ECUACIONES DIFERENCIALES

Salvador Solis Valdez

• En esta presentación hare tres

• Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes Indeterminados

Las ejemplos son:

1.- y’’-3y’= 8e3x+4senx

2.- y’’ + y = xcosx - cosx

3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8

Bien resolvamos el primero:

y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx

Para resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación auxiliar.

y’’ – 3y’ = 0

m2 – 3m= 0

m (m-3)=0 m1=0 y m2=3

• Como el valor de las m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda:

yc= C1 + C2e3x

Despues de Encontrar yc encontremos yp

para esto hay que aplicar un operador

anulador.

Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x).

En la ecuación tenemos que

y’’-3y’= 8e3x+4senx

El anulador de 8e3x es D-3

El anulador de 4senx es D2 + 1

• Entonces nos queda que

• (D-3)(D2 + 1)=0

D1= 3 D2=D3=i

Aplicando los casos nos queda :

yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx

Ahora derivamos dos veces yp para sustitur en la ecuacion original.

yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx

y’p = 3C3xe3x + C3e3x - C4senx + C5cosx

y’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C5senx

y’’p= 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx

Ahora lo cambiamos en la ecuacion original.

• y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx

9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x +C3e3x -C4senx+C5cosx)

= 8e3x+ 4senx

9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx- C5senx -9C3xe3x -3C3e3x +3C4senx-3C5cosx

=8e3x+ 4senx

3C3e3x –C4cosx -C5senx +3C4senx-3C5cosx

= 8e3x+ 4senx

Ahora igulamos coeficientes

3C3=8 C3=8/3

(-3) 3C4-C5=4

-C4-3C5=0

-9C4+3C5=-12 C4=-12/-10= 6/5

-C4-3C5=0 -6/5-3C5=0

-10C4 = -12 C5=2/5

• Entonces yp=C3xe3x + C4 cosx + C5senx

• Es igual a yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx

• La formula dice que la solucion general es

y=yc+yp

y=C1 + C2e3x+8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx

• En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada:

• 2.- y’’ + y = xcosx – cosx

y’’+y=0

m2+1= 0

m1=m2=i

yc=C1cosx +C2senx

Anuladores

xcosx-cosx es (D2 +1)2 (D2+1)=0

D1=D2=D3=D4= i

yp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senx

y’p=-C3xsenx+C3cosx+C4xcosx+C4senx-C5x2senx

+2C5xcosx+C6x2cosx+2C6xsenx

y’’p=-C3xcosx-C3senx-C3senx -C4xsenx + C4cosx + C4cosx-C5x2 cosx-2C5xsenx-2C5xsenx+2C5cosx+

-C6x2senx +2C6xcosx +2C6xcosx+2C6senx

• y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6cosx

• Sustituimos en Ec. Original

-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2

cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6senx +C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx +C6x2senx= xcosx – cosx

• - 2C3senx +2C4cosx -4C5xsenx+2C5cosx +4C6xcosx +2C6senx = xcosx-cosx

Igualamos coeficientes

-2C3+2C6=0 C3=1/4

2C4+2C5=-1 C4=-1/2

-4C5=0 C5=0

4C6=1 C6=1/4

y=C1cosx+C2senx+1/4xcosx-1/2xsenx+1/4x2senx

• 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8

y’’+4y=0

m2+4= 0

m1=m2=2i

yc= C1cosx +C2senx

(D2+1) (D2+1)D= 0

D1=0 D2=D3=D4=D5=i

• yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenx

• y’p=-C4senx+C5cosx-C6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx

y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcosx-2C6senx-C7xsenx+2C7cosx

3C4cosx+3C5senx+3C6xcosx-2C6senx+3C7xsenx+2C7cosx+4C3=4COSX+3senx-8

Se igualan coeficientes

4C3=-8 C3=-2

3C4+2C7=4 C4=4/3

3C5-2C6=3 C5=1

3C6=0 C6=0

3C7=0 C7=0

y=C1cos2x+C2sen2x+4/3cosx+senx-2