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8/17/2019 EDO2
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PROBLEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS
DE SEGUNDO ORDEN
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:CASO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
0)()()( =+′+′′ t cyt ybt ya
Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
02
=++ cba λ λ
De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:
Caso 1: 21 λ λ ≠ , races reales ! distintas" La solución de la #D$ es:
t t eC eC t y 21 21)(
λ λ +=
Caso 2: λ λ λ == 21 , races reales e iguales" La solución de la #D$ es:
t t teC eC t y λ λ 21)( +=
Caso 3: β α λ β α λ ii −=+= 21 , , races com%le&as con&ugadas" La solución de la #D$ es:
t t eC eC t y 21 21)(
λ λ += (solución com%le&a)
t eC t eC t y t t β β α α sencos)( 21 += (solución real)
'emos ue en cada uno de estos casos eiste un es%acio de soluciones, resultante de lacombinación lineal de dos funciones" #l con&unto de estas dos funciones se conocecomo base de soluciones de la #D$ homog*nea"
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:
CASO NO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
)()()()( t f t cyt ybt ya =+′+′′
Para resolverla, se debe hallar %rimero la solución de la ecuación homogénea asociada:
0)()()( =+′+′′ t cyt ybt ya
! la solución es de la forma:
)(+)()( t yt yt y c += ,
donde yc es la solución de la homog*nea asociada, ! y* es una solución %articular del %roblema no homog*neo ue se obtiene a %artir de un m*todo adecuado (ver msaba&o)"
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A
COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES
INDETERMINADOS
#ste m*todo se a%lica cuando la función f (t ) es una combinación lineal de %roductos
(finitos) de funciones tales ue derivadas den el mismo ti%o de función" -on ellas: %olinomios en t función e%onencial eht combinaciones lineales dedcos(ω t ) ! sen(ω t )
Para resolverla, se usa una función de prueba ue es una combinación lineal del mismoti%o de funciones, cu!os coeficientes se determinarn reem%lazndola en la #D$"
#l caso ms general es:
[ ])sen()()cos()()( t t qt t pet f ht
ω ω +=
donde h, ω ≠ 0 ! p(t ), q(t ) %olinomios de grado n"
La función de %rueba general es:
)sen()()cos()()(+ 121121 t t l t l l t t t et y n
n
n
n
ht ω ω ++ +++++= ,
donde , l son los coeficientes a determinar" -i h . iω es raz de la homog*nea asociada(lo ue ocurre cuando esta función de %rueba es solución del %roblema homog*neo),
y*(t ) debe multi%licarse %or t "
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SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA ACOEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS
PARÁMETROS
#s un m*todo ms general, ! vlido aun cuando los coeficientes de la #D$ no sean
constantes, sino funciones" #n este caso la solución %articular toma la forma:
2211+ y! y! y +=
donde !1 ! !2 se obtienen del sistema:
=′′+′′
=′+′
a
t f y! y!
y! y!
)(
0
2211
2211
donde y1 ! y2 son las funciones de la base de soluciones de la #D$ homog*neaasociada" #stas funciones deben ser linealmente inde%endientes, %ara lo cual debencum%lir con la condición:
021
21 ≠′′
= y y
y y"
#sto es, su determinante /ronsiano no debe ser id*nticamente nulo"
PROBLEMAS RESUELTOS
1) #ariación de los par$metros% La %osición ! la aceleración, en función del tiem%o, deuna masa %untual movi*ndose unidimensionalmente, vienen relacionadas %or laecuación diferencial
0tg)()( =−+ t t at & (unidades ms)
Determinar la ecuación del movimiento (%osición en función del tiem%o) de la %artculasi la misma %arte del origen con una velocidad de ms"
-$L34567
#%resando la aceleración como la derivada segunda de la %osición ! reordenando laecuación tenemos:
t t &t & tg)()( =+′′
8allemos %rimero la solución de la ecuación homog*nea asociada" #s *sta:
0)()( =+′′ t &t &
La ecuación caracterstica es:
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t C t C &i c sencos01 212 +=⇒±=⇒⇒=+ λ λ
9hora debemos hallar una solución %articular del %roblema no homog*neo" 'emos ue, %or el ti%o de función ecitación, deberemos usar #n vista de la base de soluciones del
%roblema homog*neo halladas, ser:
t !t ! & sencos+ 21 +=
8allemos ahora !1 ! !2:
=′+′−
=′+′
⇒==′+′−
=′+′ ↓
t t !t t !
t !t t !
t
t t t !t !
t !t ! t
t
sencoscossen
0sensencos
cos
sentgcossen
0sencos
2
21
2
21
cos %oraba&o!sen %orarriba ndomulti%lica
21
21
-i ahora sumamos las dos ecuaciones de este ltimo sistema tendremos"
t t t !t
t t
t
t
t !t t t !t !t !
