Los Problemas de Esbeltez en el Diseiiode Columnas de ConcretoEI presente es el primero de una serie de articulos en los cuales se pretendeestudiar los problemas de segundo orden en el diseiio de columnas, la ra-zon de las expresiones que proponen los reglamentos, y de paso los proble-mas de inestabilidad estructural de porticos y estructuras elementales.

Luis Guillermo AycardiProfesor AsociadoUniversidad Nacional

Sin entrar en discusiones sobre lossignificados y ventajas de los diver-sos metodos que han ven ido em-pleandose para tener en cuenta laesbeltez en el disefio de Columnas,nos limitaremos al anal isis del rneto-do del momento incrementado, queconsiste en seleccionar la armaduracomo si se tratara de una columnacorta, con una carga axial iqual a lacarga obtenida del anal isis, y con unmomento igual al obtenido tarnbiendel anal isis pero multiplicado porun factor 0 mayor que la unidad ycuva expresi6n es;

0= c~-~m cppcr

En esta expresi6n Cm es un valorque depende de las condiciones enlos extremos de la columna, Pu es lacarga que la columna tiene que so-portar. afectada de su factor de car-ga, ;z5 es el coeficiente de reducci6ncorrespondiente sequn el fen6menoconsiderado tal como se propone enel ACI y, Per es la carga crftica depandeo de la columna.

Parece pues conveniente y necesarioplantear algunas discusiones sobre elfen6meno de pandeo de columnas,en vista de que la carga cr (tica apa-rece en esta expresi6n.

Por otra parte, la intenci6n es pre-sentar expresiones mas sencillas ypractices para calcular la carga cr Iti-ca y aclarar la relaci6n existente en-tre la expresi6n del factor de incre-mentos 0 y los problemas de consi-deraci6n de los lIamados efectos

P - ~ en una estructura, 0 sea, losincrementos de momentos que sepresentan porque las fuerzas hori-zontales originan desplazamientoslaterales, los cuales facilitaran a suvez la presencia de momentos adi-cionales producidos por las cargasverticales P como se observa en lafigura 1.

P3

V2 A3--. t--+------l ---' -'I(

Fig. 1Adicionalmente consideramos queen nuestro medio es benefice unadiscusi6n sobre los problemas depandeo porque por ser poco fre-cuentes en el caso de estructuras deconcreto, no reciben con frecuencianuestra atenci6n especial. Por la an-terior raz6n iniciemos la discusi6npor el problema mas elemental deinestabil idad.

LA COLUMNA ARTICULADAEN LOS EXTREMOS

Se trata de una columna sometida acompresi6n PERFECTAMENTEAXIAL, articulada en sus extremosy si ello fuera posible, PERFECT A-MENTE RECTA. ~

33

�Consideraremos edemas que el ma-terial de la columna es PERFECTA-MENTE HOMOGENEO, y si bienes cierto que en estas condicionestan ideales la mayoria diria que lacolumna esta en posicion de la figu-ra 2a, vamos a investigar LA POSI-BILIDAD de que persista el equili-brio en la posicion deformada de lafigura 2b.

P

Fig.2

P(a) (b)

En otras palabras. la intencion esplantear las condiciones de equili-brio en una posicion deformada,para una columna perfectamenteideal sin irregularidades de ningunaespecie ni en su geometria ni en sumaterial ni en la aplicacion de lascargas.La ecuacion de equilibrio en estecaso es;

EI y"='M =- Py

EIv" +p =0y

Y si K2=-P- y"+k2y=0EI

La solucion de esta ecuacion dife-rencial lineal de coeficientes es;

y = C1 cos Kx +C~ Sen KxEn esta expresion deben deterrni-narse los coeficientes C, y C2 sequnlas condiciones de borde, las cualesen nuestro caso son:

x=~Para 0=C1y=o

y para ; ~ ~} ?= C2 Sen H K

En este caso se presentan dos posi-bilidades:

a) C2 = 0, 10 cual implica y=O 0 se,a lacolumna es perfectamente recta.

