ECUACIONESAnimacin: Juan A. Morales. Material: Editorial SMSISTEMAS DE ECUACIONESINECUACIONES

Ecuaciones Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen nmeros y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incgnitas. Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad.3x2 18x + 19 = 12x 29

Soluciones de una ecuacin. Ecuaciones equivalentesLas soluciones de una ecuacin son los valores que pueden tomar las incgnitas de manera que, al sustituirlos en una ecuacin, la igualdad sea cierta. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones. Transformaciones que conservan las soluciones de una ecuacin. Si se suma o resta el mismo nmero a los dos miembros de una ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero no nulo se obtiene una ecuacin equivalente Ejemplos: La ecuacin 3x2 18x + 19 = 12x 29 tiene una solucin para x = 2. x = 1 no es solucin de la ecuacin anterior. Una ecuacin equivalente a la anterior es x2 10 x + 16 = 0 La ecuaciones x2 = 1 y x3 = 1 no son equivalentes

Ecuaciones polinmicas (I)Una ecuacin en la que slo aparecen polinomios se llama polinmica.Toda ecuacin polinmica se puede transformar en otra equivalente de la forma P(x) = 0, en donde P(x) es un polinomio. Se llama grado de la ecuacin al grado de P(x). Ecuaciones polinmicas de primer grado: toda ecuacin polinmica de primer grado se puede transformar en otra de la forma ax + b = 0 con a 0Interpretacin geomtrica: un polinomio de grado 1 est representado por una recta. La solucin de la ecuacin es la abcisa del punto de corte de la recta con el eje x

Ecuaciones polinmicas (II)Las ecuaciones polinmicas de segundo grado, tambin llamadas cuadrticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a 0Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solucin. Interpretacin geomtrica: un polinomio de segundo grado est representado por una parbola. Segn la parbola corte al eje X en dos, uno o ningn punto la ecuacin cuadrtica tendr dos, una o ninguna solucin.x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene soluciones reales: la parbola no corta al eje x (x + 2)2 = 0 tiene una solucin doble: 2. El polinomio tiene una raz real doble. La parbola corta al eje x en un punto x2 2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos races reales distintas. La parbola corta al eje x en dos puntos

Ecuaciones polinmicas (III)Solucin de una ecuacin cuadrtica Para resolver ax2 + bx + c = 0

x2 + EC \f(b;a) x + EC \f(c;a) = 0

x2 + 2 EC \f(b;2a) x + EC \f(c;a) = 0

x2 + 2 EC \f(b;2a) x + EC \f(b2;4a2) + EC \f(c;a) = EC \f(b2;4a2)

EC \b\bc\( (x + \f(b;2a)) 2 + EC \f(c;a) = EC \f(b2;4a2)

EC \b\bc\( (x + \f(b;2a)) 2 = EC \f(b2;4a2) EC \f(c;a) = EC \f(b2 4ac;4a2)

EC \b\bc\( (x + \f(b;2a)) =

x =

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_1032008057.unknown

Se divide entre a

Se sustituye

por 2 EC \f(b;2a)

Se suma EC \f(b2;4a2)

Se utiliza el cuadrado perfecto EC \b\bc\( (x + \f(b;2a)) 2

Se despeja EC \b\bc\( (x + \f(b;2a)) 2 y se opera

Se despeja EC \b\bc\( (x + \f(b;2a))

Se despeja x

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Sistemas de ecuaciones. Solucin de un sistemaUna solucin de este sistema: x = 3; y = 2. En este caso es nica Interpretacin geomtrica:Cada igualdad del sistema representa una recta en el plano cartesiano.Una solucin de este sistema es un punto comn a ambas rectas5x+y=13x+y=1(3, 2)

EC \x(\s(5x + y = 13; x + y = 1))

