ejercicios algebra lineal

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL

FIUNA00P1b000911:1. Si H es el conjunto solución de la ecuación lineal c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 +...+ cn xn = b con el

vector incógnita x = (x1, x2, x3,...,xn) y vector de coeficientes u = (c1, c2, c3,..., cn) 0 enRn, Demostrar que el segmento dirigido PQ, P, Q H es ortogonal al vector decoeficientes u.

2. Para el sistema lineal:k x + y + z = 1x + k y + z = 1x + y + k z = 1

i) Determinar el valor de k para que el sistema tenga solución única.ii) Discutir las otras posibilidades de solución.

3. Si V = {w / w = (x, y), x, y R}, con las siguientes operaciones:u + v = (a c , b d) u, v V

k u = (ak , bk)i) donde u = (a , b) V ; v = (c , d) V y k R.ii) Verificar si V es o no un espacio vectorial.FIUNA00P2b001123:4. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R, de grado menor o igual a 2, con

producto interno definido por f , g = 1

0

dt)t(g).t(f . Encontrar una base del subespacio

W ortogonal a h(t) = 2t + 1.5. Diagonalizar la matriz A mediante una matriz ortogonal P

011101110

A

6. En R3 se define la aplicación lineal:T:R3R3 ; T (a, b, c) = (a – b + c, 2a + b – c, – a – 2b + 2c).

Hallar una base y la dimensión para ImT y KerT.FIUNA00F1b001218:7. Hallar las relaciones entre a , b y c para que los vectores:

(1, a, a2) ; (1, b, b2) ; (1, c, c2)constituyan una base en R3.

8. Demostrar la relación: Ιu, v Ι2 u, u v, v ( relación de Cauchy-Schwarz )9. Sea P la matriz de cambio de base desde una base S1 hasta otra S2 y A la

representación matricial de un producto interno relativa a la base S1. Establecer laexpresión de la representación matricial de dicho producto interno relativa a la base S2.

10. Una matriz real simétrica A, de orden tres, admite como valores propios a: 5, conmultiplicidad geométrica uno, y 2, con multiplicidad geométrica dos. Si (1, 1, 1) es unvector propio asociado al valor propio 5, hallar la inversa de A.

FIUNA00F2b001226:11. Establecer las relaciones entre a , b y c para las distintas posibilidades de solución del

siguiente sistema:x – 2y + z = a

–x + y + 3z = b–2x + y + 10z = c

12. Dados el conjunto de vectores S = {(1, 0, 3); (2, 1, 4)} R3, hallar una base de R3 quecontenga S.

13. Si la matriz A es una matriz cuadrada similar a otra matriz B, demostrar que Ak essimilar a Bk.


14. Dada la aplicación lineal A:R4R3, representada por:

Encontrar una base y la dimensión para núcleo y la imagen y de A.FIUNA01P1a010321:15. Si la matriz ampliada de un sistema lineal de ecuaciones es:

1a4a23a2a4a201a1a8aa2a2

)B,A(

2

Determinar para que valores de a el sistema admite solución.i) Si se considera el sistema homogéneo asociado, determinar para que valores de a el

sistema admite soluciones distintas de la trivial.16. Hallar la dimensión y una base para la solución general W del sistema de ecuaciones.

2x – 4y + 3z – s + 2t = 03 x – 6y + 5z – 2s + 4t = 05x – 10y + 7z – 3s + t = 0

17. Establecer la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -5, 7) y es perpendicular alplano 2x – 3y + 7z = 4.

FIUNA01P2a010505:18. Sea V = { x | x R } y K = R. Si se definen las siguientes operaciones, x, y V y k

K:Suma de x e y, como : xy;Producto por escalar, como: xk

Imponer condiciones sobre R para que V sea un espacio vectorial.19. Sea U el subespacio de R5 generado por:

(1, –1, –1, –2, 0) ; (1, –2, –2, 0, –3) ; (1, –1, –2, –2, 1) ; y ;W el generado por (1, –2, –3, 0, –2) ; (1, –1, –3, 2, –4) ; (1, –1, –2, 2, –5) ;

Determinar:a) dos sistemas homogéneos cuyos espacios soluciones sean U y W,

respectivamente.b) una base y la dimensión de U W.

20. Sea el espacio de las matrices cuadradas de orden dos con el siguiente producto interno:a) A , B = tr ( BT A )b) Determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de S,

siendo S =

2231

4230;

FIUNA01F1a010619:21. Determinar, verificando que se cumplen todos los axiomas que corresponden, si el

conjunto de funciones continuas f:X R, con X = [0,1], las operaciones de suma defunciones y producto por escalares definidas como: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f)(x) =f(x), xX R, constituye un espacio vectorial sobre R.

22. Si M es la representación matricial de un producto interno, respecto a la base usual, enR3:

321221111

M

a) Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores ( 1, 0, 0 ) y ( 0, 1, 0 ).b) Si U R3, U = ( x, y, z ) / x, y, z R, x = y = – z , hallar;

350211321201

A


i) Una base para U.ii) La proyección ortogonal de ( 1, –2, 0 ) sobre U.

23. Si f es un operador lineal en R3 con vectores propios ( 1, 1, 0 ), ( 0, 1, 2 ) y ( 1, 2, 1 )pertenecientes a los valores propios 1, 2 y –1, respectivamente. Obtener larepresentación matricial de f relativa a la base S = ( 1, 1, 1 ) , ( 1, 1, 0 ) , ( 1, 0, 0 ) .

FIUNA01F2a010703:24. Hacer, para los distintos valores de a, b R, un estudio de la compatibilidad y del

número de soluciones del siguiente sistemaa x + b y + z = 1

x + ab y + z = bx + b y + az = 1

25. Diagonalizar la matriz A mediante una matriz ortogonal P, siendo:

011101110

A

26. Supóngase que R es un vector fila y que A y B son matrices tales que RA y RBestán definidos. Demostrar:a) El espacio columna de AB está contenido en el de Ab) Rango AB rango B y rango AB rango A.

FIUNA01P1b010903:27. Si H es el conjunto solución de la ecuación lineal c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 +...+ cn xn = b con el

vector incógnita x = (x1, x2, x3,...,xn) y vector de coeficientes u = (c1, c2, c3,..., cn) 0 enRn, demostrar que el segmento dirigido PQ, P, Q H y P Q, es ortogonal al vectorde coeficientes u.

28. Sabiendo que 0 , 0 , 0 , obtener los valores de , y en elsiguiente sistema de ecuaciones:

2 sen - cos + 3 tg = 34 sen + 2 cos - 2 tg = 26 sen - 3 cos + tg = 9

29. Siendo a, b, c R y

c0ba

B , hallar una expresión para Bn.

FIUNA01P2b011009:

30. La matriz

100110421

A es equivalente por filas a la matriz

372511421

B , es

decir, existe una matriz no singular P tal que A = PB. Hallar P.31. Sean U = {(x, y, z, t) / y – 2z + t = 0) y W = {(x, y, z, t) / x = t, y = 2z}. Hallar una base y

la dimensión de:a) U;b) W;c) UW.

32. Si V = {w / w = (x, y)} R2 y para u = (a, b) V; v = (c, d) V; kR; se definen:a) u + v = (a + c, b + d + 2ac);b) ku = (ka, k2b)

Determinar la condición que deben cumplir las componentes x e y de w para que V,con las operaciones definidas en i) y ii), constituya un espacio vectorial sobre R.

