Diego Hidalgo Soto Mª Ángeles Rodríguez Ruiz

Curso 2009-2010

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Índice

Introducción……………………………………………………………………………3

Estrellas de neutrones y púlsares……………………………………………...........3

Primera detección …………………………………………………………………….6

El peculiar púlsar en la nebulosa del Cangrejo……………………………………7

¿Cuántos púlsares hay en nuestra galaxia?........................................................8

Púlsar Binario y Relatividad General……………………………………………….9

Avance del periastro aplicado a púlsares binarios………………………………11

Campos gravitacionales…………………...........................................................15

Retraso temporal de la señal del púlsar………………………………………….28

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Introducción

Evolución de las estrellas

Las estrellas son esferas enormes de hidrógeno y helio, con cantidades pequeñas de otros elementos, todos ellos en estado gaseoso. En su centro ocurren reacciones de fusión nuclear que generan cantidades inmensas de energía en diversas formas, entre ellas luz y calor. Las diferencias que muestran las estrellas en cuanto a luminosidad, temperatura superficial y masa hacen que no haya dos iguales.

Para explicar la formación de una estrella, imaginemos una nube densa de polvo y gas hidrógeno a la deriva en el espacio. Esta nube molecular gigante puede sufrir perturbaciones debidas a ondas de choque inducidas por una supernova cercana, o a las irregularidades gravitatorias de la Galaxia. Entonces empieza a suceder cambios: la nube se vuelve más densa en ciertos lugares, y estas regiones comienzan a fragmentarse y colapsarse bajo la acción de su propia gravedad. A medida que se colapsan estos fragmentos, cada uno de ellos desarrolla un núcleo caliente conocido como protoestrella. Cuanto más se contrae la protoestrella, más caliente se torna, hasta que su centro alcanza la temperatura suficiente para desencadenar reacciones de fusión nuclear. A partir de ese momento, la presión de la radiación detiene el colapso y empieza la vida del astro.

Las estrellas con más de cocho masas solares lucen al principio como astros blancoazulados. Cuando están agotando el combustible se expanden y enfrían hasta que, al consumirlo por completo, el núcleo se colapsa y estalla en una explosión de supernova. Tras ella queda una estrella de neutrones o agujero negro, y un remanente gaseoso en expansión.

Estrellas de neutrones y púlsares

Las supernovas son explosiones tan colosales que cuesta creer que puedan dejar tras de sí algo más que gas en expansión. Pero en algunos casos sobrevive el núcleo consumido de la estrella que explotó, aunque es tan masivo (1.4 veces la masa del Sol) que se colapsa en forma de estrella de neutrones. Los objetos de este tipo son extremadamente densos y compactos, ya que toda su materia se halla comprimida en un diámetro de tal vez 15 Km.

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Las estrellas de neutrones son productos residuales de la explosión. La densa materia de que hablamos comienza a rotar con la explosión de la supernova, tal como lo hacen los bailarines artísticos de patinaje en el hielo cuando bajan sus brazos. En la medida que se van despejando los gases y partículas materiales remanentes de la gran explosión, va quedando atrás una estrella de neutrones de entre seis y veinte kilómetros de diámetro que puede girar hasta 30 veces por segundo, sin emitir radiaciones de radio o pulsaciones ópticas.

Como son astros con un gran campo magnético atrayente y pueden ser proveídos de materia acumulada en sus alrededores después de la explosión de la supernova, cuentan con los ingredientes necesarios para llegar a ser poderosos aceleradores.

No todas las estrellas de neutrones tienen estas características, es decir, hay estrellas de neutrones que rotan con rapidez y emiten ondas radioeléctricas. Cuando estas ondas barren la Tierra, se detectan como <<pulsos>> cíclicos semejantes a los destellos de un faro marino. Este tipo de objeto se conoce como púlsar.

La mayoría de los astrofísicos creen que los púlsares se dan solamente en estrellas de neutrones que hayan alcanzado cierto grado de condiciones precisas.

Siendo así, podemos definir un púlsar como una estrella de neutrones que rota a gran velocidad con un intenso campo magnético. La radiación que liberan estas estrellas de neutrones procede de sus polos magnéticos, manifestándose como haces de ondas de radio. Debido a la inclinación del eje magnético con respecto al eje de rotación, los dos haces forman un cono que barre el cielo una vez por cada rotación estelar, igual que las señales luminosas de un faro. Cada vez que uno de ellos se proyecta en dirección a la Tierra podemos registrar un pulso de radio.

Esto quiere decir que sólo vemos los púlsares cuyos haces se dirigen hacia nosotros y que hay muchos más que no vemos.

