1

Reservados todos los derechos. Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo, 22 y 23 de Junio de 2000”. ISBN: 84-699-2357-9

EFECTO DE UN CAMBIO EN LA FUNCIÓN DE TENDENCIA SOBRE EL CONTRASTE KPSS

María José Presno Casquero -mpresno@econo.uniovi.es

Carmen Ramos Carvajal – cramos@econo.uniovi.es Universidad de Oviedo

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EFECTO DE UN CAMBIO EN LA FUNCIÓN DE TENDENCIA SOBRE EL CONTRASTE KPSS

Autores: María José Presno Casquero Carmen Ramos Carvajal Dpto de Economía Aplicada Universidad de Oviedo

En la literatura de contrastes de raíz unitaria ha sido ampliamente discutida la

importancia de una correcta especificación de la tendencia determinista. Los trabajos de

Rappoport y Reichlin (1989) y Perron (1989) ampliarían este aspecto a la necesidad de

incluir las posibles rupturas sufridas por la serie. Sin embargo, pocos estudios se han centrado

en el efecto de estos cambios sobre los contrastes de estacionariedad.

En este trabajo nos proponemos analizar, mediante procedimientos de Monte Carlo, las

consecuencias sobre el test desarrollado por Kwiatkowski y otros (1992) de la presencia de

rupturas estructurales que afectan a la función de tendencia, constando la inadecuación de la

aplicación del contraste en procesos con estas características.

Palabras clave: rupturas estructurales, contraste KPSS, tamaño y potencia del test.

Area Temática G3: Métodos Cuantitativos; Métodos Econométricos.

3

I. INTRODUCCIÓN

Los últimos años han sido testigos de un gran desarrollo de distintas técnicas que

posibilitan el análisis de la existencia de raíces unitarias en las series económicas. Un hito en

este sentido lo constituye el trabajo de Dickey y Fuller (1979), quienes derivan un test (DF)

que especifica como hipótesis nula la existencia de una raíz unitaria. Posteriores estudios

ampliarían este contraste a situaciones en las que las perturbaciones presentan

autocorrelación, al análisis de un orden de integración superior, al estudio de la existencia de

raíces unitarias en las frecuencias estacionales o a la exploración de la integrabilidad de series

que sufren rupturas estructurales en su evolución.

Este último aspecto fue analizado por Rappoport y Reichlin (1989) y Perron (1989,

1990), quienes demuestran que cuando la serie es estacionaria en torno a un nivel o a una

tendencia determinista, la presencia de una ruptura estructural en el proceso generador de

datos hace que el estimador del parámetro autorregresivo se aproxime a la unidad. Los

estudios que posteriormente llevaron a cabo Montañés (1997) y Montañés y Reyes (1998)

permitieron demostrar que, en términos generales, los estadísticos Dickey-Fuller no están

asintóticamente sesgados a favor de la hipótesis nula, resultando posible el rechazo para

determinadas combinaciones de tamaño muestral, magnitud y posición relativa de la ruptura en

la muestra; no obstante, constatan mediante procedimientos de Monte Carlo que la conclusión

de Perron (1989, 1990) es válida para los tamaños muestrales habituales.

El comportamiento anómalo de los contrastes de raíz unitaria cuando las series

analizadas presentan cambios motivó el desarrollo de tests que incorporan estas rupturas,

tanto de modo exógeno (Perron (1989, 1990)) como introduciendo mecanismos que permiten

4

la determinación endógena del punto de cambio (Zivot y Andrews (1992), Perron y

Vogelsang (1992), Banerjee y otros (1992) cuando la serie sufre un único cambio, o

Lumsdaine y Papell (1997) y Clemente y otros (1997), quienes analizan la posibilidad de dos

rupturas).

Una crítica que han recibido los contrastes de integrabilidad es que adoptan como

hipótesis nula la existencia de raíz unitaria en la serie objeto de estudio, supuesto que -

siguiendo la metodología de los contrastes clásicos- no se rechaza a menos que exista una

fuerte evidencia en contra. Como consecuencia, la aplicación empírica de estos contrastes

conduce a menudo a la conclusión de que las series económicas son integradas.

La escasa potencia y las distorsiones en tamaño que afectan a algunos contrastes de

raíces unitarias, unida a la conveniencia de analizar la hipótesis de cointegración (en lugar del

supuesto de no cointegración que conllevan los contrastes de raíz unitaria) y a la necesidad de

llegar a conclusiones fiables sobre la naturaleza de las series económicas, motivó el desarrollo

de contrastes cuya hipótesis de partida es la estacionariedad. Algunas aportaciones en este

sentido aparecen en los trabajos de Kwiatkowski y otros (1992) (KPSS en adelante),

Leybourne y McCabe (1994) o Choi (1994), autores que defienden también la aplicación

combinada de ambos tipos de contrastes.