FIUNA01F1b011210:33. Determinar los valores de a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales admita:

a) solución única; b) infinitas soluciones.ax ay + z = 2a + 1ax + ay + t = 2a + 1


y az + at = a + 1x + az at = a 1

34. Obtener una matriz triangular superior 33, sabiendo que 1 es un valor propio demultiplicidad algebraica tres y multiplicidad geométrica dos.

35. Siendo F(x, y, z, t) = (x +2y + z + 2t, –x + y + 2z – 2t, x – z + 2t) una aplicación lineal,construir bases para KerF e ImF.

FIUNA01F2b011219:36. D es la forma diagonal de la matriz A, obtenida mediante una transformación por

congruencia utilizando la matriz no singular P y siendo:

ADeterminar

469000070000100001

700091001331026111

DP

37. La matriz A R44 es triangular por bloques y dos de sus valores propios son 1 = 2 = 5.Si trA = 23 y detA = 1050, determinar 3 y 4

38. El operador lineal T:R3R3 está definido por:T(x, y, z) = (x – y + z, x – y + 2z, 2x – y + 3z):

a) Probar que T es invertible.b) Establecer fórmulas para

i) T-1;ii) T2;iii) T-2.

FIUNA02P1a020321:39. En el sistema lineal:

a x + y + z = 1x + a y + z = 1x + y + a z = 1x + y + z = a

Determinar los valores de a para las distintas posibilidades de solución del sistema.40. Si A y B son matrices cuadradas tales que A y ( AB – BA ) conmutan para el producto

de matrices, demostrar que:An B – B An = n An – 1 ( AB – BA ), donde n es un número natural.

41. Determinar las restricciones, si existen, sobre el conjunto de los números reales R paraque el conjunto V = x x R , constituya un espacio vectorial, con las operacionessuma y producto por escalares definidas como:

x y = xy , x, y Vk x = xk , x V k R

FIUNA02P2a020513:42. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, –1, 1) y que es perpendicular

a la recta 3x = 2y = z y paralela al plano x + y – z = 0.43. Demostrar que:

a) Si dos matrices simétricas invertibles A y B conmutan, entonces AB-1 también essimétrica;

b) Si para una matriz A se cumple que A2 + 2A = I entonces A es invertible.44. Encontrar todos los subespacios de R3.FIUNA02F1a020625:45. Para el conjunto de pares ordenados S = ( x , y ) de números reales, se definen las

siguientes operaciones, siendo K = R:( a , b ) + ( c , d ) = ( a + b , c + d ) ( a , b ) , ( c , d ) S


( a , b ) = ( a , 0 ) ( a , b ) S KVerificar si se cumplen los axiomas de espacios vectoriales para el conjunto S, con lasoperaciones así definidas.

46. De ser posible, diagonalizar ortogonalmente, la matriz:

44441084810

A

47. Dada la transformación lineal f: R22 R3 definida por:

f

dcba

= ( a + b – c , a + b + d , b + c + d )

a) obtener la matriz de f respecto de las bases22Ren

1110

,1000

,0101

,1111

( 0 , 2 , 1 ) , ( 2 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) en R3

b) utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de

2231

FIUNA02F2a020716:48. En R3 se considera una base B = w1 , w2 , w3 y un producto interno < u , v > con

norma asociada u tal que: w1= w3= 3 ; w2= 2; ángulo entre (w1, w2) =

ángulo entre (w2, w3) = 3 ; entre (w1, w3) = 2

.

a) Hallar la representación matricial de dicho producto interno respecto a la base B.b) Hallar la representación matricial de dicho producto interno respecto a la base B’

= w1 – w3 , w2 + w3 , – w2 + w3 .

49. Dada la matriz

abbbabbba

A , hallar: a) P tal que D = P-1AP, sea diagonal, y, b) An.

50. Sea T:C C, definido por T( a + bi ) = a – bi, donde a, b, R (es decir es la aplicaciónconjugación en el cuerpo complejo C). Verificar si T es una aplicación lineal si:a) C es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos.b) C es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales.

FIUNA02P1b020914:51. Determinar las relaciones entre a y b para los cuales el sistema lineal:

3ax + 2z = 25x + 2y = bx – 2y + 2bz = 3a

a) es compatible; y b) es incompatible.

52. Para que valores de la matriz dada A no es invertible.

73232111

A

53. Sea V = (x , y) / x, y R , con las operaciones suma y producto por escalares ;definidas como:

babak

dbcadcba

,,2

,2

,,

Verificar cuales de los axiomas de los espacios vectoriales se verifican y cuales no.FIUNA02P2b021109:


54. Sean P la matriz de cambio de base desde una base S1 hasta otra S2, y A larepresentación matricial de un producto interno relativa a la base S1. Hallar larepresentación matricial de dicho producto interno relativa a la base S2.

29171710

A;141241

P

55. Sea V el espacio vectorial de las matrices 2 2 sobre R, con producto interno A , B =tr(BT A). Hallar una base para el complemento ortogonal de las matrices simétricas de V.

56. Sea V el espacio vectorial R3 con el producto interno usual y U = lin (1, 1, –1) ; (1, –1,–1) . Escribir el vector v = ( 1, 1, 1 ) de modo que v = u + w; con u U y w ortogonala U.

FIUNA02F1b021220:57. Utilizando exclusivamente el teorema de Cayley – Hamilton y las propiedades de la

multiplicación de matrices, hallar la inversa de la matriz A.

2123

A

58. Sean una matriz A con n vectores linealmente independientes y una matriz P cuyascolumnas son los vectores propios de A. Demostrar que la matriz D = P-1 A P es unamatriz diagonal, con los valores propios de A en la diagonal.

59. Si V y U son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, B = v1, v2, v3 y C = u1,u2 son bases en V y U, respectivamente. Si T: V U es una aplicación lineal tal que:

T(v1) = a1 u1 + a2 u2

T(v2) = b1 u1 + b2 u2 yT(v3) = c1 u1 + c2 u2

Demostrar que v V se verifica: A vB = T(v)C.FIUNA02F2b030113:60. Encontrar un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuyo conjunto solución W esté

generado por S = {(1, 1, 2), (1, 2, 3)}.

61. Siendo A Rnxn, verificar que: A2 = A si y sólo si (2A – I)2 = I.

62. Dado

011101110

A . Determinar P ortogonal, tal que PtAP = D, (D matriz

diagonal).

FIUNA03P1a030421:63. La matriz siguiente es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales con R.

Establecer los valores de para que el sistema: a) Admita solución única; b) Noadmita solución alguna y c) Admita infinita soluciones.

311131113111

3

2

64. Determinar si el conjunto de vectores de Rn cuyas coordenadas son siempre términos deuna progresión aritmética, es un subespacio de Rn.

65. Demostrar que S = ( 1 + x , –1 + 2x – x3 , x – x2 + 3x3 , x2 – 2x3 ) es una base de P3.Siendo P3 el conjunto de polinomios con coeficientes reales, de variable real y gradomenor o igual a tres.

FIUNA03P1a030514:

222

111

cbacba

A


1q1p0q0p1q1pq,p

1q1p0q0p1q1pq,p

66. Determinar si = –2 es un valor propio de la matriz

266157113

A . En caso

afirmativo determinar su multiplicad algebraica y multiplicidad geométrica.

67. Construir bases de Ker F y de Im F para la aplicación lineal F:R4R3 definida como:F(x, y, z, t) = (x + 2y + z + 2t, –x + y + 2z – 2t, x – z + 2t) .