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La rápida rotación los hace poderosos generadores eléctricos, capaces de acelerar las partículas cargadas hasta energías de mil millones de millones de Voltios. Estas partículas cargadas son, en alguna forma aún desconocida, responsables por el haz de radiación en radio, luz, rayos-X, y rayos gamma. Su energía proviene de la rotación de la estrella, que tiene por tanto que estar bajando de velocidad. Esta disminución de velocidad puede ser detectada como un alargamiento del período de los pulsos. Típicamente, el periodo de rotación de un pulsar disminuye en una parte por millón cada año: el Pulsar del Cangrejo, que es el más joven, y el más energético conocido, disminuye en una parte en dos mil cada año.

La regularidad de los pulsos es fenomenal: los observadores pueden ahora predecir los tiempos de llegada de los pulsos con antelación de un año, con una precisión mejor que un milisegundo. ¿Cómo puede una estrella comportarse como un reloj tan preciso?. La única posibilidad para una repetición tan rápida y precisa, es que la estrella esté rotando rápidamente, y emitiendo un haz de radiación que barre alrededor del cielo como un faro, apuntando hacia el observador una vez por cada rotación. El único tipo de estrella que puede rotar suficientemente rápido sin estallar debido a su propia fuerza centrífuga, es una estrella de neutrones.

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Primera detección

El término púlsar procede de acortar estrella pulsante en inglés: pulsating star, es decir puls(ating st)ar.

El primer púlsar fue descubierto en 1967 por la estudiante Jocelyn Bell y el astrónomo Antony Hewish mientras trabajaban en el Laboratorio Cavendish en la Universidad de Cambridge (Reino Unido). No estaban buscando púlsares cuando en 1967 detectaron señales de radio de corta duración y de intervalos muy regulares. Hewish, dispuesto a averiguar por qué las estrellas que emitían en radio centelleaban igual que las que lo hacían en el visible, había descubierto en 1964 el efecto que llamó centelleo interplanetario: demostró que las ondas de radio de una fuente de pequeño diámetro sufren difracción (ligera distorsión de la luz en el borde de un objeto) cuando cruzan las nubes de polvo en el espacio interplanetario, y que las variaciones en intensidad tenían lugar cada segundo.

Un radiotelescopio capta señales de procedencias muy distintas, del entorno industrial, de los automóviles, de cualquier aparato eléctrico. Para los radioastrónomos es, por tanto, difícil distinguir lo que es una señal auténtica del exterior de lo que lo es de origen humano. Hewish y sus colaboradores sabían que el objeto de donde procedían las señales era muy pequeño, incluso menor que un planeta, por la gran precisión de las pulsaciones que sólo duraban varias milésimas de segundo, lo que significaba que el objeto emisor debía ser muy pequeño.

Bell y Hewish pensaron al principio que podrían haber establecido contacto con una civilización extraterrestre de la galaxia, dada la regularidad de la emisión. Hewish describe este período inicial, en el que fueron conscientes de la naturaleza extraterrestre y estelar de las señales, como el más excitante de su vida. ¿Eran esas señales en realidad algún tipo de mensaje de otra civilización»?. Stephen Hawking recuerda en su Historia del Tiempo que en el seminario en el que anunciaron el descubrimiento denominaron a las primeras cuatro fuentes encontradas LGM-1, LGM-2, LGM-3 y LGM-4. Las siglas LGM eran las iniciales de Little Green Men («pequeños hombres verdes»). Al final, sin embargo, llegaron a la conclusión menos romántica de que estos objetos eran de hecho estrellas de neutrones en rotación, que emitían pulsos de ondas de radio debido a una complicada interacción entre sus campos magnéticos y la materia de su alrededor. Al poco tiempo empezaron a descubrirse decenas de objetos de este tipo, con distintos periodos de pulsación, y que se denominaron pulsares. Hoy en día esta interpretación no solo sigue en pie sino que es plenamente aceptada entre la comunidad científica. Se han descubierto

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poco mas de mil pulsares, algunos con características únicas como PSR B1913+16.

El peculiar púlsar en la Nebulosa del Cangrejo

La Nebulosa del Cangrejo es el residuo visible de una explosión de supernova observada en el año 1054.

(Nebulosa del Cangrejo) Son los restos de la explosión de una de las primeras observaciones registradas de una supernova.

Dicha nebulosa aún interesa hoy día a los astrónomos, además de por su espectacular belleza, por albergar un púlsar con curiosas propiedades que pueden cambiar drásticamente nuestra comprensión de la física de los púlsares. Cerca del centro de la Nebulosa está el Púlsar del Cangrejo, que es el más energético conocido. Gira 30 veces por segundo, y está muy fuertemente magnetizado. Por lo tanto actúa como una estación celeste de generación de energía, generando la suficiente como para mantener radiando a toda la Nebulosa en prácticamente todo el espectro electromagnético.