Sin embargo, estos tests tampoco están exentos de problemas cuando la serie objeto

de estudio sufre rupturas en su evolución. En concreto, Lee y otros (1997) estudian el

comportamiento asintótico del test KPSS cuando el proceso generador de datos (PGD) está

sujeto a un cambio estructural, demostrando que bajo la hipótesis nula de estacionariedad, el

test diverge y tiende a rechazar esta hipótesis. Asimismo, bajo la hipótesis alternativa de raíz

5

unitaria, la distribución asintótica del test no se ve afectada. En Presno y López (1998) se

analiza el comportamiento en muestras finitas del test diseñado para el estudio de la hipótesis

de estacionariedad en torno a un nivel constante; en este trabajo nos proponemos efectuar la

extensión de este análisis a series que presentan tendencia determinista, investigando mediante

procedimientos de Monte Carlo el efecto sobre el tamaño y la potencia de cambios en el

término independiente de la función de tendencia, en la tasa de crecimiento y en ambos.

II. EL CONTRASTE KPSS

Kwiatkowski y otros (1992) consideran una representación de componentes

inobservados en la que asumen que la serie se especifica como la suma de una tendencia

determinista, un paseo aleatorio y un componente estacionario1:

t1tt

ttt

u

ty

+µ=µε+β+µ=

−

(1)

donde ε t son iidN(0, σ2ε), ut iidN(0, σ2

u), y µ0 es fijo y desconocido, jugando el papel de

constante. Sobre este modelo se contrasta:

0:H

0:H2u0

2u0

>σ

=σ

de modo que bajo la hipótesis nula el proceso es estacionario en torno a una tendencia

constante, mientras que bajo la alternativa presenta una raíz unitaria.

1Esta expresión se puede derivar como un caso especial del modelo de espacio de los estados estudiado por Nabeya y Tanaka (1988) para el contraste de la hipótesis de constancia en los coeficientes de regresión frente a la alternativa de paseo aleatorio. En este trabajo nos centraremos exclusivamente en la propuesta que incorpora tendencia en la especificación del test. No obstante, Kwiatkowski y otros (1992) también abordan el análisis para series que no presentan tendencia determinista.

6

El estadístico de contraste es el de los Multiplicadores de Lagrange (ML), que coincide

con el test Invariante Localmente de Máxima Potencia2, y que Kwiatkowski y otros (1992)

derivan como un caso especial del estadístico analizado por Nabeya y Tanaka (1988):

2T

1t

2t ˆSML ε

=

σ= ∑

donde ∑=

=t

1iit eS t=1, 2, …, T, siendo et los residuos de la regresión de yt sobre constante y

tendencia lineal; 2ˆ εσ es el estimador de la varianza del error de esta regresión.

No obstante, hemos de tener presente que el supuesto de que los errores ε t son iidN(0,

2εσ ) resulta demasiado restrictivo, por lo que se relaja permitiendo dependencia en el tiempo y

asumiendo que los errores satisfacen las condiciones de regularidad de Phillips y Perron

(1988) o de Phillips y Solo (1989) que permiten considerar procesos ARMA. Así se deriva el

estadístico de contraste:

∑−µ =η )(sSTˆ 22

t2 l (2)

donde s2(l) es un estimador consistente de σ2:

( )2

T1

T

2 SETlim −

∞→=σ

En concreto, Kwiatkowski y otros (1992) sugieren:

∑ ∑ ∑= = +=

−−− ω+=

T

1t 1s

T

1ststt

12t

12 ee),s(T2eT)(sl

ll

donde ω(s,l) es la ventana de Bartlett con una amplitud3 l:

2 El test es invariante ante transformaciones del tipo y→yα+µ+ct, µ0→αµ0+b, β→αβ+c, 222

εε σα→σ ,

con 0<α∈R1, b∈R1 y c∈R1. 3 La selección del núcleo y de l son los factores que ejercen influencia sobre la varianza a largo plazo, por lo que diversos trabajos, entre los que podemos citar a Kim y Schmidt (1990), Lee (1996) y Hobijn y otros (1998), han analizado el efecto de estos aspectos, discutiendo la conveniencia de otras elecciones.

7

1s

1),s(+

−=ωl

l

Otra alternativa de similares características para el contraste de estacionariedad es la

propuesta por Leybourne y McCabe (1994), que difiere de la anterior en el tratamiento de la

autocorrelación. Frente a la corrección no paramétrica de KPSS, Leybourne y McCabe

realizan una corrección paramétrica similar a la del test ADF. No obstante, en este trabajo nos

centraremos en el test KPSS, si bien muchos de los resultados son extensibles a este test.

III. COMPORTAMIENTO DEL TEST KPSS ANTE CAMBIOS EN NIVEL Y EN

TENDENCIA: UN ESTUDIO DE MONTE CARLO PARA MUESTRAS FINITAS

El objetivo central de este trabajo es analizar el efecto sobre el test KPSS de cambios

estructurales que afectan al nivel y/o a la tasa de crecimiento de la serie. Como ya

comentamos en la introducción, Lee y otros (1997) estudian el comportamiento asintótico del

test en este escenario, constatando su divergencia, y que bajo la hipótesis alternativa no se ve

afectado. Sin embargo, nuestro análisis se centrará en el estudio del funcionamiento del

contraste en muestras finitas, examinando el efecto de factores como el sentido, la magnitud y

ubicación del cambio, o el tamaño muestral. Para ello generamos series bajo el siguiente PGD:

t1tt

ttttt

u

DTtDUy

+µ=µε+δ+β+γ+µ=

−

(3)

donde DUt=0 si t≤Tb, y 1 en caso contrario; DTt=0 si t≤Tb, y t-Tb en el resto; Tb indica el

momento en el que se produce la ruptura, mientras que γ y δ recogen la magnitud de la misma

en el nivel y en la tendencia respectivamente.

