Variacindeparmetros

Si se fuera a resolver la ecuacin lineal no homognea:

empleando la reduccin de orden, se tendra que elegir entre dos soluciones: o que corresponden a dos soluciones de la ecuacin homognea relacionada, la cual es una ecuacin de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debera conducir a una ecuacin lineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta.

Sin embargo, existe una forma ms sencilla de resolver la ecuacin , en la que se combinan las dos sustituciones o de la manera siguiente:

Aqu se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v.

Para la ecuacin , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en . Segn la regla del producto se obtiene:

Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los trminos que aparecen en unos con otros. Dicha cancelacin simplificar el proceso.

El enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los trminos y que aparecen en se cancelen unos con otros:

Entonces podemos calcular directamente de

El resultado, segn la regla del producto, es:

Cuando se sustituye este resultado y en la ecuacin dada , se llega a:

En el cual se cancela un nmero de trminos, y slo nos queda:

As, para que u y v satisfagan sus derivadas deben satisfacer Adems, se ha supuesto que estas derivadas satisfacen la ecuacinEstas dos ltimos son Ecuaciones Lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incgnitas y . Resolver el sistema de ecuaciones para y en trminos de x es relativamente fcil; luego, u y v se obtienen por integracin.

Si se multiplica la ecuacin por x y se suma el resultado a ,tenemos:

y entonces: Ahora se puede sustituir el resultado anterior en o bien en para producir . El resultado es

y entonces:

Omitimos las constantes de integracin puesto que slo se necesita una solucin.

Por ltimo, volviendo a , tenemos:

Y tenemos as una solucin de la ecuacin . La solucin completa de la ecuacin es:

En cuya expresin se ha sumado la solucin de la ecuacin homognea relacionada como es usual. Sin embargo, es posible alguna simplificacin. Se pueden combinar dos trminos y escribir:

Donde se ha reemplazado por la constante arbitraria A ms simple.