Ejercicios Investigacin de Operaciones

Modelos de Redes

Evaluar los algoritmos de Arbol de Mnima Expansin y Ruta ms Corta con Matlab. Para esto, resolver los siguientes problemas utilizando Matlab y cambiar el mtodo utilizado en las funciones graphminspantree y graphshortestpath. Evaluar resultado finaly tiempo de ejecucin (conla funcin time)

Carreteras de MxicoFerrocarril en Estados UnidosRuta ms segura

218 Captulo 6 Modelos de redes

FIGURA 6.6

Resultados del rbol de expansin mnima del ejemplo 6.2-1

CONJUNTO DE PROBLEMAS 6.2A

1. Resuelva el ejemplo 6.2-1 comenzando en el nodo 5 (en lugar del nodo 1) y demuestre que conel algoritmo se obtiene la misma solucin.

2. Determine el rbol de expansin mnima de la red del ejemplo 6.2-1 bajo cada una de las si-guientes condiciones por separado:a) Los nodos 5 y 6 estn unidos por un cable de 2 millas.b) Los nodos 2 y 5 no se pueden enlazar.c) Los nodos 2 y 6 estn unidos por un cable de 4 millas.d) El cable entre los nodos 1 y 2 tiene 8 millas de longitud.e) Los nodos 3 y 5 estn unidos por un cable de 2 millas.f) El nodo 2 no se puede enlazar en forma directa con los nodos 3 y 5.

3. En el transporte intermodal, los camiones remolque cargados se mueven entre las terminales deferrocarril colocando la caja en carros especiales (camas bajas). La figura 6.7 muestra la ubi-cacin de las principales terminales de ferrocarril en Estados Unidos, y las vas actuales de FC.El objetivo es decidir cules vas se deben revitalizar para manejar el trfico intermodal. Enespecial, se debe unir la terminal de Los ngeles (LA) en forma directa con la de Chicago (CH)para dar cabida al intenso trfico esperado. Por otra parte, todas las terminales restantes se pue-den enlazar, en forma directa o indirecta, de tal modo que se minimice la longitud total (en mi-llas) de las vas seleccionadas. Determine los segmentos de vas de ferrocarril que se debenincluir en el programa de revitalizacin.

6.2 Algoritmo de rbol de expansin mnima 219

SE

LA

DE

2000

1300

13001100

900

200800

14007802600

2000

1000

DA

CHNY

DC

FIGURA 6.7

Red para el problema 3,conjunto 6.2a

4. En la figura 6.8 se ven las distancias, en millas, de las conexiones factibles que unen nueve po-zos marinos de gas natural con un punto de entrega en tierra. Como la ubicacin del pozo 1 es lams cercana a la costa, tiene capacidad de bombeo y de almacenamiento suficiente para bom-bear la produccin de los ocho pozos restantes hasta el punto de entrega. Determine la red mni-ma de tubera que una las bocas de pozo con el punto de entrega.

1

5

15

15

10

9 144

135

5

5

7

7

12

3

20

206

6

Punto de entrega

9

8

7

2

3

4

6

FIGURA 6.8

Red para el problema 4,conjunto 6.2a

5. En la figura 6.8 del problema 4, suponga que los pozos se pueden dividir en dos grupos, depen-diendo de la presin del gas: un grupo de alta presin, que comprende los pozos 2, 3, 4 y 6, y ungrupo de baja presin, que comprende los pozos 5, 7, 8 y 9. Debido a la diferencia de presiones,no se pueden enlazar pozos de grupo diferente. Al mismo tiempo, ambos grupos se deben conec-tar con el punto de entrega pasando por el pozo 1. Determine la red mnima de tubera para estecaso.

6. Electro produce 15 partes electrnicas en 10 mquinas. La empresa desea agrupar las mquinasen celdas, diseadas para minimizar las desigualdades entre las partes procesadas en cada cel-

26.3 Problema de la ruta ms corta 221

1En (men principal), seleccione (modelos de red/ruta ms cor-ta). En el men (resolver/modificar), seleccione (resolverproblema/ruta ms corta).

