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103 Álgebra INTRODUCCIÓN En matemáticas es usual que se hable de ejercicios y problemas, y en muchos momentos se toman como sinónimos. En esta Guía son cosas diferentes. En la página 46 dijimos lo que es un pro- blema; aquí vamos a hablar de lo que consideramos ejercicio. Una característica del ejercicio es que con él se pretende que ad- quieras soltura en el manejo de ciertos procedimientos o en el tratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando te en- frentas a problemas. Cuando te enfrentes a un ejercicio ya sabes lo que tienes que hacer. Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo, cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces como de segundo grado, ya sabes que puedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula general, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás un problema. Ejercicios

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INTRODUCCIÓN

En matemáticas es usual que se hable de ejercicios y problemas,y en muchos momentos se toman como sinónimos. En esta Guíason cosas diferentes. En la página 46 dijimos lo que es un pro-blema; aquí vamos a hablar de lo que consideramos ejercicio.Una característica del ejercicio es que con él se pretende que ad-quieras soltura en el manejo de ciertos procedimientos o en eltratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando te en-frentas a problemas.

Cuando te enfrentes a un ejercicio ya sabes lo que tienes quehacer. Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como laaplicación de la fórmula general para resolver una ecuación desegundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo,cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces comode segundo grado, ya sabes que puedes resolverla y lo harás. Encambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula general,cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo gradotendrás un problema.

Ejercicios

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Un ejercicio también puede ser algo más laborioso, como laaplicación del método de diferencias finitas para la obtenciónde la ecuación de una función polinomial a partir del conoci-miento de ciertos valores que se conocen de la función. Inclusopuede tratarse de modelos algebraicos de problemas como laaltura en función del tiempo que adquiere un cuerpo que es lan-zado de alguna forma.

Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas conla información necesaria para ello. Usualmente consiste en unaexplicación de los pasos que tienes que seguir, y éstos sonejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se indican lospasos seguidos. Esta explicación se puede realizar en el salón declases (en este caso no sólo debes anotar lo que se te presentaen el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicio-nales necesarias para que no se te olviden detalles) o puede es-tar escrita en un libro. No debes preocuparte sólo por recono-cer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio,sino también por entender el porqué de estos pasos. De esta for-ma estás en condiciones de darte cuenta si puedes aplicar algu-nos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejer-cicio que ya sabes resolver.

Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuandoeres capaz de resolverlo sin consultar tus apuntes o la informa-ción que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver unaecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sinnecesidad de consultar en tus apuntes, aplicas la fórmula gene-ral. Desde luego, para esto es necesario que tengas aprendidala fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al apli-car varias veces la fórmula en ecuaciones de segundo grado.

En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes re-solverlo consultando parte de la información de la que dispo-nes (usualmente algunas fórmulas).

Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesorpara resolver un ejercicio, entonces todavía no dominas el ejer-cicio y te hace falta más práctica.

Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de estamanera dispondrás de más tiempo para dedicarte a trabajar enlos aspectos nuevos o desconocidos del problema al que te en-frentes.

En esta Guía se te señalan ejercicios para que los traba-jes y se indica dónde puedes obtener la información que ne-cesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son sufi-cientes para que llegues a dominarlos, pero en otros no y tú

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debes buscar o crear otros ejercicios para que sigas practi-cando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estu-diante. Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicioscuando resuelves un problema y luego detallas los pasos quedeben seguirse para resolver la situación del problema. Esdecir, cuando elaboras una información similar a la que con-sultaste para resolver los ejercicios propuestos.

Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio:

¿Qué es un ejercicio?Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo orutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos puedenrequerir la combinación de varios procedimientos con destrezasespecíficas. En un ejercicio puede requerirse una articulación deregistros de representación, pero esta articulación suele estar yaincluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La admi-nistración de los conocimientos y procedimientos no es comple-ja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedi-mientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No buscauna reconceptualización de los conocimientos sino la frecuen-tación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Suesquema metafórico es la suma, no la integración. Puede ser la-borioso, raras veces difícil.

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Las tareas se refieren a Álgebra con aplicaciones de Phillips,Butts y Shaughnessy. Editorial Harla.

