144 campo magnético

FB=---

efecto hall 145

(6.3) ·6i EFECTO HALLqv =»Las unidades del campo magnético en el sistema MKS son el tesla qUetambién se conoce como Weber/m2 que de acuerdo a la Ec. 6.2 equivale a:

1Weber 1NewtonTesla.

ampere-m

La unidad que se usó inicialmente para el campo magnético fue el GaUSs(del sistema cgs.) y la relación entre tesla y el Gauss es:

1 Tesla = 1Q4 Gauss.

El Weber es la unidad del flujo magnético como se puede ver de larelación de las Ecs. 6.3 y 6.1.

Ejemplo 1

En un campo magnético uniforme 13 ~ 2i + 4J tesla, es disparado unelectrón con una velocidad u= 2 X lOSk m/seg. Calcule la fuerza en .magnitud y dirección qUE' experimenta el electrón. e = 1.6 X 1O-'~ coul,

Solución:

De la ecuación 6.2 tenemos que:

Fm = qu X B.Sustituyendo datos:

Fm = - (2k) X (27 + 4J) (lOS) (1.6 X 10-1~) nt.

Obteniendo:

Fm = -1.6 X 10-11 (-Si + 4]) nt.

La magnitud de Fm es:

IFm I = 14.24 X io-» nt.

y en notación vectorial:

Fm = 12.8 X 10-11 i - 6.4 X 10-11 jnt.

En el capítulo de' circuitos eléctricos hemos supuesto que los porta-doresde carga en la corriente eléctrica' son los electrones debido a lafacilidad que tienen para desplazarse en los. conductores; sin embargo,estono lo hemos comprobado experimentalmente. En 1879, E. H. Hallrealizóun experimento muy simple con el cual demostró que los porta-

. doresde carga eran negativos; este experimento consiste en hacer pasaruna corriente eléctrica por una lámina de ancho "d" y espesor "t"; supon-

:gamOSque los portadores de carga son positivos como se muestra en laFig.6.6a, al introducir la lámina dentro de un campo magnético que es

y X X Y X xí3$ E9 E9 X X

4Fm.~X

E9 -v r--- -EB O X X . X X

X X x X XE .+1,-

+ - lEa) b)

Fig. 6.6.

.perpendicular a ésta y hacia adentro (X), el campo ejerce una fuerza igualaqu X B sobre cada uno de los portadores de carga, donde u, es la velo-cidadde desplazamiento de los portadores de carga dentro del conductor.Debidoa la fuerza magnética los portadores de carga se deben desplazarhacia la parte superior produciendo una diferencia de potencial Vry

donde"y" es punto sobre la cara superior y "x" sobre la cara inferiordela placa. Los portadores de carga se van acumulando en la cara su-perior,generando un campo eléctrico que se conoce como campo eléctricodeHall EH entre la cara superior e inferior, llegando a ser de tal magnitudquela fuerza eléctrica producida por EH es igual en magnitud, pero endireccióncontraria a la fuerza magnética cjue actúa sobre los portadoresdecarga resultando una fuerza neta igual a cero. Como se muestra en eldiagrama vectorial de la figura 6.7 Y que lo podemos expresar matemá-ticament'epor: .

F = qE11 - q (v X B) = O (6.5)

En la Ec. 6.9 todas las cantidades son medibles excepto n que esdnúmero de portadores de carga por unidad de volumen. Para metalemonovalentes se ha encontrado que el cálculo de n por medio de la Ec6.9 y experimentalmente son casi iguales.

De la Ec. 6.8 podemos determinar si los portadores de carga son posi.tivos o negativos; si el potencial en el punto "y" es mayor con respecto

Elpotencial de Hall lo podemos calcular a partir de la E . (3.3), nton s:

comola plata es rnonovalente, entonces por cada átomo tenemos un por-tador de carga, el peso atómico de la plata es 108 y su densidad es

'P= 10.5 g/cm3 por lo tanto, el número de ?tomos en 1 cm" es:como podemos ver de la ecuación 6.1 el campo de Hall es directamente

. 1 1 . 1 'proporclOna a a cornente y al campo magnético. El factor - se conocene

comúnmente con el nombre de coeficiente de Hall y A es la sección trars donde1\'.1 es el número de Avogadro y M el peso molecular ,versa! de la lámina igual a "td", Sustit d l

< • I usti uyen o va ores:Para determinar la diferencia de potencial entre los puntos "y" y "x' '.

podemos hacerlo a partir del campo de Hall de la Ec. 6.7, como la barn]es simétrica obtenemos que:

t ,-EH =--B

nqA(6.1)

efecto hall 147146 campo magnético

,fB/

//

/

"r" los portadores son positivos pero lo que sucede cuando se hace el cx peri-,lle;lto,se encuentra que en una placa conductora bajo estas condiciones el pun-

11 d . I "" ., I d do"r " es e mayor potencia que y y por consrgurente os porta ores e car-t 'son nezativos y su velocidad es en sentido contrario al qu~ se indica en la Fig_fJ. . nr

6.,60 •

Fm

)----v

EH

Fig. 6.7.

