫x0

x

(x ex+ex senx+ex seny )dx+∫y0

y

(ex0cosy )dy=0

u=x dv=ex dx u=senxdu=dx v=ex du=cosxdx

dv=ex dx u=cosx dv=ex dxv=ex du=−senxdx v=ex

x ex−ex+ex (senx−cosx ¿¿¿2 ) x¿ x0

+ex0 seny y¿ y0

=C

x ex∓ex (s¿¿¿2 )+ex seny=C

2 ( x−1 )+ex (s enx−cosx )+2 seny ex=C

2. xydx+(x2+ y2+1 )dy=0

∂Mdy

=x∂Ndx

=2 x

∂Mdy

−∂Ndx

N (x , y )=x−2 xxy

=−1y

FI=e∫ 1

ydy

=e lny= y

y [ xydx+(x2+ y2+1 )dy ]=0



x y2dx+ y (x2+ y2+1 )dy=0

∂Mdy

=2 xy ∂ Ndx

=2 xy

∫x0

x

x y2dx+∫y0

y

y (x2+ y2+1 )dy=0

∫x0

x

x y2dx+∫y0

y

( y x02+ y3+ y )dy=0

x2 y2

2x

¿ x0+ y 4

4+ y2

2y

¿ y0=C

x2 y2

2+ y4

4+ y2

2=C ×2

x2 y2+ y4

2+ y2=C

3. (1−x2 y )dx+x2 ( y−x )dy=0

(1−x2 y )dx+(x2 y−x3 )dy=0∂Mdy

=−x2∂Ndx

=2 xy−3 x2

∂Mdy

−∂Ndx

N (x , y )=

−x2−2xy+3 x2

1−x2 y=

−2x

FI=e∫−2

xdy

=e−2 lny=1

x2

1

x2[ (1−x2 y )dx+ (x2 y−x3 )dy ]=0

( 1x2− y)dx+( y−x)dy=0

∂Mdy

=−1 ∂Ndx

=−1

∫x0

x

( 1x2− y )dx−∫y0

y

( y−x0 )dy

−1x

− yx x¿ x0

+ y2

2y

¿ y0=C

x y2−x2 y−2=Cx



4. (x2+ y2+1 )dx−2 xydy=0

∂Mdy

=2 y ∂Ndx

=−2 y

∂Mdy

−∂Ndx

N (x , y )=2 y+2 y−xy

=−2x

FI=e∫−2

xdy

=e−2 lny=1

x2

1

x2[ (x2+ y2+1 )dx−2xydy ]=0

(1+ y2

x2+ 1x2 )dx−dy=0

∫x0

x

(1+ y2

x2+ 1x2 )dx−∫y0

y2 yx

dy

x− y2 x−1−x−1 x¿ x0

=C

x2− y2−1=Cx

5. (1−x2 y )dx+x2 ( y−x )dy=0

(1−x2 y )dx+(x2 y−x3 )dy=0∂Mdy

=−x2∂Ndx

=2 xy−3 x2

∂Mdy

−∂Ndx

N (x , y )=

−x2−2xy+3 x2

1−x2 y=

−2x

FI=e∫−2

xdy

=e−2 lny=1

x2

1

x2[ (1−x2 y )dx+ (x2 y−x3 )dy ]=0

( 1x2− y)dx+( y−x)dy=0

∂Mdy

=−1 ∂Ndx

=−1

∫x0

x

( 1x2− y )dx−∫y0

y

( y−x0 )dy



−1x

− yx x¿ x0

+ y2

2y

¿ y0=C

x y2−x2 y−2=Cx

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES LINEALES

1. 2 x y '− y=3x2

dydx

− 12 x

y=3 x2

y=e−∫−dx

2x [∫ e∫−dx2 x ( 3 x2 )dx+C]

y=e12lnx [∫ e

−12

lnxxdx+C ]

y=√x ( 32∫√ x dx+c)

y=√x (x32+C)

2. ( x+1 )dy−[2 y+( x+1 )4 ]dx

dydx

− 2(x+1 )

y=( x+1 )3

y=e−∫ −2

x +1 [∫e∫ −2

x+1 ( x+1 )3dx+C ]y=e2 ln ( x+1 ) [∫e−2 ln ( x+1 ) ( x+1 )3dx+C ]

y= (x+1 )2 [∫ ( x+1 )dx+C ]

y= (x+1 )2[ (x+1 )2

2+C]

y=( x+1 )4

2+C



3. y '= 1xseny+2 sen2 y

dydx

= 1xseny+2 sen2 y

dydx

−xseny=2 sen2 y

x=e−∫−senydy [∫ e∫−senydy (2 sen2 y )dy+C ]x=e−cosy [4∫ ecosy senycosydy+C ]x=e−cosy [ (4−4 cosy )+C ]x=4 (1−cosy )+C

x=8 sen2 y2

+C

4. x ( x3+1 ) y '+(2 x3−1 ) y= x3−2x

÷ x (x3+1 )

dydx

+(2 x3−1 ) yx (x3+1 )

=¿

y=e−∫ (2 x3−1 )

x (x3+1)dx[∫ e

∫ (2 x3−1 )x (x3+1)

dx( x3−2x2 (x3+1 ) )dx+C ]

y=e−ln

x3−1x

dx[∫ eln

x3−1x

dx( x3−2x2 (x3+1 ) )dx+C ]

y= xx3−1 [∫ x3−2

x3dx+C]

y=x

x3−1 (x+ 1x2+C )5.

dydx

− y=2 x ex2

y=e−∫ p( x)dx [∫e∫ p (x)dx q(x )dx+C ]y=ex2 [∫2 x dx+C ]

y=ex2 (x2+C )



6. y '+2 y=x2+2x

dydx

+2 y=0

∫ dyy

=∫2dx

lny=−2x+c

y=C e−2x

y=C (x)e−2x

dydx

=C '(x)e−2x+C ( x )e

−2 x(−2)

C '( x)=e2x (x2+2 x )

∫ dc(x)=∫ e2 x (x2+2x )dx

C(x )=12x2e2x+1

2xe2x−1

4e2x+C

y=12x2+ 1

2x−14+C e−2 x

7. y '− y=x

dydx

− y=0

∫ dyy

=∫dx

lny=x+C

y=C ex

y=C ( x ) ex

dydx

=C '(x)ex+C ( x )e

x

∫C '(x)=¿∫ x e−x dx¿

u=x dv=e− xdxdu=dx v=−e− x

C(x )=−x e−x+∫ e−x dx

C(x )=−x e−x−e− x+C

y=(C−xe− x−e−x )



y=C ex−x−1

8. x2 y '= y2 (1+2 x2)÷ x2

dydx

+2 xy= y2( 2 x2+1x2 )y=u v

dydx

=vdudx

+u dvdx

vdudx

+u dvdx

+2 xuv=u2 v2( 2x2+1x2 )vdudx

+2xuv=o÷v

dudx

+2xu=o

∫ duu

=−∫2 xdx

lnu=−x2

u=e−x2

udvdx

=u2 v2(2 x2+1x2 )dvdx

=( 2 x2+1x2 )∫ v−2dv=∫e−2 x2( 2 x2+1x2 )dx−v−1=∫(2+x−2)dx

u=e−x2 dv=x−2dx

dy=−2x e−x2 v=−x−1

−v−1=−x−1 e−x2(−1)

1v= 1

x1 ex2

v=x ex2+C

y=e−x2(x ex2

+C )

y=C e−x2+x



9. x2 y '+2 x3 y= y2 (1+2 x2)

dydx

+2 xy= y2( 1+2 x2x2 )÷ y2

y−2 dydx

+2 x y−1=( 1+2 x2x2 )z= y−1 dz

dx=− y−2 dy

dx

−dzdx

+2 zx=1+2 x2

x2(−1)

dzdx

−2 zx=−1+2 x2

x2

z=e−∫−2xdx [−∫ e∫

−2 xdx 1+2 x2

x2dx+C]

z=e x2[−∫e− x2 1+2x2

x2dx+C ]

z=[∫ d ( e−x2

x )dx+C]1y=1x+Cex2

10. y '= 3 x2

x2+ y+1

dydx

= 3x2

x2+ y+1dxdy

= x2+ y+13x2

dxdy

−13= y+1

3x−2(x2)

