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PREFACIO
El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en el apoestudiantes y todos los interesados en general en la enseanza y las estructuras isostticas, las cuales en conjunto representtrascendental en la disciplina denominada anlisis estructuconstituye uno de los pilares ms importantes de la carrera de Ingotras como Ingeniera Mecnica, Ingeniera Aeronutica y Arquite
Una estructura es el conjunto de elementos resistentes, cvinculados entre s, que accionan y reaccionan bajo los efectos dfinalidad es resistir y transmitir cargas a otros elementos y a los amodo garantizar su correcto funcionamiento. Los requisitos o exque una estructura debe cumplir son: equilibrio y estabilidad.
Se entiende por anlisis de una estructura al proceso sistemtico
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CONTENIDO
CAPTULO 1. ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINAD
1.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE FUERZDE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO .....................................
1.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO. TR
PENDIENTE Y CURVA ELSTICA CON EL MTODO INTEGRACIN..............................................................................
1.3. TEOREMA DE CASTIGLIANO ....................................................
CAPTULO 2. ANLISIS DE MARCOS ESTTICAMENTE DETERMIN
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CLCULO DE LAS FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE, NORMAL Y DE MOMENTO FLECTOR EN UN MARCO ISO
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, HeGarca Pascual2, Berruecos Sergio1
1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco, In
Nacional, Distrito Federal, Mxico.
2. Facultad de Estudios Superiores Aragn, Universidad Nacional AutNezahualcyotl, Estado de Mxico.
MARCO PROPUESTO A RESOLVER
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soporte , por ser un rodillo, se genera una fuerza reactiva perpendicdeslizamiento, mientras que el soporte
por ser articulado tiene dos inc
(una horizontal y una vertical), = 4ya que hay cuatro nodos ; ; ;haber condiciones impuestas por la construccin.CLCULO DE LAS REACCIONES EN LOS SOPOR
Diagrama de cargas.Se muestra en la prxima figura. Se han definidopositivos a los ejes
y
ms convenientes para aplicar las ecuaciones
estructura; en esta ocasin, las columnas son prolongadas hasta su punto(ms adelante se explicar la razn). Para la carga triangular y la carga con
por la funcin logartmica, deben calcularse su rea bajo la curva, respec
del centroide de sus reas correspondientes. Por otra parte, se identifica c
en los soportes suponiendo su sentido arbitrariamente. Es necesario desc
concentrada equivalente y a la reaccin , individualmente, enrectangulares horizontal y vertical
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sin
= 561 ;cos
= 661 ;tan
=56
A continuacin se efecta un anlisis de las cargas distribuidas. Para la
tiene que la carga concentrada equivalente es
=7.8102(8 )2 = 31.241y su punto de aplicacin se localiza a una distancia de
=23 7.8102= 5.2068Las componentes rectangulares horizontal y vertical de la fuerza resu
triangular son
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=
1 = 1 21 = 1La integral que obtuvimos, + , es ms sencilla que la original pobvia, as que efectuamos lo siguiente para resolverla:
1 = 1 Esta ltima integral es del tipo
= +2 1 2
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= 1
=1
2tan
El centroide del rea se determina con la siguiente expresin matemtica= =
= (1 )(1 )
El denominador ya fue resuelto.
Resolviendo el numerador tenemos (1 ) La integral en forma indefinida es
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Sustituyendo = 1 en la ecuacin anterior se obtiene(1 ) =12 1 1 1
As, tenemos
(1 ) = 12 1 1 1 = 7
Finalmente, la lnea de accin de la resultante est localizada a una distan
=73.300616.242 = 4.513Ecuaciones de equilibrio. La aplicacin de las ecuaciones de equilibsecuencia permite una solucin directa para cada una de las incgnitas. Si
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=
56
=65
=65 9.0089= 10.8107Las resultante es= ()=9.0089 10.8107= 14.
La reaccin faltante se puede conocer al plantear que la suma de fuerzas
= 0 10.8107 20 16.242 = 0 =Como comprobacin, la suma de momentos con respecto al puntoparadebe ser igual a cero.
