ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

Carrera de Ingeniería Electrónica y ControlPROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

PRÁCTICA N°11. TEMA

FENÓMENO DE GIBBS

2. NOMBRE

Cando JonathanCampaña OrlandoPérez Saúl

3. OBJETIVOS

Dar a conocer que es el fenómeno de Gibbs

Fenómeno de Gibbs

Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene un comportamiento especial en dicho punto. Este comportamiento se llama fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto las sumas parciales de la serie de Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas.

Esto nos da a conocer que al construir una señal cuadrada mediante series de Fourier no es posible conseguir la onda cuadrada perfecta, siempre se obtendra un pico de la misma amplitud y mayor frecuencia como se lo demuestra en las siguientes imágenes.

Fig. 1 SEÑAL SINUSOIDAL PERFECTA

Fig2. SUMA DE LAS DIEZ PRIMERAS ARMÓNICAS

Fig3. SUMA DE LAS CIEN PRIMERAS ARMÓNICAS

Matemáticamente tenemos:Aunque el teorema de Dirichlet nos garantiza que en una discontinuidad de una función “f(x)” la serie de Fourier converge a:

f*(x) = [f(x-) + f(x+)] / 2.

La serie presentará un pico próximo a la discontinuidad. Este pico se acercará más a la discontinuidad al sumar más términos de la serie, pero su amplitud “δ” no disminuye cuando

el número de términos sumados tiende a infinito. El valor de “δ” es proporcional a la magnitud de discontinuidad en “x0”.

Ejemplo Práctico

n=input('Número de términos: ');hold onx=[-1 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1];y=[0 0 1 1 0 0];plot(x,y,'b')x=linspace(-1,1,100);y=zeros(length(x),1);for i=1:length(x) y(i)=1/2; for k=1:2:n y(i)=y(i)+(-1)^((k-1)/2)*2*cos(k*pi*x(i))/(k*pi); endendplot(x,y, 'r');title(sprintf('Aproximación de Fourier: %i términos',n))xlabel('t'); ylabel('f(t)')hold off

>> deber2Número de términos: 3

>> figure>> deber2Número de términos: 20

>> figure>> deber2Número de términos: 80

>> figure >> deber2Número de términos: 150

>> figure>> deber2Número de términos: 300

>> figure>> deber2Número de términos: 3>> deber2Número de términos: 20>> deber2Número de términos: 40

Como se puede determinar no es posible crear una onda cuadrada perfecta mediande las suma de Fourier ya que se presenta el efecto Gibbs.

Bibliografía:http://estudiarfisica.com/2009/04/20/metodos-matematicos-iii-3-series-de-fourier-coeficientes-convergencia-fenomeno-de-gibbs-funciones-pares-e-impares-derivacion-e-integracion-de-fourier-convergencia-en-media-notacion-compleja/

https://www.youtube.com/watch?v=YyR8YXMwisY

https://www.youtube.com/watch?v=yea0V_lZ5kk

https://www.youtube.com/watch?v=BTOr517673k

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/kiosco/files/gibbs.pdf