8

En nuestros experimentos generamos series en las que la ruptura se produce en distintas

posiciones relativas dentro de la muestra, que denotamos por λ (λ=Tb/T), en concreto λ=0.1,

0.3, 0.5, 0.7 y 0.9, considerando diversos tamaños muestrales: T=100 y 500, y con γ=0, ±1,

±3 y δ=0, ±0.2, ±0.5, ±1, ±2. Para cada uno de los experimentos realizamos 5000

repeticiones, y consideramos que β=1 y que ε t ∼iidN(0, 2εσ ), ( 2

εσ =1), con lo que l=0. Sobre

estas series analizamos el efecto sobre el tamaño y la potencia -esto es, tanto bajo la hipótesis

nula de estacionariedad como bajo la alternativa de existencia de raíz unitaria- de cada una de

estas combinaciones de factores.

III.1.TAMAÑO DEL TEST

Nuestro estudio comienza con la generación de series bajo el PGD (3) con 02u =σ y

100 observaciones, sobre las que aplicamos el test KPSS. El tamaño empírico del estadístico

para un nivel del 5% se recoge en la tabla A.I del anexo, mientras que algunas medidas

relevantes que pueden ayudar a la explicación de estos resultados, aparecen en la tabla A.II.

El efecto diferencial del tamaño muestral se puede explorar a partir de la tabla A.III, que

incluye estas mismas medidas para muestras con 500 observaciones y un abanico más

restringido de magnitudes de rupturas.

La observación de estas tablas nos permite concluir que, en general, se producen

importantes distorsiones en el tamaño del test que se acentúan con el incremento del tamaño

muestral hasta el punto de que en los casos analizados, para muestras con 500 observaciones,

el porcentaje de rechazos alcanza invariablemente el 100%; este hecho viene a confirmar la

divergencia del estadístico demostrada por Lee y otros (1997). No obstante, la visión de las

9

tablas también nos permite definir un comportamiento diferenciado en función de la forma de

actuación de la ruptura sobre los distintos componentes de la serie, esto es, dependiendo de

que los cambios afecten al término independiente de la función de tendencia, a su pendiente, o

a ambos elementos, esto es, los modelos definidos por Perron (1989) como A, B y C

respectivamente.

Cambio en el término independiente

En los casos en los que la ruptura afecta exclusivamente a los niveles de la serie, la

observación de las tablas nos permite detectar la existencia de importantes distorsiones en el

tamaño del test. El análisis de estas tablas también nos revela otros aspectos interesantes:

∗ Las distorsiones en tamaño parecen mostrarse independientes del sentido del cambio,

mientras que guardan una relación directa con la magnitud de ruptura.

∗ Las medidas de las tablas A.II y A.III nos revelan la existencia de un comportamiento

simétrico del estadístico en torno a λ=0.5, mostrándonos una mayor gravedad en las

conclusiones erróneas que se desprenden del test a medida que la ruptura se aleja del

centro y de los extremos de la muestra.

Cambio en la tasa de crecimiento

El análisis de series afectadas por cambios en su pendiente nos revela la existencia de

distorsiones que, para las magnitudes de cambio consideradas, llevan a rechazos que alcanzan

en general el 100%, y a concluir por lo tanto que la serie presenta una raíz unitaria.

Un estudio con mayor profundidad de las tablas nos permite descubrir algunos rasgos

coincidentes y otros diferenciales con respecto al caso de estudio anterior:

10

∗ Entre los primeros podemos destacar que se mantiene la relación directa con la

magnitud de ruptura y la independencia con respecto al sentido de la misma.

∗ Sin embargo, y a diferencia del caso en que la ruptura afecta exclusivamente a los

niveles medios de la serie, los resultados revelan unos mayores valores del estadístico a

medida que el cambio se aproxima al centro de la muestra. También en relación con la

influencia de la posición del cambio, podemos afirmar que para valores de λ simétricos

respecto a λ=0.5, las mayores distorsiones surgen cuando la ruptura se produce en la

segunda mitad de la muestra.

Cambio mixto

En este último caso de estudio el estadístico muestra una dinámica en cierto modo

diferencial a la observada en las situaciones anteriores4:

∗ El comportamiento coincide cuando las rupturas que afectan al término independiente y

a la tasa de crecimiento son del mismo signo, al igual que sucede cuando ambas se

mueven en sentidos contrarios. En el primero de los casos las distorsiones son menores

cuando la ruptura se aproxima al extremo inferior de la muestra, mientras que en el

segundo sucede lo contrario.