34

b) Sen KH=O y C2 cualquier valor, 10cual implica KH=mr 0 para el menor valorKH = 11" 0 sea \(f)T _ 11"

VTI - 11

es decir:

y

A este valor de la menor carga parala cual existe la posibilidad de equi-librio en una posicion deformada,10 Ilamamos la carga critica 0 cargade pandeo elastico de la columna.

11"2 EIP =---cr H2Notese que para este valor de P ladeflexion lateral puede ser cero por-que C2 = 0, pero tarnbien puede te-ner cualquier valor, va que C2 pue-de tener cualquier valor como se di-jo. La expresion Pvs y seria como seindica en la fig. 3a.

P P

to de esta columna ideal resulta co-mo en la fig. 3b (Ref. 1), en la cualaparecen simplemente grandes de-flexiones laterales sequn la magni-tud de la carga.

Aqu i se inicia toda la discusion dela variacion de modules de elastici-dad y dernas factores que no sondel caso analizar por el momento.Sin embargo, conviene resaltar lospuntos sigu ientes:

1. La condicion de pandeo no sepresenta porque hava irregularida-des de alguna c1ase; el fenornenocorresponde a condiciones perfec-tamente ideales.

2. La carga de pandeo depende so-lamente del rnodu 10 de elasticidady de las caracteristicas qeometricasde la seccion. No tiene que ver nadacon el esfuerzo que el material estasoportando.

Pcr

/./

./Pcr ~-...::::....;_- _

y y //

(a) (b)

Fig. 3

~:PEn el calculo precedente ha existidouna sirnplificacion al partir de la ex-presion Ely " =M -- ..Porque en ella se ha consideradoque el radio de curvatura es R 1

RZ y"siendo que en verdadR = [1 + y I 2 ] 312

1 + v"pero argumentando que si se tratade deflexiones pequefias y' es igual-mente pequefia y entonces

2[ 1 + yl ] 3~ = 1

Fig. 4

3. Por 10 comentado en el pun to 2podria inclusive presentarse pandeoen casos en los cuales el material es-ta sometido a esfuerzo de tracciony no de compresion. como ser ia elcaso que corresponde a un tubo se-

Si se trabajara con la expresion com- Ilado en sus extremos y sometido apleta, la qrafica del comportamien- ,una presion interna p. (Fig. 4a).

Esta presion produce esfuerzos lon-gitudinales de Traccion In los cua-les se pueden hacer tan grandes co-mo para que sean mayo res que loslt2 que produce la carga exterior.

1T2 E IP=-- (Fig.4(b))

L2

A pesar de esta circunstancia, es de-cir, inclusive teniendo esfuerzos detraccion y no de cornpresion la car-ga de pandeo

1T2 E IP=---

L 2 resultara inalterada.

LA COLUMNA CONDESVIACION LATERAL

INICIAL

Consideremos ahora el caso de unacolumna que no es perfectamenterecta, sino que presenta una desvia-cion lateral inicial v . la cual parasimplificar las expresiones materna-ticas vamos a suponer

_ 1TXVI -VoSent=r" P(fig. 5 (a))

Fig. 5Yo

YI

(b) t PAI apl icar la carga P, la columnaadoptara la posicion y de la fig. 5b,de tal manera que se pueda escribir:EI tv" - VI') = - Pv :. EI v" + Pv = EI VI'

v"+k'v=v{'

1T2 1T xpero V'I = -- YoSen 1T--

H2 H1T2

:.y" +k'v =-- Yo Sen~H' H

Para la solucion particular de estaecuacion diferencial ensavernos.