Su luz visible es suficientemente poderosa como para que el púlsar aparezca en las fotografías de la Nebulosa, donde se ve como una estrella de magnitud cercana a 16. Las fotografías normales promedian los pulsos, pero

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las técnicas estroboscópicas pueden mostrar la estrella separadamente en sus condiciones 'encendida' y 'apagada'.

El púlsar del cangrejo en realidad emite dos pulsos distintos; uno es llamado pulso principal, y el otro, que está a unos 160 grados del principal en la rotación, es llamado interpulso.

Observaron pulsos individuales en periodos de tiempo muy cortos para separar sus propiedades, y encontraron que el interpulso difiere en tres formas significativas del pulso principal en ciertas frecuencias de radio: produce luz más polarizada – las longitudes de onda de la luz están más alineadas – el interpulso dura más, y la radiación emitida está más dispersa.

Es curioso que el interpulso tenga propiedades distintas, dado que se creía que provenía del mismo mecanismo que el pulso principal. Esto genera gran cantidad de preguntas sobre nuestro conocimiento de la física de los púlsares.

¿Cuántos Pulsares Hay En Nuestra Galaxia?

Los pulsares se han encontrado principalmente en la Vía Láctea, dentro de cerca de unos 500 años-luz del plano de la Galaxia. Un escrutinio completo de los pulsares en la Galaxia es imposible, puesto que los pulsares débiles solo pueden ser detectados si están cercanos. Los sondeos de radio ya han cubierto casi todo el cielo, y más de 300 pulsares han sido localizados. Sus distancias pueden medirse a partir de un retardo en los tiempos de llegada de los pulsos observados en las radio frecuencias bajas; el retardo depende de la densidad de los electrones en el gas interestelar, y de la distancia recorrida. Extrapolando a partir de esta pequeña muestra de pulsares detectables, se estima que hay al menos 200.000 pulsares en toda nuestra Galaxia. Considerando aquellos pulsares cuyos haces de faro no barren en nuestra dirección, la población total debería alcanzar un millón.

Cada pulsar emite durante cerca de cuatro millones de años; después de este tiempo ha perdido tanta energía rotacional que no puede producir pulsos de radio detectables. Si conocemos la población total (1.000.000), y el tiempo de vida (4.000.000 de años), podemos deducir que un nuevo pulsar debe nacer cada cuatro años (asumiendo que la población permanece estable).

Muy recientemente se han encontrado pulsares en cúmulos globulares. Se piensa que han sido formados allí por la acreción de materia en estrellas

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enanas blancas en sistemas binarios. Otros pulsares nacen en explosiones de supernovas. Si todos los pulsares fuesen nacidos en explosiones de supernovas, podríamos predecir que debería haber una supernova en nuestra Galaxia cada cuatro años. Estas son eventos espectaculares, y esperaríamos ver más de ellos, si uno ocurre cada cuatro años. La última supernova observada directamente en nuestra Galaxia, fue la supernova de Kepler en el año 1604, pero sabemos que ocurren otras que son menos espectaculares, o que son ocultadas de nosotros por nubes de polvo interestelares.

Pulsar Binario y Relatividad General:

Muchas estrellas son miembros de sistemas binarios, en los que dos estrellas orbitan una alrededor de la otra, con períodos de algunos días o años. Si una de estas estrellas es una estrella de neutrones, el par puede orbitar tan cercanamente que la atracción gravitacional entre ellas es muy grande, y pueden observarse algunos efectos poco usuales. Se conocen varios sistemas binarios en los que la otra estrella es una gigante; en estos casos la estrella de neutrones puede atraer gas de las regiones exteriores de su compañera, y una corriente de gas cae con gran energía sobre la superficie de la estrella de neutrones. Estos sistemas se observan como fuentes de rayos-X. Algunas de las fuentes de rayos-X muestran variaciones periódicas al rotar la estrella de neutrones: estos son los llamados 'pulsares de rayos-X'.

Un sistema binario, conocido como PSR 1913+16, consiste de dos estrellas de neutrones, tan juntas que su período orbital es de sólo 775 horas. No hay corrientes de gas entre estas estrellas, que interactúan sólo por su mutua atracción gravitacional. La órbita de una de ellas puede ser descrita en gran detalle, debido a que es un pulsar. El período de este pulsar es de 59 milisegundos, y produce una muy estable serie de pulsos con un periodo de deceleración inusualmente baja. Es, de hecho, un preciso reloj moviéndose muy rápidamente en un fuerte campo gravitatorio, que es la clásica situación requerida para una comprobación de la Teoría General de la Relatividad de Einstein.

Según la teoría dinámica no-relativista, o Newtoniana, las órbitas de ambas estrellas deberían ser elipses con una orientación fija, y el período orbital debería ser constante. Las mediciones de los tiempos de llegada de los pulsos han mostrados diferencias significativas con las simples órbitas Newtonianas. La más obvia es que la órbita precesa por 42 grados al año.Hay también un pequeño, pero muy importante, efecto sobre el período orbital,

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que se sabe está reduciéndose en 89 nanosegundos (menos de una diez-millonésima de segundo) en cada órbita.

El período orbital en reducción representa una pérdida de energía, la que sólo puede descontarse por medio de radiación gravitacional. Aún cuando la radiación gravitacional en sí misma nunca ha sido observada directamente, las observaciones del PSR 1913+16 descubierto en 1973 por Robert Hulse y Joe Taylor durante un censo sistemático de pulsares, han provisto buena prueba de su existencia. Al poco tiempo de su descubrimiento Hulse y Taylor se dieron cuenta que se trataba del primer pulsar que se descubría en un sistema binario. Al moverse alrededor de su compañera invisible, era posible ver como variaba la frecuencia del pulso de PSR B1913+16 de acuerdo a un fenómeno físico conocido como efecto Doppler: cuando el pulsar se mueve hacia nosotros la frecuencia de las pulsaciones que uno mide aumenta, mientras que cuando se aleja disminuye. Los relojes atómicos y dispositivos electrónicos de los radio telescopios pueden medir con exquisita precisión (más de diez dígitos) la frecuencia de las pulsaciones, permitiendo una estimación igualmente precisa de la velocidad con que se acercan o se alejan. Las mediciones mostraron que el periodo orbital, es decir el tiempo que tarda cada estrella en girar alrededor de su compañera (el año) era notablemente corto, menor a ocho horas. Estas dos estrellas giran una alrededor de la otra a velocidades mayores a mil kilómetros por segundo. Hulse y Taylor se dieron cuenta rápidamente del potencial de este objeto en probar la teoría general de la relatividad con una precisión sin precedente. Es apropiado que este descubrimiento, que es una confirmación adicional de las predicciones de la Teoría General de la Relatividad, fuera anunciado en 1979, que fue el centenario del nacimiento de Einstein.

En 1915, cuando Albert Einstein enunció la teoría general de la relatividad, existía el problema del movimiento de mercurio. Mercurio, al igual que todos los planetas, describe una elipse con el Sol en uno de sus focos. A finales del siglo XIX se encontró que esta elipse a su vez giraba alrededor del Sol a razón de diminutos 43 segundos de arco por siglo (es decir una vuelta cada tres millones de años), movimiento que no era posible explicar dentro del marco de la mecánica de Newton. La teoría de la relatividad general explica este movimiento y predice exactamente el valor observado. De hecho un problema era que durante varias décadas pocos experimentos podían probar la teoría de la relatividad general, debido a que los efectos relativistas se manifiestan con campos gravitacionales mucho más intensos que el del Sol. Con el descubrimiento del pulsar binario PSR B1913+16 los científicos contaron con un objeto ideal para el estudio de efectos relativistas: básicamente un reloj (el pulsar) en un campo gravitacional intenso. Al poco

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tiempo fue posible medir en este objeto la precesión del perihelio (o en este casi el periastro), resultó ser de poco más de cuatro grados por año, es decir 35 mil veces mayor que en el caso de la órbita de Mercurio alrededor del Sol.

El estudio de PSR B1913+16 permitió observar un efecto relativista nunca antes medido: el decaimiento de la órbita del pulsar. Después de seis años de medición se demostró que el periodo orbital de poco más de siete horas decrece a razón de un segundo cada trece mil años. Este pequeño efecto se debe a la emisión de ondas gravitacionales, una consecuencia de la teoría de Einstein que no hemos podido medir con la tecnología existente en la actualidad. Aunque indirectamente, el decaimiento de la órbita del pulsar binario es la única evidencia que tenemos de la existencia de ondas gravitacionales, descubrimiento que les valió el premio Nobel a Hulse y Taylor. El pulsar binario ha dado fuerte evidencia de que la teoría de la relatividad general es la mejor teoría que contamos para explicar el fenómeno de la gravedad, habiendo cumplido cabalmente con todas las pruebas a las que se le ha sometido. Entre las decenas de pulsares binarios que se han descubierto a la fecha, hay dos sistemas en los que es posible que se puedan eventualmente medir efectos relativistas, PSR B1534+12 y PSR J1518+4904. Sin embargo, dada su relevancia para estos estudios, PSR B1913+16 es normalmente llamado "El" pulsar binario.

Avance del periastro aplicado a púlsares binarios

Uno de los efectos que predice la Relatividad General, es el avance del periastro (zona, más alejada en una trayectoria elíptica); este efecto de predicción teórica es comprobado es comprobado en el “laboratorio” experimental más ideal que se conoce: los púlsares binarios.