68. Dada la transformación lineal T:R3R3 definida por: T(x, y, z) = (x + y + z, y + z, z),verifica si es singular y si no lo es determinar su inversa.

FIUNA03P2a030619:

69. Si

400590581

B . Determinar A con entradas diagonales positivas tal que A2 = B.

70. Si P2 es el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos,

sobre el cuerpo de los reales y un producto

interno, siendo p y q vectores cualesquiera de P2, construir una base ortonormal de

P2 a partir de la base usual.

71. Determinar la representación matricial del operador lineal F:R2 R2, relativa a la base

usual en R2, sabiendo que (1, 2) y (3, 1) son dos vectores propios linealmente

independientes de F y que F(5, –5) = (2, –1).

FIUNA03F1a030619:

72. Si

400590581

B . Determinar A con entradas diagonales positivas tal que A2 = B.

73. Si P2 es el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos, sobre el

cuerpo de los reales y un producto interno, siendo

p y q vectores cualesquiera de P2, construir una base ortonormal de P2 a partir de la base

usual.

74. Determinar la representación matricial del operador lineal F:R2 R2, relativa a la base usual en

R2, sabiendo que (1, 2) y (3, 1) son dos vectores propios linealmente independientes de F y

que F(5, –5) = (2, –1).

FIUNA03F2a030718:

75. Expresar .

783310021

A como producto de matrices elementales.

76. Demostrar que una matriz de la forma

cbba

con b 0 tiene:

a) Dos valores propios reales y distintos.b) Dos vectores propios linealmente independientes.


77. Si T : R4 R23 , está definido como

tz3yxt2z3tzy2xt3z2xtzxtyx

)t,z,y,x(T :

a) Determinar una base para KerT

b) Calcular

2556131-T

FIUNA03P1b030919:78. Determinar x, y y z, sabiendo que las matrices A y B son equivalentes por filas.

5,01000201005,10011

Bz2006613y144461x2

A

79. En el espacio vectorial P3:RR, de los polinomios de grado menor o igual a tres, seconsideran los subespacios: U = lin{1+x3, 1+x+x2, 2x–x2, 2+3x2 }, V = lin{1+3x2–x3,1+4x+x2–x3, 2x–x2 }. Se pide: a) Demostrar que V U; y, b) Hallar un subespacio Wde P3 tal que V W = U.

80. Verificar si nn

1i

1n21 R}0w)w,,w,(w{w/wW

, es un subespacio.

FIUNA03P2b031114:81. W = { (x, y, z) / 2x + y = 0 –5x + z = 0 } es un subespacio de R3. Determinar una base

ortonornal de W.82. Determinar k, los valores y vectores propios de la matriz

sabiendo que 5 es un valor propio.

83. Determinar una base para KerF, si F:R22 P3, está dada por:

32 t)d5c8b6a2(t)d4c6b5a2(t)d2c3b2a()dcba(dcba

F

FIUNA03F1b031230:84. Determinar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución es:

W = lin{ (1, –2, 0, 3, –1), (2, –3, 2, 5, –3), (1, –2, 1, 2, –2) }

85. Si los valores propios de la matriz

2c1b5211a

A son 1 = 2 = 3 y 3 = 5.

Determinar a, b, c y verificar si A es diagonalizable bajo similaridad.

86. Si F:R4 R2 y G:R4 R2 están definidas por: F(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 + x3, x4) yG(x1, x2, x3, x4) = (x1 – x3, x4 – x2). Determinar la representación matricial de F + G conrespecto a las bases canónicas.

FIUNA03F2b040202:87. a) Si v es un vector columna unitario de n componentes reales, I la matriz identidad de

orden n, demostrar que H = I – 2vvt es ortogonal.b) Encontrar un conjunto generador del subespacio de R3:

cabac3b2azyx ,,,,

88. Determinar en la matriz A, las condiciones que deben verificar los números reales a y b

para que la matriz A, bajo similaridad:

2112k2114

A

2ba-0ba-2a12b2a0b-2a

A


a) Sea diagonalizable y obtener la matriz P;b) No sea diagonalizable.

89. Si F:R3R2 es una transformación lineal que verifica: F(0, 0, 3) = (1, 2) ; F(0, 2, 0) = (2,1) y F(1, 1, 0) = (0, 0);a) Determinar la expresión de F para cualquier elemento de R3 ,y;b) Obtener una base para KerF.

FIUNA04P1a040403:90. Determinar para que valores de k, el siguiente sistema tiene soluciones distintas de la

trivial.

0zyx1k0z1kyx0zy1kx

91. Determinar k sabiendo que la distancia de u a v es d(u, v) = 6, siendo u = (2, k, 1, –4)y v = (3, –1, 6, –3).

92. Determinar una matriz no singular P, tal que B = PtAP sea diagonal.

11913965215213211

A

FIUNA04P2a040603:93. Si U = lin{ (1, –1, –1, –2, 0), (1, –2, –2, 0, 3), (1, –1, –2, –2, 1) } y W = lin{ (1, –2, –3, 0,

0), (1, –2, –2, 0, 3), (1, –1, –2, –2, 1) } encontrar una base y la dimensión de” UW.94. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos, se tienen

las bases S = { 2x2 + x, x2 + 3, x} y T = { x2 +1, x – 2, x + 3}. Determinar la matriz detransición de la base S hasta la base T.

95. En R2 para los vectores x = (x1, x2) e y = (y1, y2) se define f(x, y) = 3x1y1 + 2x2y2,verificar si f es un producto interno en R2.

FIUNA04F1a040629:96. Si W es un subespacio del espacio vectorial V de las matrices reales 22 con producto interno

<A, B> = tr(BtA), construir una base ortogonal de W a partir de la siguiente base dada S:

1223

0114

2111

S ,,

97. Si u = (z1, z2) y v = (w1, w2) son vectores pertenecientes a C2. ¿Para qué valores deCdcba ,,, la expresión que sigue es un producto interno en C2?.

22122111 wdzwczwbzwazvuf ,

98. Si F:R3R3 es una transformación lineal definida por F(x, y, z) = (2x + 2y, x + 3y + z, x + 2y +3z) Determinar los valores y vectores propios de F:

FIUNA04F2a040719:

99. Considerando el espacio vectorial R4 con el producto interior usual. Determinar dos vectoresunitarios ortogonales a u = (2, 1, –4, 0) ; v = (–1, –1, 2, 2) y w = (3, 2, 5, 4):

100. Dada la matriz A, determinar sus valores propios y las bases de los espacios propioscorrespondientes. Explicar si A es o no diagonalizable bajo similaridad:


312i132i2i2i8

A

101. Si F:R3R3 es una transformación lineal para la cual F(1, 0, 0) = (1, 0, 0) , F(0, 1, 0) = (0, 1, 0), F(0, 0, 1) = (1, 1, 1). Determinar una expresión para F y si es no singular hallar F-1:

FIUNA04P1b040922:102. Estudiar para que valores de k el siguiente sistema es compatible.

34

23

2

k3kz1kyx

k3kzy1kx

k3kzyx1k

103. Determinar una matriz no singular P, tal que D = PtAP sea diagonal, siendo:

11913965215213211

A

104. Verificar si las matrices dadas tienen o no el mismo espacio columna:

806701031106180605

B

1217233611451022

A ;

FIUNA04P2b041112:105. Hallar una base para el complemento ortogonal de la matrices reales simétricas 22.