∗ Cuando la serie contiene 100 observaciones, para alguna combinación de rupturas

localizadas en puntos extremos de la muestra, al aumentar la magnitud de los cambios

disminuyen las distorsiones en tamaño, alcanzando en algunos casos valores muy

próximos al nivel nominal. Esto coincide con lo observado por Montañés y Reyes

(1998) para el test ADF, quienes concluyen que para ciertas combinaciones es posible

el rechazo si la ruptura está próxima al inicio de la muestra.

11

Un último aspecto que podemos comentar es que el comportamiento referido a la

dependencia con respecto a la posición relativa de la ruptura en la muestra y la magnitud y

sentido de la misma, se mantiene para series con un número superior de observaciones, tal y

como nos revelan las medidas contenidas en la tabla A.III, donde aparecen los resultados

para muestras con 500 datos; no obstante, para este tamaño muestral el porcentaje de

rechazos se eleva al 100% como consecuencia de la divergencia del test.

III.2.POTENCIA DEL TEST

En lo que se refiere al comportamiento del test bajo la hipótesis alternativa, Lee y otros

(1997) demuestran que la distribución asintótica no se ve afectada por la existencia de

rupturas. En este trabajo, sin embargo, abordaremos este aspecto analizando muestras de

tamaño finito mediante procedimientos de Monte Carlo. Para tal fin generamos series bajo el

PGD (3) considerando los valores del cociente señal-ruido, 2

2uqεσ

σ= , analizados por

Kwiatkowski y otros (1992). Los resultados para muestras de tamaño 100 se recogen en la

tabla A.IV.

Se puede observar que para valores muy reducidos de q, como era de esperar, el

porcentaje de rechazos es muy similar al observado en el tamaño del test, y en todos los

casos superior al obtenido por Kwiatkowski y otros (1992) para series sin rupturas. También

resultaba previsible la relación directa entre la potencia y el valor de q y el tamaño muestral,

hecho este último comprobado tras el estudio de muestras con 500 observaciones.

4 Montañés y Reyes (1998) demuestran que el estadístico Dickey-Fuller no coincide en los modelos B y C.

12

IV. CONCLUSIONES

A lo largo de este trabajo hemos analizado, mediante procedimientos de Monte Carlo,

las consecuencias de la aplicación del contraste KPSS a series afectadas por rupturas que

inciden sobre el término independiente de la función de tendencia, la tasa de crecimiento de la

serie, o ambos. Nuestros experimentos contemplaron aspectos como la influencia de la

magnitud y sentido de la ruptura o la ubicación de la misma en series con diferente tamaño

muestral. La conclusión final que podemos extraer del estudio es que, en general, se aprecian

importantes distorsiones en el tamaño del test que conducen a pensar que la serie presenta

una raíz unitaria. Sin embargo, este aspecto está sujeto a matizaciones, puesto que para

rupturas de tipo mixto pudimos observar que, para algunas combinaciones de cambios

ocurridos en muestras de tamaño 100 y en puntos extremos, es posible el correcto rechazo de

la hipótesis nula. No obstante, y como resultado de la divergencia del test, este

comportamiento no se mantiene en series con un número elevado de observaciones, como

500.

De todo esto se desprende la necesidad, al igual que en el test ADF, de incorporar las

rupturas en la especificación del contraste KPSS. Una posibilidad, ya explorada en otros

trabajos, es incorporar variables ficticias para recoger el efecto de los cambios, bien

considerando las rupturas de modo exógeno como Perron (1989), o incorporando

mecanismos que permitan la determinación endógena del punto de cambio (Banerjee y otros

(1992), Zivot y Andrews (1992)).

13

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Banerjee, A., Lumsdaine, R.L. y Stock, J.H. (1992): “Recursive and Sequencial Tests of the

Unit-Root and Trend-Break Hypotheses: Theory and International Evidence”, Journal of

Business and Economic Statistics, 10, 3, pp. 271-287.

Christiano, J.L. (1992): “Searching for a Break in GNP”, Journal of Business and

Economic Statistics”,10, 3, pp. 237-250.

Choi, I. (1994): “Residual Based Tests for the Null of Stationarity with Applications to U.S.

Macroeconomic Time Series”, Econometric Theory, 10, pp. 720-746.

Clemente, J., Montañés, A. y Reyes, M. (1998): “Testing for a Unit Root in Variables with

Double Change in the Mean”, Economics Letters, 59, pp.175-182.

Dickey, D. y Fuller, W. (1979): “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time

Series”, Journal of the American Statistical Association, 74, 427-431.

Hobijn, B., Franses, P.H. y Ooms, M. (1998): “Generalizations of the KPSS-test for

Stationarity”, Documento de Trabajo 9802/A. Econometric Institute, Erasmus University

Rotterdam.

Kim, K y Schmidt, P. (1990): “Some Evidence on the Accuracy of Phillips-Perron Tests

Using Alternative Estimates of Nuisance Parameters”, Economics Letters, 34, 4, pp. 345-

350.

Kwiatkowski, D., Phillips, P.C.B., Schmidt, P., y Shin, Y. (1992): “Testing the Null

Hypothesis of Stationary against the Alternative of a Unit Root. How Sure are we that

Economic Time Series have a Unit Root?”, Journal of Econometrics, 54, pp. 159-178.

