Seleccin de mquinas de control numrico usando Fuzzy AHPSelection of numeric control machines using Fuzzy AHPOrlando Durn y Jos Aguil

Metodologa AHP FUZZYLa metodologa propuesta considera incorporar los nmeros difusos o triangulares a la metodologa AHP. Inicialmente se utilizan los nmeros difusos para indicar el nivel de intensidad o importancia relativa que un factor de la jerarqua tiene por sobre otro. A partir de estas comparaciones se construye la matriz de comparaciones con nmeros triangulares. La mejor alternativa es obtenida consecuentemente a partir de un sistema de ranqueo para nmeros difusos que se presenta ms adelante en esta seccin. Sintetizando, la aplicacin de la metodologa propuesta considera las tres etapas siguientes:1. Construccin de la estructura jerrquica para el problema a ser resuelto.2. Obtencin de la matriz fuzzy de comparaciones3. Rankear las alternativas y seleccionar la ms adecuadaRecordando que el mtodo AHP es un mtodo que permite atribuir pesos donde valores numricos no pueden ser obtenidos directamente. Este mtodo trabaja a partir de una matriz donde se localizan las comparaciones entre pares, segn la importancia o preponderancia relativa que un elemento de la jerarqua tenga sobre otro. Se propone aqu modificar la escala de Saaty utilizando ahora nmeros triangulares o fuzzy.Un nmero difuso del tipo triangular () es usualmente representado como una tripleta (l,m,n) donde m, n y l corresponden al valor medio, y a los lmites superior e inferior respectivamente. Esta es la utilizacin que se emplear en el resto de este trabajo.En general para los nmeros triangulares difusos del tipo =(l,m,n), la funcin de membresa (x) est dada por la definicin mostrada abajo y puede ser representada como en la figura 1.

Explicamos a continuacin la operatoria entre nmeros triangulares (Chiu y Park, 1998). El producto entre dos o ms nmeros triangulares esta dado por

Por otro lado, la divisin entre dos nmeros triangulares o difusos est expresado por:

Mientras que el valor recproco de un nmero triangular (a, b, c) es (1/a, 1/b, 1/c). De la misma forma la potencia de un nmero triangular est dada por(a1, a2, a3)n = (a1n, b2n, c3n)De la figura 2 se puede apreciar que la importancia relativa entre dos elementos es gradual y no abrupta

Por otro lado, seanw1 = pesos expresados como nmeros triangulares donde n = 1, 2, ...... , nmero de atributoslos elementos de la matriz de comparacin aij sern una estimativa de la relacin wi/wj. Tenemos entonces la matriz:

Los juicios u opiniones segn la escala de Saaty se representan por nmeros difusos triangulares 1, 3, 5, 7, 9 donde la definicin de estos nmeros est dada en la tabla 3 y sus funciones de membresa en la tabla 2.

Sabemos que la matriz A tiene todas sus entradas valores reales y positivos. Tambin se debe cumplir que ij = 1 / ji. Por lo tanto A es una matriz recproca positiva.Seguidamente se procede a calcular el autovector, el autovalor y el ndice RC, considerando ahora que los elementos a ij son nmeros difusos o triangulares.Para estimar el autovector V de la matriz A se utiliza la siguiente ecuacin

Tenemos as

hasta

De esta forma se puede obtener el autovector Vi formado por n nmeros triangulares que tiene la forma:V = (V1, V2, ...Vn)Donde Vi es un nmero triangular de la forma (Vl, Vm, Vu)De la misma forma que en el AHP tradicional el autovector debe ser normalizado y posteriormente pasar por otro proceso de normalizacin para que la sumatoria de sus elementos sea igual a 1; para realizar esto basta con calcular la proporcin de cada elemento del autovector normalizado en relacin a la sumatoria de los elementos del autovector.

Donde T es el autovector normalizado y es utilizado para cuantificar y ponderar la importancia de las caractersticas o atributos en anlisis.Un paso o etapa importante del mtodo AHP es la prueba de consistencia de la respuesta dada por los especialistas, o sea si los datos estn o no lgicamente relacionados. El mtodo es semejante al utilizado cuando se utilizan los nmeros crisp.Se estima inicialmente el autovector, donde la estimativa est dada por

donde w es el nmero triangular que representa la sumatoria de las columnas de la matriz de comparaciones.Posteriormente se calcula el ndice de Consistencia (IC) a travs de la expresin:

Seleccin de mquinas de control numrico usando Fuzzy AHPSelection of numeric control machines using Fuzzy AHPOrlando Durn y Jos Aguil

Estudio de casoEn esta seccin, la metodologa propuesta anteriormente es aplicada a travs de un ejemplo numrico. Suponga que un grupo de analistas ha sido designado para evaluar tres alternativas de Mquinas Herramientas Automatizadas (Maq1, Maq2, Maq3). Este anlisis ser hecha considerando una serie de seis atributos cualitativos: Flexibilidad del Equipo, Facilidad de Operacin, Confiabilidad, Calidad, Facilidad de Instalacin y de Manutencin. Estos seis atributos sern referidos de aqu en adelante como AT1, AT2, AT3, AT4, AT5 y AT6 respectivamente. Una vez que los analistas han realizado las comparaciones paritarias se obtiene la siguiente matriz del tipo A. En esta matriz las relaciones de comparacin entre criterios ha sido hecha utilizando las escala de Saaty pero ahora con nmeros triangulares.