1TUy=A Sen-H-

"rr'l 1Txy = =-- A sen--

H2 H

De fig. 3bCombinadoReal- - - -=- -==- - --.;. -=--=- = De fig. 6

y reemplazando en la ecuaciond iferencia I:-~ A s~+ k2 A s~=-~YO ~

1T2

~ . A =~ Yo = .s.0"----_It .. ~:-k' 1-k2H2

como k2 _P A= YO YoEI 1- PH' = 1.::.-P

EI7T2 Pcr

La solucion total de nuestra ecua-cion diferencial seray=C I cos k x + C2 senkx +~) sen 1T~

11-P )en ella para Pcr

x=oly=oJ :. CI =0

Y parax=H .xe..y=O 0=e2senKH+(1-P1XO

Pery ahara si puede ser C2 =Luego la solucion se limita a

Hx=

2sen~ 6. Y max paraH

~

Expresion a la c~osgar los siguientes comentarios;

agre-

1. Hemos Ilamado Per='-:~L2

P

Per

Y

P

Por

y en esta expresion efectivamentees para esta carga para la cual y+ooluego la earga de pandeo NO V A-RIA POR EL HECHO DE QUEHAYA IRREGULARIDAD TRANS-VERSAL INICIAL.

2. Sequn la magn itud de la carga P,la deflexion lateral es igual a la ini-cia 1 multiplicada per un factor deampl ificacion.

11--P-

Per

3. Este factor de amplificacion esvalido tanto para las deflexiones la-terales como para los momentosque se presentan.

4. La representacion de la deforma-cion lateral sequn la magnitud de lacarga sera como en la fig. 6 y si hu-biesernos trabajado con una expre-sian mas completa que no desprecielos valores de las primeras derivadas,como se discutio anteriormente(fig. 3b), obtendrfamos para un ca-so bastante real el comportamientodelafig.7.

Y

Fig. 6

,/

//--

WYo

Y

Fig.7 ~

35

....5. EI factor de amp Iificaci6n es prac-ticamente igual al sugerido por lanorma del ACI, aunque la intenci6nen este ultimo caso no es propia-mente la de tener en cuenta el efec-to de irregularidad en la rectitud delos elementos sino la deformaci6nlateral producida por posibles rno-mentos en los extremos que se tie-nen en cuenta en el valor de Cm.

Sin embargo, como esta expresi6nse aplica igualmente a los que se de-nominan marcos no arriostrados enla norma del AC I, 0 sea a aquelloscon posibilidad de desplazamientolateral, sera conveniente estudiar 10que sucede basicarnente en este ca-so.

EFECTO P -- Li PARA UNACOLUMNA ELEMENTAL

Estudiemos el caso de la columnaempotrada en el extremo inferior ylibre en el superior y sometida a laacci6n sirnultanea de una fuerza ho-rizontal y de una carga P. (fig. Ba),para comparar los resultados con 10que suceder fa si solamente actua lafuerza horizontal como en la fig. 8b.

v y ~P V

X

JAI

(a)Fig.8

A2

(b)

/MlM2

,/,/

///

/

1 ~-=-==------+--

PPer

Fig 9

36

En la fig. 8a, 11 ecuaci6n de equili-brio sera;Ely" =-Py-Vx EIY"+Py=-vx

Vxy"+k' y=---

EI

y la soluci6n de esta ecuaci6n dife-rencial es: Vxy=c, coSKx +c2 sen kx ---

k' EI

o sea:V

y=C1 COSkx+C2 sen kx--XP

Condiciones de borde:

x=o}y=o c,=o

X=HJ V ., 0= KC2COSK H- .. C2=Y = 0 P

v V sen Kx V---- :.y= - xKPCOSKH KP COSKH P

V senKxy=- [-- - x]

P kCOSKH

Deformaci6n maxima para X = H.v sen KH

=Lil =-[ -H]Yx=H P KCOSKH

Li, = VH f:ag KH _)P \ KH 1)

