RESISTENCIA COMPUESTA

1 m

15 Tn

1 m

26 Tn

20 cm

30 c

m15 Tn

26 Tn

1 2

4 3

M

Mx

My

ax

y

+

+

++-

-- -

Ejercicio 1: Hallar y graficar las tensiones s para la siguiente sección rectangular.

Procedemos a determinar los momentos máximos Mx y My, para lo cual recurrimos a la tabla

20 caso 3 y vemos que los M máximos se producen en el centro del tramo y valen: P. l/4

2 2 2 23 3

3 3 3 34 4

b . h 20 . 30 b . h 30 . 20Wx 3000 cm ; Wy 2000 cm

6 6 6 6

b . h 20 . 30 h . b 30 . 20Jx 45000 cm ; Jy 20000 cm

12 12 12 12

= = = = = =

= = = = = =

2 2 2 2

26 . 2Mx 13 Tm

4

15 . 2My 7,5 Tm

4

Mtot Mx + My 13 7,5 15 Tm

My 7,5Tgα = 0,57 α = arcTg 0,57 30

Mx 13

= =

= =

= = + =

= = Þ = °

LN

2

808

Kg/

cm

2

808

Kg/

cm

(+)

(-)

+

++

-

+-

--

4 3

1 2

x

y

t adm

21

Mx Myσ σ

Wx Wy

1300000 750000σ 808 Kg/cm

3000 2000

= ± ± £

= - - = -

b

Jx My 45000 7,5Tg β = 1,30 β = arcTg 1,3 52, 4

Jy Mx 20000 13� = × = Þ = °

2808 Kg/cm

280

8 K

g/cm

280

8 K

g/cm

2808 Kg/cm

258 Kg/cm

258 Kg/cm

LN

4 3

1 2

x

y

21

22

23

24

σ 433 375 = 808 Kg/cm

σ 433 + 375 = 58 Kg/cm

σ + 433 375 = + 58 Kg/cm

σ + 433 + 375 = + 808 Kg/cm

= - - -

= - -

= -

=

+

+

_

_

2 m

250Kg500 Kg/m

y

x

a250Kg

500Kg/m

Ejercicio 2: Dimensionar la siguiente viga con un perfil normal doble de alas angostas; determinar la posición de la línea neutra y la fmáx. Siendo sadm. = 1200kg/cm2, E = 2100000 Kg/cm2 y a = 30º

Se procede a determinar los momentos flectores Mx y My máximos en el empotramiento, de la tabla 20 casos 1 y 2 obtenemos

x max

ymax

P . l 500 . 2 . 2M = + p . cos α . l = + 250 . 0,866 . 2 = 1433 Kgm = 143300 Kgcm

2 2

M = P . l . sen α = 250 . 2 . 0,5 = 250 Kgm = 25000 Kgcm

My

Mx

1 2

3 4

+

--

-+

+

+-

Se realizan los tanteos correspondientes para ver qué perfil hay que adoptar. El primer tanteo puede realizarse del cálculo por flexión plana originada por la componente del momento flector que requiere mayores dimensiones.

3xx

M 143300W = = 120 cm

σ 1200=

En la tabla de perfiles comprobamos el perfil doble te inferior más próximo; vemos que

para nuestro caso corresponde un perfil Nº 18, para el cual:

Wx = 161 cm3; Jx = 1450 cm4 Wy = 19,8 cm3; Jy = 81,3 cm4

ymax 2x maxmax

x y

MM 143300 25000= + = + = 2152,68 kg/cm No verifica

W W 161 19,8σ

Como podemos ver no verifica, por ende vamos a adoptar un perfil Nº 24, para el cual: Wx = 354 cm3; Jx = 4250 cm4 Wy = 41,7 cm3; Jy = 221 cm4

ymax 2x maxmax

x y

MM 143300 25000= + = + = 1004 kg/cm

W W 354 41,7σ Verifica

En los puntos 2 y 3 se producirán las tensiones normales máximas.

21

22

23

24

143300 25000= + = 1095 kg/cm

354 41,7

143300 25000= + + = +1004 kg/cm

354 41,7

143300 25000= = 1004 kg/cm

354 41,7

143300 25000= = +195 kg/cm

354 41,7

σ

σ

σ

σ

- -

- - -

- +

El ángulo que forma la línea neutra con el eje x será:

maxyx

y max

MJ 4250 250tgβ = = = 3,35 β = 73,38°

J M 221 1433x

Ø × Þ

En la figura está trazada la línea neutra nn y el diagrama de la tensión normal s.�

�

y

xb

n

n2

1004 Kg/cm

+

--

-

++

+-

2

1004 Kg/cm

Para determinar la flecha máxima vemos que la misma se va a producir en el extremo libre de la viga, para determinarla vamos a la tabla 20 (casos 1 y 2) y obtenemos:

máx

máx

máx máx

3 3y

x

y

33 3 3x(q)x

y

x x

2 2 2 2max x y

P l 216,5 200f = = = 1,24 cm

3 E J 3 21000000 221

P lP l 125 . 200 500 2 200f = + = + = 0,15 cm

3 E J 8 E J 3 21000000 4250 8 2100000 4250

f = f +f = 1,24 +0,15 1,25 cm

forma u

� ×

× × × ×

×× × ×

× × × × × × × ×

=

m¿x

máx

x

y

n ángulo ´con el eje y, para el cual:

f 1,24tg ´ = 0,99 ´ 44,75º

f 1,25

b

b = = Þb =

Ejercicio 3: Las correas de una cubierta están separadas 2 m y tienen una inclinación de 25º respecto de la horizontal. La separación entre armaduras es de 4 m y la carga total es igual a 200 kg/m2. Se pide dimensionar la correa con un perfil normal doble te de alas angostas Siendo sadm.= 1400 Kg./cm2

La carga correspondiente a cada correa será: q = 200 kg/m2 x 2 m = 400 Kg/m La correa se considera simplemente apoyada entre dos reticulados continuos, por lo tanto el momento flector máximo será:

2 2

max

q l 200 4M 800 kgm

8 8

� ×= = =

2 m

16 m

Correa

Cubierta

25°

2 m

16 m

4 m Correas

ReticuladoCarga por Correa

PLANTA

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

Determinamos los Mx y My máximos:

x

y

M 400 x cos 25° = 362,52 kgm

M 400 x sen 25° = 169,04 kgm

=

=

ymaxx maxmax adm

x y

max adm

x y

MM= +

W W

36252 16904= +

W W

σ σ

σ σ

Ä

£

De la tabla 2 adoptamos un IPN 16: Wx = 117 cm3

Wy = 14,8 cm3

2max

36252 16904= + = 1452 Kg/cm No verifica

117 14,8σ

Adoptamos un IPN 18: Wx =161 cm3

Jx = 1450 cm4 Wy = 19,8 cm3

Jy = 81,3 cm4

2max

36252 16904= + = 1079 Kg/cm Verifica

161 19,8σ

Mx

25°

La correa se considera simplemente apoyada entre dos reticulados continuos, por lo tanto el momento flector máximo será:

2 2

max

q l 200 4M 800 kgm

8 8

� ×= = =

y

xa

pc

a

y

xa

pc

a

25°

My

M = 800 Kgm

Determinamos la inclinación de la línea neutra:

y maxx

y x max

MJ 1450 16904tg 0,8323; = 39,77

J M 81,3 362252b = × = × = b °

La flecha máxima valdrá:

máx

máx

máx máx

3 3

y

x

3 3

x

y

2 2 2 2max x y

5 P l cosα 5 400 4 400 0,9063f = = = 0,39 cm

384 E J 384 21000000 1450

5 P l sen α 5 400 4 400 0,4226f = = = 3,30 cm

384 E J 384 21000000 81,3

f = f + f = 0,39 + 3,30 = 3,32 cm

� × × × × × ×

× × × ×

× × × × × × ×

× × × ×

Ejercicio 4: Dada la siguiente viga. Determinar:

� smax, smin.

� La posición de la línea neutra. � Dibujar el diagrama de tensiones σ.

� tmax

� Dibujar el diagrama de tensiones τ. � fmax. � E = 2100000 Kg/cm2

y2 m

x20Tn

2Tn

1Tn

90°

15 cm

25 c

m

15 cm

25 c

m1 Tn

2 Tn

20Tn

1 2

4 3

N Mx

Myx

y

++

++-

-

--

+++

+

Qy

Qx

Determinamos los esfuerzos característicos. Qy = 2 Tn Qx = 1 Tn N = 20 Tn Mx = 2 x 2 = 4 Tm. My = 1 x 2 = 2 Tm

M

Mx

My

Determinamos las características geométricas de la sección. F = b h = 15. 25 = 375 cm2

2 2 2 23 3

x y

3 3 3 34 4

x y

b h 15. 25 b h 15 . 25W = = = 1562,5 cm ; W = = = 937,5 cm

6 6 6 6

b. h 15. 25 b . h 15 . 25J = 19531 cm J 7031 cm

12 12 12 12= = = = =

Hallamos los valores máximo y mínimo de σ con la expresión yxmax,min

x y

MMN

F W Ws = ± ± ±

Reemplazando valores tenemos max,min

20000 400000 200000

375 1562,50 937,50s = ± ± ±

l.n

x x

y

y

252

3 K

g/cm

1 2

3 42416 Kg/cm

296 Kg/cm

210 Kg/cm

21

22

23

24

σ = 53,33 + 256 + 213,33 = + 523 Kg/cm

σ = 53,33 + 256 - 213,33 = + 96 Kg/cm

σ = 53,33 - 256 + 213,33 = + 10,66Kg/cm

σ = 53,33 - 256 - 213,33 = - 416 Kg/cm

2523 Kg/cm

+

_

+

+

296

Kg/

cm

241

6 K

g/cm

+

_

x

y

3 4

x

y

1 2

l.n

1,87 cm

2,60

cm

Ahora se procede a dibujar el diagrama igualando a cero σ en la expresión:

yx

x y

MMNy x

F J Js = ± ± ±

Reemplazando valores tenemos

20000 400000 200000

375 19531 7031

0 53,33 + 20,48 28,45

0 2,60

0 1,87 cm

s = ± ± ±

= +

= ® =

= ® =

y x

y x

x y cm

y x

2

416

Kg/

cm

2

523

Kg/

cm

_

+

Determinación de las tensiones tangenciales. Para determinar las tensiones t utilizamos

la fórmula Q × S

= J × b

t

x

y

22

x max

y 2max

22

y

2xmax

b h S = - y ; el se da cuando y = 0

2 4

Q3 3 2000= 8 Kg/cm

2 b×h 2 15×25

h b S = - x

2 4

Q3 3 1000= 4 Kg/cm

2 b×h 2 15×25

ß ötç ÷

è ø

t = =

æ öç ÷è ø

t = =

x

y

3 4

x

y

1 2

28 Kg/cm

24 Kg/cm

Para determinar la flecha máxima recurrimos a la tabla Nº 21; tenemos:

x

y

3 3y 2

max

x

3 32x

max

x

2 2 2 2max x y

P ×l 1000 × 200f = 0,06 Kg/cm

3×E×J 3 × 2100000 × 19531

P ×l 2000 × 200f = 0,36 Kg/cm

3×E×J 3 × 2100000 × 7031

f f f 0,006 0,36 0,36 cm

= =

= =

= + = + =

x

y

z

5cm

20 cm

30 c

m

7,5cm

20 Tn

1 2

4 3

NMx

My

x

y

++

++-

-

--

+++

+

x

y

h 30M P = 20 150 Tcm

4 4

b 20M P = 20 100 Tcm

4 4

N 20

= - × - × = -

= - × - × = -

= Tn

Ejercicio 5: Dada la siguiente pieza sometida a una fuerza P = 20 Tn. Se pide determinar las

tensiones s�y graficar las mismas.

Para hallar la posición de la línea neutra y graficar la misma vamos a utilizar tres métodos:

1. Determinando los valores de las tensiones en los puntos 1, 2, 3 y 4.

2. Igualando a cero la ecuación de s para determinar x0 e y0.

3. la expresión dada en el apunte para determinar los puntos x0 e y0, que son los

intersectores de la línea neutra.

233 Kg/cm

233 Kg/cm

267 Kg/cm

233

Kg/

cm

213

3 K

g/cm

267

Kg/

cm

233

Kg/

cm+

_

+

_

_

_

1 2

4 3

x

y l.n

1. Determinando los valores de las tensiones en los puntos 1, 2, 3 y 4.

yx

x y

2 2 3 33 4

x x

2 2 3 33 4

y y

MMN

F W W

b h 20 30 b h 20 30donde: W 3000 cm J 45000 cm

6 6 12 12

h b 30 20 h b 30 20W 2000 cm J 20000 cm

6 6 12 12

20000 150000 100000Tenemos:

600 3000 2000

σ

σ

= - ± ±

× × × ×= = = = = =

× × × ×= = = = = =

= - ± ±

�s1= –33 – 50 + 50 = –33 kg/cm2

�s2= –33 – 50 – 50 = –133 kg/cm2 �s3= –33 + 50 + 50 = 67 kg/cm2

�s4= –33 +50 – 50 = –33 kg/cm2

2. Igualando a cero la ecuación de s para determinar x0 e y0.

150000 1000000 33

45000 20000

0 33 3,33 5

y 0 6,60 cm

0 9,91 cm

= - - -

= - - -

= ® =

= ® =

y x

y x

x

x y

Como podemos ver los valores hallados por la expresión dada en el apunte para determinar los

intersectores x0 e y0 da valores muy similares a los hallados igualando a cero la ecuación de s

para determinar x0 e y0.

3. Utilizando la expresión del apunte.

22 2x x

0 x 0

p

2y y2 2

0 y 0

p

i J 45000 75y ; i = 75 cm y 10 cm

y F 600 7,5

i J 20000 33,33x = ; i = 33,33 cm x 6,66 cm

x F 600 5

= - = = Þ = - =

- = = Þ = - =

+

_

2

133 Kg/cm

2

67 Kg/cm

1 2

4 3

x

y

6,60 cm

10 c

m

l.n N/A