Note que esta matriz representa cuan importante es para un conjunto de decisores un determinad atributo por sobre otro en particular.A partir de esta matriz se debe calcular el autovector, el autovalro y el Indice RC. Ahora realizando las operaciones sobre los nmeros triangulares y que fueron comentadas en el apartado anterior.De esta forma se obtiene el siguiente autovector de nmeros triangulares:V = ((1,3 2,3 4,3) (1,9 3,6 5,6) (0, 3 0,4 0,6) (0,6 0,98 2,3) (0,8 1,4 3,0) (0,2 0,2 0,5))Antes de proceder a realizar las normalizaciones es necesario considerar un alcance en relacin con el ranqueo o comparacin de valores difusos. El objetivo de este ranqueo es definir cuales valores son mayores y menores, estableciendo un ordenamiento lineal entre los valores. Existen diversas formas para realizar esta ordenamiento, entre los que se destacan el mtodo del ordinal representativo, que esta dado por la siguiente relacin:

Donde A=(a1, a2, a3) es un nmero triangular. ser entonces el ordinal representativo de cada nmero triangular. El segundo criterio para ordenacin lineal consiste apenas en considerar el elemento central de la tripleta, o sea a2. El tercer mtodo utilizado tradicionalmente para la ordenacin lineal consiste en calcular la divergencia, o sea, la diferencia entre a3 y a1. Ser considerado mayor el nmero que para elementos a2 iguales tenga mayor divergencia.En nuestro ejemplo, se ha ocupado el primer criterio comentado anteriormente. Con esto se considera el segundo elemento del autovector como el mayor de ellos. Observe que segn el segundo criterio del valor central tambin este elemento es considerado como el mayor de los elementos del autovector. Recordemos que el mencionado segundo elemento de este autovector corresponde al AT2 que representa a la facilidad de operacin.Despus de las normalizaciones el autovector queda de la siguiente forma:V = ((0,03 0,26 2,42) (0,04 0,40 3,17) (0,01 0,04 0,34) (0,01 0,11 1,30) (0,02 0,16 1,70) (0,004 0,03 0,26))Para probar la consistencia de la respuesta, o sea, verificar que los datos estn lgicamente relacionados, Saaty propone la siguiente relacin

Donde el elemento w es calculado por la sumatoria de las columnas de la matriz de preferencias, o sea:W = ((2,6 5,0 10,4) (1,8 2,2 6,3) (19,2 27,3 36,0) (4,3 10,4 18,7) (3,5 7,7 14,7) (20,0 30,0 40,0))Podemos estimar el max obteniendo el siguiente nmero triangular

para la obtencin del Indice de Consistencia (escalar), proponemos utilizar el valor central del nmero triangular maxIC = (6,47- 6)/ 5 = 0,09Conjuntamente se procede al clculo de RC en funcin del ndice randmico retirado de la tabla sugerida por Saaty para el nmero de atributos igual a seis.De esta manera tenemosRC = 0,09/1.24 = 0,07 < 0,10 lo que indica la total consistencia de las evaluaciones o comparaciones expresadas en la matriz de comparaciones. De esta etapa se puede concluir que el vector de pesos o preferencias entre los atributos (autovector V) considerados en el anlisis representa las importancias otorgadas por los especialistas a estos atributos en el siguiente orden: AT2,AT1, AT5, AT4, AT3 y AT6.

Autovector para comparaciones entre mquinas segn los seis atributos considerados en el anlisis:VAT1 = ((0,1 0,2 1,0) (0,1 0,5 1,8) (0,1 0,3 1,4))VAT2 = ((0,1 0,3 0,8) (0,1 0,3 1,0) (0,1 0,3 1,2))VAT3 = ((0,2 0,4 1,2) (0,1 0,2 0,5) (0,1 0,4 1,0))VAT4 = ((0,3 0,6 1,1) (0,10,2 0,3) (0,1 0,3 0,6))VAT5 = ((0,1 0,3 1,0) (0,1 0,5 1,8) (0,1 0,3 1,2))VAT6 = ((0,2 0,5 1,3) (0,1 0,3 0,9) (0,1 0,3 0,8))Para la obtencin del ranqueo de las mquinas se multiplica el autovector relativo a las mquinas segn cada uno de los atributos por el autovector de la importancia de los atributos bajo anlisis (todos los elementos de estos autovectores son nmeros triangulares) obtenindose el vector final, que muestra el ranqueo para cada una de las tres alternativas de mquinas bajo anlisis, como se muestra abajo:

Realizada esta multiplicacin se ha obtenido el siguiente vector

Abajo se muestra el criterio de ordenamiento lineal que muestra que la mquina 2 es la ms apropiada para la seleccin segn los atributos considerados y su importancia relativa.Maq 1 2,43Maq 2 3,00Maq 3 2,77[anterior] [inicio] [siguiente]ConclusionesSe propone un mtodo de anlisis de inversin y seleccin de equipos de manufactura avanzada utilizando la metodologa AHP. Se ha incorporado a esta tecnologa el concepto de nmeros difusos de manera tal a mejorar la forma con que los especialistas puedan realizar las comparaciones entre pares de alternativas. La contribucin de este trabajo radica en la facilidad con que se operan los nmeros triangulares viabilizando as la resolucin de anlisis multicriteriales de manera robusta y consistente. En el ejemplo mostrado en este artculo la tcnica se ha aplicado a un caso dnde se debe seleccionar una mquina de comando numrico entre tres alternativas utilizando para esto un conjunto de seis atributos intangibles. Finalmente destacamos la utilidad de incorporar el pensamiento difuso a tcnicas de decisin debido a la posibilidad de expresar de manera ms natural factores intangibles e considerarlos entre las ventajas de adquirir determinada tecnologa. Futuros trabajos apuntan a la elaboracin de una herramienta computacional para el apoyo de este proceso y a aplicaciones en el campo de la industria.