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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

SARANGO VELIZ ANDY JUAN PAJUELO VILLANUEVA MIGUEL

ANGEL GONZALES OCHOA ANGELA ROJAS ROJAS IVAN EDUARDO GIRALDO BUSTAMANTE DANIEL

UNI-FIEE

UNI

INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma:

an ( x ) dn y

d xn +an−1 ( x ) dn−1 y

d xn−1 +…+a1 ( x ) dydx

+a0 ( x ) y=f ( x ) … (1 )

Lo cual equivale a:

[an ( x ) dn

d xn +an−1 ( x ) dn−1

d xn−1 +…+a1 ( x ) ddx

+a0 ( x )] y=f (x ) … (2 )

O si se desea:

[an ( x ) Dn+an−1 ( x ) Dn−1+…+a1 (x ) D+a0 ( x ) ] y=f (x ) … (3 )

Donde a0 ( x ) , a1 (x ) ,…,an ( x ) y f ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo I.

A la expresión L=an (x ) Dn+an−1 ( x ) D n−1+…+a1 ( x ) D+a0 ( x ), con an ( x ) ≠0, se le llama operador diferencial lineal de orden n sobre el intervalo Entonces la expresión (3) puede ponerse como:

Ly=f ( x ) … (4 )

Que L sea un operador diferencial lineal de orden n significa que cumple con la siguiente propiedad:

L (c1 y1+c2 y2)=c1L y1+c2L y2

La ecuación (1) o cualquiera de sus equivalentes (2), (3), o (4) se dice que es homogénea si f es idénticamente nula sobre I. Es decir, su forma será:

Ly=0

MATEMÁTICA II Página 1

UNI

En caso contrario, se dice que (1) es no homogénea.

Una función y= y ( x ) es una solución de (1) o cualquiera de sus equivalentes (2), (3), o (4), si y solo si y ( x ) es n veces diferenciable y continua sobre I y además satisface dicha ecuación en I.

TEOREMA

La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea Ly=f ( x ), puede encontrarse al sumar todas las soluciones de la ecuación homogénea asociada: Ly=f ( x ) .

Es decir, el procedimiento para encontrar la solución general de Ly=f ( x ), es:

1.Encontrar la solución de la ecuación homogénea asociada Ly=0, sea yH (o yc) la solución.

2.Encontrar una solución particular de la ecuación Ly=f ( x ), sea y p la solución.

3.La solución general de Ly=f ( x ) esta dada por: y= yH+ y p

EJEMPLO

Comprobar que y=c1+c2 ln x+ x+ x2

4 es la solución general de

la ecuación: x yn+ y ,=x+1 donde yH=c1+c2 ln x es solución de

la ecuación homogénea asociada: x yn+ y ,=0 ,y y p=x+ x2

4 es

una solución particular de la ecuación dada.

SOLUCIÓN

Probaremos que yH=c1+c2 ln x es solución de x yn+ y ,=0… (1 )


UNI

De yH=c1+c2 ln x→ yH, =

−c2x2

En (1): −xc2x2

+c2x

=−c2x

+c2x=0 , con lo cual se pruebe que es

una solución de (1).

Probaremos que y p=x+ x2

4 es solución de x y ,,+ y ,=x+1…(2)

De y p=x+ x2

4→y p

, =1+ x2→ y ,,=1

2

En (2): x ( 12 )+(1+ x2 )= x

2+ x2+1=x+1 , con lo cual queda probada.

Luego hemos probado que la solución general de la

ecuación: x yn+ y ,=x+1 es y= yH+ y p→y=c1+c2 ln x+x+ x2

4

OBSERVACIONES

a) La ecuación: x yn+ y ,=x+1 es de segundo orden y en su solución general aparecen dos constantes.

b) Concretamente las constantes aparecen en yH=c1+c2 ln x , solución de la ecuación homogénea asociada: x yn+ y ,=0 (esta solución nos da todas las soluciones de la ecuación homogénea, conforme damos valores a c1 yc2 ).

c)Ligados a las constantes c1 yc2 aparecen dos funciones: y1 (x )=1 y y2 (x )=ln x [ yaque yH=c11+c2 ln x ] las cuales notamos que son linealmente independientes y además, también son soluciones de: x y ,,+ y ,=0

d) Luego la solución yH de la homogénea es una combinación lineal de las soluciones

∴ y1 ( x )=1 y y2 ( x )=ln x


UNI

CONCLUSION

TEOREMA

Dada la ecuación diferencial lineal de orden n: Ly=f ( x ) , decimos que la solución yH de la ecuación diferencial lineal homogénea asociada: Ly=0 es una combinación lineal de n funciones linealmente independientes: y1 , y2 ,…, yn de la forma yH=c1 y1+c2 y2+…+cn yn, (cada y1 , y2 ,…, yn es soluciónde Ly=0 )

Donde al conjunto { y1 , y2 ,…, yn } lo llamaremos sistema o base fundamental de la solución yH

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la ecuación diferencial de la forma:

an y(n)+an−1 y

(n−1)+…+a0 y=f (x )

Donde a0 , a1 ,…,an Є R

Entonces (a¿¿n D(n)+an−1D(n−1)+…+a0) y=f (x )¿

Ly=f ( x)

L es el operador lineal con coeficientes constantes

PROPIEDADES DEL OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL L CON COEFICIENTES CONSTANTES


UNI

1.Los operadores lineales L con coeficientes constantes pueden ser considerados como polinomios algebraicos en D.