Lee, D. y Schmidt, P. (1996): “On the Power of the KPSS test of Stationarity Against

Fractionally-Integrated Alternatives”, Journal of Econometrics, 73, 1, pp. 285-302.

Lee, J. (1996): “On the Power of Stationarity Tests Using Optimal Bandwidth Estimates”,

Economics Letters, 51, 2, pp. 131-137.

Lee, J., Huang, C.J. y Shin, Y. (1997): ”On Stationary Tests in the Presence of Structural

Breaks”, Economic Letters, 55, pp. 165-172.

Leybourne, S.J. y McCabe, B.P.M. (1994): ”A Consistent Test for a Unit Root”, Journal of

Bussiness and Economics Statistics, 1994, 12, pp. 157-166.

14

Lumsdaine, R.L. y Papell, D.H. (1997): ”Multiple Trend Breaks and the Unit Root

Hypothesis”, The Review of Economics and Statistics, 79, pp. 212-218.

Montañés, A. (1997): “Comportamiento Asintótico de los Contrastes de Dickey-Fuller en

Variables con un Cambio en la Media”, Estadística Española, 39, 142, pp. 232-240.

Montañés, A. y Reyes, M. (1998): “Effect of a Shift in the Trend Function on Dickey-Fuller

Unit Root Tests”, Econometric Theory, 14, 3, pp. 355-363.

Nabeya, S. y Tanaka, K. (1988): “Asymptotic Theory of a Test for the Constancy of

Regression Coefficients against the Random Walk Alternativa”, The Annals of Statistics,

16, 1, pp. 218-235.

Perron, P. (1989): “The Great Crash, the Oil Price Shock, and the Unit Root Hypothesis”.

Econometrica, 57, pp. 1361-1401.

Perron, P. (1990): “Testing for a Unit Root in a Time Series with a Changing Mean”, Journal

of Business and Economic Statistics, 8, 2, pp. 153-162.

Perron, P. y Vogelsang, T.J. (1992): “Nonstationarity and Level Shifts With an Application to

Purchasing Power Parity”. Journal of Business and Economic Statistics, 10, 3, pp. 301-

320.

Phillips, P.C.B. y Perron, P. (1988): “Testing for a Unit Root in Time Series Regression”,

Biometrika, 75, pp. 335-346.

Phillips, P.C.B. y Solo, V. (1989): “Asymptotics for Linear Processes” Discussion Paper nº

932, Cowles Foundation, Yale University, New Haven, CT.

Presno, M.J. y López, A.J. (1998): “Cambios Estructurales en Series Económicas. Una

Propuesta de Modificación del Test KPSS”. Documento de Trabajo 2/98 Hispalink-

Asturias.

Rappoport, P. y Reichlin, L. (1989): “Segmented Trends and Non-Stationarity Time Series”,

The Economic Journal, 99, pp.168-177.

Zivot, E., Andrews, D.W. (1992): “Further Evidence on the Great Crash, the Oil-Price

Shock, and the Unit-Root Hypothesis”, Journal of Business and Economic Statistics,

10, pp. 251-270.

15

ANEXOS

γγ // δδ λλ =0.1 λλ =0.3 λλ =0.5 λλ =0.7 λλ =0.9 1/0 -1/0

34.7 35.3

55.4 56.5

24.8 24.5

56.2 56.1

35.1 34.9

3/0 -3/0

99.96 100

100 100

99.62 99.60

100 100

99.96 100

0/0.2 0/-0.2

32.36 33

100 100

100 100

100 100

46.40 45.1

0/0.5 0/-0.5

98.94 100

100 100

100 100

100 100

99.98 100

0/1 0/-1

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

0/2 0/-2

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

3/0.2 -3/0.2 3/-0.2 -3/-0.2

89.50 100 100 90.1

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 85.2 83.14 100

3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5

10.90 100 100 11.3

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 4.6 4.1 100

3/1 -3/1 3/-1 -3/-1

84.60 100 100 83.1

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 99.9 100 100

3/2 -3/2 3/-2 -3/-2

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

Tabla A.I: Tamaño del test KPSS (PGD (3), 02

u =σ , T=100, α=0.05)

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Media Desviación típica Mínimo Máximo Asimetría Curtosis 5 γγ // δδ λλ 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

