UNIVERSIDAD DEL VALLE PROGRAMA ACADEMICO DE ESTADISTICA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES LAURA OROZCO 1324707 ARIANNA SOTO 1324427 CARLOS TAIMAL 1330814 FIORELLA TAPIA 1327022

DESARROLLO FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

4. Una factoría posee dos minas. La mina A produce diariamente 1 tonelada de material de alta calidad, 3 toneladas de calidad intermedia y 5 toneladas de baja calidad; la mina B produce diariamente 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita, para su posterior procesamiento, al menos 100 toneladas de material de alta calidad, 150 de mediana calidad y 180 toneladas de baja calidad. ¿Cuántos días debe operarse sobre cada mina para satisfacer las necesidades de la compañía si el costo diario de explotación es de $200.000 en cualquier mina? (Prado, Hernando, Notas de Clase, 1978.)

MATERIAL DE ALTA CALIDAD

MATERIAL CALIDAD INTERMEDIA

MATERIAL DE BAJA CALIDAD

MINA A

1 Tonelada 3 Toneladas 5 Toneladas

MINA B

2 Toneladas 2 Toneladas 2 Toneladas

Formulación del problema Minimizar los costos de explotación de las minas de la mejor manera posible cumpliendo con los requerimientos específicos de la compañía. Variable de decisión Determinar la cantidad de días de explotación de las minas X1 = cantidad de días explotando la mina A [unidades] X2 = cantidad de días explotando la mina B [unidades] Parámetros Disponibilidad de recursos:

b1 = material de alta calidad b2 = material de calidad intermedia b3 = material de baja calidad

Coeficiente tecnológico: Aij = cantidad de toneladas i, presentes en las minas j Cj = costo de explotación de mina j Función objetivo Optimizar (minimizar) Costo C = 200000X1 + 200000X2 [pesos/día] Restricciones

Cantidad de material de alta calidad 1X1 + 2X2 ≥ 100 [toneladas/día]

Cantidad de material de calidad intermedia 3X1 + 2X2 ≥ 150 [toneladas/día]

Cantidad de material de baja calidad 5X1 + 2X2 ≥ 180 [toneladas/día]

7. Una compañía productora de papel debe determinar el mejor esquema de patrones de

corte de rollos de 60 pulgadas de ancho para satisfacer la demanda semanal por rollos

más pequeños. El pedido semanal es el siguiente 30 rollos de 28”, 60 rollos de 20” y 48

rollos de 15”. Cualquier sobrante de rollo de ancho menor de 15” se considera como

desperdicio. ¿De qué forma deben cortarse los rollos de 60” para satisfacer la demanda y

obtener el menor desperdicio posible?. Suponga que se dispone de un número suficiente

de rollos de 60”.

Solución.

Formulación del problema: Determinar el mejor esquema de patrones de corte en rollos de 6 pulgadas para la cual la demanda obtenga el menor desperdicio posible.

a. Variable de decisión: En primera instancia es necesario encontrar todos los

posibles patrones de corte lógicos que se pueden hacer para satisfacer el pedido

teniendo en cuenta que un rollo con un ancho menos de 15’’ se considera como

desperdicio

Patrón de corte

Ancho del rollo 1 2 3 4 5 6 7

28 2 1 1

20 3 2 1 1

15 4 1 2 2

Desperdicio 0 4 0 5 10 2 12

Entonces, con el esquema anterior podemos definir:

VARIABLE DE DECISIÓN:

= Numero de rollo de 60’’ de ancho a cortar según patrón i, (i = 1,2,…, 9)

b. Función objetivo: Se desea minimizar los desperdicios, por lo tanto la función se

definirá de la siguiente manera;

D = 0 + 4 + 0 + 5 + 10 + 2 + 12

c. Restricciones:

2 + 1 + =30 (rollos de 28)

3 + 2 + 1 + 1 = 60 (rollos de 20)

4 + 1 + 2 + 2 = 48 (rollos de 15)

Lógica:

Con ≥ 0 y enteros, i = 1,2,….,9

14. Un fabricante de aparatos de televisión tiene facilidades para ensamblar dos tipos

de televisor: el tipo A a color y el tipo B a blanco y negro. El televisor de tipo A se

vende a $49.500 la unidad y ocasiona un costo de producción de $26.800. El de tipo 5

se vende en $23.400 y ocasiona un costo de producción de $11.190. La planta tiene

capacidad diaria para fabricar hasta 50 pantallas para televisión en colores. No se

pueden comprar pantallas a otros proveedores. Cada TV A requiere 18 horas hombre

para el ensamblaje del chasis y el tipo B requiere 8 hr.hombre. La planta emplea 225

hombres con un turno diario de 8 horas en el departamento de ensamblaje. Cada

aparato tipo A requiere 1.6 horas hombre para su armado completo, mientras que el

tipo B requiere 1 hora hombre. La planta emplea 30 hombres con turnos de 8 horas

diarias para esta labor. Cada TV de color requiere 2 horas hombre para inspección

final mientras que cada TV en blanco y negro requiere 0.5 horas hombre. La planta

emplea 20 inspectores de tiempo completo y uno de medio tiempo. ¿Cuántos

televisores de cada tipo deben producirse para maximizar la utilidad neta total?