x2dxdy

−13x2= y+1

3

z=x2dzdy

=3 x2 dxdy

13dzdy

−13z= y+1

3(3)

x=e−∫−dy [∫ e∫−dy ( y+1 )dy+C ]x=e y [∫ ( y+1 )dy+C ]



x3=e y [−e− y ( y+1 )−e− y+C ]x3=− y−2+Cey

11. (1+x2 ) y '=xy+ x2 y2

y '− x1+x2

y= x2

1+x2y2 ( y−2 )

y−2 y '− x1+x2

y−1= x2

1+x2

z= y−1 dzdx

=− y−2 dydx

−dzdx

− x1+x2

z= x2

1+x2(−1)

z=e−∫ x

1+x2dx [∫ e

∫ x1+x2

dx( −x2

1+x2 )dx+C]z=e

−12ln (1+ x2)[−∫ e

12ln (1+x2) x2

1+x2dx+C ]

z= 1

√1+x2 [−∫ x2

√1+x2dx+C]

1y= 1

√1+x2 (−x2

√1+x2+ 12ln ( lnx+√1+ x2 )+C )

12. y '+ y1+x

=12

( x+1 )3 y2 ( y−2 )

y ' y−2+ y−1

1+x=12

( x+1 )3

z= y−1 dzdx

=− y−2 dydx

−dzdx

+ z1+x

=−12

( x+1 )3

dzdx

− z1+x

=12

( x+1 )3

z=e−∫−dx

1+ x [∫e∫−dx1+x 12

(x+1 )3dx+C ]z=e ln (1+ x)[−∫e−ln (1+x) 1

2( x+1 )3dx+C ]

z=(1+x)[∫e−ln (1+ x) 12

(x+1 )3dx+C]



z=(1+x )[∫ ( x+1 )2

2dx+C ]

1y2

=( x+1 )4

6+C(1+ x)

13. y '− ytg ( x )=sec ( x ) , y|¿ x=0=0

y=e−∫−tg ( x )dx [∫ e∫−tg ( x )dx sec (x )dx+C ]y=e−lncos(x)[−∫ e−ln sec (x)sec (x)dx+C ]

y=sec (x )[∫ sec (x )sec (x )

dx+C ]y=sec ( x ) ( x+C ) , para x=0 ,C=0

y=sec ( x ) ( x+0 )

y= xcos (x )

14. y ' cos ( y )+sen ( y )=x+1

z=sen( y) dzdx

=cos ( y) dydx

dzdx

+z=x+1

z=e−∫ dx [∫e∫ dx ( x+1 )dx+C ]z=e− x [∫ ex ( x+1 )dx+C ]sen ( y )=x+c e−x

15. y '+xsen (2 y )=x e−x2 cos2 y

y '+xsen (2 y )=x e−x2 cos2 y

sec2 ( y ) dydx

+2 xtg ( y )=x e− x2

z=tg( y ) dzdx

=sec2 xydydx

dzdx

+2 xz=x e−x2

z=e−∫ 2xdx [∫ e∫2xdx x e− x2dx+C ]tg ( y )=e− x2 [∫ x dx+C ]



tg ( y )= x e− x2

2+c e−x2

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

1. x=ln y '+sen y '

x=lnp+senp

dxdp

= 1p+cosp

dx= 1p+cospdp

dyp

=1p+cosp

∫ dy=∫(1+ pcosp)dp

u=p dv=cospdpdu=dp v=−senp

−psenp−cosp

y=p−psenp−cosp+C

2. y '=ey '

y

p=epy

lnp= py

y= plnp

dydp

= lnp−1ln2 p

dy=lnp−1ln2 p

dp

pdx=lnp−1ln2 p

dp

∫ dx=∫ lnp−1p ln2 p

dp

x=∫ dpplnp

−∫ dp

pl n2 p



x= ln ( lnp )− 1lnp

+C

x=ln ( ln2 p )+C

3. y=( y '−1 )e y'

y=pe p−ep

dydp

=pe pdp

pdx=pepdp

∫ dx=∫ e pdp

x=e p+C

4. −2 xp+ y=0

x=8 y p2+ y

2 p

dxdy

=( 8 p2+12 p )+( 16 yp (2 p )−(18 y p2+ y)(2)

