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EJERCICIOS RESUELTOS 9 TEMA: Teorema del Límite Central

1. El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor medio de 12cm y desviación estándar de .04cm

a) si x es el diámetro medio de la muestra para una muestra aleatoria de n=16 anillos, ¿dónde está centrada la distribución muestral de x , y cuál es la desviación estándar de la distribución de x ?

01.016

04.0===

nX

σσ

b) Conteste las preguntas formuladas en el inciso a) para un tamaño muestral de n=64 anillos

005.064

04.0===

nX

σσ

c) ¿para cuál de las dos muestras aleatorias, una del inciso a) y otra del inciso b), es más probable que x esté dentro de .01cm alejado de 12cm? Explique su razonamiento. La muestra del inciso b) ya que el tamaño de muestra es mayor y por lo tanto es más probable que esté dentro del rango.

Nota: el símbolo Φ(Z) se interpreta como buscar en tablas el área a la izquierda del valor de Z que se esta manejando. 2. Consulte el ejercicio 2 y suponga que la distribución del diámetro es normal.

a) calcule P(11.99≤ x ≤12.01) cuando n=16

( ) )00.1()00.1(01.0

00.1201.1201.0

00.1299.1101.1299.11 −Φ−Φ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ=≤≤ XP

( ) 6826.01587.08413.001.1299.11 =−=≤≤ XP b) ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral exceda 12.01 cuando n=25?

008.025

04.0===

nX

σσ

( ) [ ] 1056.025.11008.0

00.1201.12101.12 =Φ−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−=>XP

3. Represente con X1,X2,.....X100 los pesos netos reales de 100 bolsas de 50 libras de fertilizante, seleccionadas al azar.

a) Si el peso especificado de cada bolsa es 50 y la varianza 1, calcule P(49.75≤ x ≤50.25)(aproximadamente) empleado el TLC

1.0100

1===

nX

σσ

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( ) )50.2()50.2(01.0

00.5075.491.0

00.5025.5025.5075.49 −Φ−Φ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ=≤≤ XP

( ) 9876.00062.09938.025.5075.49 =−=≤≤ XP

b) Si el peso esperado es 49.8 lb, en lugar de 50 lb, de modo que en promedio las bolsas

tienen menos peso, calcule P(49.75≤ x ≤50.25)

( ) )50.0()50.4(1.0

8.4975.491.0

8.4925.5025.5075.49 −Φ−Φ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ=≤≤ XP

( ) 6915.03085.0125.5075.49 =−=≤≤ XP

4. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10 000 lb/pulg2 y una desviación estándar de 500 lb/pulg2

a) ¿cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de la muestra, para una muestra aleatoria de 40 remaches, esté entre 9 900 y 10 200?

1.7940

500===

nX

σσ

( ) )26.1()56.2(1.79100009900

1.791000010200

102009900 −Φ−Φ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ=≤≤ XP

( ) 8912.01031.09943.0102009900 =−=≤≤ XP

b) Si el tamaño muestral hubiera sido 15, en lugar de 40, ¿podría calcularse la información pedida en el inciso a) a partir de la información dada?

No ya que la muestra es pequeña y se desconoce la distribución de la población original.

5. Se sabe que la dureza Rockwell de pernos, de cierto tipo, tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1.2

a) si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 51?

4.09

2.1===

nX

σσ

( ) 0062.09938.01)50.2(14.05051

151 =−=Φ−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−=≥XP

b) ¿cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 51?

19.040

2.1===

nX

σσ

( ) 0000.0000.11)26.5(119.05051

151 =−=Φ−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−=≥XP

6. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un espécimen seleccionado al azar, de cierta región, está normalmente distribuida con media 2.65 y desviación estándar .85 (sugerida en

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“Modeling Sedimental anda Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants”. Water Research, 1984, pp. 1169-1174).

a) si se seleccionan una muestra aleatoria de 25 especimenes, ¿cuál es la probabilidad de que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y ¿entre 2.65 y 3.00?

17.025

85.0===

nX

σσ

( ) 9802.0)06.2(17.0

65.200.300.3 =Φ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ=≤XP

( ) =Φ−Φ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ=≤≤ )00.0()06.2(

17.065.265.2

17.065.200.3

00.365.2 XP

( ) 4802.05000.09802.000.365.2 =−=≤≤ XP

b) ¿Qué tan grande se requería un tamaño muestral para asegurar que la primera probabilidad del inciso a) sea por lo menos .99?

( ) 99.085.0

65.200.300.3 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

Φ=≤

n

XP

( ) 33.299.0 =⇒=Φ ZZ

3365.200.3

)85.0)(33.2(85.0

65.200.3 2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=⇒

−= n

n

Z

7. Se sabe que el tiempo de espera para ser atendido en una oficina es una variable aleatoria exponencial con β = 17 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que una persona que se selecciona al azar haya tenido que esperar más de 30 minutos.

1712.011)30(1)30( 1730

1730

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=−=>

−−eeFXP

b) Si se extrae una muestra de 64 personas, encuentre la probabilidad de que den un valor

medio en el tiempo de espera de menos de 12 minutos. 17== βµ ; 17== βσ

125.264

17===

nX

σσ

[ ] 0094.035.2125.2

1712)12( =−Φ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Φ≈<XP