E~EMENTOS OE CONTORNO ADAPTAB~ES E • de ALARCON

E.T.S.de Ingenieros I ndustriales. MADRID

Como e• bien sabido , en el ~•todo de los elementos finitos se suele hablar de do• ti~os de converc;¡encia La primera , o converoencia h , •• reflere a fa m•Jora del resultado que se obti~tne r•finando la malla • D~ido a la correspondencia ~tlemento -variables nodales -funciones d• interpolacion , ello implica un aJuste proc;¡resivo de los resultados en aquellas zonas donde se produce el r_ef inami'e,to •

Se trata del metodo mas usado cuando , de forma pra.c;¡matic;a , se desea tener un• idea de la conv.rc;¡encla de los resultados • Su principal inconveniente radica en el hecho que cada refinamiento exiQe el calc,do de lll&trices de ric;¡ide: diferentes de las ~nteriores , de modo que la inforlllacion debe ser rehecha en cada caso y , por tanto , los costes son elevados •

El seoundo metódo analiza la coriveroencia p , o refinamiento de la •Proximacion median·te el incremento del orado del polinD<~~io definido sobre cada elemento • S• trata de ;abandonar la idea de asociar a cada nodo el valor físico de la va riable correspondiente en la aproMi~acíon típíca

~ ~ a+ +a 1 +a~ + ••• +a 9 1 1 2 2 3 3 n n

••• ( 1)

donde las funcione• 1 son unidad en el nodo correspondiente y r:•ro •n •l r••·to •

Por el contrario • se vuelve a la idea &emeJ•nte al d• un des•rrollo ~ serie d& funcione• 9 ••tan definidas c;¡lobalmente y ponderacion no tienen porque preseñtar un concreto •

oric;¡inal de Ritz , Fouríer , dende las los coefici•ntes de si;nificado fi•ico

.J::vi dentemente elementos y jerarquía de

, la vuelta no •• total 1 se stouen manteni•ndo den'tro de cada uno de ellos se establece una funciones ? .

i Con esta situacion int•rmedia entre la c;¡lobalida~ abs~luta d e Ritz y la correspondene:ia absol·uta de la disc:retizaciof\ con· las variables se consigue , por un lado , mantener una versatilidad

3

sufi~iente para el ajuste por t~ozoa y , por ot~o , ~•fina~ la ap~oMimacion de form. intelio~te ya que , al igual que suce de en una seri e de Fouri...- , cada t~mino que se añade produ~e un efecto menor , lo que posibilita el t~uncamient~ ~uando se alcanza un dettl4"•in&do-·M ·vel de p,..~ist-on • · Ad-a• , puesto que cada ~ tiene un soporte p~fecta .. nte definido desd• un p~incipto, cada etapa del r.fina•iento aprovech• todoa los ~alculos ante~iores y solo •• necesita eval uar los nuevos t~minos de la -t~iz de ~igidez· •

La p~imttra idea f .ue propu-t.a po~ Zienckiewi~z et al • <1970> , y poste~iormente han desar~ollado el ••todo Szabo et al. <1978> , Babuska <197~ , 1978> , Peana <1978 > , etc

El p~oéeso op~attvo incluye asi

&>Establecimiento de una malla amplia sobre el dominio a analiza~.

b)Definicion de una Je~arquia de funciones de inte~polacion

dent~o de cada ele~nto •

c>Establecimiento de un 'tndic.ador' de las zonas adicion de nuevas funciones Je~•~quizadas.

que precisen la

d>Estab l ecimiento er~or cometido y proceso •

de un 'estimador a posterior!' que evalue e l pre~ise el momento en que pueda se~ detenido e l

Un metodo que sigue los pasos .ant~io~es se autoadaptable y , como se puede comprende~ interesantísimo para problemas no triviales •

denomina ~•sulta

En lo que sigue vamos a contemplar la posibilid.ad de eMtender las ideas anterio~es al matado de los elementos de contorno •

1.ELECCION DE LAS FUNCIONES ELEMENTOS NATURALES.

DE INTERPOLACION EN EL M. E. C.

Como •• sabido , el metodo de los elementos de contorno esta basado en la existencia de una ~elacion de reci p r ocidad entre dos p~oblemas reoidos por un operador elipti~o

Au • f

• • Au • f

que se obtiene •1

• <Au , u ,. . .n. ( f~ ,..

b) .. . (2)

for-r los productos inte~nos

• u ) • :..n.

4

• • < Au , u > • < < f , u >..11.

••• <::S>

Desarrollando el prime~ mieMbro

• • • u !.n. a.<u , u >..11. + b < u, u ) .

dA (f,

• • a<u ,u >..fl + b<u , u >d.n.• • (f ,u~ .. . (4)

a ( • , • >..o. es una forllla bilineal en el dominio ~

y b < > otra en su ~ontorno d .n • . , . o.n. . Debido a sustraccion

las condiciones de simetría del de ambas ioualdades permite obtener

•

ope~ador

• b(U o U ) .:-: b<u an. .