UNIDAD 1De la Aritmética al Álgebra.• Lee haciendo las pp. 10-22• Resuelve los ejercicios pares del 48 al 60 de las pp.23-25• Lee haciendo las pp. 71-79• Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp. 79-82

UNIDAD 2Polinomios • Lee haciendo las pp. 82-88 • Resuelve los ejercicios de la forma 7n+1 de las pp. 88-93 • Lee haciendo pp. 93-99 • Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las pp. 99-102 • Lee haciendo las pp. 103-109 • Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las pp. 109-113

UNIDAD 3Ecuaciones y funciones lineales • Lee haciendo las pp. 146-160 • Resuelve los ejercicios de la forma 5n+3 de las pp. 161-165 • Lee haciendo las pp. 213-225 • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 225-230

UNIDAD 4Ecuaciones y funciones cuadráticas • Lee haciendo las pp. 275-289 • Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp. 289-293 • Lee haciendo las pp. 349-357 y pp. 362-367 • Resuelve los ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 357-

358 y los de la forma 5n+1 de la p. 368 • Lee haciendo las pp. 371-388 • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 388-395

UNIDAD 5Sistemas de ecuaciones • Lee haciendo las pp. 245-262 • Resuelve los ejercicios de la forma 5n+2 de las pp. 263-268 • Lee el resumen pp. 268-269

TAREAS DEL LIBRO

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• Resuelve los ejercicios de la forma 8n+7 de las pp. 269-273 • Lee haciendo las pp. 433-444 • Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp. 444-449

UNIDAD 6Funciones polinomiales y racionales • Lee haciendo las pp. 566-579 • Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp. 580-584 • Lee haciendo las pp. 409-426 • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 426-433

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Unidad 1. De la Aritmética al Álgebra.

(1) Un electricista compró 75 metros de alambre de calibre 14.Usó las dos quintas partes en una instalación; del resto, guar-dó el 20% y la cantidad restante la dividió en trozos de 80 cmde longitud. ¿Cuántos trozos son? ¿Para qué otras longitu-des del alambre se obtienen trozos completos?

(2) Calcula el número de alumnos de una clase sabiendo que laoctava parte de ellos no asistió a la clase, que las tres quintaspartes de ellos están presentando un examen y los once res-tantes están estudiando. ¿Cuántos no asistieron?

(3) Juan gana dos tercios de lo que percibe Pedro, quien gana4/5 de lo que percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1,150.00, ¿cuán-to perciben Juan y Pedro?

(4) Yolanda está a cargo de una tortillería y ha decidido estable-cer el precio de $4.50 el kilogramo. Algunos de sus clientescompran por pesos (es decir, compran $1, $1.50, $2, ..., $29.5ó $30) y otros por kilos (1, 1.5, 2, ..., 15 kg). Necesita dos ta-blas para saber cuántos kilos de tortillas les debe dar a losprimeros y cuánto les debe cobrar a los segundos. ¿Puedesayudarle a Yolanda en la elaboración de estas dos tablas?

(5) Una anciana decrépita y desdentada fue a vender una canas-ta de huevos al mercado. Al primer cliente le vendió la mi-tad de los huevos que llevaba, más medio huevo; al segundocliente le vende la tercera parte de los huevos que le queda-ban, más un tercio de huevo; el tercer cliente le compra lacuarta parte de los huevos restantes, más un cuarto de hue-vo. Después de sus ventas, la anciana aún tenía en la canasta

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8 huevos. Si no se rompió ningún huevo, ¿cuántos huevostenía inicialmente en la canasta?

(6) La razón entre los gastos y las entradas en el negocio de losRomano´s es de 5 a 8. ¿Cuáles fueron sus gastos en un mesen el que la ganancia fue de $3,675?

(7) Un nanosegundo es 10-9 segundos. ¿Cuántos nanosegundosrequiere la luz para darle la vuelta a la Tierra?

(8) Supongamos que una máquina copiadora amplifica una co-pia de papel alrededor de 1.1 veces el original. Si usted saca-ra copias de copias y una hoja original fuese de 10 cm por 16cm, ¿cuáles serían las dimensiones de la segunda, tercera yoctava copia? ¿Cuántas amplificaciones se requieren paralograr una amplificación del triple del original?