tgseclogsencos
1cos
cos
cos1
cos
sen0sensencoscossen
1
tablas
2
2
1
1
ecuación %rimera
laenem%lazando;e
22
+−=⇒−=−
−=
=−=′⇒=+′⇒−=⇒=′
↓
↓
4on las funciones !1 ! !2 as obtenidas %odemos escribir:
( ) ( ) t t t t t t t t t t !t ! & costgseclogsencoscostgseclogsensencos+ 21 +=−+−=+=
con lo cual la solución general del %roblema no homog*neo es:
( ) t t t t C t C & & & c costgseclogsencos+ 21 +−+=+=
Las condiciones iniciales indican ue cuando t es 0 , & ' 0 ! ! < " De esta manera, %odemos escribir:
210sen0tg0seclog10cos0sen)0()0(
00cos0tg0seclog0sen0cos)0(
2221
121
=⇒=+=+−++−=′=
==+−+=
C C C C &!
C C C &
4on estos valores de la constante tenemos, finalmente:
( ) t t t t & costgseclogsen2 +−=
=ue es la solución al %roblema de valores iniciales %lanteado" ν
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2) Coeficientes indeterminados% ;esolver el %roblema de valores iniciales:
0)0()0(
cos)(2)(2)(
=′=
=+′+′′ −
& &
t et &t &t & t
-$L34567
Primero resolvemos la ecuación homog*nea asociada" La ecuación caracterstica ser:
t eC t eC &i t t
c sencos12
21>22022 21
22 −− +=⇒±−=
⋅⋅−±−=⇒=++ λ λ λ
9hora nos toca hallar la solución %articular del %roblema no homog*neo" 'emos ue lafunción ecitación es un %roducto de una e%onencial %or un coseno, %or lo cual
%odemos intentar hallar la solución %articular %or el m*todo de los coeficientes
indeterminados" La función ecitación es e(t
cost , de modo ue normalmente %ro%ondramos como función de %rueba una combinación lineal de senos ! cosenos, )e(t cost . e(t cost " -in embargo, en este caso %articular *sta sera una solución del
%roblema homog*neo, %or lo cual debemos multi%licarla %or la variable t " $btenemosas:
t *tet *et *et )tet )et )et *tet *te
t *et *tet *tet *et *et *et )te
t )tet )et )tet )tet )et )et )et &
t *tet *tet *et )tet )tet )et &
t *tet )tet &
t t t t t t
t t
t t t t t t t
t t t t t t t
t t t t t t
t t
cos2cos2sen2sen2sen2cos2sencos
coscossensencossencos
sensensencoscossencos)(
cossensensencoscos)(
sencos)(
−−−−−−
−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−
−−
−+−+−−==−−
++++−+−−
++−++−−−=′′
+−+−−=′
+=
4on estas e%resiones %odemos reem%lazar en la #D$ del enunciado ! obtener:
21
ecitaciónfunción
laconigualando
,0coscos2sen2sen2
cos2cos2sen2sen2sen2cos2cos2
cos2cos2sen2sen2sen2cos222
−==⇒=−−=+
+++−+−−+
+−+−+−−=+′+′′
−↓
−−−
−−−−−−−
−−−−−−
* )t et *et )et *te
t )tet *tet *tet *et )tet )tet )e
t *tet *et *et )tet )et )e & & &
t t t t
t t t t t t t
t t t t t t
De modo ue una solución %articular al %roblema no homog*neo ser:
t t et eC t eC t &t &t &t t et & t t t ct sensencos)(+)()(sen)(+
21
2121 −−−− −+=+=⇒−=
=ueda como e&ercicio %ara el lector deducir a %artir de las condiciones iniciales ue las
constantes deben ser nulas ! obtener ue t t et & t sen)( 21 −−= "
4omo se ve, este m*todo %uede reuerir derivaciones algo com%licadas" ν
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) +istema masa(resorte% 3n sistema masa?resorte est caracterizado %or los siguientesvalores: masa m < 0,2@ constante del resorte < A0@ constante de amortiguamiento h < 2"-i se a%lica una ecitación (t ) < 2cos0t , obtener el estado estacionario de la res%uesta,e%resndolo en la forma &(t ) ,0
A02,0>22 E2
E
1
2−− +=⇒±−=
⋅⋅−±−=λ
9hora buscaremos una solución %articular del %roblema no homog*neo" 'emos ue lafunción ecitación es cosenoidal, ! %or ende usaremos como función de %rueba unacombinación lineal de senos ! cosenos"
t t & * )
* ) * )