1/0 -1/0

0.13 0.13

0.18 0.18

0.11 0.12

0.18 0.18

0.13 0.13

0.07 0.08

0.11 0.10

0.06 0.06

0.10 0.10

0.08 0.08

0.02 0.02

0.01 0.02

0.02 0.02

0.02 0.02

0.02 0.01

0.46 0.62

0.72 0.55

0.40 0.33

0.65 0.54

0.49 0.72

1.37 1.45

1.19 0.86

1.04 0.89

1.06 0.92

1.42 1.51

5.30 6.58

4.90 3.54

4.54 3.63

4.29 3.73

5.20 6.24

3/0 -3/0

0.45 0.45

0.70 0.72

0.35 0.35

0.71 0.71

0.45 0.45

0.12 0.13

0.15 0.15

0.08 0.07

0.15 0.15

0.12 0.12

0.14 0.19

0.23 0.26

0.09 0.09

0.25 0.31

0.13 0.18

0.99 0.83

1.37 1.13

0.63 0.62

1.32 1.15

1 0.90

0.35 0.40

0.10 -0.08

0.15 0.14

0.19 0.18

0.42 0.39

3.04 3.03

2.88 3

2.97 3

2.94 2.90

3.22 3.30

0/0.2 0/-0.2

0.13 0.13

1.17 1.17

1.72 1.71

1.22 1.21

0.15 0.16

0.07 0.07

0.14 0.14

0.11 0.11

0.14 0.14

0.08 0.08

0.02 0.02

0.70 0.69

1.27 1.37

0.75 0.89

0.02 0.03

0.50 0.64

1.61 1.61

2.10 2.07

1.661.62

0.66 0.52

1.20 1.40

-0.05 -0.05

-0.22 -0.07

-0.06 0.05

1.15 1.26

4.74 6.18

2.96 2.87

3.10 2.99

2.93 2.66

4.92 5.23

0/0.5 0/-0.5

0.34 0.34

1.85 1.85

2.33 2.33

1.89 1.90

0.43 0.42

0.10 0.11

0.06 0.05

0.03 0.03

0.05 0.05

0.11 0.10

0.07 0.15

1.65 1.67

2.21 2.21

1.70 1.74

0.11 0.17

0.800.70

2.05 2.01

2.42 2.41

2.10 2.03

0.87 0.72

0.50 0.67

-0.09 -0.01

-0.32 -0.24

-0.07 -0.11

0.40 0.38

3.21 3.48

3 3.09

3.32 3.26

2.97 2.88

3.11 3.10

0/1 0/-1

0.61 0.61

2.02 2.02

2.46 2.46

2.06 2.06

0.71 0.71

0.09 0.09

0.03 0.03

0.01 0.01

0.02 0.02

0.08 0.09

0.32 0.41

1.90 1.95

2.41 2.42

1.97 1.98

0.44 0.44

0.96 0.94

2.10 2.09

2.49 2.48

2.14 2.12

1.06 1.01

0.24 0.40

-0.12 -0.11

-0.24 -0.15

-0.11 -0.24

0.15 0.30

3 2.99

2.92 2.64

3.11 3.10

3.01 2.87

3.04 3.47

0/2 0/-2

0.78 0.78

2.06 2.06

2.49 2.49

2.11 2.11

0.87 0.87

0.05 0.05

0.01 0.01

0.01 0.01

0.01 0.01

0.05 0.05

0.61 0.62

2.01 2.03

2.47 2.47

2.07 2.07

0.69 0.75

0.99 0.98

2.11 2.09

2.50 2.50

2.14 2.14

1.07 0.99

0.14 0.12

-0.10 -0.02

-0.12 -0.13

0.08 -0.17

0.10 -0.01

3.02 3.08

3.07 2.50

3.02 3.12

2.79 2.68

2.97 2.53

3/0.2 -3/0.2 3/-0.2 -3/-0.2

0.27 0.61 0.61 0.28

0.42 1.68 1.69 0.43

1.58 1.59 1.59 1.58

1.71 0.45 0.45 1.70

0.63 0.24 0.24 0.62

0.11 0.11 0.11 0.11

0.08 0.10 0.09 0.08

0.10 0.10 0.10 0.11

0.10 0.10 0.09 0.09

0.11 0.09 0.10 0.11

0.05 0.32 0.33 0.06

0.15 1.40 1.35 0.22

1.13 1.24 1.28 1.21

1.28 0.25 0.24 1.44

0.29 0.05 0.04 0.34

0.81 0.93

1 0.85

0.91 2

1.95 0.69

1.92 1.90 1.92 1.90

2.01 0.98 0.69 1.93

1.15 0.60 0.70 0.94

0.72 -0.01 0.35 0.68

0.39 -0.13 -0.13 0.24

-0.20 -0.04 -0.11 -0.18

-0.20 0.69 0.28 -0.12

0.20 0.61 0.77 0.19

3.66 2.72 3.18 3.80

3.30 2.89 3.17 2.99

3 3.40 3.01 3.19

3.03 4.64 2.56 2.81

3.053.573.85 2.77

3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5

0.09 0.75 0.75 0.09

1.44 2.05 2.05 1.44

2.26 2.28 2.28 2.26

2.07 1.51 1.52 2.07

0.79 0.07 0.07 0.79

0.05 0.10 0.10 0.05

0.07 0.04 0.04 0.07

0.03 0.03 0.03 0.03

0.04 0.07 0.07 0.04

0.09 0.03 0.03 0.09

0.02 0.54 0.21 0.02

1.16 1.94 1.93 1.27

2.13 2.19 2.20 2.15

1.92 1.33 1.35 1.94

0.48 0.02 0.02 0.52

0.41 1.05 1.02 0.37

1.76 2.20 2.20 1.65

2.36 2.37 2.35 2.35