Grfico7

743

6.942.5

6.842

6.741.5

6.641

6.540.5

6.440

6.339.5

6.239

6.138.5

638

5.937.5

5.837

5.736.5

5.636

5.535.5

5.435

5.334.5

5.234

5.133.5

533

4.932.5

4.832

4.731.5

4.631

4.530.5

4.430

4.329.5

4.229

4.128.5

428

3.927.5

3.827

3.726.5

3.626

3.525.5

3.425

3.324.5

3.224

3.123.5

323

2.922.5

2.822

2.721.5

2.621

2.520.5

2.420

2.319.5

2.219

2.118.5

218

1.917.5

1.817

1.716.5

1.616

1.515.5

1.415

1.314.5

1.214

1.113.5

113

0.912.5

0.812

0.711.5

0.611

0.510.5

0.410

0.39.5

0.29

0.18.5

08

-0.17.5

-0.27

-0.36.5

-0.46

-0.55.5

-0.65

-0.74.5

-0.84

-0.93.5

-13

-1.12.5

-1.22

-1.31.5

-1.41

-1.50.5

-1.60

-1.7-0.5

-1.8-1

-1.9-1.5

-2-2

-2.1-2.5

-2.2-3

-2.3-3.5

-2.4-4

-2.5-4.5

-2.6-5

-2.7-5.5

-2.8-6

-2.9-6.5

-3-7

-3.1-7.5

-3.2-8

-3.3-8.5

-3.4-9

-3.5-9.5

-3.6-10

-3.7-10.5

-3.8-11

-3.9-11.5

-4-12

-4.1-12.5

-4.2-13

-4.3-13.5

-4.4-14

-4.5-14.5

-4.6-15

-4.7-15.5

-4.8-16

-4.9-16.5

-5-17

X

Y

Hoja1

-6743

-5.96.942.5

-5.86.842

-5.76.741.5

-5.66.641

-5.56.540.5

-5.46.440

-5.36.339.5

-5.26.239

-5.16.138.5

-5638

-4.95.937.5

-4.85.837

-4.75.736.5

-4.65.636

-4.55.535.5

-4.45.435

-4.35.334.5

-4.25.234

-4.15.133.5

-4533

-3.94.932.5

-3.84.832

-3.74.731.5

-3.64.631

-3.54.530.5

-3.44.430

-3.34.329.5

-3.24.229

-3.14.128.5

-3428

-2.93.927.5

-2.83.827

-2.73.726.5

-2.63.626

-2.53.525.5

-2.43.425

-2.33.324.5

-2.23.224

-2.13.123.5

-2323

-1.92.922.5

-1.82.822

-1.72.721.5

-1.62.621

-1.52.520.5

-1.42.420

-1.32.319.5

-1.22.219

-1.12.118.5

-1218

-0.91.917.5

-0.81.817

-0.71.716.5

-0.61.616

-0.51.515.5

-0.41.415

-0.31.314.5

-0.21.214

-0.11.113.5

-0113

0.10.912.5

0.20.812

0.30.711.5

0.40.611

0.50.510.5

0.60.410

0.70.39.5

0.80.29

0.90.18.5

108

1.1-0.17.5

1.2-0.27

1.3-0.36.5

1.4-0.46

1.5-0.55.5

1.6-0.65

1.7-0.74.5

1.8-0.84

1.9-0.93.5

2-13

2.1-1.12.5

2.2-1.22

2.3-1.31.5

2.4-1.41

2.5-1.50.5

2.6-1.60

2.7-1.7-0.5

2.8-1.8-1

2.9-1.9-1.5

3-2-2

3.1-2.1-2.5

3.2-2.2-3

3.3-2.3-3.5

3.4-2.4-4

3.5-2.5-4.5

3.6-2.6-5

3.7-2.7-5.5

3.8-2.8-6

3.9-2.9-6.5

4-3-7

4.1-3.1-7.5

4.2-3.2-8

4.3-3.3-8.5

4.4-3.4-9

4.5-3.5-9.5

4.6-3.6-10

4.7-3.7-10.5

4.8-3.8-11

4.9-3.9-11.5

5-4-12

5.1-4.1-12.5

5.2-4.2-13

5.3-4.3-13.5

5.4-4.4-14

5.5-4.5-14.5

5.6-4.6-15

5.7-4.7-15.5

5.8-4.8-16

5.9-4.9-16.5

6-5-17

Hoja1

00

00

00

00

00

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00

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00

00

00

00

00

X

Y

Hoja2

Hoja3

Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no linealesSistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas solucionesSe pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuacin: Si se suma o se resta el mismo nmero a los dos miembros de una ecuacin de un sistema, se obtiene un sistema equivalente Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin de un sistema por un mismo nmero distinto de cero, se obtiene un sistema equivalenteSistemas lineales y no lineales: Si en un sistema todas la ecuaciones son polinmicas de grado 1, se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.

Nmero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 2x2Es un sistema con solucin nica. Es un sistema sin solucin. Es un sistema con infinitas soluciones.

