7/23/2019 Ejercicio 1 Resuelto de Problemas Propuestos PL Vitutor

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Ejercicios y problemas resueltos de programacin lineal

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Ejerc ic io 1 resuelto

Un a com pa a f a br i ca y ve n de n dos m ode l os de l m pa r a L 1 y L2. P a r a su

fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1

y de 30 minutos para el L2 y un trabajo de mquina para L 1 y de 10

minutos para L2. S e di spon e pa r a e l tr a ba jo m a nual de 100 h or a s a l m e s y

para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es

de 15 y 10 euros para L 1 y L2 , r e spe cti va m e n te, pl a n i f i ca r l a pr odu cci n

pa r a obte n e r e l m xi m o be n e f i ci o.

1 E l e cci n de l a s i n cgn i ta s.

x = n de l m pa r a s L1

y = n de l m pa r a s L2

2 F u n ci n obje ti vo

f(x, y) = 15x + 10y

3 Re str i cci on e s

P a sa m os l os t i e m pos a h or a s

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

P a r a e scr i bi r l a s r e str i cci on e s va m os a a yu da r n os de u n a ta bl a :

L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Mquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y 100

1/3x + 1/6y 80

Como el nmero de lmparas son nmeros naturales, tendremos dos

r e str i cci on e s m s:

x 0

y 0

4 Ha l l a r e l con ju n to de sol u ci on e s f a cti bl e s

T e n e m os qu e r e pr e se n ta r gr f i ca m e n te l a s r e str i cci on e s.

A l se r x 0 e y 0 , tr a ba ja r e m os e n e l pr i m e r cu a dr a n te .

Re pr e se n ta m os l a s r e cta s, a pa r ti r de su s pu n tos de cor te con l os e je s.

Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100 para ello

tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/30 + 1/20 100

1/30 + 1/60 80

L a z on a de i n te r se cci n de l a s sol u ci on e s de l a s i n e cu a ci on e s se r a l a

solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las

sol u ci on e s f a cti bl e s.

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5 Ca l cu l a r l a s coor de n a da s de l os v r ti ce s de l r e ci n to de l a s sol u ci on e s

f a cti bl e s.

La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. estos

son l a s sol u ci on e s a l os si ste m a s:

1/3x + 1/2y = 100 x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80 y = 0 (240, 0)

1 /3 x + 1/ 2y = 10 0 1/ 3x + 1 /6y = 8 0 ( 210 , 6 0)

6 Ca l cu l a r e l va l or de l a f u n ci n obje ti vo

E n l a f u n ci n obje ti vo su sti tu i m os ca da u n o de l os v r ti ce s.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000

f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600

f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo

L a sol u ci n pti m a e s f a br i ca r 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 pa r a

obtener un beneficio de 3 750 .

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