Ejemplo de Correlación y Regresión lineal

Variables Estadísticas Bidimensionales

En un Centro Comercial se hacen el seguimiento de la venta de automóviles para determinar si tiene correlación con los minutos de publicidad mensual que se paga en los medios radiales y televisivos.

Vamos a ver los datos y a calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de Pearson de este estudio.

Luego hallaremos la ecuación de regresión lineal.Para simplificar los cálculos, tomaremos una

muestra de 10 meses.

Publicidad vs. Ventas mensuales de automóviles

X = Publicidad (min) 72 76 78 81 89 95 108 115 120 130

Y = Ventas (autos) 115 121 125 130 141 150 165 170 177 178

Datos:

En nuestro caso tenemos que el número de datos totales es N=10.

Para calcular la covarianza necesitamos:• Las medias marginales de X e Y.• El producto de cada xi por cada yi.

Para las desviaciones típicas marginales necesitamos:• El cuadrado de xi y de yi.

Para poder realizar los cálculos con mayor comodidad, utilizaremos la siguiente tabla:

xi yi xi·yi xi2 yi

2

72 115

76 121

78 125

81 130

89 141

95 150

108 165

115 170

120 177

130 178

Cálculo de x

Cálculo de y

Cálculo de xy

Cálculo de y

Cálculo de x

xi yi xi·yi xi2 yi

2

72 115 8280 5184 13225

76 121 9196 5776 14641

78 125 9750 6084 15625

81 130 10530 6561 16900

89 141 12549 7921 19881

95 150 14250 9025 22500

108 165 17820 11664 27225

115 170 19550 13225 28900

120 177 21240 14400 31329

130 178 23140 16900 31684

964 1472 146305 96740 221910

Vamos a quedarnos sólo con la última fila para hacer los cálculos

xi yi xi·yi xi2 yi

2

964 1472 146305 96740 221910

• Media de X:

• Media de Y:

• Desviación estándar de X:

• Desviación estándar de Y:

• Covarianza:

• Coef. Correlación de Pearson:

La covarianza y el coeficiente de correlación son positivos, luego la correlación es directa.

Además el Coef. de correlación está muy cercano a 1, por lo que la correlación es muy fuerte.

65 75 85 95 105 115 125 13560

80

100

120

140

160

180

200

Venta de automóviles vs. Publicidad

Publicidad (min/mes)

Ven

tas (

au

tos/m

es)

Y’= a + bX, donde: Y’ es el valor estimado de Y para distintos X. a es la intersección o el valor estimado de Y cuando

X=0 b es la pendiente de la línea, o el cambio promedio de

Y’ para cada cambio en una unidad de X el principio de mínimos cuadrados es usado para

obtener a y b:

Estimación de la ecuación de Regresión Simple

bn XY X Y

n X X

aY

nbX

n

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

xi yi xi·yi xi2 yi

2

964 1472 146305 96740 221910

4.358.1112.14710964

16.1101472

16.13810444042

92929696740014190081463050

96496740101472964146305102

a

b

b

xy 16.14.35' La ecuación de regresión lineal es: