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Geometría y Trigonometría Actividad 1.1 La razón de oro y la serie de Fibonacci G. Edgar Mata Ortiz

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Geometría y Trigonometría

Actividad 1.1

La razón de oro y la serie de Fibonacci

G. Edgar Mata Ortiz

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Geometría y Trigonometría La razón de oro y la serie de Fibonacci

http://licmata-math.blogspot.mx/ 1

Introducción “Los Elementos” de Euclides es un conjunto de 13 libros, escritos en griego, que

contienen el desarrollo de la geometría a partir de 5 postulados y, mediante

proposiciones lógicas, demuestra otras afirmaciones llamadas teoremas.

En el libro 6, la proposición 30, plantea dividir un segmento en extrema y media

razón, lo cual significa dividir un segmento en dos partes de tal forma que la

división del segmento completo entre la parte mayor, sea igual a la división de la

parte mayor entre la menor. Geométricamente:

Dado un segmento AB:

Encontrar un punto C sobre ese segmento que tenga la propiedad:

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝐴𝐶

𝐵𝐶

El procedimiento geométrico es interesante, sin embargo, por ahora, es

preferible “convertir” este problema geométrico a uno algebraico.

Vamos a considerar la longitud total del segmento como una unidad, es decir:

𝐴𝐵 = 1

Y tomaremos como incógnita la longitud del segmento AC: 𝐴𝐶 = 𝑥

Por lo tanto, la longitud del segmento BC debe ser: 𝐵𝐶 = 1 − 𝑥

Sustituyendo estos valores en la proporción queda:

𝐴𝐵

𝐴𝐶=𝐴𝐶

𝐵𝐶∴1

𝑥=

𝑥

1 − 𝑥

Resuelve la expresión algebraica obtenida, anota e interpreta el resultado en el

siguiente espacio:

Expresión algebraica simplificada: _____________________________________

Resultado: ________________________________________________________

Interpretación: ____________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

La Geometría

La Geometría

y su origen

Todas las antiguas

civilizaciones desarrollaron

conceptos matemáticos,

generalmente relacionados

con necesidades prácticas.

Sin embargo, el pueblo

griego, desarrolló una

forma de hacer

matemáticas que era

diferente a todos los

demás; se basó en el

razonamiento lógico y

transformó radicalmente y

para siempre el significado

de esta ciencia.

La referencia más confiable

que tenemos de la

matemática griega es el

libro: “Los Elementos”

escrito por Euclides

alrededor de 300 a. C.

Este libro desarrolla los

conceptos geométricos

mediante el método

axiomático deductivo.

Es el libro científico más

editado de todos los

tiempos.

La razón de oro y la serie de Fibonacci

A B

A B C

lupita
Máquina de escribir
x2+x+1=0
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
x1=0.619033
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
x2=1.619033
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
son numeros positivos por qu es valor es un segmento.
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
este caso tomaremos el valor X1
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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En
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Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
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Otra forma de calcular las medidas de los segmentos. ¿Qué sucede si ahora consideramos que el segmento BC = 1, y tomamos como incógnita (x), la medida del

segmento AC?

Resuelve e interpreta el resultado en las siguientes líneas.

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

El rectángulo áureo. El rectángulo áureo se caracteriza porque la razón del lado mayor, al menor, es igual al número áureo:

= 1.618033…

En el reverso de esta hoja, o en una hoja adicional, construye un rectángulo áureo utilizando solamente una

regla no graduada y un compás, conforme a la figura de la derecha:

1. Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida

lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
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Máquina de escribir
X=-b±√b²-4ac 2a
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Línea
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
X=-1±√1²-4(1)(-1) 2(1)
lupita
Línea
lupita
Máquina de escribir
X1=0.661803398
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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X2=1.618033989
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Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
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2. Localiza el punto medio M de la base AB de dicho cuadrado

3. Utiliza el compás con una abertura igual a la distancia desde el punto medio de la base (M) hasta uno

de los vértices del lado opuesto, C o D.

4. Utiliza la prolongación de la base AB y traza un arco de círculo tomando centro en M y señalando el

punto P sobre la prolongación del lado AB.

5. Con una abertura del compás igual a la distancia AP, y con centro en el punto D, traza un arco en

dirección al punto P.

6. Con una abertura del compás igual a la distancia AB, y con centro en el punto P, traza un arco que corte

al arco trazado en el paso anterior en el punto Q.

7. Une los puntos P y Q.

8. Prolonga el lado CD hasta el punto Q.

9. El rectángulo APQD es un rectángulo áureo.

10. Al dividir la medida del lado AP entre la medida del lado AD debe ser igual a 1.618033

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Aplicaciones del rectángulo áureo. Por mucho tiempo se ha afirmado que

las proporciones de este rectángulo son

“armoniosas” por naturaleza y que,

cualquier diseño que esté basado en el

valor de = 1.618033…, será

visualmente atractivo. Es posible que

estas afirmaciones carezcan de bases

científicas sólidas, pero, debido a la

popularidad de estas creencias,

numerosos diseñadores modernos

utilizan estas proporciones en sus

creaciones, de modo que podremos

encontrar diversos diseños de logotipos,

páginas web, portadas de libros y

revistas, entre muchos otros productos,

que están elaborados con base en el

rectángulo áureo y/o el valor de .