(9) Una hoja de papel se dobla a la mitad, y luego nuevamentea la mitad. Si este procedimiento de doblar a la mitad conti-núa y el papel se desdobla, ¿cuántas secciones habrá despuésde un doblez? ¿dos dobleces? ¿tres dobleces? ¿cinco doble-ces? ¿diez? ¿cien?

(10) Hay que tender un cable desde una central eléctrica a unlado de un río de 900 metros de ancho a una fábrica en el otrolado 3 kilómetros abajo. El costo de tender el cable bajo elagua es de $400 por cada metro, mientras que el costo portierra es de $320 por cada metro. ¿Cuál es la ruta más eco-nómica para tender el cable?

(11) Un viajero recorre 1/4 de la distancia entre dos ciudades apie, 1/5 a caballo, 1/8 del resto en auto y los 55 km restantesen tren. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?

(12) Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en14 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 8/17de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que reforzar lacuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?

(13) Carlos consigue un préstamo de $100,000 para comprarseun automóvil. Conviene en pagar su deuda de la siguienteforma: cada año pagará $10,000 más el 12% de interés de sudeuda al principio de año. ¿Cuánto pagará al final por elpréstamo?

(14) Al inicio de un viaje el odómetro de un automóvil (contanque lleno) registra 43,219.5 km. Después del viaje, quetardó seis horas, el odómetro registra 43, 480.2 km y elconductor utilizó 39.5 litros de gasolina. ¿Cuántos kilóme-tros por litro rindió el automóvil? ¿Cuál fue la velocidadpromedio en el viaje?

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(15) A la edad de dos años, un niño promedio mide unos 86 cmy pesa 13 kg. Emplea la fórmula de DuBois y DuBois (don-de w es el peso y h la estatura) para hallar la superficie S delcuerpo del niño (en metros cuadrados).

S w h= ( . ) . .0 007184 0 425 0 725

(16) De un número N, de dos dígitos, se sustrae un número quetiene los mismos dígitos de N pero invertidos. El resultado esel cubo de otro número positivo. ¿Cuáles son los valores po-sibles de N?

Unidad 2. Polinomios

(17) Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de unrectángulo con un semicírculo sobrepuesto.

(a) ¿Cuál es el área total de la ventana?(b) ¿Cuál es el área máxima que puede tener la ventana to-mando en cuenta que el perímetro es constante?

(c) Escribe un polinomio para representar el perímetro dela figura en términos solamente de la variable r o de la va-riable x.(d) Escribe un polinomio para representar el área de la fi-gura en términos solamente de la variable r o de la varia-ble x.(e) Grafica la función del área.

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(18) Dados dos círculos con el mismo centro, halla una expre-sión algebraica para el área de la parte sombreada. Simplifi-ca la expresión tanto como sea posible.

Si x = 10.125, utiliza la expresión para obtener el área de laparte sombreada

(19) Encuentra una expresión para la cantidad de concreto quese necesita para hacer una tubería de concreto que tiene Lmetros de largo, un radio interior B y un radio exterior A. SiL=1,000 m, B=65 cm y A=70 cm, ¿qué volumen de concretose requiere?

(20) Un avión pequeño puede cargar 950 kg de equipaje distri-buidos en dos compartimentos de carga. En un vuelo, elavión va totalmente cargado con 150 kg más en un compar-timento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada com-partimento?

(21) En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudosmide 15º más que dos veces el otro ángulo agudo. Calcula elvalor de cada ángulo.

(22) Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo en queun avión recorre 180 km. La velocidad del avión es de 143km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad delautomóvil.

(23) Un automóvil y un camión salen de un mismo punto departida al mismo tiempo y en direcciones opuestas. Cuandoestán a 350 km de distancia, el automóvil ha recorrido 70 kmmás que el camión. Calcula la distancia que recorrió el auto-móvil.

x

4

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(1) La suma de las edades de mis tres hijos es de 22. Si el mayortiene tres años más que el segundo y el doble de la edad deltercero ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?