=244 203.3333 16.2429.513 43 25.431
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o donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, pero ahora t
una de sus componentes, actan en la direccin del eje del miembro do
cambio en la geometra de la estructura tambin puede provocar unfunciones de las acciones internas. De acuerdo a lo anterior, podemo
tramos distintos en la estructura: , , y . Las funciointernas deben determinarse para cada uno de esos tramos; ello implic
cortar a la estructura a travs de secciones arbitrarias ubicadas en las regi
En el ltimo esquema se han especificado las coordenadas
por separ
asociados. Las coordenadas , y que tienen sus orgenes en , ydentro de las regiones desdehasta para , de a para , y de ade la flechita indica el sentido positivo de la coordenada, por tanto, es py a la derecha, es positiva hacia la derecha y es positiva hacia arribade cuerpo libre para un segmento de la estructura, los elementos m
actuando en sus direcciones positivas y sus expresiones algebraicas se ded
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=61,= 81.3333 . = 0 1.02432 = 0 = 0.512 = = 0.512148
= 0
14.0724 = 0
= 14.072MIEMBRO .La distribucin de la carga que se extiende sobre este miembro no presen
as que slo es necesario realizar un corte perpendicular al eje del miemb
Corte en el tramo . Se representa el diagrama de cuerpo libre coi i i d d l t t d l t l l
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[ 1 2 ] 1 1
2
1 2= 12 12 2 32 9.18= 0, = 81.3339. ; = 7, = 186.05 = 0 10.8107 20 { 1 2tan = 1 2 2 9.189
= = 1 2 2
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Corte en el tramo . Se secciona la estructura en un punto arbitrarisegmento
) a una distancia
de
; el diagrama de cuerpo libre
segmento inferior de la estructura y su anlisis son3 6 = 0 29.0089
= 33.0089 12
= 0, = 87.0267;= 6, = = 0 4 29.0089 = 0
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
CURVA ELSTICA DE UNA VIGA CON LA INDITA FUSIN DE
INTEGRACIN DOBLE Y TRABAJO VIRTUAL
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, He
Garca Pascual2, Berruecos Sergio1
1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco, In
Nacional, Distrito Federal, Mxico.
2 Facultad de Estudios Superiores Aragn Universidad Nacional Aut
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los soportes
Diagrama de cargas.Al analizar la carga trapezoidal, es conveniencarga uniforme y una carga triangular. Se construye la tabla qucontinuacin.
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
El diagrama de cargas mostrado se completa identificando las rsoportes proponiendo sus sentidos arbitrariamente.
Ecuaciones de equilibrio.+ = 0 32 121 + 9 8 6 + 3 = 0
1 /2/
3
3
2 6
1
6 / = 92 = 1 2
= 83 = 1 103
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Corte en el tramo . Se secciona la viga a una distanciapunto
, es decir, antes del punto de intensidad de
2/de la pre
En consecuencia, el diagrama de cuerpo libre de la seccin cortaesttico son
0 2 +=
= 6 2 3 = = = 6 Corte en el tramo . Se secciona la viga en un punto ubique justo despus de que comience la carga trapezoidal distr
3
16
/
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
A continuacin se hace el anlisis de la carga trapezoidal distribui
= 2 73
16 =
73
16
143 +
13 =
16
+ = 2 2 73 16 2 = 2 13 + 16 2 = 13 + 16 = 112 13 + 13
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= = 112
+ 73
133
y el centroide a travs del cual acta es
= = 18 + 43 143 + 409 112 + 73 133 a la derecha de B,
+ = 0 3 62 12 2 + 2+2 12 + 73 133 2 18 + 43 143 + 409 112 + 73 133
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
+ = 0 3 62 12
2 + 6 + 8 + 2 296 83 + 8 + 1 . 5 8 = 0 = 3 + 1 2 1 2 4 5 + 2 2 . 5 + 4 2 9 + 1 . 5 1
=
= 0Clculo del momento mximo de cada tr0 2
Para hallar la posicin del momento mximo en la regin ha3 1
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Realizando una comparativa, el momento mximo para toda la vig
= 1 8 y se presenta en el punto
= 2; la posici
de.Ecuaciones de la pendiente y la deflexin usando e
integracin directa
Aplicando la ecuacin diferencial
= e integrndola dos veces en cada tramo se obtiene0 2
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
=
= 3
= 3 =, = 3 +
= 3 + = 32 + + Mtodo del trabajo virtual unificado con el mtodo d
doblePara calcular las seis constantes de integracin anteriorescondiciones, primero dos de frontera y luego cuatro de continuidaalgn apoyo en , la viga puede desplazarse verticalmente y giraque, 1 = ? = 0y 2 = ? = 0. Luego, por continuique en en en
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
+ = 0 + 16
= 0 = 16
+ = 0 = 0Es necesario efectuar tres cortes en la viga anterior.