106. A es una matriz real simétrica 22 con valores propios 2 y 3. Si (1, 2) es el vectorpropio perteneciente al valor propio 2, determinar A y un vector propio perteneciente a 3.

107. Hallar la matriz de representación respecto a la base {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 5)}, deloperador lineal T(x, y, z) = (z, y + z, x + y + z),.

FIUNA04F1b041207:108. Si W es el conjunto solución del sistema:

08302303

kzyxzyxzyx

Determinar la dimensión de W según sea el valor de k

109. Hallar y sabiendo que 1 = 3 y 2 = 5 son valores propios de A. Determinar además si Aes diagonalizable bajo similaridad y si lo es, obtener las matrices D y P tal que D = P-1AP.

2112514

A

110. Si T:R2×2R2×2 se define como T(A) = MA – AM, con

2312

M . Determinar Ker T , Im

T y sus respectivas dimensiones.

FIUNA05P1050319:111. Que relación debe cumplir los números reales a, b y c para que el sistema: a) tenga

solución, b) no tenga solución.


cy5b

zzy2xaz2yx

112. Determinar los valores de y para que el rango de la matriz A sea lo más pequeñoposible.

33233033213433211241231

A

113. Sea U el subconjunto de vectores v Rn tales que v = (x, 2x, …, nx), donde x esarbitrario. Verificar si U es un subespacio de Rn:

FIUNA05P2050521:114. En R4 sobre R se tienen los subespacios

)1,0,1,2(,)1,2,1,1(1 linW ; )3,4,1,0(,)1,2,2,3(2 linWDeterminar una base y la dimensión de: a) 21 WW ; b) 21 WW

115. Si se considera la función RRR 33:, definida por:

3

2

12

2

321

yyy

12a404a121a

01abxxxv,u

Donde 321 xxxu , 321 yyyv y Rba , . Estudiar los valores de de a y b talesque dicha función sea un producto interno.

116. Si

3241

A , dar la expresión que permita calcular nA para cualquier n entero

positivo.FIUNA05F1050627:

117. En R3, con el producto interno usual, se tiene: 2,5,1,0,1,1,1,2,1linW Extender una base de W a una base de

R3, y a partir de ella obtener una base ortonormal de R3.

118. Dada la matriz

011101110

A . Determinar P, ortogonal, tal que PtAP =

D, siendo D una matriz diagonal.119. Si F:R3 R2 es una transformación lineal, cuya representación matricial

respecto a las bases S = { (1, 0, –1) , (0, 2, 0) , (1, 2, 3) } y T = { (1, –1) ,

(2, 0) } es

013312

A , hallar la representación de F respecto a las

bases canónicas.FIUNA05F2050711:

120. Encontrar una base ortonormal de W, subespacio de R22, con el productointerno <A, B> = tr(BTA), siendo


1571

,7542

,5111

,2451

linW .

121. Dada la forma cuadrática: f(x, y, z) = 3x2 + 2xy + 3y2 +2xz + 2yz + 3z2.Hallar:a) La matriz simétrica A que representa f.b) Un cambio de coordenadas ortogonal que diagonaliza f.

122. Si F:R3 R2 está definida por F(v) = Av con

741352

A encontrar la

representación matricial de F relativa a las bases S de R3 y T de R2,siendo:

52

,31

T;001

,011

,111

S

FIUNA05F3051206:

123. Determinar una base ortonormal de R3, si parte de ella debe estar contenidaen el subespacio W = { (x, y, z) : x + y – z = 0 }.

124. Resolver el sistema Anx = b, para n impar, determinando previamente los

valores y vectores propios de A, si:

100000011

A y

301

b .

125. Dado el operador lineal: T : R3R3, definido como:T(x, y, z) = ( x + 2y + 3z; x + 3y + 3z; –2y + z )

Determinar si es invertible, y si lo es, encontrar T–1.FIUNA06P1060329:

126. Si a y b son números reales. a) Para que valores de a y b el sistema: i) escompatible, ii) es incompatible, b) Resolver el sistema para 0ba .

bab1a2ba7a

yxtyxtzyx

zy2x

127. Determinar los valores de k para los que la forma cuadrática f(x, y, z) = x2 +2xy + 2y2 + 2xz + 6yz + kz2 es definida positiva.

128. Determinar si U = { (x, y, z) : x 0 }, V = { (x, y, z) : x + y = z } y W = { (x, y,z) : x, y, z Q }. son subespacios de R3.

FIUNA06P2060519G1:

129. Hallar una base ortogonal del complemento ortogonal delsubespacio de R5 generado por S = {(1, 2, –1, 1, 0), (1, 3, 0, –1, 1),(0, 1, 1, –2, 1)}.

130. Determinar la matriz real A, sabiendo que 5 es uno de sus


valores propios y S = { (1, –1, 0)t, (1, 0, 1)t } es una base delespacio propio perteneciente al valor propio 3.

131. Las aplicaciones F:R3R2, G:R3R2 y H:R2R2, se definencomo F(x, y, z) = (y, x + z), G(x, y, z) = (2z, x – y) y H(x, y) = (y,2x). Hallar la expresión que defina H(F + G).

FIUNA06P2060519G2:

132. Hallar una base ortogonal del complemento ortogonal delsubespacio de R5 generado por S = {(2, 1, 1, –1, 0), (3, 1, 0, 1, –1),(0, 1, –1, 2, 1)}.

133. Determinar la matriz real A, sabiendo que 16 es uno de susvalores propios y S = { (0, 1, 2)t, (–5, –8, 4)t } es una base delespacio propio perteneciente al valor propio –5

134. Las aplicaciones F:R3R2, G:R3R2 y H:R2R2, se definencomo F(x, y, z) = (x, y + z), G(x, y, z) = (2y, z – y) y H(x, y) = (2y,x). Hallar la expresión que defina HF + HG.

FIUNA06F1060609G2:

135. Escribir, si es posible,

213654642

A como un producto de matrices elementales.

136. Determinar la matriz P que diagonalice ortogonalmente

122212221

A .

137. Determinar F:R3R3 sabiendo que ImF = lin{ (3, -1, 2), (0, 1 -1) }.FIUNA06F2060626:

138. Si la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales es:

iii

iBA

201120

220),( 2

Determinar para que valores de C el sistema es:a) Compatible (determinado o indeterminado), b) Incompatible.

139. Determinar una expresión de An, n N, para la matriz

011101110

A .

140. Si

3138325311321

A es la representación matricial de la transformación

lineal F:R4R3, respecto a las bases canónicas en R4 y R3. Hallar unabase y la dimensión de Im F y dim (Ker F).

FIUNA06F3061219:


141. Dado el sistema:

0122

12

zyxzyx

zyx

, determinar para que valores de

es: a) Incompatible, b) Compatible y admite solución única; c) Compatible yadmite infinitas soluciones.

142. Sin invertir la matriz A determinar los valores propios de A-1 y una base delespacio propio asociado al valor propio de menor valor absoluto de A-1.

3117113113130008

81A

143. Sea F : R3 R2, con F(x, y, z) = (2x + y – z, 3x – 2y + 4z) Determinar larepresentación matricial de F, relativa a las bases. { (1, 1, 1), (1, 1, 0); (1, 0,0) } y { (1, 3), (1, 4) }

FIUNA07P1070331:

144. Resolver el siguiente sistema lineal, para los valores de que lo hacecompatible:

0122

12

zλyxλλzyλx

λzyλxλ

145. Hallar una matriz ortogonal P cuyas dos primeras filas son múltiplos de (1,3, 2) y (2, 0, –1).

146. Determinar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución W esté generadopor { ( –1, 0, 1, 2 ), ( 3, 5, –2, 5 ), ( 1, 4, 0, 9 ) }.