Entre los argumentos más importantes

para afirmar que las proporciones del

rectángulo áureo son visualmente

atractivas se dice que estas proporciones

son comunes en la naturaleza; de alguna

forma se afirma que la naturaleza

“utiliza” estas proporciones en el diseño

de los seres vivos.

Elabora un ensayo de 2400 palabras

acerca de los argumentos a favor y en

contra de la creencia en la armonía del

rectángulo áureo, incluye dos ejemplos

del uso de dicho rectángulo; uno de ellos

en la antigüedad, y otro actual.

La serie de Fibonacci. Leonardo de Pisa es el nombre real de “El hijo de Bonaccio” = Filis Bonaccio = Fibonacci. Nació en Pisa

alrededor de 1175 d. C. Debido al trabajo de su padre, Fibonacci vivió su niñez en el norte de África, donde

aprendió el sistema de numeración arábigo y, en 1202, ya de regreso en Italia, publicó el libro; “Liber Abaci” o

Libro del Ábaco, en el que explica el sistema de numeración arábigo e incluye un problema que,

posteriormente, se volvió famoso: el problema de la reproducción de dos conejos.

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Este problema, es el que da lugar a la serie de Fibonacci, que, por muchos años, pasó desapercibida, hasta que

el matemático Edouard Lucas, en los últimos años del siglo XIX, redescubrió este problema y lo atribuyó a su

autor original.

Investiga y anota en las siguientes líneas la redacción del problema de la reproducción de los dos conejos:

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

En el siguiente espacio, explica el proceso de solución del problema de los dos conejos:

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Desarrollo de la serie de Fibonacci. La regla para construir la serie es muy sencilla, comienza con 1, 1, y los siguientes elementos se obtienen

sumando los dos términos anteriores, es decir, 1+1=2, por lo que la serie queda: 1, 1, 2. El siguiente término se

obtiene de la suma 1+2=3, obteniéndose: 1, 1, 2, 3, y así sucesivamente. Continúa la serie en el espacio

siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ______________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Relación de la serie de Fibonacci con la proporción áurea. Estos dos conocimientos, uno de geometría que se encuentra en “Los Elementos”

escrito en el siglo III a. C. y otro de aritmética, desarrollado en el siglo XII d. C.

están relacionados: La división de dos números consecutivos de la serie de

Fibonacci tiende al valor de = 1.618033…

En la siguiente tabla, anota los valores de las divisiones indicadas, observa que los

resultados se van aproximando, cada vez más, al valor de

lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
Cada pareja de conejos al mes tiene una nueva pareja de bebés, la cual no tendrá conejos hasta que sea adulta, lo que ocurre a los dos meses de nacer. Empezando con una pareja de bebés, cuántas parejas de conejos obtendremos después de un número dado de meses
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
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Máquina de escribir
lupita
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Máquina de escribir
Al empezar hay 1 pareja de conejos bebés... a 1 =1 Al cabo de 1 mes, hay 1 pareja adulta que tendrá bebés al mes siguiente... a 2 =1 Al cabo de 2 meses, hay 1 pareja adulta y 1 de bebés; en total, 2 parejas... a 3 =2 Al cabo de 3 meses, hay 2 parejas adultas y 1 de bebés; en total, 3 parejas...a 4 =3 Al cabo de 4 meses, hay 3 parejas adultas y 2 de bebés; en total, 5 parejas... a 5 =5 Al cabo de 5 meses, hay 5 parejas adultas y 3 de bebés; en total, 5 parejas... a 6 =8 ... y así sucesivamente.
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Rectángulo
lupita
Máquina de escribir
55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
17711.......
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Rectángulo
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Geometría y Trigonometría La razón de oro y la serie de Fibonacci

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Compara las siguientes figuras; la primera es la espiral áurea, y la segunda, se construye con cuadrados cuyas

medidas de los lados se toman de la serie de Fibonacci. Investiga cómo se construyen, trázalas utilizando

AutoCAD y explica sus diferencias y semejanzas.

1 34 34/21 = 1597 1597/987 =

1 1/1 = 55 55/34 = 2584 2584/1597 =

2 2/1 = 89 89/55 = 4181 4181/2584 =

3 3/2 = 144 144/89 = 6765 6765/4181 =

5 5/3 = 233 233/144 = 10946 10946/6765 =

8 8/5 = 377 377/233 = 17711 17711/10946 =

13 13/8 = 610 610/377 = 28657 28657/17711 =

21 21/13 = 987 987/610 = 46368 46368/28657 =

Explicación de las semejanzas y diferencias

geométricas de las figuras.

lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1
lupita
Máquina de escribir
2
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Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.5
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Máquina de escribir
1.66
lupita
Máquina de escribir
1.6
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Máquina de escribir
1.625
lupita
Máquina de escribir
1.615
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.619
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.617
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.618
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Máquina de escribir
lupita
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1.618
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Máquina de escribir
1.618
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Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
1.618
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Máquina de escribir
1.618
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Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
lupita
Máquina de escribir
1.618
lupita
Máquina de escribir
Las diferencias existentes entre estas dos espirales es que la primera es creada por fibonacci la cual sus medidas son mediante su serie.
lupita
Máquina de escribir
Y el espiral aureo esta formada por medidas no exactas si se pordria decir ya que se traza una line se saca la mitad para formar otra y asi sucesivamente
lupita
Máquina de escribir