. Ejemplo 2Un conductor de plata en forma de cinta tiene 1 cm de ancho y .1 cm

le espesor. Si introducimos la cinta perpendicularmente a la dirección deun campo magnético de 1 tesla y pasa una corriente de 10 amperes por lacinta,¿ qué diferencia de potencial de Hall se produce en la cinta?

de donde: (Solución:(6.6) De, la Ec. 6.7 tenemos que:

de la ecuaClOn 4.3 despejamos la velocidad de desplazamiento y sustitui.mos en la ecuación 6.6 obteniendo:

z .EH = -'-B

nqA

n = 5.9 X 10'2 portadores de carga/cm3= 5.9 X 1025 portadores de carga/m3

VH = ElldSustituyendo valores en' la Ec. 6.7 en el sistema MKS obtenemos:

(6.8)

sustituyendo el campo de la ecuación 6.7 tenemos que:z (10 amp) (1 tesla)

EII = -- B = ----------=-----'-------nqA (5.9XlO,sp/m3) (1.6XlO-19coul) (1Q-Sm2)

. .t z

VH= --Bd =-Bnqtd nqt

(6.9)volts.

= 1.06 X 10-'--metro

VH = Elld

Sustituyendo datos obtenemos que:

VII I.() XIII V( [IR.

152 campo magnético

y

B x

A

n

z

Fig. 6.10.

donde ¡í. tiene la dirección del vector unitario ñ del área. La Ec. (6.18)es válida para cualquier espira plana de área A con una corriente. Unaespira o varias espiras se conocen comúnmente con el nombre de bobina.El momento para la bobina con N vueltas es: .

T = NAiñ X B (6.19)

donde NAi es el momento del dipolo magnético ¡;. de la bobina, podemosescribir la Ec. (6. 19) de la siguiente forma:

momento sobre una espira con corriente 153

esta energía potencial almacenada por el momento del dipolo magnéticoen el campo magnético externo es el trabajo que tiene que realizar unagente externo para hacerla girar un ángulo () a partir de su posiciónde energía cero.

Ejemplo 4

Una bobina rectangular de lados a y b de N vueltas, pasa por ellauna corriente i ¿ Cuál es la máxima energía que almacena al hacer un~ro completo en un campo magnético externo B, tomando como posi-ción inicial () = 0°? tome a = 0.04 m, b = 0.05 m, i = 2 arnperes.B =' 10 tesla N = 100 vueltas

Solución:

De la Ec. (6.22) tenemos que la. energía almacenada es:

u = - ¡í. . B = - p.E cos e

de donde vemos que la máxima energía es para cuando () = «, esto es:

U iDfU =s p.E .

(6.20) donde po = NiA por lo tanto: u = NiAB

que es muy similar a la Ec. 3.15 para el caso de un dipolo eléctrico en . sustituyendo valores:un campo eléctrico externo.

~=¡;XE (3.15)

En la sección 3.6 veíamos la energía almacenada por el dipolo eléc-trico. De una forma similar podemos calcular la energía almacenada.por una bobina o para cualquier dipolo magnético, cuando está alineadaa un campo magnético exterior, si se desea cambiar su orientación, con-sideramos que la energía magnética almacenada es cero cuando el ánguloe entre ¡;. y B es de 90°, es decir, que son perpendiculares entre sí. Laenergía potencial magnética se define de acuerdo a la siguiente ecua-ción: )

U = J T de = J. p.B sen e de = - p.B cos ev,

(6.21)

que se puede expresar en notación vectorial por:

U = -}í.' B (6.22) Ypara calcularlo lo podemos hacer por determinantes, esto es:

u = (100) (2amp)(20 X 10-4 m") (lOtesla)= 4 joules.

Ejemplo 5

El momento magnético de una espira con corriente es jí. = iJ + 3k.Si se encuentra en un campo magnético externo B = 4i + J, calcule el.momento de torsión.

. Solución:

De la Ec. (6.18) tenemos que:

T'=¡;'XB

154 campo magnético

T = ¡-J-d o~¡ = -3i + 12J - 8k nt - 172.ti- 1

y su magnitud es:

H = 14.73 Nt - 172.

6.7 MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS ENUN CAMPO MAGNETICO. EL CICLOTRON

En la sección 6.3, analizamos la desviación que sufren las partículascargadas con una velocidad cuando entran a una región del espacio con

C::lIllpOmagnético. Suponiendo que el campo magnético es uniforme rla velocidad es perpendicular al campo, la partícula experimenta unafuerza F = quB que cambia la dirección de la velocidad pero no varíasu magnitud, describe un movimiento circular en un plano, como semuestra en la Fig. 6.11, paJa que la partícula describa la trayectoria

x X X X X X

X X

X X

X X

uX X

+1]X X X X X X

Fig. 6.11.

circular es necesario que la fuerza sea centrípeta, que de acuerdo a lasegunda ley de Newton tenemos que:

u2

F=m-r

i~:f

que es igual a la fuerza que obtenemos en la Ec. (6.2) y sustituyendo en

la Ec. (6. 23), tenemos que:

u2

quB = m-r

(6.23)

el ciclotrón 155

o bien:mu

r=-qB

(6.24)

donde r es el radio de la trayectoria circular que describe la partícula.De la relación u = wr sustituyéndola en la Ec. (6 _24) encontramos lavelocidad angular w, esto es:

qBw=--

m(6.25)

en la Ec. (6.25) observamos que la velocidad angular depende de larelación q/ m que son características propias de la partícula y de la inten-sidad del campo magnético.

