Ejemplo 4

Encontrar la integral de un semicrculo de radio R (por variar nomenclatura, trabaje sobre los

ejes y y z ). La ecuacin de un crculo de radio = R es: y2 + z2 = R2 (en lugar de x usar z , para variar nomenclatura)

f(z) = 22 zRy

Usando la regla compuesta de Simpson, encontrar la integral de un semicrculo de radio R.

Dividirlo en 4 subintervalos N = 4 ( 2 en el lado derecho y 2 en el lado izquierdo).

Hacerlo para R = 0, R = 2, R = 2 3 , R = 4).

I = dzzR

R

R

22

Para R = 0 I = dzzz

z

0

0

220

Para R = 2 I = dzzz

z

2

2

222

Para la practica del Laboratorio 5 (Diferenciacin e Integracin) se deber resolver el ejercicio nmero cuatro (4) que se encuentra al final de esta seccin usando la herramienta SCILAB.

Este material hace parte del captulo 6 del libro del profesor Tito Flrez Caldern (Profesor Titular) quien es el autor de MTODOS NUMRICOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA, tercera edicin, 2011 ISBN: 978-958-719-822-5, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniera, Departamento de Ingeniera de Sistemas e Industrial; material autorizado por su autor para su publicacin con prpositos puramente docentes.

Ejemplos y enunciado del Punto 2 de la practica del laboratorio 5.

Clculo de la Integral Total

Para R = 2 3 I = dzzz

z

32

32

22

32

Para R = 4 I = dzzz

z

4

4

224

Como la funcin es simtrica, se considerar el lado derecho (eje z positivo) y se multiplicar

por 2. Cada lado tendr 2 subintervalos.

Por ser simtrico se transforma en:

I = 2* dzzR

R

0

22 (parte derecha) y N = 2.

Si R = 4 N

xxH

inicialfinal = (4 0) / 2 = 2

n

abh

=

n

H= 2/2 = 1

e = O(h4) = O(14) no se espera gran exactitud.

Solucin:

R = 0

N = 2 ; xinicial = 0; xfinal = 0

N

xxH

inicialfinal = (0 0) / N = 0

n

abh

=

n

H=

2

0= 0

n = grado del polinomio = nmero de intervalos ( n minscula ).

n = 2 (para Simpson)

Ii = )4(3

21 iii yyyh

Ii = 0

= 2*

2

1i

iI = 0 + 0 = 0

R = 2

N = 2; xinicial = 0; xfinal = 2

Clculo de la Integral Total

N

xxH

inicialfinal = (2 0) / 2 = 1

n

abh

=

n

H=

2

1= 0.5

n = grado del polinomio = nmero de intervalos ( n minscula ).

n = 2 (para Simpson)

I1 : xi = a = xinicial = 0

Ii = )4(3

21 iii yyyh

Ii = ))2()(4(3

222222 haRhaRaRh

I1 = ))5.0*20(2)5.0*10(2402(3

222222 h

I1 = )1.731.93*42(3

h

= 1.91

I2 : xi = a = xinicial +1H = 0 + 1*1 = 1

Ii = )4(3

21 iii yyyh

I2 = ))5.0*21(2)5.0*11(2412(3

222222 h

I2 = )0 1.32*41.73(3

h

= 1.17

= 2*

2

1i

iI = 2* (1.91 + 1.17) 6.2 (real = 6.28)

R = 32

N = 2 ; xinicial = 0; xfinal = 2 3

N

xxH

inicialfinal = (2 3 0) / 2 = 3

n

abh

=

n

H=

2

3

Clculo de la Integral Total

n = grado del polinomio = nmero de intervalos ( n minscula ).

n = 2 (para Simpson)

I1 : xi = a = xinicial = 0

Ii = )4(3

21 iii yyyh

Ii = ))2()(4(3

222222 haRhaRaRh

I1 = ))2/32()3 2()2/3()3 2(40)3 2((3

222222 h

I1 = )2.99993.35*43.46(3

h

= 5.73

I2 : xi = a = xinicial +1H = 0 + 1* 3 = 3

I2 = ))2/323()3 2()2/33()3 2(43)3 2((3

22222

2 h

I2 = )0 2.29*42.99(3

h

= 3.51

= 2*

2

1i

iI = 2* (5.73 + 3.51 ) 18.5 (real =18.8....)