(2) Un cajero contó 248 billetes. Sólo tiene billetes de $200.00 y$50.00 y en total hay $22,150.00 ¿cuántos billetes de $200.00y de $50.00 hay?

(3) Dos monedas raras tienen un valor de $90.00 Si el valor deuna de ellas es una y media veces el valor de la otra ¿cuán-to vale cada moneda?

(4) Un parque de diversiones cobra $60.00 por persona, perotiene boletos de promoción a mitad de precio. Si en un díase obtuvieron ingresos de $29, 220.00 al vender 549 boletos,¿cuántos boletos de cada tipo fueron vendidos?

(5) La fórmula para convertir grados Celsius a Fahrenheit es deºF = 9/5 ºC + 32 donde ºC son los grados Celsius y ºF losgrados Fahrenheit ¿A cuántos grados Celsius correspon-den 32º, 70º y 212º grados Fahrenheit?

(6) En una ciudad el costo de la electricidad está expresado porla fórmula C = 0.07 n + 6.5, siendo C el costo y n la canti-dad de kilowatt-horas consumidos. Calcula la cantidad dekilowatt-horas que corresponde a costos de $50.00, $76.50y $125.00 respectivamente.

(7) Un señor invirtió $14,000.00, parte al 7% y parte al 12%de interés anual. El ingreso anual debido a esas inversio-nes fue de $1,430.00. ¿Cuánto invirtió en cada una de lastasas?

(8) ¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para aumen-tar la concentración de 300 litros de sal, del 2 al 3%?

(9) Varias personas avanzan por la carretera a razón de 5 km/hy forman una fila de 3 km de largo. Una de ellas, Antonio,va hasta el final de la misma. De repente se acuerda que tie-ne que darle un recado a su compadre Ricardo, que se en-cuentra al principio de la marcha. Se sube a una bicicleta yavanza a una velocidad de 25 km/h. ¿Cuánto tiempo le lle-vará a Antonio llegar hasta donde se encuentra su com-padre, entregarle el recado y regresar hasta el final dela marcha?

(10) Un televisor tiene un costo de $3,250.00, incluyendo el IVAdel 15%. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA?

(11) El dueño de un negocio paga diariamente a sus tres em-pleados $135.00. Determina lo que gana cada uno, sabien-

Unidad 3. Ecuaciones y funciones lineales

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do que el primero gana $10.00 más que el segundo, y ésteel doble que el tercero.

Unidad 4. Ecuaciones y funciones cuadráticas

(1) ¿Cuál es la altura del árbol más alto que puedes asegurar conun cable de 250 m? El cable debe fijarse al suelo a una dis-tancia de la base del árbol que sea al menos 10 m.

(2) ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo si su área es1500 m2 y su longitud es 20 m más que su anchura?

(3) Calcula la altura h del triángulo si su área es 162 cm2 y subase es (2h+3) cm.

(4) Calcula el perímetro del rectángulo de base w+4, altura w yárea de 96 m2.

(5) La longitud de una pista rectangular de patinaje sobre hieloes 20 m mayor que el doble de su ancho. Calcula las dimen-siones de la pista si se sabe que su área es de 6,000 m2.

(6) En la figura se muestra la sección del terraplén de una auto-pista. La altura del terraplén es de x metros y su anchura ensu parte alta es de 100 m. Obtén:

(a) Una fórmula para el volumen de tierra que se requerirápara construir una sección recta de 100 m de la autopista, enmetros cúbicos.(b) ¿Cuál es la altura del terraplén si el área de su sección esde 525 m2?(c) ¿Qué cantidad de viajes se requerirá hacer para construirel tramo de 100 m, si cada camión transporta 10 m3 de tierra?

100 m

x α α

tg α = 1

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(7) Rodolfo acostumbra subir corriendo dos escaleras eléctricasde 20 m de longitud cada una, desplazándose la primera ha-cia arriba y la segunda hacia abajo, en 15 segundos. Si semantuviese quieto en una de las escaleras, en 20 segundos seencontraría en el otro extremo de ella. Cuando las escalerasno funcionan, ¿en cuánto tiempo subirá por ellas?