FIUNA07P2070521:

147. Encontrar una base ortonormal de R3 si parte de ella debe estar contenida enel subespacio W = {(x, y, z) : x + y – z = 0 }:

148. Para la matriz A dada, utilizando la matriz diagonal D, similar a A, y la matrizP que lo diagonaliza, obtener una expresión para An.

011101110

A

149. Sea F:R3R2, tal que F(2, 0, 1) = (–1, 2), F(1, 1, 1) = (0, 0), F(5, 0, 2) = (2, 1).Determinar una expresión para F(x, y, z).

FIUNA07R1070928:

150. Determinar para que valores reales de el sistema:


6λz7y5x1λ

2zyx3z3y2x2

1λz3y2x2λ

2

2

a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones; c) no tiene soluciónalguna:

151. Determinar para que valores de k, la forma cuadrática siguiente es definidapositiva ( , , ) = + + 2 + 4 +

152. Determinar una base del subespacio V de R5, siendo V = U + W, donde:= {( , , , , ):− + + = 0, 4 − 2 + = 0,−6 + + = 0}= {( , , , , ):−9 + 3 + = 0, 4 − 2 + = 0,2 − + = 0}FIUNA07R2071027:

153. Determinar una base ortonormal de W = {(x, y, z, t): x – y + t = 0; 2x – z + t =0}

154. Determinar k sabiendo que = 1 es un valor propio de A. Para el valorobtenido de k verificar si A es diagonalizable bajo similaridad y si lo esdeterminar la matriz que lo diagonaliza.

411-1-21k21

A

155. Sea ( , , , ) = + + − + + 2 + 3+ 2 + + 3 + 2 + − 3 − . Determinar

una base de ImF y una de KerF.FIUNA08P1080308A:

156. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible. + 2 + = 14 + 8 + ( − 5 − 2) = − 23 + + 3 = 12

157. Obtener la matriz de: ( + ) = + , donde:= 5 1 22 1 03 1 1 ; = 4 1 03 1 −54 5 6158. Verificar si el siguiente conjunto de vectores es un subespacio de R2x2= ∶ = = +FIUNA08P1080308B:159. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución

única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solución


cuando es posible. − 2 + 3 = 12 + + 6 = 6− + 3 + ( − 3) = 0160. Obtener la matriz ∈ × de: = ( + ) , donde: .= 2 1 10 1 00 1 0 ; = 1 0 02 0 13 1 −1161. Verificar si el siguiente conjunto de vectores es un subespacio de R2x2.= 00 : , ∈FIUNA08P2081027F1:

162. Si es el espacio vectorial de las matrices reales 2 × 3 sobre el cuerpo de los

reales. Determinar si = 0 0 ∶ = + es un subespacio de .

163. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ − 2 + 5 = 0} de , determinar .

164. Dada la matriz = 1 −1 20 4 11 3 0 obtener utilizando su matriz adjunta.

FIUNA08P2081027F2:165. Si es el espacio vectorial de las matrices reales 2 × 3 sobre el cuerpo de los

reales. Determinar si = ∶ + 2 = 0 2 + = es un

subespacio de .166. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ + − = 0} de , determinar .


FIUNA08F1080621:168. Determinar la condición entre , para que el conjunto sea

linealmente dependiente, siendo = 1 2−1 3 , 0 12 4 , 4 −20 −4 , :.

169. Determinar , , , , , sabiendo que y son positivos y que la matrizes ortogonal.

=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛1 2 1 61 2 1 61 2 1 2 01 2 −5 6 0 −1 4⎠⎟

⎟⎟⎟⎟⎞

170. Hallar los valores propios, vectores propios y una base para cada espaciopropio del operador ( , , ) = ( 2 + 2 + 3 , + 2 + , 2 − 2 + )siendo , , reales.

Nº1.2.3.


FIUNA08F2080704:

171. Determinar una base y la dimensión del subespacio de siendo= {(1, 2, −2), (5, 4, −4), (0, 1, −1)}, luego, si corresponde, extender dichabase a una base de .

172. Determinar una base ortonormal del subespacio de siendo ={( , , , ) ∶ − + − = 0}.173. Verificar si el operador ( , , ) = (2 + 2 , + 3 + , + 2 + 3 ) se

diagonalizable.Si lo es, encontrar una matriz de cambio de base quetransforma la matriz de a la nueva base.

FIUNA08F3081202:

174. Dado el sistema2 + ( + 2) + = + 8( + 1) + ( + 1) = 2 + 4− + (2 + 3) + (2 + 4) = + 1 estudiar para que

valores de admite solución ) ú ; ) ; ) .

175. Diagonalizar bajo congruencia la matriz = 8 √2 √2√2 3 1√2 1 3 y estudiar su

diagonalización bajo similaridad.176. Dado el operador lineal : × → × definido como ( ) = − , con= −2 1−3 2 determinar una base y la dimensión de .

FIUNA08R1081023:177. Determinar para que valores reales de reales el sistema:2 + + = 7+ + + =+ 2 + = −1+ =

a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones; c) no tiene soluciónalguna:

178. Verificar si la matriz siguiente es definida positiva. Si no lo es encontrar unvector tal que < 0. = 1 −2 1−2 0 01 0 −1

179. La matriz siguiente es la representación de la transformación línea : →. Determinar ( ∘ )( ) y verificar que ( ∘ )( ) = 2 ( ).

= −− −− −FIUNA09P1090404A:180. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución

única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible.


+ + 2 + = 32 + 5 − − 9 = −32 + − + 3 = −11− 3 + 2 + 7 = −5181. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matriz

diagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 1 2 −3∗ 5 −4−3 ∗ 8182. Determinar los valores de en = {( , 0, 1), (0, , 2), (1, 0,1)} para los cuales

el conjunto de vectores S es una base de R3

FIUNA09P1090404B:183. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución

única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible. + + 2 − 5 = 32 + 5 − + = −32 + − + 3 = −11− 3 + 2 + 7 = −5

184. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matrizdiagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 1 −3 ∗∗ 7 −52 −5 8

185. Determinar los valores de en = {( , 0, 1), (1, , 2), (1, 0,1)} para los cualesel conjunto de vectores S es una base de R3

FIUNA09P1090404C:186. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución

única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible. + + 2 − 5 = 32 + 5 − − 9 = −32 + − + = −11− 3 + 2 + 7 = −5

187. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matrizdiagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 1 2 −42 3 ∗∗ −6 9

188. Determinar los valores de en = {( , 0, −1), (0, , 2), (1, 1,1)} para loscuales el conjunto de vectores S es una base de R3

FIUNA09P1090404D:

189. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible.


+ + 2 − 5 = 32 + 5 − + = −32 + − + 3 = −11− 3 + 2 + 7 = −5190. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matriz

diagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 3 2 4∗ −1 −3∗ −3 1191. Determinar los valores de en = {( , 1, 1), (0, , −3 ), (1, 0,1)} para los

cuales el conjunto de vectores S es una base de R3

FIUNA09P2090606:

192. Considerando que en R3 se define el producto interno:<u, v> = < (u1, u2, u3), (v1, v2, v3) > = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3.

ortonormalizar la base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.