El principio del ciclotrón, que es un acelerador de partículas que operaciclícamente, se basa. en el hecho de que la trayectoria de una partículacargada en un campo magnético es circular, que presenta una granventaja sobre los aceleradores electrostáticos, ya que en el ciclotrón unacarga eléctrica se puede acelerar muchas veces por la misma diferenciade potencial que es relativamente pequeña comparada con la de losaceleraGores electrostáticos, además, de que en éstos, por el hecho de quelas partículas siguen una trayectoria lineal son de dimensiones muygrandes. En la Fig. 6.12 se esquematizan los componentes principales del

rl j I j 1 14---4-J ~Fu('nlc de voltaje

~--.... oscilante

D,

1I j j lB] ]Fig. 6.12. Componentes principales del ciclotrón.

156 campo magnético

i lotrón, que es una cavidad cilíndrica dividida en dos mitades qUer ciben el nombre de "De>', cada una por su forma. Las Des se colocann un campo magnético uniforme paralelo a su eje, y ambas están

aisladas eléctricamente entre sí y conectadas a una fuente de voltajeoscilante.

En el centro del espacio entre las Des se coloca una fuente de iones1; cuando el ion es positivo se acelera hacia la De negativa, dentro deésta no experimenta fuerza eléctrica debido a que e! campo eléctricodentro de un conductor es cero, experimentando solamente la fuerza mag_nética que obliga. a los iones a describir trayectorias circulares con un.radio dado por la Ec, (6.24) Y con una frecuencia angular dada por laEc. (6.25). La fuente de voltaje entre las "Des" oscila con una frecuen,cia igual a la de los iones. De aquí que la fuente de voltaje está enresonancia con la trayectoria circular de los iones. Cada vez que elion completa media revolución se invierte la polaridad entre las Desrecibiendo una ace!eración en e! espacio que hay entre las Des, descri, .biendo un semicírculo 'con un radio algo mayor, pero con la mismavelocidad angular. Este proceso se repite varias veces hasta que el ion alcan-za un radio casi igual al de las "Des") saliendo tangencialmente y siendoguiado hacia alguna dirección conveniente por algún campo eléctrico omagnético.

De esta forma el ion puede alcanzar energías del orden de Mev. Confuentes de voltaje relativamente modestas (de! orden de 105 volts).

Ejemplo 6

Se desea diseñar un ciclotrón como el que se muestra en la Fig. 6.12con un radio de la' "De" de 1 metro y que el valor del campo magnéticosea de 0.65 tesIa, a) ¿ Cuál es e! valor de la frecuencia de oscilación?

b) ¿ Cuál es la energía de! protón al salir de! ciclotrón?

Solución:

A) De la Ec. (6.25) obtenemos la frecuencia I de! protón que esla misma frecuencia lo de la fuente de voltaje oscilante, que es el prin-cipio de operación del ciclotrón.

w qBt=-=-271" 2" m

sustituyendo valores:

( 1.6 X 10-19 coul) (0.65 tesla)t = ~--------(2) (3.14) (1.67 X 10-"7 kg)

1 X 107 ciclos/seg,

examen de autoevaluación 157

B) De la Ec. (6.24l tenemos que la velocidad depende del radio rde la partícula que en este caso es el radio de las "Des") despejando la velo-cidad '1 sustituyendo en la ecuación de la energía cinética tenemos:

(qBR)2K = V2 mtr = V2 m --;;-

stlstituyendo valores:

(1.6 X 10-19 coul) 2 (0.65 tesla)? (1 m)2K = = 3.1 X 10-12 joules.

2 (1.67 X 10-27 kg)

Convirtiendo a Meu:

K = 3.1 X 10-12( 1 ) = 19.4 Mev1.6 X 10-13

EXAMEN DE AUTOEV ALUACION

6.1 El flujo magnético.

--a) sus unidades son webers.---b) para una superficie gaussiana dentro de un imán es cero.·_-c) es una cantidad vectorial.--d) se define con la ecuación:

6.2 Una partícula con carga q y velocidad v entra a un campo magné-tico como se muestra en la Fig. 6.13.

x X X X X X

X X X X X Xqo--

v X X X X X X

X X X X X X

Fig. 6.13.

_ .. __ a) SI la carga es pos.uva, se ch-svia h;\('ia la parte supcrir».-_o -- -b) la JII:1gnitlld de su vl'!oci(\¡¡<! :t \11111"11 L¡\.