Shortest routes1Solve problemSOLVE/MODIFYShortest route1Network modelsMain menu

4000 4300 4800 4900

9800

5400 7100

6200

8700

1 2 3 4 5 FIGURA 6.9

El problema de reem-plazo de equipo comoproblema de ruta mscorta

El problema se puede formular como una red, en el que los nodos 1 a 5 representan el iniciode los aos 2001 a 2005. Los arcos del nodo 1 (ao 2001) slo pueden alcanzar los nodos 2, 3 y 4,porque un vehculo debe estar en funcionamiento entre 1 y 3 aos. Los arcos desde los otros no-dos se pueden interpretar en forma parecida. La longitud de cada arco es igual al costo de reposi-cin. La solucin del problema equivale a determinar la ruta ms corta entre los nodos 1 y 5.

En la figura 6.9 se ve la red que resulta. Si se usa TORA,1 la ruta ms corta, que se indicacon la ruta gruesa, es . Eso quiere decir que un automvil adquirido al iniciar 2001(nodo 1) se debe reemplazar pasados 2 aos, al iniciar 2003 (nodo 3). El auto de reposicindebe estar en servicio hasta el final de 2004. El costo total de esta poltica de reposicin es$12,500 (! $5400 " $7100).

Ejemplo 6.3-2 (Ruta ms segura)

I.Q. Smart conduce diariamente hacia su trabajo. Como acaba de terminar un curso de anli-sis de redes, puede determinar la ruta ms corta. Desafortunadamente, la ruta seleccionada es-t muy patrullada por la polica, y debido a las multas por manejar a alta velocidad, podra serque la ruta ms corta no sea la mejor eleccin. Smart decide entonces escoger una ruta quemaximice la probabilidad de no ser detenido por la polica.

La red de la figura 6.10 muestra las rutas posibles para ir y regresar del trabajo, y las pro-babilidades correspondientes de no ser detenido en cada segmento. La probabilidad de no serdetenido en el trayecto hacia el trabajo es el producto de las probabilidades relacionadas conlos segmentos sucesivos de la ruta seleccionada. Por ejemplo, la probabilidad de no recibir

1S 3S 5

1

2

.2

.9

.6.1

.4

.5

.25

.3

.8 .354

3

6

7

5

FIGURA 6.10

Modelo de red de la ruta ms segura

222 Captulo 6 Modelos de redes

1

2

.69897

.04576

.22185

1..39794

.30103

.60206

.52288

.09691 .455934

3

6

7

5

FIGURA 6.11

Representacin de la ruta mssegura como modelo de rutams corta

una multa en la ruta es 0.9 ! 0.3 ! 0.25 " 0.0675. El objetivo de Smart esseleccionar la ruta que maximice la probabilidad de no ser multado.

Se puede formular el problema como un modelo de ruta ms corta aplicando una trans-formacin logartmica que convierta la probabilidad producto en la suma de los logaritmos delas probabilidades; es decir, si p1k" p1! p2! ! pk es la probabilidad de no ser detenido,entonces log p1k" log p1 # log p2# # log pk.Matemticamente, la maximizacin de p1k equivale a la maximizacin de log p1k. Comolog p1k$ 0, la maximizacin de log p1k equivale a su vez a la minimizacin de %log p1k. Si seusa esta transformacin, las probabilidades individuales pj de la figura 6.10 se sustituyen con%log pj para toda j en la red, y se obtiene as la red de ruta ms corta de la figura 6.11.Usando TORA, los nodos 1, 3, 5 y 7 definen la ruta ms corta en la figura 6.11, con unalongitud correspondiente de 1.1707 (" %log p17). As, la probabilidad mxima de no serdetenido es p17" 0.0675.