Expresi6n en la cual para sorpresanuestra si

'ITK H=- tag KH -+ 00 0 sea zx, -+00

2

pandeo lateral 0 condici6n crfticapara KH = ;

esdecir ~ H= ~....-__ ..,..-:E:..:.I-, 2

'IT' EI.. Por=--

4 H'

Que ES LA MISMA CARGA CRI-TICA QUE OBTENEMOS SI NOESTUVIERA PRESENTE LAFUERZA HORIZONTAL

Como nos interesa comparar los re-sultados obtenidos ahora, en el com-portamiento de la estructura del ca-so de la fig. 8b, recordemos que eneste case:

V H'

3 EI

o sea que

~ VH 3 EI [ tag KH_ 1]Li2 PV H' KH

'Li 3 EI [ tag KH _ 1].._1

Li2 =PH' ' KH

Pero EI_4Pcrl Li, = 12Pcr_-_. uego _ __H' 'IT' Li2 'IT' P

tag KH[I<H -1]

Ahora bien, si recordamos que sepuede escribir:_

~ 7KH3 2KHs 17KH

tag KH = KH+~-+--+ --- + ...3 15 315

tag KH KH2 2KH'" 17i<j:j'6i("i:i= 1+ -3- + ----,-g- + 315 +

Y reemplazando en la expresi6n de

Li, = ~ Pcrf}<H2+ 2KH\ 17KH\ ... }Li2 'IT' P [3 15 315

{

-4 -2 }Li'=-.!3..Pcr k'h' 1+17KH+2KH+ ..Li2 ~ P 3· 105 5

Y se puede comprobar facilrnenteque

12 Pcr K'H' - 17 P-3- -Luego

Li, =1+ 2 K'H' + 17K'H4 + ...Li2 5 105PeroK'H' = PH'= 'IT'P

EI 4 PcrEntoncesLi, _ 1+ 2 'IT' (P\.. 17 'IT" f..P\' +'"32 - 5-:; \Pc/ 105160~Li, 6Pt EP ~':.-= 1+0.987--0.986---Li2 Pcr Per

Yaproximadamente

+...

Li, (- P J G P~2-- 1+ - +-Li2 Pcr PerLo cual equivale a

+...

Con 10 cual hemos concluido quecon una pequefia aproximaci6n elfactor de incremento de los efectoshorizontales, por el hecho de que seencuentren tam bien presentes lascargas verticales, 0 sea el efectoP - Li para este caso, tiene la mismaexpresi6n encontrada para el casode la columna con desviaci6n lateralinicial.

Sin embargo, ser ia interesante averi-guar cual es el incremento de mo-mentes por este efecto, pues no ne-cesariamente es igual al de deforma-Clones.

Para fuerza horizontal solaM2 =V H

Para el efecto combinado

M[ =V H + P to[~ - V H+ Pt.[ = 1+M2 V H

As! ~=1+PVH3M2 VH3EI

~=1+Pt.2M2 12Per

~Per - P

PerPer - P

~Per - P

~= 1+ 0.8225 PM2 Pcr v P

~= Per -- 0.1775 P Per 0.1775 P

M2 Per - P Per - P Per - P

BIBLIOGRAFIA

Theory of Elastic Stability -- Timoshenko & GereBuckling Strength of Metal Structures .. F. BleichStructural Analysis -- Ghali-NevilleThe Stability of Frames -- Horne-Merchant

1

1- P~

+ 0.1775

1- P~

Expresion de la cual concluimosque el incremento de momentosvuelve a ser aproximadamente iguala ~ pero no es exactamente

l-~rigual a este valor, rnaxime si se tieneen cuenta que para Ilegar a esta ex-presi6n se ha partido de que el rnis-mo factor de amplificaci6n era vali-do para las deformaciones siendoque all! existin ya una aproxima-ci6n.

En la fig. 9 se presentan las repre-sentaciones qraficas de la relaci6nM[ calculada "exactarnente" Y conM2la expresi6n -l-considerada apro-ximada. 1--

P-.Per

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