eje 4 trig guia tp def

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA SEMINARIO UNIVERSITARIO

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS

EJE TEMÁTICO IV:

TRIGONOMETRIA. La casualidad favorece a las mentes entrenadas.

Charles Babbage (1792-1871)

COORDINADORA MODULO MATEMÁTICA: ING.DURE,DIANA ANALIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA MODULO DE

MATEMATICA

SEMINARIO UNIVERSITARIO

Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA

MODULO MATEMÁTICA- U. T. N. – F. R. Re. Página 2

GUÍA DE TRABAJO PRACTICO N°4: TRIGONOMETRÍA

A. Utilizar la calculadora para determinar el valor preciso de “ a ”: 1)cos α = 0,0001 2)sen α = 0,89 3)sen α = 0,32 4)cos α = 0,99999

B. Determinar sin calculadora y justificar: i) sen 52º =…………………… sabiendo que cos 38º es aproximadamente 0,78

ii) cos 14º =………..………… sabiendo que sen 76º es aproximadamente 0,97

C. Sabiendo que sen x = 0,83 y 0º ≤ x ≤ 90º, calcular: 1) cos x 2) sen (90º – x) 3) cos (90º – x) 4) ¿Cuánto vale x?

D. Completar la siguiente tabla

E. Calcular el valor exacto de x sin utilizar calculadora, mediante los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:

1) º60cosº30

º60º30

+−=

sen

sensenx 2)

( )º60cos

º45cos.2º451 2 +−= senx

3) º30tanº.45cosº.45

º30cosº.0cosº60º.90

sen

sensenx

+= 4) 1)º45()º45(cosº45tan 22 −+−= senx

F. Utilizando calculadora determinar, de ser posible, el valor de x en las siguientes expresiones:

1) 4433.0cos −=x 2) ´´52´45º120tan=x 3) ´33º20cot=x

4) ´40º35sec=x 5) ´41º130 cosec =x 6) 2833.1 =xsen

G. Verificar las siguientes identidades trigonométricas:

1) xsenx

xxcos.

1cottan =+ 2) ( ) 2cos)cos( 22 =−++ senxxxsenx

Grados

30°

135°

150°

240°

360°

75º

Radianes 3

4ππππ 4

π

π 3

6

11ππππ

4

5ππππ

ππππ4

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3) xxx

xxcossec

cos

)cos1)(cos1( −=−+ 4) xxxsenxsen 2424 coscos −=−

5) xx

22

costan1

1 =+

6) cos4α - sen4

α +1= 2 cos2α

7) sec4α - sec2

α = tg4α + tg2

α 8) ( ) αααα 222 cos2cos ecsenecsen +=−+

9) αα

αα

αeccos2

sencos1

cos1sen =+++

10) ααα

αcos

tggcoteccos =+

H. Completar el cuadro de acuerdo a los datos de la figura:

I. MAS VARIEDADES DE EJERCICIOS. 1. Si el triángulo ABC es isósceles con ACAB = y con base igual a 8 cm y altura igual a 11 cm. ¿Cuál

es la medida de sus ángulos? 2. Hallar, si existe, el ángulo α cuyo coseno es igual a 2. 3. ¿Qué sucede con el ángulo de un triángulo rectángulo si su coseno toma valores cada vez más

próximos a 1? 4. En cada triángulo rectángulo, determinen la medida indicada con la letra x.

J. SELECCIÓN MÚLTIPLE. Marcar la alternativa correcta.

1) Si sen α = 7

5 y α es un ángulo agudo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) cos α = 7

32 II) sec α =

6

3 III) cosec α =

5

7

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) Todas 2) Indicar con Verdadero(V) o Falso (F) ,el valor de la siguiente expresión ( sen245º + cos230º ):

Nº Lado A Lado B Lado C Ángulo αααα Ángulo ββββ Superficie Perímetro

1 10 m 40º 2 20 cm 52º 3 120 km 72º 4 200 m 300 m 5 120 cm 150 cm

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a) ( )232 +

b)( )

4

322

+ c)

4

5 d)

4

5

e) Ninguna de la anteriores (N.A.)

3) ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con que la tangente sea un valor negativo? a) 181º b) 335º c) 85º d) 0,52º e) 258º

4) Sabiendo que sen α = 5

3, entonces el valor de cosα + tg α - sen α es:

a) 1,55 b) 0,95 c) 1,45 d) 1,95 e) N.A. 5) En la cima de un cerro se ha levantado una antena de telefonía celular. Desde un punto ubicado en

el valle se miden los ángulos de elevación del extremo superior y la base de la antena. ¿Cuál es la altura del cerro si estos ángulos son 57º y 42º respectivamente y además la antena mide 80 m de alto?

a) 100 m b) 112,6 m c) 154 m d) 168,3 m e) N.A.

6) Si sen α =7

3, entonces el valor de la tgα es:

a) 3

7 b)

7

102 c)

20

103 d)

3

102 e) N.A.

7) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base si uno de sus lados mide 10

cm y uno de sus ángulos básales mide 30º. a) 0,05 cm b) 0,17 cm c) 12,3 cm d) 17,32 cm e) N.A. 8) ¿Qué altura tiene un puente si al medir la elevación a 50 m de uno de sus pilares es de 22º?

a) 18,7 m b) 46,3 m c) 20,2 m d) 19,2 m e)N.A.

PROBLEMAS

1. Se necesita instalar una torre de 50 m de altura. a) Calcular la longitud de la cuerda que une el extremo superior de la torre con

el punto de amarre (A) situado a 80 m de la base. b) Hallar el ángulo que forma la cuerda con la horizontal.

2. Dado un triángulo cuyos lados tienen las siguientes longitudes: 3 m, 4 m y 5 m respectivamente, hallar los ángulos del mismo. Graficar.

3. Resolver el siguiente problema utilizando las razones trigonométricas fundamentales. Una persona desde el punto A observa el extremo de un edificio con un ángulo de 30º. Si avanza 30 m en línea recta hacia la base del edificio, observa el mismo extremo con un ángulo de 50º.

a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Cuál es la distancia desde la medición del último ángulo hasta la base del edificio?

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4. Si 3

5=senA , determinar el valor exacto de los valores del cos A, de la tg A y de la sec A.

5. El viento quiebra un árbol y la punta se apoya en el suelo en

un punto situado a 20 m de la base del tronco formando un ángulo de 30º con el plano horizontal. ¿Qué altura tenía dicho árbol antes de quebrars

6. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece

comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 40 m de alto?

7. Una carretera se eleva 3 metros por cada 100 metros horizontales. ¿Cuál es el ángulo que ésta forma con la horizontal?

8. El siguiente gráfico representa un tobogán. Su escalera mide 2,40 metros y forma con el piso un

ángulo de 70º, y con la tabla para deslizarse, un ángulo recto.

i. Calcular la longitud de la tabla de deslizamiento. ii. Calcular el ángulo que forma la tabla de deslizamiento con el piso. iii. Explicar por qué los dos triángulos ABC y BDC son semejantes.

9. De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

10. De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

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11. Calcula la altura, h, de la figura:

12. Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.

13. Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

14. Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde

A = 45°, B = 72° y a=20m.

15. El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

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16. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

17. Existen camiones que poseen un sistema volcador que cuenta con un brazo movible que une la caja volcadora con el chasis. Mientras se realiza la operación de volcado, el brazo se extiende hasta alcanzar los 4 m de longitud, y su extremo superior se encuentra a una altura aproximada de 3,75 m con respecto al chasis. ¿Cuál es la amplitud aproximada del ángulo que forma el brazo con el chasis mientras se realiza el volcado?

18. El perímetro de un pentágono regular es 25 cm.

a) Halla la medida de cada lado y de cada ángulo central. b) Encontrar la medida de la apotema. c) Calcular el área.

19. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué di stancia del pueblo se halla?

20. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9

km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

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ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Problemas de medidas “sin medir”

1. Se quiere construir una pasarela sobre un río, apoyada en los puntos A y B, uno en cada orilla. ¿Cómo medir la distancia entre A y B?

El señor que está en la orilla de A puede construir un triángulo rectángulo imaginario ABC y medir el lado AC (es el único que puede medir directamente). Supongamos que mide 6 metros. ¿Podrá calcular ahora la distancia AB buscada?

2. Calcular la altura del árbol sabiendo que si el teodolito se

coloca a 5 metros de su pie, el ángulo de la visión hacia la punta del árbol es de 70º.

₪

Números de igual sign

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