En primer lugar lo que debemos hacer es hallar la ecuación de la trayectoria en el plano ecuatorial para la métrica de Schwarzschild:

.

Esta ecuación corresponde a la que produce una energía potencial dada por:

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.

El potencial Newtoniano está definido según estas ecuaciones:

.

Las posibles trayectorias en el espacio de Schwarzschild se muestran esquemáticamente en la siguiente figura:

Para ver los efectos relativistas en la figura, hacemos un cambio de variable:

y :

Como vemos está representado , y cuando los efectos relativistas se

incluyen, vemos que “r” ya no tiene límites y puede tomar cualquier valor, incluido el de colapso cuando “r” tiende a “0”. El potencial toma ahora la forma:

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,

Para radios igual al radio de Schwarzschild me queda el potencial.

Para las partículas quedan atrapadas por el potencial y caen a “ ”.

La ecuación de la órbita se da cuando se conecta a “r” con “ϕ”. Así que el movimiento en el plano ecuatorial para campos débiles tengo:

despejando:

Ahora introducimos elsiguiente cambio de variable :

Sustituyendo en la ecuación energética de campo, obtengo una

ecuación de la órbita:

,

Diferenciándola ésta, podemos llegar a encontrar la siguiente ecuación:

El último término de la derecha es el correspondiente al término de corrección relativista. En resumen es la ecuación de un planeta orbitando alrededor de una estrella.

Esta ecuación tiene una solución circular dada por:

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, donde .

Con una pequeña perturbación del movimiento circular, cambiamos u por u1, siendo . Para un orden pequeño de , tenemos:

o:

Para , el equilibrio de la órbita es estable y conseguimos

soluciones periódicas:

Donde , es una constante de integración y , es la excentricidad de la

órbita. Podemos elegir , y obtener:

Si llamo , tenemos:

Con esta expresión tenemos varios casos, si y despreciamos el

término relativista, , la expresión se convierte en la ecuación de la órbita

elíptica de Kepler. Mientras que si , y tenemos en cuenta el término

relativista, , llegaríamos a una ecuación de trayectoria elíptica no cerrada.

Si damos a “r” el mismo valor dado en el punto de partida, ϕ tiene un

incremento de . Entonces el ángulo extra por rotación viene dado por:

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Si tenemos en cuenta el término de la Relatividad General, llegamos a:

Llegada a esta conclusión, se aplica a los objetos que podemos observar y medir con precisión, como hemos dicho al principio, lo aplicamos al caso de los púlsares binarios. En el caso concreto del púlsar PSR 1913+16 (estudios que le valieron en premio nobel de física a Hulse y Taylor en 1993), se obtuvieron las siguientes mediciones:

El avance del periastro observado para este púlsar es de 4,2º por año. Como nota llamativa, el avance que realiza su periastro en un día, es mayor que el que se produce en el planeta mercurio en un siglo.

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El púlsar binario “más relativista” de los que conocemos hasta ahora, es el púlsar PSR J0737-3039A/B, en el que el periodo de movimiento orbital dura 2,4 horas.

Campos gravitacionales

Cuando dedujimos por primera vez la ecuación de Einstein, comprobamos que éstas derivaban a las ecuaciones de Newton en el límite clásico, esto sugiere que el campo gravitatorio sea muy débil y estático, (sin dependencia temporal). Pero ahora supondremos una condición menos restrictiva, en la cual el campo es aún débil pero ahora sí que hay variaciones temporales.

El campo gravitatorio débil se expresa descomponiendo la métrica, en el espacio plano de Minkowski más un término perturbativo muy débil:

, .

Tomaremos restricciones de modo que ημν tome una forma diagonal

. La asunción de que hμν es muy pequeño, nos

permite despreciar cualquier término superior al primer orden de modo que podemos escribir:

,

Podemos pensar en una versión lineal de la Relatividad General (despreciando términos de orden superior al primero en hμν), como la descripción de una teoría simétrica en el tensor hμν, propagándose en el espacio plano. Esta teoría es invariante bajo una relatividad especial con el dominio de la transformada de Lorentz dada por:

,

La métrica plana ημν es invariante mientras la transformación de la perturbación sea de la forma:

.

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Podemos pues encontrar las ecuaciones de movimiento incluyendo la perturbación, obteniendo unas ecuaciones de Einstein de primer orden. Los símbolos de Christoffel quedarán del a siguiente forma:

,

Después de operar con los tensores obtenemos el tensor de Ricci para terminar por obtener el tensor de Einstein:

.

Esta linealidad del tensor de Einstein, puede ser obtenida también mediante la derivación del siguiente Lagrangiano con respecto a hμν:

,

De esta ecuación obtendremos:

,

donde Gμν es el tensor de Einstein y Tμν es el tensor de Energía momento.