(8) El siguiente problema fue descubierto en los escritos delmatemático hindú Mahavira (c. 850): La cuarta parte de unhato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la raízcuadrada del total de camellos del hato se fue a las laderasde la montaña, y tres veces cinco camellos fueron vistos enla orilla de un río. ¿Cuál es la medida numérica del hato decamellos?

(9) Una escalera de 13 metros de longitud está recostada con-tra una pared. La base de la escalera se encuentra a 5 metrosdel muro. ¿Cuánto habría que desplazar la base de la escale-ra para que la punta superior de la misma se desplazase ha-cia abajo la misma distancia?

(10) El ingenioso Heberto ha diseñado su bicicleta con ruedasde distinto diámetro, de forma que la delantera mide 40 cmmenos que la trasera en su circunferencia exterior. Al dar unpaseo en bici se da cuenta de que por cada 12 m de recorri-do, la rueda delantera da 5 vueltas más que la trasera. ¿Cuá-les son los diámetros de cada rueda?

(11) Un rectángulo con un área de 12 cm2 se inscribe en un trián-gulo rectángulo, como se muestra en la figura. ¿Cuáles sonsus dimensiones?

x

y

6 cm

8 cm

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(12) El peso de un objeto varía inversamente con el cuadradode la distancia al centro de la Tierra. Al nivel del mar (6,400km del centro de la Tierra) un astronauta pesa 100 kg. Cal-cula el peso del astronauta en un vehículo espacial a 200 kmde la superficie terrestre.

(13) Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene unaproducción promedio de 40 costales por árbol cuando plan-ta 200 de ellos en una hectárea de terreno. Cada vez que aña-de diez árboles a la hectárea, la producción por árbol des-ciende un costal. ¿Cuántos árboles por hectárea deberíaplantar para optimizar la producción?

(14) Un consejo municipal utiliza 200 m de valla para cercar unparque destinado a los ciudadanos minusválidos. El parqueserá adyacente a un centro comunitario y tendrá dos áreasrectangulares conectadas por un puente que atraviesa unarroyo que se encuentra a 10 m del edificio. El área adyacen-te al centro comunitario puede tener una longitud no mayora la del edificio, que es de 75 m, pero el área a lo largo delarroyo puede tener cualquier dimensión. Junto al río no sepondrá ninguna valla. ¿Cuál es el área máxima que puedencercar?

Unidad 5. Sistemas de ecuaciones

(1) Entre 1993 y 1997 el número de reproductores de discoscompactos vendidos cada año en cierto país fue creciendo, yel número de tornamesas fue decreciendo. Dos modelos paracalcular las ventas son los siguientes:

(a) Reproductores de discos compactos:

(b) Tornamesas: S td = - +1700 496

S tt = -1972 8

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115Álgebra

en donde Sd y St representan las ventas anuales, en miles deunidades, de reproductores de discos compactos ytornamesas, respectivamente, y t representa el año calenda-rio, con t = 3 correspondiente a 1993. Según estos modelos,¿cuándo se esperaría que las ventas de reproductores de dis-cos compactos rebasarán a las de tornamesas?

(2) En 10 kg de una aleación hay 3 kg de zinc, 2 kg de cobre y 5kg de plomo. En 20 kg de una segunda aleación hay 12 kg dezinc, 5kg de cobre y 3 kg de plomo, mientras que en 10 kg deuna tercera aleación hay 8 kg de zinc, 6 kg de cobre y 6 kg deplomo. ¿Cuántos kilogramos de cada aleación tendrán quecombinarse para obtener una aleación que por cada 34 kg dezinc, contenga 17 kg de cobre y 19 kg de plomo?

(3) Supongamos que te ofrecen dos trabajos diferentes paravender material a dentistas. Una compañía te ofrece una co-misión simple del 6% sobre ventas; la otra compañía te ofre-ce un salario de $250 por semana más 3% sobre ventas.¿Cuánto tendrías qué vender en una semana para que la co-misión simple sea mejor?

(4) Un avión que vuela con viento de frente recorre los 1,800kilómetros entre dos ciudades, en 3 horas 36 minutos; en elvuelo de regreso, recorre la misma distancia en 3 horas. Ha-lla la velocidad del avión y la velocidad del viento, suponien-do que ambas permanecen constantes.

(5) Se obtienen 10 litros de una solución ácida al 30%, al mez-clar una solución al 20% con otra al 50%. ¿Cuánto se usó decada una?

(6) Un rectángulo tiene 92 cm de perímetro y su diagonal mide34 cm. Halla sus lados.

(7) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 19.5 m. Si lalongitud de cada cateto aumentara 4.5 m, la hipotenusa au-mentaría 6 m. Halla los catetos del triángulo primitivo.

(8) Un jardín de flores rectangular tiene 504 cm2 de área y estárodeado por un camino de 3 m de ancho. El área del caminoes 312 m2. Halla las dimensiones (longitud y anchura) deljardín.

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(9) Una pieza rectangular de cartón tiene 120 cm2 de área. Alcortar un cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esqui-nas y doblar los lados hacia arriba, se forma una caja abiertade 96 cm3 de volumen. Halla las dimensiones (largo y ancho)del cartón inicial.

(10) Un alambre de 120 cm de largo se dobla en forma de trián-gulo rectángulo cuya hipotenusa mide 51 cm. Encuentra lalongitud de cada cateto del triángulo.

(11) Dos hombres parten de un punto y caminan formando unángulo recto. La velocidad de uno es 1 km por hora mayorque la del otro. Después de una hora, la distancia entre elloses de 5 km. Encuentra la velocidad de cada hombre.

(12) Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + ktoque, pero no cruce (sea tangente) a la gráfica de la pará-bola y=x2 +1.

Unidad 6. Funciones polinomiales y racionales

(1) Encuentra el valor de k para el cual x – 3 es un factor dek x3 – 6x2 +2k x – 12

(2) Encuentra el valor de k tal que -2 es una raíz de3x3 +5x2 +k x - 10 = 0

(3) De un cubo se recorta una rebanada de 1 cm de grosor deuno de sus lados. ¿Cuál será la longitud del lado del cubooriginal si el volumen del cuerpo restante es de 180 cm3 ?

(4) Demuestra que el binomio x-c es un factor de p(x) y resuel-ve la ecuación

p(x) = 0p(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 4x – 4; x + 2p(x) = x4 – 8x3 + 7x2 + 72x – 144; x – 4

(5) Encuentra un polinomio p(x), de grado 3, cuyos ceros sean– 2, 2 y 3 y, además, p(1)=18

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117Álgebra

(6) Cuando x2 + 5x – 2 se divide entre (x + n) el residuo es – 8.Determina todos los valores posibles de n.

(7) Determina d tal que x + 6 sea un factor dex4 + 4x3 - 21x2 + dx + 108 (utiliza la división sintética).

(8) Obtén el valor de k tal que x+2 sea un factor dex3-kx2+2x+7k

(9) Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto con unasemiesfera unida en la parte superior. Si la altura total de laestructura es de 30 unidades de longitud, encuentra el radiodel cilindro si el volumen total es de 1,008 π unidades cúbi-cas.

(10) Según la Ley de Gravitación de Newton, ¿cómo varía lafuerza de atracción entre dos objetos si cada una de sus ma-sas se reduce a la mitad, pero se duplica la distancia entreellos?

(11) La Ley del Gas Ideal señala que el volumen V que ocupaun gas es directamente proporcional al producto del núme-ro n de moles de gas y la temperatura absoluta T, einversamente proporcional a la presión P, medida en atmós-feras. Expresa V en términos de n, T, P y una constante deproporcionalidad. ¿Cuál es el efecto en el volumen si la can-tidad de moles se duplica y tanto la temperatura como la pre-sión se reducen a la mitad?

(12) La distancia entre dos poblaciones P y Q es de x kilóme-tros. Si tú conduces un automóvil en dirección de P a Q a ve-locidad media de V1 km/h, y regresas de Q a P a velocidadmedia de V2 km/h. ¿Cuál es tu velocidad promedio duranteel viaje redondo?

(13) Diseña un problema que pueda resolverse con la ecuación

1 11

13x x

++

=