193. Dada la matriz = 1 1 0 01 0 00 0 1 10 0 1 determinar k tal que no exista y

utilizando el valor de k hallado, determinar los valores y vectores propios de Ay aclarar si es diagonalizable bajo similaridad.

194. Sea F : R3 R2 la aplicación lineal definida por:F ( x, y, z ) = ( 2x + y - z, 3x – 2y + 4z )

Determinar la matriz de F en las siguientes bases de R3 y R2:S = { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), ( 1, 0, 0 ) }; T = { ( 1, 3 ), ( 1, 4 ) }

FIUNA09F1090627:

195. Dados los siguientes subespacios de := {( , , ): + + = 0}, = {( , , ): = }, = {(0, 0, ): ∈ }) : ) = + ; ) = + , ) = + ;) .196. Hallar una transformación de coordenadas ortogonal que diagonalice la forma

cuadrática ( , , ) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 .197. Sea : → la aplicación lineal definida por ( , , ) = ( + 2 , − ,+ ) encontrar ) una base del núcleo; ) una base de la imagen, y )

determinar si es inyectiva.FIUNA09F2090704:

198. Determinar todas las matrices de tercer orden , tal que = y puedenescribirse como = + , siendo escalares, la matriz identidad y

una matriz con todos sus elementos iguales a 1, excepto los de la diagonalprincipal que son nulos.

199. Dada la matriz = 1 1 −2 −31 2 −5 −1−2 −5 6 9−3 −1 9 11 determinar si es definida positiva.

200. La representación matricial de la transformación lineal : → respecto a


las bases = {(1,0 − 1), (0,2,0), (1,2,3)} = {(1,−1), (2,0)} es =2 −1 33 1 0 . Hallar la representación de respecto a las bases canónicas.

FIUNA09P1090911A:

201. Establecer para que valores de k el sistema siguiente admite a)solución única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.

Obtener la solución cuando es posible.

⎩⎨⎧ + 2 + = 12 + + 3 = −4− + ( + 2) = −3 − 54 + 2 + ( + 6) = −3 − 8

202. Determinar las matrices si == y = 2 51 3 , =1 −1 −20 2 12 1 0 , = 15 −5 05 0 10 , = 103203. Determinar el sistema homogéneo cuyo conjunto solución es ={(−1, 0, 1, 2), (3, 4, −2, 5), (1, 4, 0, 9)}FIUNA09P1090911B:

204. Establecer la relación que debe cumplir , para que el sistemasiguiente admita a) infinitas soluciones; b) ninguna solución.

Obtener la solución cuando es posible.+ 2 − 3 =2 + 3 + 3 =5 + 9 − 6 =205. Determinar la matriz ∈ ℛ × tal que = ( + ) si:= 2 1 10 1 00 1 0 , = 1 0 02 0 13 1 −1206. Determinar la condición entre , , para que el conjunto:1 2−1 3 , 0 12 4 , 4 −20 −4 ,

sea linealmente dependiente.FIUNA09P1090911C:

207. Establecer para que valores de k el sistema siguiente admite a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.

Obtener la solución cuando es posible. + − = 3− + 3 = 4+ + ( − 10) =208. Determinar las matrices si + 2 =− = 0 con = 1 02 1 , =−1 2−1 3209. Sea = {(1, 2, −2), (5, 4, −4), (0, 1, −1)}. Hallar una base de y

extenderlo a una base de R3

FIUNA09P1090911D:


210. Establecer la relación que debe cumplir , para que el sistema admitaa) infinitas soluciones; b) ninguna solución.

Obtener la solución cuando es posible.2 + 2 + 3 =3 − + 5 =− 3 + 2 =211. Determinar la matriz tal que ( + ) = + si =5 1 22 1 03 1 1 , = 4 1 03 1 −54 5 6212. Sea = { + + 2, + 1}. Hallar una base de y extenderlo a una

base de los polinomios de grado menor o igual que (2) dos.FIUNA09P2091113A:

213. Obtener una base ortonormal del subespacio de definido como ={( , , , ) ∶ + = + }.214. Dada la matriz = −1 1 00 0 00 0 1 , obtener la solución del sistema = ,

con entero par, = (1, 0, 3) , utilizando la matriz diagonal similar a .215. Dada la transformación lineal ∶ → , definida como ( , , ) =( + 2 , − , + 2 ), encontrar una base de y determinar si es

invertible.FIUNA09P2091113B:

216. En el espacio , de las matrices reales 2 × 2, con producto interno ⟨ , ⟩ =( ), obtener una base ortonormal del subespacio = 1 −10 2 ,1 11 0 , 1 21 3 .

217. Determinar todos los valores reales de para los cuales la matriz =− 1+ 1 es diagonalizable bajo similaridad y la matriz que lodiagonaliza.

218. Dada la transformación lineal ∶ → definida como ( , , ) =( + + , + , ) determinar si es invertible y si lo es determinar suinversa.

219. asdf220. asdf221. asdf

FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL

FPUNA01P1010918:1. Determinar la relación entre a, b y c para que el sistema siguiente tenga solución

única.ax + 3y - 2z = 02x + by + z = 03x - 2y + cz = 0

2. Hallar:a) La ecuación del plano paralelo a 4x + 7y – 12z = 3 que pasa por el punto P(2, 3, -

1).b) La ecuación de la recta determinada por los puntos P(1, 3, 2) y Q(2, 5, -6).

3. Sea . Hallar B, con entradas diagonales positivas, tal que: B2 = A.

FPUNA01P2011120:4. Si x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn), determinar si la expresión

n

1jj

n

1ii yx),f( yx define un producto interior en Rn.

5. El volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w, es de 18 unidades3. Si: u = (1, x, -3), v = (3, 4, -1) y w = (2, -1, 5). Determinar x.

6. La matriz

7020602010

A admite un valor propio de multiplicidad algebraica dos.

Determinar dicho valor propio y una base de su espacio propio.FPUNA01F1011206:7. Determinar una matriz ortogonal simétrica P cuya primera fila sea (1/3, 2/3, 2/3).

8. Determinar la matriz P que diagonaliza por similaridad a: A =

411121221

9. En el espacio vectorial real V, T:VV es un operador lineal, A = {u1, u2} y B = {w1, w2}son bases. Si w1 = u1 + u2, w2 = 2u1 + 3u2 y T(u1) = 3u1 – 2u2 y T(u2) = u1 + 4u2. Hallarla matriz de T relativa a la base B.

400590581

A


FPUNA01F2011217:10. Determinar los valores de k para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales admita:

a) Solución única; b) Ninguna solución; y, c) Infinitas soluciones.

2x ky + z = 2k + 5x + y kz = 1

4x + y kz = k

11. Hallar una matriz no singular P tal B = P tAP sea diagonal. Así mismo determinar B yla signatura de A

11913965215213211

A

12. Siendo F:R5R3 la aplicación lineal definida según:F(x, y, z, s, t) = (x + 2y +z –3s + 4t, 2x + 5y + 4z – 5s + 5t, x + 4y + 5z – s – 2t)Hallar una base y la dimensión para a) Ker F; y, b) Im F

FPUNA01F3020211:13. Determinar los valores de k para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales admita

infinitas soluciones.