t t , t * )t * )t *
t )t *t )t *t ) & & &
t *t ) &
t *t ) &
t *t ) &
0sen0cos+0100F02F0100
0cos2)(0sen)100F0(0cos)F0100(0senA0
0cosA00cosF00senF00sen1A00cos1A0+A0+2+2,0
0senG000cosG00+
0cos00sen0+
0sen0cos+
>0
>0E
>0>0
E
+−=⇒=−= ⇒=−− =+−⇒
⇒==−−++−=+
+++−−−=+′+′′
−−=′′
+−=′
+=
De modo ue la solución general del %roblema no homog*neo ser:
t t t eC t eC & & & t t c
0sen0cosDEsenDEcos+>0
>0EE
2
E
1 +−+=+= −−
#n el estado estacionario, %ara tiem%os mu! grandes, los dos %rimeros t*rminos tiendena 0 ! %odemos escribir:
t t & 0sen0cos>0
>0E
est +−=
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La manera normal de e%resar un movimiento oscilatorio de este ti%o es de la forma &(t )< )cos(ω t ( γ )" -i a%licamos la identidad trigonom*trica del coseno de una suma,tendremos:
( ) 01D1F,0F,2cos
F,2tgtg
sen
cos
0
0sen0cossensencoscos)cos(
>0E
E1
E
2a"lacona"la m"a"m" dividiendo
>0
>0E
>0
>0E
caso nuestroen
≅−
=⇒≅−=⇒−=⇒
=
−=
=
⇒
⇒+−=+=−
−↓
↓
)
)
)
t t t )t )t )
γ γ
γ
γ
ω
γ ω γ ω γ ω
De modo ue finalmente %odemos escribir:
&est < 0,011Fcos(0t ? 2,F)
7ótese ue ), la am%litud del movimiento, es siem%re un valor %ositivo" Por esoelegimos un γ tal ue su coseno fuera negativo, de modo ue al des%e&ar ) nos diera unnmero %ositivo" ν
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>) Circuito eléctrico% 8allar la corriente ue circula en un circuito serie -.C , sabiendoue - < 120 Ω, . < 10 8, C < 10? H si la fuerza electromotriz viene dada %or / (t ) <
1sen2t ', ! si la intensidad cum%le las condiciones i(0) < 0, 201)0( −=′i " 8allar
asimismo la corriente en estado estacionario"
-$L34567
La intensidad es la derivada de la carga el*ctrica 0" Ien*ricamente se %uede escribir %ara un circuito -.C :
t 0t
0
t
0t / 0
C t
0 -
t
0 . 2sen1D100012010)(
12
2
%roblema nuestroen
2
2
=+∂
∂+
∂
∂⇒=+
∂
∂+
∂
∂ ↓
Jsta es una t%ica ecuación de 2C orden a coeficientes constantes" 8allamos %rimero lasolución general del %roblema homog*neo ! luego le sumamos una solución %articular
del %roblema no homog*neo" Para lo %rimero %lanteamos:
t eC t eC 0i t t c AsenAcosAF20
100010>120120 F2
F
1
2−− +=⇒±−=
⋅⋅−±−=λ
Para la solución %articular del %roblema no homog*neo, %odemos usar una función de %rueba:
t t 0 *
)
* )
* )t
t * )t * )t *t )
t *t )t *t )000
t *t )0
t *t )0
t *t )0
2cos2sen+0GF02>0
1D2>0GF02sen1D
2cos)GF02>0(2sen)2>0GF0(2cos10002sen1000
2sen2>02cos2>02cos>02sen>0+1000+120+10
2cos>2sen>+
2sen22cos2+
2cos2sen+
2>01
F01
2>01
F01
%roblema esteen
−=⇒−=
=⇒
=+
=−⇒=
=++−=++
+−+−−=+′+′′−−=′′
−=′
+=
↓
De modo ue la solución general del %roblema no homog*neo es:
t t t eC t eC 000
t t
c 2cos2senAsenAcos+ 2>01
F0
1F
2
F
1 −++=+=
−−
5ntroduciendo las condiciones iniciales es:
01
2101
21
1201
01FF
2
FF
1
AF0)0(AF)0(
2sen2cos)AcosAAsenF()AsenAAcosF(
=−⇒==++−=′⇒
⇒+++−+−−=′ −−−−
C C iC C 0
t t t et eC t et eC 0 t t t t
-imilarmente,
1E1
21201
F01
21
F0
1
1E
1FFF
F
2
FFFF
1
GF1A)0(GF1A)0(2cos2sen)AsenF>Acos>AAcos>A
AsenF()AcosF>Asen>AAsen>AAcosF(
=+⇒−=′=+−−=′′⇒
⇒+−−−
−+−++=′′−−−
−−−−−
C C iC C 0t t t et et e
t eC t et et et eC 0
t t t
t t t t t
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;euniendo los dos ltimos resultados, %odemos escribir:
1E0
D
1
F00
1
2
1E
1
21
0
1
21
GF1A
AF
=
−=⇒⇒
=+
=−
C
C
C C
C C
De modo ue la corriente ue circula %or el circuito vendr dada %or:
t t t et e000 t t c 2cos2senAsenAcos+ 2>01
F01F
F001F
1E0D −++=+= −−
La corriente en estado estacionario vendr dada %or los dos ltimos t*rminos de estae%resión" ν