EC \x(\s(5x + y = 13; x + y = 1))

EC \x(\s(x + y = 1;x + y = 2))

EC \x(\s(2x + 2y = 2; x + y = 1))

Un sistema de ecuaciones lineales sin solucin(1 ec) (2) + 2 ec(1 ec) (2) + 3 ec(2 ec) (1) + 3 ecLa ecuacin 0 = 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solucin. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solucin.

EC \x(\s( x + y - 2z = 9;2x - y + 4z = 4;2x - y + 4z = -1)) (

EC \x(\s( x + y - 2z = 9; - 3y + 8z = -14; - 3y + 8z = -19)) (

EC \x(\s( x + y - 2z = 9; - 3y + 8z = -14; 0 = -5))

Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones(1 ec) (2) + 2 ec(1 ec) (2) + 3 ecLa ecuacin 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obtenindose con ello un sistema equivalente al original. x + y = 9 + 2z -3y = -14 - 8zDejamos en el primer miembro, el mismo nmero de ecuaciones que de incgnitasx = 9 + 2z - =y = Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = 1), podemos obtener las otras incgnitas por sustitucin hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solucin: x= 5, y = 2, z = 1Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones.

EC \x(\s( x + y - 2z = 9;2x - y + 4z = 4;2x - y + 4z = 4)) (

EC \x(\s( x + y - 2z = 9; - 3y + 8z = -14; 0 = 0)) (

EC \x(\s( x + y - 2z = 9; - 3y + 8z = -14))

Sistemas de ecuaciones no linealesNo hay un mtodo general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales.Pueden tener cualquier nmero de soluciones, en nmero finito o infinito.Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos los puntos en comn a las rectas curvas que forman el sistemaEl sistema tiene dos soluciones: x = 3, y = 4 x = 4, y = 3Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en comn que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7Se despeja y de la segunda ecuacin y se sustituye en la primera.Se obtiene: x2 7x + 12 = 0Al resolver: x=3, x = 4Sustituimos estos valores de x en la segunda ecuacin y se obtiene: y = 4, y = 3

Inecuaciones Una inecuacin es una desigualdad entre dos expresiones en la que aparecen nmeros y letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >, 12x 29

Inecuaciones equivalentesDos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuacin. Si se suma o resta el mismo nmero a los dos miembros de una inecuacin se obtiene una inecuacin equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero positivo se obtiene una inecuacin equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una inecuacin equivalente.Ejemplos: La inecuacin 3x2 18x + 19 > 12x 29 tiene una solucin para x = 1. x = 2 no es solucin de la inecuacin anterior. Una inecuacin equivalente a la anterior es x2 10 x + 16 > 0

Inecuaciones de primer gradoUna desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuacin de primer grado.Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solucin. Las que no estn en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a Ejemplos:2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3 3 2x < 5 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, son son solucin todos los nmeros reales. Soluciones: ( ,+)5 3x 2 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuacin no tiene solucin

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