• • ,u>• ' <f,. u > - (f ,u )

d.Q ..n -'1. • •• <:S>

Si 2a ) es el pr.ob1ema original se observa que tan solo e l ultimo sumando del segundo mienbro incluye los valores de la variable en el dominio , lo que exigiría su discretizacion •

Sin embargo , si s .e escoo• <2 b > de modo que

se obtiene inmediatamente

• (f u <• ..

• - b(t,l • u • > + b <u

o.n • ,u ) + (f ,u

orz..

• •• (ó)

• •• (7)

• • •• (8)

que en elasti~id<1td , por eJemplo , se denomin• identidad

S Pot.ncl. al , responde a la expresion

de

omioliana , y en ,

) , (d~1/dn + ~ ,. <d9/dn> + f f p' ... (9) ~(&) a.o.n .. c.n. a.n. ~

5

que indica que •• POSible ew r la suma de un potencial de c~p:sar el potencial en un punto co~o potencial volu .. trico • simple • otro de capa doble y un

Si a IL d..O.. 'el ... e: u <a ...

ter1111no de <8> •e transforma en

••• ( 10)

=~d;o~t:;nou:~r::!~!; ~~;~~ea ~aa características geometricas ...

Con la eodificacion (10> ' la ecuacion <S> coeo un proceso de d puede interpretarse formula <S> COM9 tal pon eracion de tipo Galerkin ' aunque la

genera evidentemente un metodo d- 1

Para crear un t d •e 0 o n~rfco con base proceder a interpolar la solucion en ~todos proyecttvos ' es decir

a ·; J j

q • d, 1 dn "' b j J• 1 , 2 ,

w co ocacion,

N ••• ( 11> El M.E.c. tradicional utiliza para ~ y y localmente , lo que 1 J J

POlinomios definidos

per• te dar significado fisico a a y b e incorporar una fo~ 1 1 •IIIU ac on isepara~trica de contorno • Ast si por claridad , .

J 'f • N

j j

6

~~ l • o 11

q d;, ..... J l; ~ 21

l • j

J J represen tacion del

... <12)

·i C( NJ +* d}•J N Jr. 1 r 2 j J •

i,J 1,2,3, •••• N

donde se ha hecho

rq , • 1 11

J ; d~ •••••• Jiq l 7 1 21

L • J

.. • (13)

q • d~/dn ••• <14>

y N son las funciones de interpolacion tipicas de los elementos lineales parabolices etc.

Como puede observar•• , el siste111a anterior se reduce a

... (15>

Y. , tras la imposicion de las condiciones de contorno a

KX •F ... (1ó)

que permite obtener las incognitas X ,

Es inm&diato observar que debido a la diferencia entre funciones de interpolacion y funciones de ponderacion , las matrices resultantes son asimetricas , lo que ewige eL calculo de todas y cada una de las integrales que forman sus elementos ,

Tambien , aunque las funciones de interpolacion sean locales , las de ponde rac i on resultan al res olver el problema <2 bl y , por lo tanto , estan definidas globalmente • Ademas de asimetricas las matrices son , pues , llenas

La propiedad mas atractiva del me todo , es l a r-e duccion en dimensiones geometricas , pero el calculo de las integrales exige un tiempo que a veces desequilibra la ventaja anterior •

No es pues extraño que tras los confianza en los resultados del e ncontrar soluciones que permitan citado ,

prime~os años de adquirir •etodo se pretenda ahora

reducir el esfuerzo de calculo

En este sentido , la idea de funciones jerarquizadas se presenta como una ewcitante posibilidad En efecto , la filosofia isoparametrica expuesta anteriqrmente ha servido para automatizar el metodo mejorando intentos anteriores No obstante es artificial la , creacion de elemento• m.diante funciones de forma locales cuando con ello no se consigue la estructura en banda típica del M.E.F.

7

Para fiJar ideas piensese en los e d t ases • po encial bidimensional q~e se croquizan en la fio~ra 1 •

Si •• prescinde de COMO cons-ouir un •odelo gea.etrico del cantor

e q,.r . t -+ - ....