R = 4

N = 2; xinicial = 0; xfinal = 4

N

xxH

inicialfinal = (4 0) / 2 = 2

n

abh

=

n

H=

2

2 = 1

n = grado del polinomio = nmero de intervalos (n minscula ).

n = 2 (para Simpson)

I1 : xi = a = xinicial = 0

Ii = )4(3

21 iii yyyh

Clculo de la Integral Total

Ii = ))2()(4(3

222222 haRhaRaRh

I1 = ))1*20(4)10(4404(3

222222 h

I1 = )3.46 3.87*4 4(3

h

= 7.65

I2 : xi = a = xinicial +1H = 0 + 1*2 = 2

Ii = )4(3

21 iii yyyh

I2 = ))1*22(4)1*12(4424(3

222222 h

I2 = )02.64*4 3.46(3

h

= 4.68

= 2*

2

1i

iI = 2* (7.65 + 4.68) 25 (real = 25.13.)

Ejemplo 5

Se tiene la siguiente tabla:

X 0 3 6 9 12 15 18

Y 0 6.2 18.5 25 18.5 6.2 0

1er H 2o H 3er H

Encontrar la integral usando la regla compuesta de Simpson.

Acurdese que en la regla de Simpson 2

Hh , es decir, cada intervalo H debe tener 2h (3

puntos) subintervalos de h. Por lo tanto, es lgico que el nmero de subintervalos de h debe

ser mltiplo de 2. (La tabla tiene 6 subintervalos de h, lo cual es un mltiplo de 2. La tabla se

hizo a propsito para poderla resolver por la regla compuesta de Simpson).

1er intervalo de H: 0 6 2 intervalo de H: 6 12

Clculo de la Integral Total

3er intervalo de H: 12 18

Se puede encontrar la integral usando la regla compuesta del trapecio?, 3/8 de Simpson?,

Boole?

Para hacer la integral numrica en s, se necesitan los (xi, yi) no f(x). f(x) sirve para

encontrar los yi.

Distancia entre dos puntos en x = x = h = 3 H = 2h = 2*3 = 6

Como la regla de Simpson necesita 2 subintervalos de h, el nmero de integrales a realizar es

= 6/2 = 3:

I1 : desde x = 0 hasta x = 6

I2 : desde x = 6 hasta x = 12

I3 : desde x = 12 hasta x = 18

I1: xi = a = 0; yi = 0

Ii = )4(3

21 iii yyyh

I1 = )5.182.6*40(3

3 = 43.3

I2 : xi = a = 6; yi = 18.5

Ii = )4(3

21 iii yyyh

I2 = )5.1825*45.18(3

3 = 137

I3 : xi = a = 12; yi = 18.5

Ii = )4(3

21 iii yyyh

I3 = )02.6*45.18(3

3 = 43.3

= I1 + I2+ I3 = (43.3 + 137 +43.3) = 223.6 (respuesta terica: 72 = 226.2).

6.6. Integrales dobles

Se explicar a travs del siguiente ejemplo:

Ejemplo

Integrales dobles

Se tiene un pan (ver figura A) cuya base est sobre los ejes x y z y su altura sobre el ejey. Visto lateralmente (viendo el eje x de izquierda a derecha), el contorno superior tiene forma de funcin seno, cuya altura, a medida que nos desplazamos sobre el eje x, es R=4*sin(x/18) (x est en radianes). Su altura mxima es 4 cm. y la longitud del pan sobre el eje x es de 18 cm. Al hacer un corte transversal (viendo el eje z de izquierda a derecha), se observa que tiene forma de un semicrculo. La ecuacin de la altura del pan es:

2

2

22

18

*sin4 z

xzRy

180 x ;

)18/sin(4)18/sin(4 xRzRx

El volumen del pan es:

dzdxzx

Vx

x

xz

xz

*18

*sin4

18

0

)18/sin(4

)18/sin(4

2

2

xinicial: extremo izquierdo del pan (x = 0)

xfinal: extremo derecho del pan (x = 18)

Calcular la integral doble (el volumen del pan) usando la regla compuesta de Simpson 1/3.

Integrales dobles

Figura A.

Le parece difcil?