Formulación del problema: Determinar la cantidad de televisores de tipo A y B que maximice la utilidad neta total

de la producción de televisores.

a. Variable de decisión: Se organiza el problema en una tabla para facilitar la

visualización de las variables.

Tipo de tv Producción Ensamble Armado Revisión Utilidad

A $ 26.800 18 horas 1.6 horas 2 horas $

22.700

B $ 11.190 8 horas 1 horas 0.5 horas $

12.210

Como el problema plantea maximizar la utilidad neta total, quiere decir un aumento en

la cantidad de ventas, entonces nuestras variables serán la cantidad de tipo de

televisor a producir, por consiguiente podemos definir las variables de decisión de la

siguiente manera:

= Cantidad de televisores tipo A para producir (unidad)

= Cantidad de televisores tipo B para producir (unidad)

Basándonos en la tabla anterior, se observa que la producción de dichos televisores

están sujetos a algunas condiciones que llamaremos parámetros, los cuales son:

E= Horas hombre necesarias para el ensamble del televisor tipo i (i = A, B)

A= Horas hombre necesarias para el armado completo del televisor tipo i (i = A, B)

R= Horas hombre necesarias para la revisión final del televisor tipo i (i = A, B)

Coeficiente tecnológico:

aij= Cantidad de horas hombre (j = E, A, R) requeridas para la producción de cada

televisor tipo (i = A,B)

b. Función objetivo: (Optimizar) Se busca maximizar ganancias a partir de las

cantidades producidas de televisores tipo A y tipo B, así pues;

Z = 22700 + 12210

Sujeto a: Cantidad de horas hombre para producir un televisor

Restricciones lógicas:

1. Se emplean 225 hombres con un turno diario de 8 horas para el Ensamble del

televisor, entonces obtenemos 1800 horas hombre para ensamble de los

televisores tipo i (i = A,B)

2. Se emplean 30 hombres con turno diario de 8 horas para el armado completo

de los televisores tipo i (i = A, B)

3. Se emplean 20 inspectores tiempo completo y uno medio tiempo para la

revisión final de cada televisor tipo i (i = A, B)

18 + 8

18 + 8

18 + 8

Lógica:

17. Se está diseñando una nave espacial que lleve y traiga astronautas a Marte. Esta nave tendrá tres compartimientos, cada uno con su propio sistema que permite vivir en él.

El elemento clave de cada uno de estos sistemas es una pequeña unidad oxidante que provoca un proceso químico para producir oxígeno. Estas unidades no se pueden probar con anticipación y solo algunas de ellas tienen éxito en el proceso químico. Por esto, es importante tener unidades de repuesto para cada sistema. Como los requerimientos son diferentes para cada compartimiento, las características de las unidades para cada uno varían. Se debe tomar una decisión sobre el número de unidades que se deben incluir en cada compartimiento, tomando en cuenta limitaciones de diseño y la cantidad total de espacio, peso y costo que puede asignarse a estas unidades para toda la nave. La siguiente tabla resume estas limitaciones, al igual que las características individuales para cada compartimiento:

Si todas las unidades fracasan en uno o dos de los compartimientos, los astronautas podrán ocupar el o los restantes y continuar su viaje espacial, pero con algunas pérdidas en la cantidad de información científica que puedan obtener. No obstante, si todas las unidades fracasan, todavía tienen la manera de regresar en la nave a salvo, pero el viaje completo sería un fracaso total a un gran costo. El objetivo es entonces minimizar la probabilidad de que todas las unidades fallen, sujeto a las limitaciones anteriores y a la restricción adicional de que cada compartimiento deberá tener una probabilidad no mayor que 0.05 de que todas sus unidades fallen. Formule un modelo de PL para este problema. (Hillier y Lieberman, segunda edición, 1989, pág. 273) Formulación del problema Minimizar la probabilidad de que todas las unidades contenidas en los compartimientos fallen. Variable de decisión Determinar el número de unidades que se deben incluir en cada compartimiento X1 = cantidad de unidades en el compartimiento 1 X2 = cantidad de unidades en el compartimiento 2 X3 = cantidad de unidades en el compartimiento 3 Parámetros Disponibilidad de recursos

b1 = espacio [pul3] b2 = peso [libras] b3 = probabilidad de falla [porcentaje] Coeficiente tecnológico

Aij = requerimientos i, para cada compartimiento j Cij = costo Función objetivo

Compartimiento Espacio (pul3)

Peso (libras)