FIGURA 1

no , lo que no es mas ~·e un p•oble-a de i t ~ ' ., n erpolacion , se observa la e>cistencia de elementos • naturales • definidos bien por la e><istencia de esquinas , bien por singularidad•• o cambio en las condiciones de borde •

Es evidente que en el caso 1 a. tanto el fluJo como el potencial evolu7ion~n regularmente dentro de cada uno de los trozos AB,BC, CA !f1gura 2 > que son , por tanto , los elementos logicos en lo•

fLlJJ'O 1-

FIGUR~ 2

que debe intentarse la interpol;acion de las variables o y q •

Por su parte , en flujos discontinuos contorno e n esos condiciones en B

el ejemplo 1 b. las esquinas que provocan la conv•ni~nci;a trozos , pero , adem;as sugiere inmediatamente la

8

ACDE introducen de subdividir el

, el ·cambio de eleccion de los

elementos naturales AS , BC , CD , DE ,EA •

Un ejemplo de como se estudia la c onvergencia mediante un metodo h en este cas o puede verse en Alarcon et al. 11979> • La sencillez de la geometria indica clara~ente lo absurdo que. resulta un tratamiento local en este caso cuando unas pocas funciones globales y jerarquizada s sobre cada el~ento < mas la posible adicion de algun a que represente la singularidad de q ) permitirían obtener resultados aceptables con un esfuerzo incomparablemente meno r 1 en efec to , hay d~inios f1jo5 de integracion y el · numero de func iones esta provocado por 1• complejidad del potencial y no por la geo•etrta •

2.JERARQUIA DE FUNCIONES DE INTERPOLACION

En los casos planos , las f unciones que se precisan monodimensionales • Si se sigue con la idea de un desarrollo en

~\ ~1 • • l ••• .. ·- ... 1 -1

~ -1~ . ..... . -1 -1

FIGURA ::S

~~ .. t ~~

~.~ .. ~~' ~ t:J

~ _,

~;;a~~~ - e:;>

son

de Fourier , la jerarquí a ser i a l a indicada en la fioura ::Sa donde

Una serie popular, es la pro puesta por Peano et a1.<1979l figura ::S b. que esta compuesta por las dos funciones lineales mas

p N (' - b )

p p! ••• ( 17)

con

b • si p es par

b • ~ si p es icnpar

9

En estas funciones , el sinnificado ~e las • "' coeficientes a y b

de la ecuacion 11 pasaria a ser el de derivadas funcion en el centro del intervalo

• • p+1

b • p+l

p ,., d ;

p ,., d q

d ~p

J J s uc:esivas de la

• • • ( 18)

como puede comprobarse in~edtatamente •

En problemas 3 D se necesitan funciones bidimensionales que se

FIGURA 4

obtinen simplemente CORO productos de las anteriores !Figura 4).

3.JERARQUIZACION DE LAS MATRICES DE INFLUENCIA

!~tus~ de las funciones de interpolacion indicadas en el apartado infelrlor. proovoca la deseada Jerarqul%acíon de las Matrices de

uenc1a • bservemos un elemento •

Si el desarrollo

10

+ • • • •••• +

provoca la Matriz

r ~< J 11 fq:J ~ 2

: rq:J +~ rq:J 12 1 1

¡ Jq: J ~ 1 fq: J + 2 .

L

• A .....

la adicion d e a 4 implica orlar A en la forma n+l n+l

i . r~J . l

1 A J o 1 ,... N+ll

A 1- -\----- 1 ,... : r • . r . 1 1 q J o q J o 1 L "'n+1 "'J n+l n+11

1· r-- k 1 N

Observes• que , para que esto el eccion de un nuevo punto escritura de la nueva ecuacion •

f 1

r sea posible

de colocacion ' se que

••• ( 19)

• •• 120)

••• 121)

precisa permita

la la

Al respecto existen varias alternativas , como es la eleccion de puntos de integracion utilizados en las cuadraturas de Gauss previas o la utiliz~cion de loa puntos correspondientes a los maximos de las funciones de interpolacion •

Asi las funciones lineales se corresponderian con los extremos de los elementos y , si se utiliza la familia de senos se puede di sponer de los puntos ~ • 1/2j donde j• 1, 2,3 , •••• etc.

Aunque es evidente conviene observar tambien que los refinamientos sucesivos se refieren exclusivamente a la variable incognita dentro de cada elemento , siendo el dato interpolado desde el principio segun las indicaciones del usuario , tal cOMO

' - sucede con la Qeometria •

11

La jerarqui~acion inducida en las eatrices A y 8 inteqra-.nte al sist .. a final 1161 , consigui~ose riQide~ anidadas

se trans•ite -trices de

il< 1 11 1 1 1

1< l. ... 'K -¡ 131 1 1N 1

K l. ... !K : 23• 1 2N

', 1 K K K ~····~K

o ::S 1 _ _:2___ :s.:_! : :SN 1 • • • 1 • o 1 ·-·--··- ..1.----. l K L N1

K N2

K K 1 Nl NN _1

r x , 1 1 1 1 1 1 X 1 1 2 1 ,-- ~:

1 X • 1 3 1 1-•• "1 1 1

X 1 L N J

r F 1 1 1

1 F 1

2 1 1--- 1

1 F 1

3 1 1 1

1 • 1 1 F L N l

••• <221

Por si fuera poco , cada nuevo termino K va disminuyendo en N+1

importancia respecto al ant~ior , lo que ~ace que se debiliten los acoplamientos y se obtenqa una matriz meJor cond,cionada •

Observase tamb1en que e l anidado y sucesiva evanesc,ncia de las contribuciones suQiere la utilizacion de metodo• iterativos tras la primera resolucton del problema , manteniendo coao tanteo inicial la solucion anterior a cada paso •

4.CRITERIO OE PARADA

SeQun se dijo mas arriba , para que un sistema pueda ser llamado adaptable se precisa un indicador de la importancia de l os terminas a •~adir ast como un estimador del error implícito en la so lucion •

La labor desarrollada por S~buska y otros ewiste todavia en el H.E.C. y por ello procedido a utili~ar el criterio de Peana continuac:ion •

se produce un residuo

A u - f • r

debido .al error

1 2

para vl H.E.F. hasta .ahora •• que se describe

no ha

a

••• <231

••• <241

••• ( 2:5) • - u - u

Ae • Au - Au • - f - r + f • -r ••• (26)

Se define el error •enerQetico' como

•• • (27) : : • 1 1

2 • fe Ae I e ,.

que , con funciones jerarqui~adas , se aprol<ima tasi

u - u u u • a N 1.+1 i+1

por lo que

2 t 1•11 • -

,.

O e las nuevas ecuac¡iones de equilibrio

K a + K a • f

"'l+l,J "'j "'i+l,i+1 "'1+1 "'1+1

es decir

-1 a • K (f -K a

"'1+1 "'1+1,i+1 "'i+1 ""i + 1' J "'J

Pero

- (N , r l i +1

• [N l i +1 A<u- :, "' a IN AN

i+1 i+l 1+1

••• (29 '

, , , C:SO J

a K i +1"" i+1,i+1

... <31>

sivmpre que N N i j

sean ortoQon.ales en la norma enerqetica para

Utili~anda <:SO> y <31> en <29> ·~obtiene

2 -1 ::e~: • K

"'i+1 , i+1

2 f - K a l "'i+1 "'i+1,J ""J

que •• el indicador de Peano a que haciamos referencia mas arriba.

13

aquellos grados de ¡¡·b t •• p _ _. er ad roe.,.. a una resolucion

Por •1 momento no •• dispone P~mita asegurar la prectsicn de ntnoun estimador a t obtenida • POs ert~ri que

:S.EJEI'1PLO

En la fioura aioutente se recoge •1 problema del cuarto de elipse

f!, . :=-.._ .f/---~ /;·" ~

t c. J ', n·r! \ 1 \ q, ' / "' ...... 1 O.l¡ :0 /

1 ! 1 \

!o 3

1 í. \

\\ A ~:o ~ ¡/. 1 ;¡ f -Tfo~IC-4,

r 1 1 :..--~~o . 5'~3 ~ 1(~ \\ 1 ¡ o.sqzs <~e..c 11S _ \\ L..

... o.< -o. lo"!<; v.. .. ~ L 1 1

,, lr¡ \\ _l 1

/A - ----- -- - - J---· --B FIGURA :S e croquizado en 1 a, La Prim~a pasada corresponde

a incognitas con funciones N Y N •n los lados AB y Ae y en una ~ 1 2 ; N para r en Be puesto que el valor

• O en 8 y e proscr ibe el u~ de las N lineales •

Observese que las variables son :S post~ior a O ' el flujo en 8 en •1 ' los dos fluJos anterior Y

lado AB • el fluJo en e en

14

' -~ ....

e

A B

FIGURA b

el lado AC , mas el valor del potencial en el centro O de 9C • La curva llena es la solucion teorica de este problema , mientras que la de guiones da la solucion de este primer paso

La siguiente aproximacion consiste en la suma de un sen 2n ~ en la zona BC y la colocacion en el punto E (ftg. 6) • 7

La linea de punto y raya indica la nueva solucion , que , como puede apreciarse , es excelente •

El problema •• ha resuelto aai con solo ó incognitas , mientras que una aproxi.-c:ion comparable exige 12 elementos lineales •

b. CONCLUSIONES

La idea de jerarquias de funciones de interpolacion permite discretizar el contorno en elementos naturales de acuerdo con las discontinuidades previsibles en las variables del problema •

Se puede mejorar de una forma independiente y a u tomatica la aproximac:ion tanto en diferentes elementos como en las variables esenciales y naturales del problema •

Se puede reduci r el calculo de inteorales ( la parte mas costosa del H.E.e.> al minimo imprescindible •

Se produce un mejor condicionamiento d e la matrit y se debilitan los acoplamientos sucesivos •

Toda la informacion precisa es aprovechada al maKimo una aproximac:ion a la siouiente , lo que facilita soluciones iterativas •

15

al pasar' de el uso de

7.REFE~ENCIAS.

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