- Seccin cortada en el primer tramo.
0 2
+=0 + 1 = 0 =- Seccin cortada en el segundo tramo.
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
+1
3
0
Resolviendo integrales por separado se tiene1 3 31 = 1 3 3 = 1 [ = 1 [2 0 32 2 0] = 14 1 136 76 + 716 3359 16 + 43 = 1 1216 + 33554 + 127 149 + 1429 134027
= 1 1 + 25 127 + 1187 1340
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Momentos virtuales .El desplazamiento vertical en se obtiecarga virtual unitaria en ese punto; su sentido se propone hacia ab
cargas reales son removidas y que debe usarse la misma coorestructura real. Despus de calcular las reacciones en los soportel mtodo de las secciones para formular los momentos internos
+ = 0 12 + 6 = 0 = 13 1 4
1
2 6 1
= 43 = 13
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Ecuacin del trabajo virtual.Entonces el desplazamiento vertical
1 = 1 = 1 3 3
+1
1
36
76
+716
3359
13
83 +
1
Resolviendo integrales por separado se tiene1 3 3 = 1 3 + 3 = 1 [34 = 1 [34 2 0 + 2 0] = 20
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Sustituyendo la condicin 2en la ecuacin da 1965 = 0 32 0 + = 1965 Sustituyendo la condicin 1en la ecuacin tenemos
3525 = 14 0 12 0 + 1965 0 + =Aplicando la condicin
3se obtiene
32 + = 1144 718 + 7112 3359 + , 2 32 2 + 1965 = 1144 2 718 2 + 7112 2 33591 7 3 71 335 1
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
En consecuencia, las ecuaciones de la pendiente y la deflerespectiva en cada tramo son
0 2 = 32 + 1965 = 14 12 + 1965 3525 2 8
= 1144 718 + 7112 3359 + 355445 = 1720 772 + 7136 33518 + 355445 88 9 = 3 + 66
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
=4.4635 32.9882
2 =2.231752.87174 = 4.4635+ 32.98822 =2.23175+2.87174Obsrvese que de las tres soluciones anteriores ninguna pertenedistancia analizado de la viga 0,2, por lo que la flecha mximael extremo donde no est el apoyo, as que = 0. Entonces, = 14 0 12 0 + 1965 0 3525 = 3525 = 70.42 8
= 0 = 1144 718 + 7112 3359 + 355445 1 7 71 335
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
7.66660+3.8122 7.666603.81Note que de las cuatros soluciones anteriores, la nica que est de
de distancia analizado de la viga 2,8es , as que =tanto, = 1720 4.26119 772 4.26119 + 7136 4.26119
+ 3554
45 4.26119 880
9 ma
23.32049531
ma
8 9 = 0 = 3 + 665 =6653 =4.4
Como est fuera del intervalo del intervalo de distancia anal
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
FUNCIONES DE LAS ACCIONES INTERNAS EN UNA VIGA
ENTRE OTRAS CARGAS, UNA DISTRIBUIDA IRREGULARMEN
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, He
Garca Pascual2, Berruecos Sergio1, Palomino Alex Hen
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
SOLUCIN
Clculo de las reacciones en los apoyos
3/
2/
3/
1/ 2/
1 2 1 1 1 1 1
34
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
2 = 8+ 8+8+ 8+ 8 +
2 = 32768 + 4096 + 512 + 64 + 8 + 0 = 9+ 9+9+ 9+ 9 + 0 = 59049 + 6561 + 729 + 81 + 9 + Expresando el sistema simultneo de ecuaciones en forma matric
(
1024 256 64 16 4 13125 625 125 25 5 17 7 7 6 1 2 9 6 2 1 6 3 6 6 11 6 8 0 7 2 4 0 1 3 4 3 4 9 7 13 2 7 6 8 4 0 9 6 5 1 2 6 4 8 15 9 0 4 9 6 5 6 1 7 2 9 8 1 9 1) (
) =
023120)
Resolviendo el sistema resulta
1024 256 64 16 4 1 0 0
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= =
= 16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +.= 136 + 1615 40124 + 1363891000 24434 + 142
= 136 4.45
4.00
+1615 4.45
4.00
40124 4.45
+ 1363891000 4.45 4.00 24434 4.45 4.00 +14224.454El signo negativo indica que la resultante acta hacia arriaplicacin es
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que acta hacia aque se extiende de 4.45a 9. La fuerza resultante es
= = = 16 5+ 1634 4016 3+409.16721221.5+
.= 136 + 1615 40124 + 1363891000 24434 + 1422
= 136 9
4.45
+1615 9
4.45
40124 9
4.4+ 1363891000 9 4.45 24434 9 4.45 +142294.45y su punto de aplicacin es
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
- Para = 7
=3
+ 4
= 5
sin=45 ;cos=35
- Para = 5=1+ 1=2sin= cos = 12
34
11
sin=
7 = 7sin= 7 4
5 = 5
cos=7 = 7cos= 7 35 = 4
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas p
incgnitas y y usando una convencin de signos arb+ = 0 4.2 3.53553 = 0 = 0.6+ = 0 5.63 0.121.083 +8.873.685 6 +3.5 = 7.34
+ = 0 5.6 4.5 + + 0.12 8.87 + 7.34 3.53553 = 0 La fuerza reactiva vertical del soporte en tambin se puede momentos alrededor de .
+ = 0 3.535532 8.872.315 4.56 +0.124.917 +
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Se ha definido una sola coordenada para toda la viga, por lo qtoda la regin 0 11, su origen ha sido asociado ehacia la derecha.
Corte en el tramo . Se secciona la viga en un punto arben el segmento ) a una distancia del punto . Se proporcde cuerpo libre del segmento de viga con longitud . Al aplicar laequilibrio se tiene
0 1
+ = 0 5.6 = o tambin34
=5.6
+ = 0 5.6 =
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
y su punto de aplicacin es
=1
3 1
Por lo tanto,
+ = 0 5.6 12 13 1 2= 5.6 16 13= 5.6 16 [3 321 + 312
= 5.6 16
3
+ 3 1= 16
+12
6.1 ++ = 0 5.6 12 = 0= 5.6 21 + 12 = 5.6 12 + 12= 12
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
+ = 0 5.6 + 15.0456 3 12 13
= 5.6 +15.0514 45.1542 16 + 12 2 += 16 + 12 +8.9456 44.9701
+ = 0 5.6 1
2 +15.0456= 0 3= 1
2o tambin= =
16 + 12 +8.9456 44.9701 = 12 +
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= 16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +
= 136 + 1615 40124 + 1363891000 24434 + 1422 y su lnea de accin est localizada a una distancia de
= 1
65+ 16
34 401
6 3+409.1672 1221.5 +
16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +Resolviendo el numerador tenemos
1 16 401
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= 136 6+1615 540124 4+1363891000 324434 2 + 1422
o tambin
= = 1252 7+ 845 6 401120 5+ 1363894000 4 244312 3+ 7112 13
= 136 6+ 1615 540124 4+1363891000 324434 2 + 1422 + = 0 = 4.2Corte en el tramo . Se secciona la estructura en un(intermedio en el segmento ) a una distancia de ;5
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= 16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5.
16
5
+163
4
401
6 3
+409.1672
1221.5 +
.Resolviendo el numerador tenemos
16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +
.
16 6+ 163 5 4016 4+409.1673 1221.52+14
. 142 + 89 40130 + 4091674000 24436 + 711 106El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,
1 8 401 409167 2443
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PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
REFERENCIAS
1. R. C. Hibbeler. Anlisis estructural. Editorial Pearson.
2. Gonzlez Cuevas. Anlisis estructural. Editorial Limusa.
3. Selva Colindres Rafael. Dinmica de suelos y estructurasingeniera ssmica. Editorial Limusa.
4. Magdaleno Carlos. Anlisis matricial de estructuras reticulares
5. James Stewart. Clculo de una variable: Conceptos y co
CENGAGE Learning.
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