RUBÉN J. GONZÁLEZ P.

1.50 4.00

X4

1,50m 4,00m 2,00m 1,00m 1,00m 2,00m

W= 4 Tn/m

3 Tn

10 Tn.m

W= 2 Tn/m

A B C D E F

1) Para Las vigas mostradas, determinar las ecuaciones de fuerza cortante y

momento flector, así como dibujar sus diagramas.

∑MB IZQ. + = 0

-11*1.83 + RVA*4 = 0

RVA= 5.04 TON

∑FY = 0

-11 – 3 – 4 + 5.04 + RVF = 0

RVF = 12.96 TON

∑MF + = 0

MF – 4*1 – 3*4 + 10 – 11*7.833 + 5.04*10 = 0

MF = 41.76 TON*M +

4 = X 5.5 1.5 X = 1.09

1.50

x

1.09

WY

0.73x*x/2

x

2.91

WY

0.73x*x/2

1.09

1.09X

4.22

0.41

4

V = - 0.365 X2

Para X = 0 V = 0

X = 1.50 V = -0.82

M = - 0.365 X2 * X/3 = - 0.12 X3

Para X = 0 M = 0

X = 1.50 M = -0.41

M = -0.365X2 * X3/3 – 1.09X*X/2 + 4.22X – 0.41

M = -0.12X3 - 0.545X2 + 4.22X – 0.41

Para X = 0 M = 0.41

X = 2.22 M= 4.96

X = 4 M= 0

WY = 2.91 X 4 WY = 0.73X

-.365X2 – 1.09X +4.22 X = 2.22 m

WY = 1.09 X 1.50 WY = 0.73X

1,50m 4,00m 2,00m 1,00m 1,00m 2,00m

W= 4 Tn/m

3 Tn

10 Tn.m

W= 2 Tn/m

A B C D E F

V +

-

5.04 TON12.96 TON

41.76 TON*M

-0.82

4.22

-5.96

-8.96

-12.96

M -

+

-0.41

4.96

-11.92

-20.88 -19.88

-10.88

-41.76

X = 2.22

x

2

WY

0.80x*x/2

4

4X

1.41

3.06

2.50

W= 4 Tn/m W= 4 Tn/m

W= 6 Tn/m

6 Tn

6 Tn.m

2 Tn 3 Tn

2,00m 2,00m 1,50m 2,50m 1,00m 1,00m

A B C D E F G

∑MA + = 0

-8*1 + 6.06*2 -6 + 10*4.75 + 2.5*5.17 + 2*7 + 3*8 – RVE*6 = 0

RVE = 16.09 TON

∑ME + = 0

2*1 + 3*2 – 10*1.25 – 2.5*.83 – 6.06*4 -6 -8*7 + RVB*6 = 0 RVB = 15.47 TON

WY = 2_ X 2.50 WY = 0.80 X

0.40X2 – 4X + 1.41 X = 0.34 m

W= 4 Tn/m W= 4 Tn/m

W= 6 Tn/m

6 Tn

6 Tn.m

2 Tn 3 Tn

2,00m 2,00m 1,50m 2,50m 1,00m 1,00m

A B C D E F G

V +

-

M -

+

-8

-11.09

15.47 TON 16.09 TON

7.47

1.41

5

3

-8

6.94

0.94

3.06

3.30

-8

-3

0.34

M = -0.40X2 * X/3 – 4X*X/2 + 1.41X + 3.06

M = -0.133X3 - 2X2 + 1.41X + 3.06

Para X = 0 M = 3.06

X = 0.34 M= 3.30

X = 2.50 M= -8

2,0

0m

2,0

0m

3 Tn

2 Tn

W= 3 Tn/m

9 Tn.m

3,00m 4,00m

A

B

C

D

Para la estructura mostrada dibujar los diagramas de cuerpo libre, fuerza axial,

fuerza cortante y momento flector.