Ejemplo 6.3-3 (Rompecabezas de tres garrafones)

Un garrafn de 8 galones se llena con un lquido. Se cuenta con un botelln de 5 y uno de 3galones, y se quieren dividir los 8 galones de lquido en dos partes iguales, usando los tres ga-rrafones. No se permite usar algn otro medidor. Cul es la cantidad mnima de vertidos ne-cesarios para lograr este resultado?

Es probable que usted pueda dar con la solucin de este rompecabezas. Sin embargo, sepuede sistematizar el proceso de solucin representando el problema como uno de ruta mscorta.

Se define que un nodo representa la cantidad en los garrafones de 8, 5 y 3 galones, res-pectivamente. Esto quiere decir que la red comienza con el nodo (8,0,0) y termina con el nodode la solucin deseada (4,4,0). Se genera un nuevo nodo a partir del actual al verter lquido deun garrafn a otro.

La figura 6.12 muestra rutas distintas que llevan desde el nodo inicial (8,0,0) hasta el no-do final (4,4,0). El arco entre dos nodos sucesivos representa un vertido, y en consecuencia sepuede suponer que tiene 1 unidad de longitud. El problema se reduce a determinar la ruta mscorta entre el nodo (8,0,0) y el nodo (4,4,0).

La solucin ptima se indica en la ruta inferior de la figura 6.12, y requiere 7 vertidos.

1S 3S 5S 7

6.3 Problema de la ruta ms corta 221

1En (men principal), seleccione (modelos de red/ruta ms cor-ta). En el men (resolver/modificar), seleccione (resolverproblema/ruta ms corta).

Shortest routes1Solve problemSOLVE/MODIFYShortest route1Network modelsMain menu

4000 4300 4800 4900

9800

5400 7100

6200

8700

1 2 3 4 5 FIGURA 6.9

El problema de reem-plazo de equipo comoproblema de ruta mscorta

El problema se puede formular como una red, en el que los nodos 1 a 5 representan el iniciode los aos 2001 a 2005. Los arcos del nodo 1 (ao 2001) slo pueden alcanzar los nodos 2, 3 y 4,porque un vehculo debe estar en funcionamiento entre 1 y 3 aos. Los arcos desde los otros no-dos se pueden interpretar en forma parecida. La longitud de cada arco es igual al costo de reposi-cin. La solucin del problema equivale a determinar la ruta ms corta entre los nodos 1 y 5.

En la figura 6.9 se ve la red que resulta. Si se usa TORA,1 la ruta ms corta, que se indicacon la ruta gruesa, es . Eso quiere decir que un automvil adquirido al iniciar 2001(nodo 1) se debe reemplazar pasados 2 aos, al iniciar 2003 (nodo 3). El auto de reposicindebe estar en servicio hasta el final de 2004. El costo total de esta poltica de reposicin es$12,500 (! $5400 " $7100).

Ejemplo 6.3-2 (Ruta ms segura)

I.Q. Smart conduce diariamente hacia su trabajo. Como acaba de terminar un curso de anli-sis de redes, puede determinar la ruta ms corta. Desafortunadamente, la ruta seleccionada es-t muy patrullada por la polica, y debido a las multas por manejar a alta velocidad, podra serque la ruta ms corta no sea la mejor eleccin. Smart decide entonces escoger una ruta quemaximice la probabilidad de no ser detenido por la polica.

La red de la figura 6.10 muestra las rutas posibles para ir y regresar del trabajo, y las pro-babilidades correspondientes de no ser detenido en cada segmento. La probabilidad de no serdetenido en el trayecto hacia el trabajo es el producto de las probabilidades relacionadas conlos segmentos sucesivos de la ruta seleccionada. Por ejemplo, la probabilidad de no recibir

1S 3S 5

1

2

.2

.9

.6.1

.4

.5

.25

.3

.8 .354

3

6

7

5

FIGURA 6.10

Modelo de red de la ruta ms segura

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