2.19 1.69 1.72 2.18

1.14 0.33 0.33 1.10

1.64 0.33 -0.19 1.47

0.02 -0.02 -0.03 0.09

-0.21 -0.16 -0.11 -0.20

-0.23 0.02 0.07 -0.18

0.18 1.76 1.80 0.20

6.51 3.08 4.38 5.91

2.98 2.96 3.03 2.58

3.06 2.96 2.94 3.08

3.04 3.03 2.89 2.88

2.997.718.16 3.16

3/1 -3/1 3/-1 -3/-1

0.21 0.86 0.85 0.21

1.85 2.12 2.13 1.85

2.43 2.44 2.44 2.43

2.15 1.91 1.91 2.15

0.90 0.35 0.35 0.90

0.06 0.07 0.07 0.07

0.03 0.02 0.02 0.03

0.01 0.01 0.01 0.01

0.02 0.03 0.03 0.02

0.070.08 0.08 0.07

0.06 0.67 0.68 0.08

1.72 2.05 2.08 1.75

2.39 2.40 2.39 2.40

2.07 1.83 1.82 2.08

0.66 0.14 0.18 0.73

0.52 1.07 1.01 0.59

1.95 2.19 2.20 1.95

2.47 2.47 2.46 2.46

2.23 2

1.97 2.21

1.15 0.61 0.60 1.11

0.77 0.16 -0.05 1.06

-0.10 -0.07 0.21 -0.04

-0.22 -0.36 -0.62 -0.10

-0.07 -0.01 -0.47 -0.01

0.11 0.40 0.06 0.11

3.84 2.84 2.34 5.45

2.97 3.09 3.29 2.88

3.07 3.27 4.43 3.01

2.98 2.89 2.55 3.27

3.012.95 4.612.42

3/2 -3/2 3/-2 -3/-2

0.57 0.90 0.91 0.57

1.99 2.12 2.12 1.99

2.48 2.49 2.48 2.48

2.15 2.04 2.04 2.15

0.96 0.71 0.72 0.96

0.06 0.05 0.05 0.06

0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01

0.04 0.06 0.06 0.04

0.37 0.77 0.76 0.42

1.96 2.09 2.09 1.93

2.47 2.47 2.48 2.47

2.11 2

1.99 2.11

0.80 0.59 0.57 0.83

0.78 1.02 1.08 0.75

2.04 2.15 2.16 2.03

2.50 2.50 2.50 2.49

2.19 2.08 2.08 2.19

1.13 0.90 0.89 1.11

0.17 -0.04 0.06 0.25

0.15 -0.02 -0.08 -0.11

-0.11 -0.14 -0.09 -0.37

-0.11 -0.16 -0.04 -0.06

0.03 0.22 0.12 0.20

2.96 2.53 2.91 2.79

2.98 3.05 3.04 3.15

2.92 2.92 2.77 3.22

3.05 3.25 3.08 3.17

2.95 2.85 2.90 2.86

5 El análisis de la forma (asimetría y curtosis) ha sido llevado a cabo a través de los coeficientes de Fisher, siendo 3 el valor de referencia en la medida de curtosis para la distribución Normal.

18

Tabla A.II : Medidas del estadístico KPSS (PGD (3), 02

u =σ , T=100)

19

Media Desviación típica Mínimo Máximo Asimetría Curtosis γγ // δδ λλ 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 3/0 -3/0

0.87 0.88

2.07 2.07

2.07 2.07

0.86 0.86

0.17 0.18

0.27 0.28

0.25 0.26

0.18 0.18

0.46 0.45

1.34 1.32

0.46 0.45

1.34 1.32

1.56 1.37

2.84 3.33

2.77 2.68

1.44 1.32

0.28 0.29

0.16 0.38

0.23 0.07

0.60 0.08

3.52 3.14

2.97 3.79

2.66 2.52

3.17 2.92

0/0.2 0/-0.2

0.62 0.64

3.16 3.14

3.24 3.23

0.71 0.68

0.14 0.16

0.20 0.18

0.22 0.18

0.16 0.16

0.26 0.29

2.75 2.61

2.73 2.78

0.27 0.38

1.11 1.24

4.06 3.64

3.75 3.82

1.17 1.11

0.43 0.51

0.84 -0.07

0.07 0.38

0.35 0.41

3.093.18

5.08 2.75

2.55 3.30

2.90 2.66

3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5

0.73 2.18 2.16 0.70

3.50 4.63 4.63 3.51

4.69 3.62 3.63 4.69

2.24 0.88 0.88 2.25

0.14 0.16 0.14 0.14

0.12 0.09 0.09 0.10

0.08 0.10 0.11 0.08

0.13 0.14 0.14 0.14

0.38 1.68 1.71 0.41

3.12 4.394.44 3.14

4.49 3.32 3.40 4.51

1.89 0.56 0.57 1.81

1.17 2.54 2.78 1.26

3.81 4.88 4.84 3.74

4.93 3.86

4 4.91

2.74 1.27 1.31 2.67

0.39 -0.37 0.33 0.68

-0.33 0.11 0.14 -0.34

0.11 -0.28 0.43 0.06

0.12 0.11 0.20 0.11

3.09 2.88 2.58 3.56

2.98 2.84 2.58 3.56

3 2.87 3.31 2.78

2.89 2.51 3.05 2.89

Tabla A.III : Medidas del estadístico KPSS

(PGD (3), 02u =σ , T=500)