Lo curioso es que esta doble integral ya se desarroll a travs de los 2 ejemplos anteriores

(ejemplo 4 y ejemplo 5).

Cmo se hizo?

Se cort el pan en 6 rodajas (nmero par) de ancho h =6

inicialfinal xx = (18-0)/6 =3

Se calcul el rea de cada cara de las rodajas.

Se integr esas reas, produciendo el volumen (la integral de un rea, produce unvolumen).

dzdxzx

Vx

x

xz

xz

*18

*sin4

18

0

)18/sin(4

)18/sin(4

2

2

Para encontrar el rea de cada una de las caras

03

69

1215

18 -4

-2

0

2

4

0

2

4

ZX

Y =

sqrt

(R

2 -

Z2 )

Integrales dobles

Ax=0 : rea de la cara en x = 0;

Ax=3 : rea de la cara en x = 3;

Ax=6 : rea de la cara en x = 6;

Ax=9 : rea de la cara en x = 9;

Ax=12 : rea de la cara en x = 12;

Ax=15 : rea de la cara en x = 15;

Ax=18 : rea de la cara en x = 18;

Se barre la integral exterior ( x ) desde x_inferior hasta el x_superior, con pasos de x =h=3

Para cada uno de estos x, se reemplaza su valor en la integral interna.

dzzA

z

z

x

)18/0sin(4

)18/0sin(4

2

2

018

*0sin4

= dzz

z

z

0

0

220

dzzA

z

z

x

)18/3sin(4

)18/3sin(4

2

2

318

*3sin4

= dzz

z

z

2

2

222

dzzA

z

z

x

)18/6sin(4

)18/6sin(4

2

2

618

*6sin4

= dzz

z

z

32

32

22

32

dzzA

z

z

x

)18/9sin(4

)18/9sin(4

2

2

918

*9sin4

= dzz

z

z

4

4

224

Ax=12 = Ax=6 debido a la simetra del pan.

Ax=15 = Ax=3 debido a la simetra del pan.

Ax=18 = Ax=0 debido a la simetra del pan.

que son las mismas del ejemplo 4

Poniendo en una tabla el valor del rea de cada cara en su correspondiente x, se obtiene:

x 0 3 6 9 12 15 18

rea de las caras 0 6.2 18.5 25 18.5 6.2 0

1er H 2o H 3er H

Que corresponde a la tabla que se da en el ejemplo 5

Integrales dobles

Al integrar reas, da volumen Al integrar esta tabla, que corresponde a integrar las reas de las caras de las tajadas, es evidente que da el volumen del pan. Esta integral se realiz en

el ejemplo 5 y dio: I = 223.6 (respuesta terica: 72 = 226.2).

Algo anlogo se hace para integrales triples, etc.

Ejercicios

1. Se desea calcular dx)x(sen

o

o

6

0

. Tomar 3 intervalos y desarrollarlo por:

a. Trapecio

b. Simpson

c. 3/8 de Simpson

d. Boole

2. Se desea calcular dxx.

.

90

0

52. Tomar 3 intervalos y desarrollarlo por:

a. Trapecio

b. Simpson

c. 3/8 de Simpson

d. Boole

3. Se posee la siguiente tabla:

X 0 3 6 9 12 15 18

Y 0 16 88 243 499 871 1375

Calcular la integral por medio de:

a. Trapecio

b. Simpson

c. 3/8 de Simpson

4. Problema del slido. Este ejercicio debe ser resuelto usando SCILAB (tal como se anuncial comienzo de esta seccin) y debe ir acompaada de una grfica como la de la figura B).

Se tiene un slido en forma de medio disco (anlogo a la figura B que se logra en este caso rotando una parbola sobre el eje y) cuya base est sobre los ejes x (largo) y y (ancho ), y su altura sobre el eje z. El contorno exterior de la parte mas angosta tiene forma de parbola, cuya altura, a medida que nos desplazamos sobre el eje y, es z = -y2 + 36. El ancho mximo del slido sobre el eje y es de 12 cm. La parte ms alta (o sea el mayor semicrculo) es de 36 cm. Las secciones transversales paralelas al eje "y" son parbolas y las secciones transversales paralelas al eje x son semicrculos. La ecuacin de la altura del slido es:

Figura B

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