(1 k)x + y + z = 02x + (2 k)y + 2z = 0

x + y + (1 – k)z = k

14. Hallar el polinomio mínimo de la matriz A

323436224

A

15. Siendo F:R3R2 la aplicación lineal definida según:F(x, y, z) = (x + 2y – 4z, 2x + 3y + z)

Hallar F-1(3, 4)

FPUNA02P2021120:16. Si x = (x1, x2) e y = (y1, y2), determinar si la expresión 2211 yx2yx6),f( yx define un

producto interno en R2.

17. Dada la matriz

211232011

A , determinar si es diagonalizable. En caso que así sea,

obtener la matriz P que diagonalice a A y determinar P-1AP.

18. Si F:R3R2 es una aplicación lineal definida por F(1, 1, 0) = (2, 1) , F(0, 1, –1) = (1, 0) ,F(1, 0, –1) = (0, 0), obtener la fórmula para F(x, y, z).


FPUNA02F1021204:19. Sea V el espacio vectorial de las matrices 22 sobre R, con producto interno definido

como A, B = tr(B tA). Hallar una base ortogonal para el complemento ortogonal de lasmatrices diagonales.

20. Sea la matriz

266157113

A , verificar si es posible hallar una matriz P tal que P-1 A

P sea diagonal.

21. Sea la aplicación lineal A:R4R3 con

133112121021

A . Encontrar la dimensión y

una base de:a) la imagen de A, y;b) el núcleo de A.

FPUNA02F2021218:22. Determinar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución W esté generado por:

(1, –2, 0, 3) ; (1, –1, –1, 4) ; (1, 0, –2, 5)

23. Utilizando el polinomio característico y el teorema de Cayley – Hamilton, hallar la inversade la matriz A.

2123

A

24. Sea V el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas sobre el cuerpo K y M unamatriz arbitraria en V. Defínase T: V V mediante T(A) = AM + MA, con A V.Mostrar que T es lineal.

FPUNA02F3030211:25. Determinar los valores de k para que el sistema, con incógnitas x, y, z, tenga:

i) solución única, ii) ninguna solución, iii) infinitas soluciones.x + y – z = 1

2x + 3y + kz = 3x + ky + 3z = 2

26. Supóngase

4242184811

C . Hallar: a) el polinomio característico (t) de C; b) los

valores propios de C; c) un conjunto máximo de vectores propios ortogonales no nulos deC; d) una matriz ortogonal P tal que P-1 A P sea diagonal.

27. Defínase F : R2 R2 , según F(x, y) = ( 3x+ 5y, 2x + 3y ), y sea S el círculo de radiounidad en R2 ( S consta de todos los puntos que satisfacen x2 + y2 = 1 ). Hallar: a) laimagen F(S); b) la preimagen F-1(S).


FPUNA03P1030920:28. Analizar las soluciones del sistema lineal siguiente, para distintos valores de y .

x + y + z = 1x + y + z = x + y + z = 1

29. Establecer las condiciones que verifican las componentes x, y, z, s y t, del vector v(x, y,z, s, t), sabiendo que v W W = lin{ (1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, –6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1) }.

30. Verificar si

Rb,a/

baabba

W , es un subespacio de R22.

FPUNA03P2030811:31. Si V es el espacio vectorial de las matrices 22, con producto interno A , B = tr(BtA).

Hallar una base para el complemento ortogonal de las matrices simétricas de V.

32. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A, (R 0)

3021200

A

33. Verificar si la transformación lineal T(x, y, z) = (x + y – 2z, x + 2y + z, 2x + 2y – 3z) esinvertible. Si lo es, hallar T-1(x, y, z).

FPUNA03F1031129:34. Si W = lin{ (1, 1, 1, 1), (1, –1, 2, 2 ) , (1, 2, –3, –4 ) } R4, hallar una base ortonormal

para W.

35. Si los valores propios de la matriz A son 1 = 2 = 3 y 3 = 5 y sus vectores propiosson, respectivamente, v1 = (1, –1, 0)t, v2 = (1, 0, 1)t y v3 = (1, 2, 1)t, determinar A y supolinomio característico.

36. Si F:P2P3 es una aplicación lineal, F(1) = x2 – 2; F(x) = x3 + x, y, F(x2) = x3 + 2x2 + 1,determinar la condición, necesaria y suficiente, que deben verificar a, b, c y d para queax3 + bx2 + cx + d imF.

FPUNA03F2031213:37. Encontrar una matriz ortogonal simétrica cuya primera fila sea (⅓, ⅔, ⅔).

38. Hallar una transformación de coordenadas ortogonal que diagonalice la forma cuadrática:q(x, y, z) = 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz .

39. Encontrar bases del núcleo y la imagen de la transformación lineal T:R3R3 definida porT(x, y, z) = (x + 2y, y – z, x + 2z). Aclarar, además, si es o no un isomorfismo.


FPUNA03F3041402:40. Determinar una base ortonormal del subespacio W de R4 ortogonal al subespacio

generado por los vectores (1, –2, 3, 4) y (3, –5, 7, 8).

41. Determinar los valores de los números reales a y b para los cuales la matriz

2001100ba

A

es diagonalizable bajo similaridad.

42. Determinar el núcleo y una base de la imagen de la transformación lineal F:R2R3

definida por F(x, y) = (x + y, x – y, 2x + y). Aclarar, además, si F es o no suprayectiva.FPUNA04P1040911:43. Para que valores de a y b es compatible el sistema.

byxay7x3

1bay2xb2a5y13x5

44. Determinar cuales de las siguientes matrices son normales:

ii101

Bi32i

1i43A ,

45. Diagonalizar la siguiente forma cuadrática: q(x, y, z) = 3x2+ 2y2 + z2 + 4xy + 4yzFPUNA04P2041106:46. Si V es el espacio vectorial de las matrices 22 sobre R. Encontrar una base y la

dimensión del subespacio W de V generado por las matrices:

1571

D7542

C5111

B2451

A ;;;

47. Hallar una base ortonormal para el subespacio W de C4, siendo:

W = { (x, y, z, t) : x + iy – z = 0 }

48. Siendo W = { (x, y, z) : x – 2y + 5z = 0 } un subespacio de R3, hallar W y en W unvector w tal que ||w|| = 430,


FPUNA04F1041127:49. Determinar , y , de manera que la matriz A sea ortogonal, siendo:

542521552

31A

50. Determinar si W es un subespacio de R4. Si lo es, determinar su dimensión y una baseortonormal de W, siendo W = { ( x , y , z, t ) : x + y + z + t = 0.

51. Sabiendo que A es una matriz real, determinar para que valores de y la matriz Aes diagonalizable bajo similaridad y encontrar dichas formas diagonales.

20212202

A

FPUNA04F2041211:52. Siendo U = linS y V = linT, con S = { (1, –1, –1, –2, 0) , (1, –2, –2, 0, –3) , (1, –1, –2, –

2, 1) } y T = { (1, –2, –3, 0, –2) , (1, –1, –3, 2, –4) , (1, –1, –2, 2, –5) }, encontrar unabase y la dimensión de W = UV.

53. Hallar todas las matrices ortogonales de la forma

zy

x21

54. Si

2123

A y 12 xxP , obtener las matrices Q, Q-1 y D (D matriz diagonal)

tal que: AP = Q-1DQ.

FPUNA04F3050212:55. Un sistema de ecuaciones lineales tiene por matriz ampliada

1423242011822 2

, con R. Utilizando determinantes (Regla de Cramer)

determinar para que valores de :a. El sistema es compatible;b. El sistema homogéneo asociado admite soluciones distintas de la trivial.

