Demostrar que la segunda de Fick, adquiere la forma de la primera de ley de Fick si la condición del estado estacionario es ð𝒄

ð𝒕= 𝟎

1 ª Ley de Fick

𝐽 = 𝐷𝑑𝑐𝑑𝑥

2 ª Ley de Fick

𝑑𝐶𝑥𝑑𝑡

=𝑑𝑑𝑥

�𝐷𝑑𝐶𝑥𝑑𝑥

�

𝜕𝐶𝑥𝜕𝑡

=𝜕𝜕𝑥

=𝜕(𝐷 𝐶𝑥)𝜕𝑥

= 1

𝐽 =𝜕(−𝐷 𝐶𝑥)

𝜕𝑥= −1

𝜕𝐶𝑥𝜕𝑡

= 1 − 1 = 0

Demostrar que 𝐂𝐱 = 𝑩

⎷𝑫𝑻𝐞𝐱𝐩(− 𝒙𝟐

𝟒𝑫𝑻 ) es también una solución de la

ecuación ð𝒄ð𝒕

= 𝑫 ð𝟐

ð𝒙𝟐 (𝒄), el parámetro B es una constante y es independiente

de x y de t.

∁𝑥 =� 𝐵√𝐷𝑡

�

� 𝑥2

4𝐷𝑡�

∁𝑥 =� 𝐵√𝐷𝑡

�

� 𝑥2√4𝐷𝑡

�

∁𝑥 =𝐷�𝐵√4𝑡�

𝐷 �√𝑡(𝑥2)�= 𝐷

2√𝐵𝑥2

Mediante un tratamiento térmico carburante aplicado durante 15 h se ha conseguido una concentración de carbono de 0.35% a 2.0 mm de la superficie. Calcular el tiempo necesario para conseguir esta concentración a 6.0 mm de profundidad para el mismo acero y el mismo tratamiento térmico.

Puesto que la temperatura es constante, por lo que también D es constante.

𝑥2

𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 o 𝑥1²

𝑡1²= 𝑥2²

𝑡2²

Por lo tanto

2.0 𝑚𝑚²15 ℎ =

6.0 𝑚𝑚²𝑡2

𝑡 = 135 ℎ

Escriba la primera ley de Fick y explique con claridad que significa cada término.

La primera ley de Fick dice que una sustancia difundirá tanto mas

rápidamente cuanto mayor sea su gradiente de concentración o cuanto mayor sea

el coeficiente de difusión. Se utiliza en un estado estacionario de difusión, es decir,

cuando la concentración dentro del volumen de la difusión no cambia con respecto

a tiempo.

La ley de Fick afirma que la densidad de corriente de partículas es

proporcional al gradiente de concentración.

La constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de difusión D y

es característico tanto del soluto como del medio en el que se disuelve.

J es el flujo de difusión en dimensiones de distancia-tiempo. Mide la cantidad de

sustancia que pasará a través de un área pequeña durante un pequeño intervalo

de tiempo.

1. Tipo de mecanismo de la difusión. El que la difusión sea intersticial o

sustitucional afectará al coeficiente de difusión. Esto quiere decir que no importa el

tipo de difusión que se esté aplicando se creara el mismo efecto habrá cambio en

el material.

2. La temperatura a la que tiene lugar la difusión afecta de manera importante al

valor del coeficiente de difusión. A medida que aumenta la temperatura, el

coeficiente de difusión también aumenta. Es no da a entender que, el aumento de

la temperatura produce un aumento en la energía de las partículas por tanto

aumenta su velocidad de difusión, en caso contrario sucedería lo inverso; es decir

que a menor temperatura la energía de las partículas se vera disminuida y con

esto la velocidad de difusión.

3. El tipo de estructura cristalina de la red matriz es importante. Como ya sabemos

que las estructuras cristalinas tienen un factor de empaquetamiento nos dice que

que tanto de espacio tiene el metal en sus moléculas, ya que esto dependerán

con que facilidad se puede difundir los átomos.

4. El tipo de defectos cristalinos presentes en la región de difusión en estado

sólido es también importante. Nos dice que las estructuras más abiertas dan lugar

a una más rápida difusión de átomos.

5. La concentración de las especies que se difunden No dice que entre sean

mayores las concentraciones de los átomos del soluto que se difunde afectarán al

coeficiente de difusión.

Un engrane de acero que contiene inicialmente 0.10% de C, y se va a cementar de tal modo que el contenido de carbono a una profundidad de 0.05 pulgadas sea del 0.50%. Se puede generar un gas cementante para que la superficie tenga un contenido de entre 0.95% y 1.15% de C. Diseñe un tratamiento térmico de cementación adecuada (tiempo de tratamiento térmico).

Datos Para 0.95% de C

𝐶𝑠−𝐶𝑥𝐶𝑠−𝑐𝑜

= erf [ 𝑥2√𝐷𝑡

]

0.95%−0.50%0.95%−0.10%

= erf [ 1.27𝑥10−32√1.28𝑥10−11 √𝑡

]

0.5294 = erf [177.487√𝑡

]

Interpolación

𝑦₀ − 𝑦₁𝑥₀ − 𝑥₁

=𝑦₂ − 𝑦₁𝑥₂ − 𝑥₁

𝑥₀ = �𝑥₁ − 𝑥₂𝑦₁ − 𝑦₂

� (𝑦₀ − 𝑦₂) + 𝑥₁

𝑥₀ = � 0.50−0.550.5205−0.5633

� (0.5294 − 0.5205) + .50 = 0.5103

0.5103 = �177.487√𝑡

�

𝑡 = �177.487.5103

�2

= 33.603 ℎ𝑟𝑠

Co= 0.10% Cs= 0.95% y 1.15% Cx= 0.50% T=? X= 0.05 in = 1.27 x10-3

D=

Z erf z x₁= 0.50 y₁=0.5205 x₀= y₀=0.5294 x₂=0.55 y₂=0.5633

Para 1.15% de C

𝐶𝑠 − 𝐶𝑥𝐶𝑠 − 𝑐𝑜

= erf [𝑥

2√𝐷𝑡]

1.15% − 0.50%1.15% − 0.10%

= erf [1.27𝑥10 − 3

2√1.28𝑥10 − 11 √𝑡

0.6190 = erf [177.487√𝑡

]

Interpolación

𝑦₀ − 𝑦₁𝑥₀ − 𝑥₁

=𝑦₂ − 𝑦₁𝑥₂ − 𝑥₁

𝑥₀ = �𝑥₁ − 𝑥₂𝑦₁ − 𝑦₂

� (𝑦₀ − 𝑦₂) + 𝑥₁

𝑥₀ = � 0.60−0.650.6039−0.6420

� (0.6190 − 0.6039) + .60 = 0.6198

0.6198 = �177.487√𝑡

�

𝑡 = �177.487.6198

�2

= 22.778 ℎ𝑟𝑠

Z erf z x₁= 0.60 y₁=0.6039 x₀= y₀=0.6190 x₂=0.65 y₂=0.6420