Con las ecuaciones de campo linealizadas podemos resolverlas. Llegado a este punto tenemos que resolver el problema de la invariancia, para ello debemos hace un cambio en el sistema de coordenadas espacio-temporales de tal manera que la ecuación de Einstein se simplifica un poquito:

,

Donde es el D’lambertiano. Si estuviésemos en el vacío tendríamos

que Rμν=0 y llegamos a la conclusión que:

,

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Que es la ecuación convencional de ondas relativista. Si hacemos un cambio de métrica hecha por:

,

Llegamos a la ecuación:

,

De esta ecuación y un estudio previo del límite Newtoniano, es sencillo llegar a la métrica del campo débil para una fuente esférica estacionaria como la de un planeta o una estrella.

Volviendo a la ecuación anterior de Einstein, ésta predice que h00 es la ecuación de Poisson para el límite de un campo débil la cual implica que:

,

Donde Φ es el potencial Newtoniano . Ahora sumimos que

T00=ρ la densidad de energía, de modo que el resto de las componentes de dicho tensor asumimos menores, de tal forma que de , deducimos:

.

Los otros términos del tensor son despreciables, de modo que podemos escribir:

.

La métrica de una estrella o planeta para el límite del campo débil queda pues:

.

Esta métrica del límite del campo débil se aplica para la radiación de ondas gravitatorias. El procedimiento es similar al que se hace en

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electromagnetismo, empezamos por aplicar al caso más sencillo, las ecuaciones linealizadas en el vacío.

Desde que el espacio plano D’lambertiano tiene la forma

, la ecuación de campo es de la forma de ecuación de ondas para

. Una solución bien conocida de esta ecuación son las ondas planas:

,

Siendo C μν un tensor simétrico de constantes, y kσ es el tensor vector de onda. Comprobamos la solución haciendo:

,

Una solución interesante a esta ecuación es , la ecuación de

ondas es por tanto una solución de las ecuaciones linealizadas si el vector de onda es nulo. Esto se traduce como ondas gravitacionales propagándose a la velocidad de la luz. La componente temporal del vector de onda está relacionada con la frecuencia de la onda si podemos escribir , entonces la condición para que el vector de onda sea nulo lo podemos

escribir como:

,

Esta solución está lejos de ser una solución general, ya que cualquier número de ondas planas juntas puede ser considerado como una solución, al poder ser descompuestas como suma lineal de soluciones.

Hay un número de parámetros libres para especificar la onda, diez para los coeficientes de Cµν y tres para el vector nulo kσ, los cuales podemos eliminar algunos haciendo un estudio de las ecuaciones, llegando a la conclusión:

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Llegamos pues a un gauge (calibrado) conocido como gauge transversal “sin rastro” o gauge de radiación. El nombre le viene de que la perturbación pasa inadvertida y que es transversal al vector de onda. Hasta ahora hemos estado trabajando con la perturbación , que es cambio de la verdadera

perturbación , pero como es como es podemos tomar cuando

trabajemos con este gauge.

Una de las ventajas de este gauge es que dada una onda plana en un gauge arbitrario podemos hacer un cambio simple para convertirlo fácilmente en componentes de una “traza sin rastro”.

Para hacerse una idea de los efectos físicos, debidos a las ondas gravitacionales, es corriente considerar el movimiento de partículas de prueba en presencia de ondas. Esta suposición es insuficiente para resolver las ecuaciones de una partícula libre, pero nos dará valores de las coordenadas a lo largo de la línea de tiempo. Para obtener medidas de la coordenada independiente de los efectos ondulatorios consideraremos el movimiento relativo de partículas moviéndose una cerca de la otra, que se derivan de la ecuación de las geodésicas.

Consideraremos partículas cercanas con unas cuadri-velocidades descritas por un único vector de campo , y un vector aparte ,

tendremos:

,

Queremos calcular la parte izquierda del primer orden en . Si

consideramos que nuestras partículas se mueven muy despacio una con respecto de la otra, podemos expresar la cuadri-velocidad como un vector unidad en la dirección temporal más una corrección de orden y superior;

pero sabemos que el tensor de Riemann es de primer orden, así que las correcciones de pueden ser ignoradas y escribir:

,

así pues, solo tenemos que calcular o lo equivalentemente :

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,

Por otro lado, como hemos considerado que las partículas se mueven muy despacio, el tiempo propio , así que las ecuaciones de las

geodésicas quedan:

Así pues, para una onda que viaje en la dirección , implica que solo

y se verán afectadas, y que partículas de prueba solo serán perturbadas en

direcciones perpendiculares al vector de onda. Éste fenómeno tiene un símil en electromagnetismo en el que los campos eléctrico y magnético se encuentran en un plano perpendicular al vector de onda.

