ejercicio nº 1
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALPOLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
Emprendedores:Becerra LenínJuan C. Espinoza Arenas Roberto Alvarado Juan Carlos Plaza Carlos Ing. En Sistema. Nº 1 I Semestre
Bruzual – Ceibal, Abril 2006 EJERCICIO Nº 1
1.- 3x + y = 11 2 1
2.- x + y = 7 1 2
Colocamos las ecuaciones en forma lineal.
ECUACIÓN Nº 1 ECUACIÓN Nº 2
3x+ y = 11 2
3x + 2y = 22
2x + 1y = 7 2
2x + y = 14
UTILIZAMOS EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
1.- 3x + 2y = 222.- x + y = 14
6x + 4y = 22 -6x – 3y = -42 y = -20
Sustituimos la Y en la Ecuación Nº 1. Para obtener el resultado de x 3x + 2.20 = 22 3x + 40 = 22 3x = - 40 – 8 3x = -48 x = -48 3 x = 16
Sustituimos los valores de x y y para comprobar los resultados obtenidos.
ECUACIÓN Nº 1 ECUACIÓN Nº 2
3x + 2y = 223.6 + 2.2 = 2218 + 4 = 22 22 = 22
2x + y = 14 2.6 + 2 = 1412 + 2 = 14 14 = 14
EJERCICIO 4
1.- x = y 5 4
2.- y = x - 1 3 3
Colocamos la ecuación de forma lineal
1. x = y 5 4
x – y = 05 4
4x – 5y = 0 20
4x – 5y = 0 . 20
4x – 5y = 0
2.- y = x - 1 3 3
-x + y = - 1 3 3
-3x + 3y = -1 9
-3x + 3y = -1 . 9
-3x + 3y = -9
Colocamos los resultados obtenidos para luego aplicar el método de reducción y
de esta manera hallar los resultados de X y Y
1.- 4x – 5y = 0
2.- -3x + 3y = -9
Buscamos el m.c.m de 3 y 4 para eliminar la X.
4 2 3 3
2 2 1
1
4 = 22 3 = 3
m.c.m de 4 y 3 = 22 . 3 = 12
Ya obtenido el m.c.m, ese resultado los dividimos entre el valor del de 4 y 3
3. 4x – 5y = 0
4. -3x + 3y = -9
12x – 15y = 0 -12x + 12y = -36
- 3y = -36 y = -36 -3
y = 12
Ya obtenido el valor de Y sustituimos la ecuación número de Nº 1, con el fin de
obtener el valor de X.
4x – 5y = 0 4x – 5.12 = 0 4x – 60 = 0 4x = 60 x = 60
4 x = 15
Ya obtenido X y Y, comprobamos para observar si los resultados conseguidos
cumplen con la ecuación.
Ecuación Nº 1 4x – 5y = 0 4. 15 – 5.12 = 0 60 - 60 = 0
0 = 0
Ecuación Nº 2 -3x + 3y = -9-3.15 + 3.12 = -9-45 + 36 = -9 -9 = -9
EJERCICIO 5
1.- 30 – (8 - x) = 2y + 302.- 5x – 29 = x – (5 – 4 x)
Colocar la ecuación en forma lineal
30 – (8 - x) = 2y + 3030 – 7x = 2y + 30 -2y – 7x = -30 + 30-2y – 7x = 0
5x – 29 = x – (5 – 4y) 5x – 29 = x – y 4x + y = 29
1.- -2y – 7x = 0 2.- 4x + y = 29
1.- -2y – 7x = 0 2.- y + 4x = 29
Sacamos m.c.m de la ecuación 1 y 2 el cual por experiencia da 2.
-2y – 7x = 0 2y + 8x = 58
x = 58
Sustituimos la x en la ecuación numero 2 para conseguir la Y
y + 4x = 29 y (4. 58) = 29 y = -232 + 29 y = -203
Ya conseguidos X y Y vamos a comprobarlos
Ecuación Nº 1-2y – 7y = 0-2. (-203) – 7. 58 = 0 406 – 406 = 00 = 0
Ecuación Nº 2 y + 4x = 29 -203 + (4.58) = 29 -203 + 232 = 29 29 = 29
EJERCICIO Nº 6
12x – 14y = 20 12y – 14x = -19
Utilizamos método de sustitución ya que la ecuación esta de forma lineal.
1.- 12x – 14y = 20 2.- -14x + 12y = -19
Despejo la X ecuación Nº 1
12x – 14y = 20 12x = 20 + 14y x = 20 + 14y 12
Sustituimos el valor de la X en la ecuación nº 2
-14x – 12y = -19 -14 (20 + 14y) + 12y = -19 12-14 (20 + 14y) + 144y = -228-280 – 196y + 144y = -228-196y + 144y = -228 + 280
-52y = 52
y = - 52 52y = -1
Sustituyo la Y en la ecuación Nº 1
12x – 14y = 20 12x -14 (-1) = 20 12x +14 = 20 x = 6 12
EJERCICIO Nº 11
1.- x + 2 - y + 4 = 1 2 2
2.- x + y = 7 + x – y 2 12 3
x + 2 - y + 4 = 1 2 3
x + y - x – y = 7 2 3 12
3 (x + 2) – 2 (y + 4) = 6 3 (x + y) – 2 (x – y) = 7
3x + 6 - 2y – 8 = 6 3x + 3y – 2x + 2y = 7 2
3x – 2y = 8 x + 5y = = 7 2
3x – 2y = 82x + 10y = 7
Ya la ecuación de forma lineal utilizamos el método de igualación
3x – 2y = 82x + 10y = 7
Despejo “x” de la ecuación Nº 1.
