1. a) Calcule (1 + i)14.

b) Encuentre todos los numeros complejos que satisfacen la ecuacioncos(iz) = i.

c) Obtener la imagen por la transformacion de Mobious T (z) = z+iz−i

del conjunto A = {z ∈ C : |z| = 1, z 6= i}.d) Probar que si f(z) = u(x, y) + v(x, y)i y f(z) = u(x, y) − v(x, y)ison analıticas en un abierto, entonces f(z) debe ser constante.

2. Hallar los residuos de la funcion

f(z) =2

z2 + 4iz − 1

en las singularidades que esten en el interior del disco unidad. Calcular∫ 2π

0

dt

2 + sent.

3. Dado R > 1, sea γR la semicircunferencia definida por γR(t) = Reit,0 ≤ t ≤ π y ΓR la curva cerrada compuesta de γR seguida del segmento[−R,R].

a) Calcule∫

ΓR

e3iz

z2+1dz.

b) Pruebe que lımR→+∞∫γR

e3iz

z2+1dz = 0.

c) Combine los apartados anteriores para evaluar la integral real∫ +∞

0cos 3xx2+1

dx.

4. Sea f(t) = Π[−2,2](t) + Π[−1,1](t).

a) Dibuje su grafica.

b) Calcule, usando la definicion, la transformada de Fourier de la fun-cion f(t).

c) Deduzca del apartado a) el valor de la integral,∫ +∞

0

cosw(senw + sen 2w)

wdw.

5. Resuelva, utilizando la transformada de Laplace, la ecuacion diferen-cial

y′′(t)− 13y′(t) + 36y(t) = 0,

con condiciones iniciales y(0) = −1, y′(0) = 1.

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