∑MB DER. + = 0

12*2 – RDV*4 = 0

RDV = 6 TON

∑FY = 0

-12 – 2 + 6 + RVA = 0

RVA = 8 TON

∑MA + = 0

MA + 2*1.50 + 12*5 – 6*7 – 3*2 + 9 = 0

MA = 24

∑MB ABAJO. + = 0

3*2 – RHC*4 = 0

RHC = 1.50 TON

∑FX + = 0

- 3 + 1.50 + RHA = 0

RHA = 1.50 TON

2,0

0m

2,0

0m

3 Tn

2 Tn

W= 3 Tn/m

9 Tn.m

4,00m

A

B

C

D

1.5 Tn 1.5 Tn

24 Tn.m

6 Tn

8 Tn

-6COSθ +1.50SEN θ -6SENθ -1.50COS θ

2 Tn

1.5 Tn

1.5 Tn

6 Tn

8 Tn

24 Tn.m

-2C

OS

-1.50SENθ +8 COS θ

-2 SEN θ

-1.50COSθ +8 SEN θ

θ = artg4/3 = 53.12

W= 3 Tn/m

D

6 Tn 6 Tn

V +

-

-+

M

6

-6

6

X = 2

TRAMO B-C

1.20

TO

N

1.60

TO

N

3.60

TO

N

7.30

TO

N

5.70

TO

N

2.40

TO

N

9 T

n.m

24

Tn.

m

5,00

m

V+

-

M-

+

A-

+

3.60

2.40

24

157.

30

5.70

V

+-

1.5

0

-1.5

0

1.5

0 T

ON

1.5

0 T

ON

3 T

ON

M

+-TRAMO A-B

TRAMO B-D

1 Tn

W= 1 Tn/m

W= 1,5 Tn/m

0,5 Tn.m 0,5 Tn.m

4,00m 4,00m

2,0

0m

4,0

0m

1,5

0m

A

B

C

D

E

3) Resolver la estructura Isostática, del modelo estructural que representa

una nave de un pequeño garaje para vehículos de carga, seguramente que por

el desnivel entre fundaciones aparecerá representada la carga triangular como

acción del empuje del suelo.

∑MC DER + = 0

4*2 + 1*1.5 -0.5 + RHE*5.5 – RVE*4 = 0

-5.5 RHE + 4 RVE = 9 ecuación 1

∑MA + = 0

1.5*0.67 + 0.50 + 8*4 -1*6 -0.50 – RHE*2 – RVE*8 = 0

2 RHE + 8RVE = 27 ecuación 2

RHE = -0.692 TON

RVE = 3.20 TON ∑FY + = 0 -8 + 3.20 + RVA = 0 RVA = 4.80 TON ∑FX + = 0 1.50 – 1 - 0.692 + RHA = 0 RHA = 0.192 TON

1 Tn

W= 1 Tn/m

W= 1,5 Tn/m

0,5 Tn.m 0,5 Tn.m

4,00m 4,00m

2,0

0m

4,0

0m

1,5

0m

A

B

C

D

E

4.80 Tn

3.20 Tn

0.692 Tn

0.192 Tn

2,5

0m

2,5

0m

3,0

0m

4,00m 2,00m

W= 2 Tn/m

W= 4 Tn/m

9 Tn.m

A

C

D

B

4) Determinar diagramas de cuerpo libre, fuerza axial, fuerza cortante y momento flector.

∑MB SUP. + = 0

4*1 – 8*2 – 4*1.50 – 3.75*2 + RVA*4 = 0

RVA = 6.56 TON

∑FY + = 0

-12 + 6.56 + RVD = 0

RVD =5.44 TON

∑FX + = 0

RHD= 16 TON

∑MD. + = 0

MD – 16*2.67 + 9 + 4*1 – 8*2 + 6.56*4 = 0

MD = 19.48 TON.M

4,00m 2,00m 6,00m

W= 4 Tn/m

24 Tn

22 Tn 26 Tn

A B C D

4,00m 2,00m 6,00m

W= 4 Tn/m

24 Tn

22 Tn 26 Tn

A B C D

V +

-

M -

+

22

-2

-26

88

24

5) Dada la viga de la figura, de peso propio despreciable y con las

cargas y reacciones que se muestran, dibuje los diagramas de fuerza

cortante y momento flector.

6) Dada la viga de la figura del ejercicio anterior, de peso propio

despreciable y con las cargas y reacciones que se muestran. Calcular:

θA, θB, θD,

Método de la doble integración:

EI = d2y dx2

EI = d2y = 22*X-24*<X-4> - 4*<X-6>*<X-6> dx2 2 EI = d2y = 22*<X> -24*<X-4> - 4*<X-6>2 dx2 2 Con la primera integración encontramos θ EI = d2y = EI θ = 22*<X>2 – 24*<X-4>2 - 4*<X-6>3 + C1

dx2 2 2 6 Con la segunda integración hallamos y: EI θ = EI Y = 22*<X>3 – 24*<X-4>3 - 4*<X-6>4 + C1+ C2

6 6 24 Para X=0; Y=0; C2= 0 EI Y = 22*<X>3 – 24*<X-4>3 - 4*<X-6>4 + C1 = 0

6 6 24 Para X=12; Y=0

22*123 – 24*<12-4>3 - 4*<12-6>4 + C1*12 = 0

6 6 24 6336 – 2048 – 216 + C1*12 = 0

C1 = -339.33 TON*M3

Para X=4; YB=? EI YB = 22*43 – 24*<4-4>3 - 4*<4-6>4 – 339.33*4

6 6 24 EI YB = -1125.32 TON*M3

CC = h/2

Ct = h/2

Para X=6; YC=? EI YB = 22*63 – 24*<6-4>3 - 4*<6-6>4 – 339.33*6

6 6 24 EI YC = -1275.98 TON*M3 EI θ = 22*<X>2 – 24*<X-4>2 - 4*<X-6>3 + C1

2 2 6 X = 0; θA = 0

X = 4; θB = ?

X = 12; θD = ?

EI θB = 22*42 – 24*<4-4>2 - 4*<4-6>3 + 339.33 = 0

2 2 6 EI θB = 176 + 5.33 + 339.33 = 520.66

EI θD = 22*122 – 24*<12-4>2 - 4*<12-6>3 + 339.33 = 0

2 2 6

EI θD = 1584 – 768 – 144 + 339.33 = 1011.33

7) Dada la viga de la figura del ejercicio 5, de peso propio despreciable y

con las cargas y reacciones que se muestran. Calcular σ máximo por

flexión si la viga tiene una sección transversal rectangular de 25 cm. de

ancho * 90 cm. de alto.

σmax = M * C

I

σmaxC = M * CC

I

σmaxT = M * CT

I

Como la viga es simétrica tenemos: CC = CT

σmax = M * h/2 = 12 M*h = 6 M*h

b*h3/12 2b* h3 b*h2 Mmax = 88ton*m * 100 cm = 8.800 TON*CM

σmax = 6 * 8.800 = 0.2607 TON/CM2

25 * 90

W= 4 Tn/m

6 Tn

3,0

0m

3,0

0m

6,00m

AB

C

D

8) Dibuje el diagrama de fuerza cortante y momento flector y calcule las

reacciones de las estructuras mostradas.

∑MA. + = 0

24*3 – 6*3 – RVD*6 = 0

RVD= 9 TON

∑FY + = 0

-24 + 9 + RVA= 0

RVA= 15 TON

∑FX + = 0

RHA= 6 TON

W= 4 Tn/m

6 Tn

3,0

0m

3,0

0m

6,00m

AB

C

D

15 Tn

9 Tn

6 Tn

V +

-X = 3.75

15

-9

M -

+

28.13

V- +

6

M- + 18

9

18

4,00m

W= 10 Tn/m 20 Tn

5 TnA B C

D E

3,0

0m

2,00m

∑MD. + = 0

- 5*3 + 40*2 + 20*6 – RVC*4 = 0

RVC = 46.25 TON

∑FY + = 0

- 40 – 20 + 46.25 + RVD = 0

RVD = 13.75 TON

∑FX + = 0

RHC = 5 TON

4.00 m

W= 10 Tn/m 20 Tn

5 TnA B C

DE

2,00m

13.75 Tn 46.65 Tn

5 Tn

V +

-

13.75

20

-26.25

M -

+

x = 1.38

3.00 m

V- +

M- + 155

9.45 15