3x – 2y = 8 x = 8 + 2y 2
2x + 10y = 7 x = 7y 2
x = x
8 + 2y = 7 – 10 y 3 2
2 (8 + 2y) = 3 (7-10 y) 16 + 4y = 21 – 30y 30y + 4y = 21 – 16 34y = 5 y = 5 34
Sustituyo la “y” en la ecuación Nº 2.
2x + 10 . 5 = 7 34
2x + 50 = 7 34
68x + 50 = 7 34
68x + 50 = 238 68x = 238-50 x = 188 68 x = 94
34
x = 47 17
EJERCICIO Nº 12
1.- 5x + 3y = 3 + y 2 2
2.- 1x - 1y = 6x + 19 4 2 4
Colocamos la ecuación de forma lineal.
Ecuación Nº 1 Ecuación Nº 2 5x + 3y = 3 + y
2 2
5x + 2y = 3 2 2
5x + 4y = 3 2 2
5x + 4y = 6 2
5x + 4y = 3
1x - 1y = 6x + 194 2 4
6x – 1x + 1y = -19 4 2 4
23x + 1y = -19 4 2 4
46x + 4y = -19 8 4
46x + 4y = -152 4
46x + 4y = -38
Ya colocada la ecuación de forma lineal podemos aplicar cualquier método en este caso utilizaremos el caso de reducción.
46x + 4y = -385x + 4y = 3
46x + 4y = -38
-1. 5x + 4y = 3
46x + 4y = -38
-5x - 4y = -3 41x = -41
x = -41 41
x = -1
Sustituimos la x en la ecuación nº 2 para conseguir el valor de y.
46x + 4y = -3846.(-1) + 4y = -38-46 + 4y = -38 4y = -38 + 46 y = 8 4 y = 2
EJERCICIO Nº 14
1.- ax = 2 – by2.- -ax + 2by - 1 = 0
Utilizamos el método de reducción. ax + by = 2 -ax + 2by = 1 3by = 3 by = 3 3 by = 1
Sustituimos by para conseguir ax.
ax + by = 2 ax + 1 = 2 ax = 2 – 1 ax = 1
EJERCICIO Nº 15
x2 + y2 = 2 -2x + 3y = 5
Despejo la ecuación Nº 2
y = (5 + x) 3
Sustituyo “y” en la ecuación Nº 1
x2 + 5 + 2x 2 = 2 3 x2 + (5 + 2x)2 = 2 9 9x2 + (5 + 2x) 2 = 2 9 9x2 + 52 + 2 (5. 2x) + (2x)2 = 18 9x2 + 25 + 2 (5. 2x) + 4x2 = 189x2 + 2 (5.2X) + 4x2 = -7 13x2 + 20x = -7 13x2 + 20x + 7 = 0
Obtenidos este resultado utilizamos la ecuación de segundo grado para conseguir los valores de x.
x = -b
a = 3 b = 20 c = 7
x = 20 (22)2 - 4 (13) . 7
x = -20 400-364 26
b 2 – 4.a – c 2.a
+-
+
-
+
-
x = -20 36 26
x = -20 6 26
Buscamos los resultados en negativo y positivo
x1 = -20 + 6 6x1 = -14 26x1 = -7 13
x2 = -20 -6
26x2
= -26 26x2
= -1
Obtengamos los valores de Y sustituyendo x1, x2 en el
x1 = -7 ; x2 = -1
13
y = 5 + 2X 3
y1 = 5 + 2 -7 13 3y1 = 5 – 14 13 3 y1 = 63-14 13 3y1 = 51 13 3 1
+
-
+
-
y1 = 51 39
y1 = 17 13
y2 = 5 + 2 (-1) 3 y2 = 5 + (-2) 3 y2 = 3 3y2 = 1
EJERCICIO Nº 18
1.- 2x – 4y = -6
2.- 3 + 5 = -7 x y 2
Colocamos la ecuación de forma lineal
3 + 5 = -7x y 2
3y + 5x = -7 xy 2
2 (3y + 5x) = 0 -7 (xy)
6y + 5x = 0 -7 xy
6y + 5x = 0
Ahora utilizamos el método de reducción para obtener el valor de X y Y
2x – 4y = -65x + 6y = 0 12x – 2y = -620x + 24 = 032x = -36
x = -36 32
x = -18 16
x = -9 8
5 . (-9) + 6y = 0 8
-45 + 6y = 0 8
6y = 45 8
y = 45 48