20

q=0.0001 q=0.001 q=0.01 q=0.1 q=1 q=100 γγ // δδ λλ 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1/0 -1/0

36.5 36.2

55.8 56.1

24.724.9

57.4 57.2

35.5 35.4

37.7 37.8

55.9 57.4

27.8 27.6

56.5 57.6

37.3 37.6

51.8 51.3

59.6 59.2

51.2 53.3

60.8 61.7

52.4 53

90.5 90.2

85.8 86.1

88.1 88.4

86.5 88.1

89.9 91.9

99.5 99.3

99.1 99.2

99.4 99.3

99.2 99.3

99.5 99.6

100 99.9

99.4 99.3

99.8 100

99.9 99.8

100 100

3/0 -3/0

99.9 100

100 100

99.7 99.7

100 100

100 100

99.9 99.8

100 100

99.7 99.7

100 100

99.9 99.9

98.6 98.5

99.6 100

99.8 99.8

99.5 99.5

98.4 98.1

96.2 95.8

99.9 99.9

99.5 99.5

99.7 100

96.3 97

98.8 98.4

99.4 99.3

99.6 99.5

99.6 99.7

99 98.6

99.9 99.9

99.8 99.9

99.9 99.9

99.9 99.9

99.6 99.7

0/0.2 0/-0.2

32.4 32.9

100 100

100 100

100 100

46.1 45.6

35.4 36.9

100 100

100 100

100 100

53.5 52.8

52.6 52.2

100 100

100 100

100 100

59.2 59.5

90.2 89.9

100 100

100 100

100 100

90.3 91.4

99.3 99.2

99.5 99.4

99.5 100

100 99.1

99.4 99.1

99.9 99.8

99.9 99.8

99.8 99.9

99.8 99.8

99.8 99.7

0/0.5 0/-0.5

98.9 99

100 100

100 100

100 100

100 100

98.5 98.5

100 100

100 100

100 100

99.9 99.9

95.4 94.6

100 100

100 100

100 100

99.1 98.9

95.8 95.5

100 100

100 100

100 100

97.6 97.4

99.1 99.5

100 99.9

99.9 100

100 99.8

99.6 99.2

99.8 99.9

99.9 99.9

99.8 99.9

99.8 99.9

99.8 99.9

0/1 0/-1

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

99.8 99.9

100 100

100 100

100 100

99.9 99.1

99.3 99.5

100 100

100 100

100 100

99.3 99.4

99.9 99.7

99.8 99.8

99.9 100

99.9 100

99.8 99.8

0/2 0/-2

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

100 100

99.9 99.9

99.9 100

100 100

99.9 100

99.7 99.7

3/0.2 -3/0.2 3/-0.2 -3/-0.2

89.4 100 100 90.7

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 79.6 81.4 100

88.8 100 100 89.8

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 82.5 81.8 100

82.7 100 99.9 84.7

99.9 100 100 100

100 100 100 100

100 100 99.8 100

100 77.3 77 100

92.4 98.6 98.8 91

99.9 100 100 99.8

100 100 100 100

100 98.1 98.3 100

99 91.2 91.1 100

99.6 99.3 99.2 99.5

99.5 99.8 99.6 99.6

99.6 99.8 99.9 100

100 99.2 99.6 100

99.8 98.9 99

99.9

99.9 99.8 99.7 99.7

99.7 99.8 99.7 99.9

99.9 100 100 99.8

99.9 100 100 99.7

99.9 100 100 99.8

3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5

11.3 100 100 11.8

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 4.7 4.2 100

14.8 100 100 12.2

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 7.6 7.5 100

36.4 100 100 35.9

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 31.1 31.4 100

85.8 100 99.9 86

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 84.8 85.3 100

99.1 99.7 99.7 99.3

99.9 100 100 100

100 100 100 100

100 100 99.9 100

99.8 88.3 89 100

99.9 99.8 99.7 99.8

99.9 99.6 99.6 100

100 100 100 100

99.9 99.9 99.8 99.9

99.7 100 100 99.8

3/1 -3/1 3/-1 -3/-1

85.4 100 100 86.1

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 99.8 100

83.5 100 100 85

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 99.9 100 100

80.7 100 100 82.7

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 98.9 98.7 100

92.5 100 100 91

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 95.8 96.2 100

98.9 99.8 100 99.1

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

99.9 99.1 99.2 100

99.8 99.8 99.7 99.9

99.9 99.6 99.5 98.5

99.9 99.8 99.9 100

99.9 99.6 99.5 99.8

99.8 100 100 99.9

3/2 -3/2 3/-2 -3/-2

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100 100

99.9 99.5 99.6 100

99.9 100 100 100

99.8 99.9 99.9 100

99.9 99.8 99.9 99.9

99.7 99.9 99.8 99.8

Tabla A.IV: Potencia del test KPSS

21

(PGD (3), T=100)