4 p2 ) dpdy1p=( 8 p2+12 p )+( 32 y p2−16 y p2+2 y4 p2 ) dpdy1p=4 p+ 1

2 p+( 8 y p2− y

2 p2 ) dpdy( 1p−4 p)dy= y( 8 p2−12 p2 )dp∫ dy

y=−∫ dp

p

lny=lnC−lnp

y= cp

5. y= y ' ln y '

y=plnp

dy=lnp+1

pdx=lnp+1

∫ dx=∫( lnpp + 1p )dp

x=12ln 2 p+lnp



EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFRENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

1. y ' ' '=x ex y (0 )= y ' (0 )= y ' ' (0 )=0

y ' '=ex (x−1 )+C1

e0 (0−1 )+C1=0

C1=0

y ' '=xex−ex+1

y '=e x ( x−1 )−ex+x+C2

e0 (0−1 )−e0+0+C2=0

C2=2

y '=xex−2ex+x+2

y=ex ( x−1 )−2ex+ x2

2+2 x+C3

e0 (0−1 )−2e0+ 02+2 (0 )+C3=0

C3=3

y=ex ( x−3 )+ x2

2+2 x+C

2. y ' ' '=xln(x ) y (1 )= y ' (1 )= y ' ' (1 )=0

y ' ' '=xln(x ) y (1 )= y ' (1 )= y ' ' (1 )=0

12 ( ln (1 )−1

2 )C1=0

C1=14

y ' '= x2

2ln ( x )− x2

4+ 14

y '= x3

6 ( ln ( x )−13 )− x3

12+ 14x+C2

16 (ln (1 )−1

3 )− 112

+ 14x+C2=0

C2=−19



y '= x3

6ln ( x )− x3

18− x3

12+ 14x−19

y '= x3

6ln ( x )− 5

18x3+ 1

4x−19

y= x4

24 ( ln ( x )−14 )− 5

144x4+ x2

8−19x+C3

124 ( ln (1 )−1

4 )− 5144

(1 )4+ 18−19+C3=0

C3=132

y= x4

24 ( ln ( x )−14 )− 5

144x4+ x2

8−19x+ 132

3. y ' ' '= x

( x+2 )5y (1 )= y ' (1 )= y ' ' (1 )=0

y ' ' '=u−2(u )5

u=x+2 x=u−2,1=u−2 , u=3dx=dv

y ' '=−13u3

+ 1

2u4+C1

−13 (3 )3

+ 1

2 (3 )4+C1=0

C1=1162

y ' '= 1

2u4− 1

3u3+ 1162

y '= 1

6u2− 1

6u3+ u162

+C2

1

6(3)2− 1

6 (3 )3+ 3162

+C2=0

C2=5162

y '= 1

6u2− 1

6u3+ 1162

+ 5162

y=−16u

+ 112u2

+ u2

324+ 5162

u+C3



−118

+ 1108

+ 136

+ 554

+C3=0

C3=−227

y= 1

12 ( x+2 )2− 16 ( x+2 )

+( x+2 )2

324+5 (x+2 )162

− 227

4. (1+x2 ) y ' '+ y '2+1=0

y '=u

y ' '=u '

(1+x2 )u'+u2+1=0

(1+x2 ) dudx

=−u2−1

−du

1+u2= dx

1+x2

−t g−1u=t g−1 x+C1

−u=x+C1

y '=−x−C1

y=−x2

2−Cx+C2

5. x y' '= y ' lny '

x

y '=u z=ux

y ' '=u'u '=z+z ' x

xu '=ulnuxx=ln ( z )−1

u'=uxln

uxdx=1

z

z+z ' x=zlnz

z ' x=zlnz−z

dzz( lnz−1)

=dxx

ln ( lnz−1 )=lnx+lnC



lnz−1=Cx

lnz=Cx+1

z=eCx+1

y '

x=eCx+1


ejercicios analisis3

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