Costo ($) Probabilidad de falla

1 40 15 40.000 0.30

2 50 20 45.000 0.40

3 30 10 35.000 0.20

Limitación 500 pul3 200 libras

$500.000

Optimizar (minimizar) Probabilidad P = 0.30X1 + 0.40X2 + 0.20X3 Restricciones

Disponibilidad de espacio 40X1 + 50X2 + 30X3 ≤ 500 [pul3] Disponibilidad de peso

15X1 + 20X2 + 10X3 ≤ 200 [libras] Disponibilidad de presupuesto

40000X1 + 45000X2 + 35000X3 ≤ 500000 [$] Probabilidad de falla compartimiento 1

0.30X1 ≤ 0.05 Probabilidad de falla compartimiento 2

0.40X2 ≤ 0.05 Probabilidad de falla compartimiento 3

0.20X3 ≤ 0.05 21. La firma “PAVIMENTOS S.A.” está licitando por un contrato para la construcción de la calzada de una carretera. Las especificaciones dadas indican que debe tener un mínimo de 12 cm. de espesor y un máximo de 48 cm. Debe, a su vez, construirse de concreto, asfalto, gravilla o cualquier combinación de los tres, siempre y cuando la resistencia total sea al menos equivalente a la que tendría una calzada de 9 cm. de concreto. La firma ha establecido que 3 cm. de asfalto son tan fuertes como 1 cm. de concreto y que 6 cm. de gravilla son tan resistentes como 1 cm. de concreto. Su costo estimado para un metro cuadrado y un centímetro de espesor para el concreto es de $2000, para el asfalto es $700 y para la gravilla es de $300. Formule el problema de Programación Lineal que le permita a la firma saber cuál es la mejor combinación para la calzada y conocer su costo. Formulación del problema Minimizar los costos de la construcción de la calzada de la carretera, de manera tal que cumplan con las especificaciones dadas. Variable de decisión Determinar la cantidad a usar de cada material en la construcción de la calzada X1 = cantidad a usar de concreto X2 = cantidad a usar de asfalto X3 = cantidad a usar de gravilla Parámetros Disponibilidad de recursos

b1 = espesor b2 = resistencia

Coeficiente tecnológico Aij = especificaciones i presentes en j Cij = costo de la calzada Función objetivo Optimizar (minimizar) Costo C = 2000X1 + 700 X2 + 300X3 Restricciones

Espesor 12. ≤ X1 + X2 + X3 ≥ 48

Resistencia

13. ≤ X1 + X2/3 + X3/6 ≥ 9 28. Una empresa siderúrgica produce tres aleaciones diferentes. El diagrama de proceso

como sigue:

Se deben determinar las cantidades de cada aleación que deben producirse dentro de las limitaciones del volumen de ventas y las capacidades de las máquinas con el fin de maximizar las ganancias. Los datos sobre las capacidades y utilidades se presentan en las tablas siguientes:

Los rollos de cada aleación son de 400 pies de longitud y pesan 4 toneladas. Formule un modelo de programación lineal del cual pueda obtenerse una política de producción para la siderúrgica (Asuma que 1 mes = 4 semanas). Formulación del problema: Determinar las cantidades de aleación 1, 2 y 3 que deben producirse dentro de las limitaciones del volumen de ventas y las capacidades de las máquinas con el fin de maximizar de la mejor forma las ganancias.

Variable de decisión:

Cantidades de cada aleación producidas.

Parámetros:

: Velocidad de la máquina i, i (1, 2,3).

: Número de la máquinas del tipo i, i (1, 2,3).

: Turnos disponibles de la máquina i, i (1, 2,3).

Ganacias por tonelada de la aleación i, i (1, 2,3).

Función Objetivo: Maximizar ganancias:

Z= 4*2500* +4*3500* + 4*4000*

Z= 4*

Sujeto A:

Restricciones de máquinas:

Máquina 1:

4*

4*

44.8

Máquina 2:

- 50 50 * =3000

- 25 25 * =1500

- 20 20 * =1200

1*

Máquina 3 (recocido continuo):

- 25 25 * =3000

- 20 20 * =1200

- 16 16 * =960

:

:

Asumiendo que se vende semanalmente:

Restricción lógica:

33. La gerencia de una compañía aérea debe decidir con respecto a la asignación de aviones a rutas aéreas. El cuadro siguiente indica la capacidad máxima en número de pasajeros, el número de aviones de cada tipo actualmente disponible en la empresa, el máximo número de vuelos que realiza cada tipo de avión por ruta específica y el número esperado de pasajeros en cada ruta.

Los costos de operación por vuelos en las cuatro rutas y el costo de oportunidad (pérdida –ganancia) originado al no servir a un pasajero se muestran así:

Formule un modelo de programación lineal para asignar los aviones a las rutas a costo mínimo. Problema: La compañía aérea necesita asignar de la mejor manera los aviones de tal

forma que las rutas tengan un costo mínimo.

Variable de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Minimizar costos:

Z= + +

+ + +

+ + +

Z= ,

Restricción de pasajeros por ruta: Ruta 1: 3* 4*

=1000

Ruta 2: 2* 3 *

=2000

Ruta 3: 2* 3 *

=900

Ruta 4:

2 *

=1200

Restricción por número de Aviones: