Ejemplo 1.

En cierto país hay tres partidos políticos principales, el liberal (L), el conservador (C) y el demócrata(D) . La matriz de transición siguiente da las probabilidades de que el país sea gobernado por cada uno de los tres partidos políticos después de una elección, conocidas las diversas posibilidades del resultado anterior:

L C DL 0.3 0.5 0.2C 0.4 0.2 0.4D 0.5 0.4 0.1

Suponiendo que el partido conservador está gobernando ahora, elabore un diagrama de árbol para determinar la probabilidad de que el partido demócrata esté en el poder después de las dos próximas elecciones.

Solución.

La probabilidad de que el partido demócrata esté en el poder después de las dos próximas elecciones está dada por:

Para los siguientes datos del ejemplo1.

L C DL 0.3 0.5 0.2C 0.4 0.2 0.4D 0.5 0.4 0.1

La matriz de transición de dos pasos

, indica las probabilidades de que uno de los tres partidos políticos

esté en el poder después de las dos próximas elecciones.La probabilidad de que hoy el partido liberal esté en el poder y después de las próximas dos elecciones esté en el poder sea el partido conservador es de 0.33.La probabilidad de que hoy el partido conservador esté en el poder y después de las próximas dos elecciones esté en el poder sea el partido demócrata es de 0.20.

En el ejemplo 1 se tiene que:

i) Si actualmente el partido liberal está en el poder entonces por lo tanto

, éste vector indica las probabilidades de

que los partidos, liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de la próxima elección.

Y

indica las probabilidades de que los partidos liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de las próximas dos elecciones.ii) Si actualmente el partido demócrata está en el poder, entonces por lo tanto

es el vector que indica las

probabilidades de que los partidos, liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de la próxima elección.

Y indica las probabilidades de que los partidos

liberal, conservador y demócrata respectivamente estén en el poder después de las dos próxima elecciones.Observación. Nótese que si el sistema inicia en el tercer estado D, entonces el vector de estado del sistema después de dos periodos es , que es la tercera fila de .

En general si el estado inicial de un sistema es , entonces después de periodos, el vector de estado

es la fila de la matriz

Ejemplo. es una matriz regular

Ejemplo.

Para la matriz de transición regular , hallar el vector estacionario

Solución.

Como entonces por lo tanto , luego

Ejemplo 2.

Los estudiantes de una especialización en ingeniería, deben hacer una nivelación y luego cursar tres semestres. Algunos terminan los tres semestres y automáticamente se gradúan, otros se retiran, para graduarse se debe pasar secuencialmente por los estados: Nivelación, primer semestre, segundo semestre, tercer semestre y luego grado. Ningún estudiante pasa de un semestre superior a otro inferior. Si el sistema es un proceso de Markov con matriz de transición:

N 1 2 3 G RN 0.05 0.65 0 0 0 0.31 0 0.2 0.7 0 0 0.12 0 0 0.15 0.8 0 0.053 0 0 0 0.05 0.95 0G 0 0 0 0 1 0R 0 0 0 0 0 1

Determine:a) Los estados transitorios y los estados absorbentes del sistema

b) La probabilidad de que un estudiante se retire dado que cursó tercer semestre

c) La probabilidad de que un estudiante se gradúe dado que hizo primer semestre

d) La probabilidad de que un estudiante se retire dado que hizo nivelación

e) La probabilidad de que un estudiante pase a tercer semestre dado que cursó primer semestre

f) La probabilidad de que un estudiante pase a primer semestre dado que cursó segundo semestre

Solución a) Estados transitorios: N, 1, 2 y 3 Estados absorbentes: G y R Solución b) 0 Solución c) 0 Solución d) 0.3 Solución e) 0 Solución f) 0

Para la matriz de transición del ejemplo 2

a) Halle la matriz fundamental de dicha cadena

b) Determine la proporción de estudiantes en los estados transitorios que alcanzarán cada uno de los

estados absorbentes.

Solución a).Eliminando las filas de los estados absorbentes de la matriz de transición, se obtiene la matriz

De donde se extraen las matrices de estados transitorios y absorbentes

,

Por lo tanto

y

Solución b).

G RN 0.563 0.4371 0.824 0.1762 0.941 0.0593 1 0

Esta matriz nos indica que: La probabilidad de que un estudiante que ingresa a nivelación se gradué es de 0.563 (significa que el 56.3% de los estudiantes que ingresan a nivelación se gradúan y el 43.7% se retira)El 82.4% de los que cursan primer semestre se gradúan y el 17.6% se retiraEl 94.1% de los que cursan tercer semestre se gradúan y el 5.9% se retiraEl 100% de los que cursan tercer semestre se gradúan.

Ejemplo 3.La universidad XX, tiene un escalafón para sus docentes y los clasifica en tres categorías: categoría 1, categoría 2 y categoría 3. Durante cierto año el 15% de los docentes de la categoría 1 ascendieron a la categoría 2 y a un 5% se les canceló su contrato. Durante un año cualquiera un 12% de los docentes de la categoría 2 ascendieron a la categoría 3 y a un 3% se les canceló su contrato. Los docentes que están en la categoría 1 deben ascender a la categoría 2 y permanecer allí mínimo un semestre antes de llegar a la categoría 3. A ningún docente se le baja de categoría, si su desempeño no es el esperado se les cancela el contrato. A los docentes de la categoría 3 jamás se les cancela su contrato, ellos salen de la universidad jubilados.

a) Forme la matriz de transición Pb) Determine si P es regular, absorbente o ninguna de las 2.c) Calcule la probabilidad de que un docente de la categoría 1 llegue a la categoría 3 y la probabilidad de que se le cancele su contrato.d) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la categoría  1 un docente  recién contratado?e) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la universidad un docente de la categoría 1 antes de llegar a la categoría 3?f) Calcule la probabilidad de que un docente de la categoría 2 ascienda a la categoría 3.

Solución a)Con la información dada se tiene que la matriz de transición es

Cat1 Cat2 Cat3 CanceladoCat1 0.80 0.15 0 0.05Cat2 0 0.85 0.12 0.03Cat3 0 0 1 0Cancelado 0 0 0 1

Solución b) Nótese que las filas de los estados Cat3 y Cancelado tienen probabilidades iguales a 1, por lo tanto estos estados son absorbentes y en consecuencia la matriz es absorbente.

Solución c) Se sabe que la matriz contiene las probabilidades de pasar de un estado transitorio a otro absorbente.Eliminando de la matriz , las filas de los estados absorbentes, obtenemos las siguientes sub matrices y , de estados transitorios y estados absorbentes.

,

Como

Entonces la matriz fundamental del sistema es:

Ver el cálculo de la matriz F mediante Wólfram Alpha:

Por lo tanto

Ver el cálculo de la matriz Q mediante Wólfram Alpha:

En consecuencia, la probabilidad de que un docente de la categoría 1 llegue a la categoría 3 es de 0.60 y la probabilidad de que se le cancele el contrato es de 0.40

Solución d)La matriz fundamental nos indica que el tiempo en años que debería permanecer normalmente un docente en la categoría 1 es de 5 años.

Solución e) El tiempo que debería permanecer  en la universidad un docente que ingresa en la categoría 1, antes de llegar a la categoría 3 ó que se le cancele su contrato, es la suma de los tiempos en que estuvo en la categoría 1 con el tiempo que permanece en la categoría 2, de la matriz fundamental obtenemos que el resultado pedido: años.

Solución f)La matriz contiene las probabilidades de pasar de un estado transitorio a otro absorbente, por lo

tanto la probabilidad de que un docente pase de categoría 2 a la categoría 3 es de 0,80.

Ejemplo 4. Si en el problema del ejemplo 3, se sabe que en el año 2013 dicha universidad tiene la mitad de sus docentes en categoría 1, un cuarto en la categoría 2 y el resto en la categoría 3. Determinea) La proporción de docentes en cada categoría en el año 2015b) El vector de equilibrio para el escalafón docente.Solución a)La proporción de docentes en cada categoría en el año 2015, está dada por el vector de estado después de dos años.

Como ,

y

Entonces

Ver los cálculos de en Wólfram alpha

En el 2015 dicha universidad tendrá un 32% de docentes en la categoría 1, un 31.45% en la categoría 3 y ha cancelado contrato a un 6.11% de los docentes que tenía en el 2013.Solución b)El vector de equilibrio para el escalafón docente es de la forma

Donde X: es la proporción de docentes en la categoría 1Y: es la proporción de docentes en la categoría 2Z: es la proporción de docentes en la categoría 3W: es la proporción de docentes con contratos cancelados.Para hallar este vector, basta resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

, que satisface Obteniéndose que y Por lo tanto y el vector estacionario o de equilibrio del sistema a largo plazo es

Esto significa que a largo plazo en dicha universidad los profesores que no estén en la categoría 3 han sido desvinculados de la institución. No habrá profesores en las categorías 1 y 2. Si la proporción de docentes desvinculados es , entonces la proporción de docentes en la categoría 3 es Ver solución del sistema

, en Wólfram Alpha

Ejemplo 5 Tomado de Takeito Takahashi, (1990)

En el año cero, la población de un país es de 90 millones y la de su capital, la ciudad B, es de 9 millones. Supóngase que en un año, un 2% de la población de B del año anterior se va de la ciudad y un 0.5% de la población de la parte restante del país de ese mismo año anterior, se instala en la ciudad B. Si no se tiene en cuenta el incremento natural de la población.

a) Determine la población de la ciudad B y resto del país en el año 5.

b) Cuál será el valor de las dos poblaciones a largo plazo?

Solución a) Por ecuaciones en diferencias finitasSean:

: La población de la capital B en el año t

: La población del resto del país en el año t

Entonces en el año se tiene que:

1) La cantidad de población que sale de B es y la que permanece en B es

2) La cantidad de población que entra a B es y la que permanece en el resto del país es

.

En consecuencia se tiene el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias finitas

Solución b) Por ecuaciones en diferencias finitas

Solución a) Por Cadenas de MarkovEl sistema se puede escribir matricialmente como

, donde , y

Claramente el sistema de cambiar de residencia de un sitio a otro o de permanecer en el mismo sitio es una cadena de Markov, ya que dichas probabilidades de cambio permanecen constantes y las poblaciones en un año t, sólo dependen de las poblaciones del año anterior. La matriz , es la matriz de transición y es un vector de estado.Por lo tanto si entonces en el año 5 el vector de estado de las poblaciones en la capital y el resto del país es

el cual indica que la población de la

capital al cabo de 5 años será aproximadamente de 10.07 millones de habitantes y la del resto del país será de aproximadamente 79.93 millones de habitantes.Ver el cálculo de en Wólfram Alpha

Solución b) Por Cadenas de MarkovBasta hallar el vector estacionario o de equilibrio del sistema, el cual está dado por tal que

y

La solución de dicho sistema de ecuaciones es , Ver los cálculos de la solución del sistema en Wólfram Alpha

Lo cual indica que el 20% de la población, lo cual equivale a 18 millones estará en la capital B, y un 80% restante, equivalente a 72 millones estará en el resto del país.