56. Sea W el subespacio de R5 generado por u = (1, 2, 3, –1, 2) y v = (2, 4, 7, 2, –1).Hallar una base ortogonal para el complemento ortogonal W t de W.

57. Dada la matriz

4242184811

A , determinar una matriz ortogonal P tal que P-1AP

sea diagonal

FPUNA05P1050910:58. Para que valores de a y b es compatible el sistema.


baybx1tay2xbtzayx7zayx2

59. Determinar una matriz real B de orden 2x3, con entradas distintas, tal que AB = 0, siendo:

6321

A

60. Diagonalizar la forma cuadrática: q(x, y, z) = x2 – 6xy + 8y2 – 4xz + 5yz + 7z2

FPUNA05P2051029:

61. En V = { (a, b) : a, b R+ }, se definen:i) (a, b) + (c, d) = (ac, bd) ; ii) k(a, b) = (ak, bk), kR.

Verificar si V, con estas operaciones, es o no un espacio vectorial sobre R.

62. Resolver la ecuación: 32

20115x0320214010

63. Dado W = lin { (1, 1, 0), (1, 2, 2) }, determinar un vector vR3 tal que v = 3 y sea ortogonal a todos los vectores de W.

FPUNA05F1051213:

64. Diagonalizar bajo congruencia la forma cuadrática:q(x, y, z) = x2 + 4xy + 3y2 – 8xz – 12yz + 9z2.

65. En el espacio de matrices reales 22, con producto interno <A, B> = tr(BtA),encontrar una base ortogonal del subespacio generado por

3121

,0111

,2011

.

66. Sabiendo que la matriz A admite 0 como valor propio, verificar si A esdiagonalizable bajo similaridad y si lo es, obtener la matriz P que lo

diagonaliza, siendo

k100110000k10011

A .

FPUNA05F2051217:

67. Hallar una matriz A, con entradas diagonales positivas, tal que A2 = B, si:

400590581

B

68. Determinar los valores de x e y, para que la matriz A sea ortogonal,siendo:


21

yx

y1

xy

21

y1

yx21

32A

69. Determinar bases del núcleo y de la imagen del operador lineal T:R3 R3,si T(1, 0, 0) = (1, 2, 3); T(0, 1, 0) = (2, –1, 0) y T(0, 0, 1) = (3, 1, 3).

FPUNA05F3060218:

70. Hallar una base ortonormal de R3, si parte de ella debe estar contenida en elsubespacio W = { (x, y, z) / x + y – z = 0 },

71. Determinar P, ortogonal, tal que P-1AP = D, siendo D una matriz diagonaly:

011101110

A

72. Si T(x, y, z) = ( x + 2y + 3z, x + 3y +3z, -2y + z ), determinar si T:R3 R3,es invertible y si lo es, obtener T-1.

FPUNA06P1060901:73. Determinar las entradas indicadas como faltantes en la matriz cuadrada siguiente,

sabiendo que son iguales la suma de los elementos de cada fila, de cada columna, de ladiagonal principal y la diagonal secundaria.

******87*654*321

74. Determinar todas las matrices que conmutan con:

75. Determinar si

Rd,c,b,a;cbda:

dcba

W , con las operaciones suma de

matrices y producto de matrices por escalares usuales, es un espacio vectorial.

FPUNA06F1061125:

76. Verificar los valores de a y b para los cuales es compatible el sistema:

byxay7x3

1bay2xb2a5y13x5

y obtener la solución para dichos valores.

1011

A


77. Utilizando los valores y vectores propios de

100000011

A , resolver el

sistema BXAn con t3,0,1B (considerar n par e impar).

78. Si zy2,z3y3x,z3y2xz,y,xT verificar si T es invertible y silo es determinar 1T .

FPUNA06F2061223:

79. Diagonalizar, bajo congruencia, la siguiente forma cuadrática yzxzxyzxzyxq 43273,, 22

80. Para que valores de y ( ) es diagonalizable, bajo similaridad, la

matriz:

20212202

A ,

81. Si yzxzyxzyxzyxF 6,54,,832,, encontrar una base ortogonalde ImF.

FPUNA06F3061223:

82. Hallar una matriz ortogonal cuyas dos primeras filas sea múltiplos de (1, 3, 1)y (2, 0, –1).

83. Encontrar una matriz ortogonal P tal que P -1AP sea diagonal, siendo:

4242184811

A

84. Si zyxzyzyxzyxF 2,,2,, encontrar una base ortogonal deImF.

FPUNA08P1080901F1:

85. Determinar, si es posible, k (real) para que el sistema tenga a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.

3 − + 2 = − 12 − 5 + 3 = 1+ 3 − ( − 1) = 0

86. Resolver el sistema: 2 + =− 1 = 0, siendo = 2 1

1 1 , = 2 −40 2

87. Dada la forma cuadrática ( , , , ) = 2 + 4 − 2 + 3 2 + 2 − 4 −5 2 − 4 , encontrar una sustitución lineal no singular que exprese lasvariables ( , , , ) en términos de las variables ( , , , ), tal que la formacuadrática sea diagonal.

FPUNA08P1080901F2:


88. Determinar, si es posible, k (real) para que el sistema tenga a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.+ + = −2

3 + 4 + 2 =2 + 3 − = 1

89. Resolver el sistema: 2 + =− 1 = 0, siendo =

2 11 1 , = 2 −4

0 2

90. Dada la forma cuadrática ( , , , ) = 2 + 4 − 2 + 4 + 12 + 3 2 −6 + 5 2, encontrar una sustitución lineal no singular que exprese lasvariables ( , , , ) en términos de las variables ( , , , ), tal que la formacuadrática sea diagonal.

FPUNA08P2081027F1:


reales. Determinar si = 0 0 ∶ = + es un subespacio de .

92. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ − 2 + 5 = 0} de , determinar .


94. FPUNA08P2081027F2:


reales. Determinar si = ∶ + 2 = 0 2 + = es un

subespacio de .

96. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ + − = 0} de , determinar .


FPUNA08F10811129:

98. Determinar una matriz idempotente de orden dos de elementos diagonalesiguales respectivamente a 6 − 6

99. Determinar un vector ∈ tal que ‖ ‖ = 3 y sea ortogonal al subespacio= {(1,1,0), (1,2,2)}.100.Para el operador definido por: ( , , ) = 1 2 30 1 00 0 1 , determinar una

base y la dimensión de ) ) .FPUNA08F2081213:


101.Determinar , , , , si = es ortogonal.

102.Determinar una base ortonormal para el subespacio de generado por= (1, 1,1,1), = (1, 1,2,4), = (1, 2, −4,−3).103.Hallar la representación matricial del operador lineal en , respecto a la

base , siendo ( , , ) = ( , + , + + ) , = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 5)}.FPUNA08F3090214:

104.Dada la forma cuadrática ( , , ) = + 2 − 4 − 4 + 7 , encontraruna sustitución lineal no singular que exprese las variables , , en términosde las , , de forma que ( , , ) sea diagonal.

105.Determinar una base ortonormal para el subespacio ortogonal a =(1,−2,−1, 3) .

106.Dada la aplicación lineal : → definida como ( ) = , donde seescribe como vector columna y = 2 5 −31 −4 7 . Encontrar larepresentación matricial de relativa a la bases{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} {(1, 3), (2, 5)}.

ejercicios algebra lineal

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