Las ecuaciones de movimiento se caracterizan por dos números

, y . Ahora consideramos los efectos por separado, en primer

lugar considero y , me quedan unas ecuaciones de movimiento:

,

y

,

Así pues, partículas que inicialmente se encuentran separadas en la dirección , oscilan hacia delante y hacia atrás en esta dirección, y lo mismo

ocurre con una separación inicial en . Veamos su efecto en un anillo de

partículas estacionarias en el plano x-y:

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Ahora hacemos el mismo análisis para y , obteniendo unas

ecuaciones:

,

y

,

En este caso un anillo de partículas inmóviles oscilarán en el mismo plano x-y, pero de la siguiente forma:

La notación y es clara, estas dos cantidades miden los dos modos

independientes de polarización lineal de las ondas gravitatorias. Podemos pues definir polarización lineal dextrógira o levógira haciendo la siguiente definición:

y ,

Un efecto puro de hace que las partículas se muevan de la siguiente

manera:

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El efecto contrario tendrían para un movimiento puro de . Podemos

relacionar los estados de polarización de las ondas gravitacionales clásicas a los tipos de partículas que cabría encontrar en cuántica. El campo electromagnético tiene dos estados independientes de polarización descritos en el plano x-y por vectores, igualmente, un único modo de polarización es invariante bajo rotaciones de 360º en dicho plano. En cuántica esta teoría de campo, de forma general relaciona al spin con el ángulo θ, bajo el cual los modos de polarización son invariantes por la relación . El campo

gravitacional, con ondas gravitacionales, a la velocidad de la luz, deberían de poseer en teoría cuántica partículas sin masa. Notar que para las ondas gravitacionales los modos de polarización son invariantes bajo rotaciones de 180º por lo que los “gravitones” deberían de poseer un espín igual a 2. Estamos aún lejos de detectar dichas partículas, pero cualquier teoría cuántica respetable predice su existencia.

Hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones linealizadas en el vacío y las ondas planas como soluciones. Así que es hora de poder calcular la radiación de ondas gravitacionales producidas por una fuente. Consideramos materia en nuestras ecuaciones:

,

La solución a esta ecuación se obtiene de utilizar la función de Green, que es el mismo método que se utiliza en electromagnetismo. Si a la función de Green le aplicamos es D’lambertiano, obtenemos como resultado de la ecuación de ondas la función delta de dirac:

,

Donde es el D’lambertiano de la coordenada . La elección de esta

función reside en que la solución a la ecuación , puede ser escrita de la

siguiente forma:

,

Las soluciones de la ecuación de ondas de la función de Green, ya están tabuladas y pueden ser interpretadas como un retardo o un avance, dependiendo de si representan ondas viajando hacia delante o hacia detrás en

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el tiempo; por su interés, nos centraremos en la función de Green retardada, que representa los efectos acumulados de señales en el pasado del punto en consideración, de modo que podemos escribir:

,

Siendo , , y . Si llamamos a

, la interpretación de la integral es clara: la perturbación en el

campo gravitatorio en el punto , es la suma de las influencias de fuentes

de energía y momento en el punto del cono de luz del pasado:

Dejamos esta solución a un lado y consideramos la radiación emitida por una fuente aislada, muy lejana, y compuesta de materia no relativista, de modo que hará más precisa la medida que realizaremos.

En primer lugar tomaremos unas consideraciones de las transformadas de Fourier que son siempre muy útiles para tratar fenómenos ondulatorios. Calculamos la transformada inversa dada por:

,

Ahora introducimos las aproximaciones que hemos mencionado, de lejanía, aislamiento y movimiento no relativista; esto hace considerar a la fuente fija en un punto a una distancia R, con diferentes partes emisoras a distancias R+δR siendo δR R. Como su movimiento es no relativista, la mayor parte de

la radiación emitida será a frecuencias ω suficientemente bajas tal que δR ω-

1, esencialmente, la luz atraviesa a la fuente mucho más rápido que las componentes de dicha fuente a sí misma.

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Bajo estas aproximaciones podemos simplificar la integral de la siguiente manera:

,

Bajo la sospecha de que no son necesarias calcular todas las

componentes , podemos llegar a la conclusión que la integral se

puede escribir de la siguiente manera:

,

Si el tensor del momento cuadrupolar de la densidad de energía de una fuente se define como:

,

Tensor constante en cada superficie en un tiempo constante. En términos de la transformada de Fourier del momento cuadrupolar, nuestra solución toma la forma compacta:

,

Que transformada queda:

,

Donde como hemos dicho antes . Como conclusión llegamos a

que las ondas gravitatorias producidas por objetos no relativistas aislados, son producidas por la derivada segunda del momento cuadrupolar de la densidad de energía, en el punto donde el cono de luz pasada corta a la fuente. Como contraste, tenemos el momento dipolar del electromagnetismo, del que sabemos que irradia momento dipolar cuando el centro de la densidad de

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energía se mueve, mientras que el momento cuadrupolar se produce por cambios en la densidad de energía.

Mientras que no hay nada que pare el centro de oscilación de una carga en movimiento, la oscilación del centro de masas de un sistema aislado contradice la conservación de momento. Pero es que el momento cuadrupolar de forma general, es muchísimo más pequeño que el momento dipolar, de forma que la radiación gravitacional es típicamente muchísimo menor que la radiación electromagnética.

Es siempre educativo tomar la solución general y aplicarla a un caso particular. El caso más interesante de radiación gravitacional es el de un sistema binario de estrellas (púlsares). Para simplificar consideraremos que dichas estrellas orbitan el plano , , separadas una distancia “r” al punto

común, tal y como se ve en la figura:

Podemos tratar el movimiento de las estrellas con aproximación Newtoniana, donde su órbita se considerará con un estudio de Keppler. Dicha órbita se caracteriza con la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga:

,

Donde el tiempo que se tarda en dar una vuelta completa está dado por:

,

Más frecuentemente es tomar la frecuencia angular de la órbita, dada por:

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,

De modo que podemos dar la posición de las estrellas de forma explícita:

, ,

, ,

La correspondiente densidad de energía viene dada por:

De ésta obtenemos el momento cuadrupolar magnético:

,

,

,

,

Sustituyendo las componentes del momento cuadrupolar en la ecuación de la perturbación obtenemos:

,

Es el momento de hablar de la energía emitida por la radiación gravitacional. Pero esta discusión está rodeada de problemas, tanto físicos como filosóficos, ya que no hay verdadera medida local de energía en el campo gravitatorio. En el límite del campo débil, cuando pensamos en la gravitación como un tensor simétrico, podríamos pensar en la existencia de otro tensor de

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energía-impulso para las fluctuaciones de , tal como existe para el

electromagnetismo o cualquier otra teoría de campo. Hasta cierto punto esto es posible, pero sigue habiendo muchas dificultades.

A estas dificultades se le han puesto remedio para sistemas bien definidos, como es el caso resuelto del sistema binario, pero en realidad hemos estado “engañándonos” desde el principio ya que hemos considerado una perturbación lineal, y una métrica espacio temporal plana. Así que se debería de continuar por hacer el estudio similar pero para perturbaciones de orden superior, de tal forma que si hacemos el estudio de una perturbación de orden 2, obtendríamos algo como:

,

De manera que la potencia de radiación de un sistema binario está dada por:

.

Y es lo que realmente ha sido observado. En 1974 Husle y Taylor descubrieron un sistema binario, en el que el periodo de la órbita es de 7.45 horas, extremadamente pequeña comparada con los estándares astrofísicos. Como son púlsares (provistos de un reloj muy fiable debido a la rotación de su “faro”), se observó una disminución de su periodo por una pérdida de energía en muy poco tiempo, y dado que se conocía que para que un púlsar aumentase su periodo deberán de pasar una media de 108 años. El resultado es considerado como una predicción de la teoría de la Relatividad General por pérdida de energía a través de las ondas gravitacionales, véase la siguiente gráfica:

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La línea horizontal muestra una órbita con separación orbital constante. Los puntos son observaciones experimentales de Husle y Taylor para el sistema binario antes mencionado, mientras que la línea continua curva, muestra la predicción de la Relatividad General.

Dicha teoría predice que ambas colisionarán dentro de 300 millones de años, por emisión de ondas gravitacionales. Por estos estudios Husle y Taylor, obtuvieron el premio nobel en 1993.

Retraso temporal de la señal del púlsar

Uno de los efectos bien conocidos y estudiados, es el retraso de la señal del púlsar cuando éste se acerca a su compañera. Si nos fijamos en el púlsar por excelencia PSR 1913+16, su señal se retrase 50 microsegundos cuando ambas estrellas se encuentran una cerca de la otra, este efecto es muy pequeño, pero dada a la exactitud de la señal que recibimos de un púlsar, ésta

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puede ser medida perfectamente confirmando así las predicciones de la Teoría de la Relatividad General.

Para este efecto partimos nuevamente de la métrica de Schwarzchild, llegando que para una trayectoria radial:

Donde representa el tiempo estacionario desde el punto de vista del

fotón que radia uno de los púlsares, es un tiempo registrado por un

observador en reposo (la tierra) y M es la masa que crea la fuente de gravedad.

Explicado someramente este efecto, el efecto físico es que uno de los púlsares emite fotones de modo que ya de por sí tendrá un redshift gravitatorio intrínseco a la masa que lo creo, pero el retraso de 50 micro segundos se debe a la interacción del fotón con la masa de su compañera cuando entre en la acción de su campo gravitatorio.

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