Es decir: L ( D )=anD

(n)+an−1D(n−1)+…+a0.

2.Todo operador diferencial lineal de la forma anterior puede expresarse como un producto de operadores con coeficientes constantes de grado uno y/o de grado 2.

EJEMPLOSea la ecuación diferencial y´ ´ ´+4 y ' '+5 y '+2 y=0

(D¿¿3+4D2+5D+2) y=0¿

L ( D )=(D¿¿3+4D 2+5D+2)¿ (1ra propiedad)

L ( D )=( D+1 )2(D+2) (2da propiedad)

ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN

Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes

a2 y' '+a1 y

'+a0 y=0

(a¿¿2D2+a1D+a0) y=0¿

Luego la ecuación característica

a2r2+a1r+a0=0

Cuyas raíces son r1 yr 2.


UNI

Las posibles soluciones de la ecuación característica pueden presentar tres casos:

CASO 1 La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas.

Si r1 yr 2son las dos soluciones reales de la ecuación característicaDe manera que:

⟨ y1(x) ⟩=er 1x

⟨ y2(x) ⟩=er 2x

Tenemos que la solución general de la ecuación homogénea es:

y ( x )=C1 er1x+ C2e

r2 x, Con C2 y C1∈ R.

CASO 2 La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas.

Suponiendo que r1=a+bi, y por tanto r2=a−bi, se verifica que

⟨ y1(x) ⟩=er 1x cosbx

y2 ( x )=er2x senbx

La solución general será y ( x )=C1 er1x cosbx+C2e

r2 x senbx

CASO 3 La ecuación característica tiene una raíz real doble.

Se tiene que r1=r2=r.

Se verifica: ⟨ y1(x) ⟩=erx

⟨ y2(x) ⟩=xerx

La solución general será y ( x )=C1 erx+C2ℜ

rx


UNI

PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA DE ORDEN “ n” CON COEFICIENTES CONSTANTES

Dada la ecuación diferencial de orden n:an y

(n)+an−1 y(n−1)+…+a0=0

Donde a0 , a1 ,…,an Є R con an≠0

La ecuación es equivalente a

(a¿¿n D(n)+an−1D(n−1)+…+a1D+a0) y=0¿

La ecuación característica será:

anrn+an−1r

n−1+…+a0=0 Y encontramos sus n raíces (r1 , r2 ,…. rn ¿.

CASOS

a)RAÍCES REALES Y DIFERENTES

Para r1 : ⟨ y1(x) ⟩=er 1x

Para r2 :⟨ y2(x) ⟩=er 2x

Para rn : ⟨ yn(x )⟩=ernx

Entonces la solución general es: y=C1 er 1xC2 e

r 2x+…+Cn ern x

b) RAÍCES IGUALES DE MULTIPLICIDAD k (r¿¿1 , r2 ,…. r k=r )¿

Para r1=r : ⟨ y1(x )⟩=erx

Para r2 ¿ r : ⟨ y2(x )⟩=xerx

Para r3=r : ⟨ y3(x )⟩=x2erx

:Para rk=r : ⟨ yk (x)⟩=xk−1 e

rx


UNI

Entonces la solución general es:

y=C1 erx+C2 xe

rx+C3 x2 erx+…+C k x

k−1 erx

c)RAÍCES COMPLEJAS Para r1=a+ib : ⟨ y1(x )⟩=e

axcosbx

Para r2=a−ib : ⟨ y2(x)⟩=eaxsenbx

Para r3=c+ id : ⟨ y3(x )⟩=ecxcosdx

Para r 4=c−id : ⟨ y3(x )⟩=ecxsendx

:Para r2m−1=k+iL : ⟨ yk (x) ⟩=e

kxcosLx

Para r2m=k−iL : ⟨ y k( x)⟩=ekxsenLx

Entonces la solución general es:

y=C1 eaxcosbx+C2e

ax senbx+C3 ecx cosdx+C4 e

cx sendx+C2m−1 ekx cosLx+…+C2me

kx senLx

También se debe recurrir a la combinación de (a), (b) y (c) para la resolución de ecuaciones diferenciales donde se presenten raíces ri que abarquen más de un solo tipo.

PROBLEMA DE ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTES VARIABLES

Sea la siguiente ecuación diferencial

x2 y´ ´+x y´−4 y=0

Halle la solución general de la ecuación diferencial sabiendo que una solución es y1( x)=x2

SOLUCIÓN


UNI

Sabemos que la siguiente ecuación diferencial es lineal (porque depende de x) y homogénea (porque está igualada a cero) y de orden 2 con coeficientes variables (por el x2).

1) Necesitamos las 2 soluciones porque es de orden 2, para hallar la solución general.

2) Necesitamos hallar la otra solución, a la cual llamaremos y2 (x)Hacemos

y2 ( x )=z(x) y1 (x)

Como y1 ( x )=x2 entonces y2 ( x )=z ( x ) x2…(1)

Derivamos y2 (x):

y2 (x)´ =z(x)

´ x2+z( x)2 x

y2 ( x )´ ´ =z ( x )

´ ´ x2+z ( x )´ 2x+z ( x )

´ 2 x+2 z ( x )

Sustituimos en la ecuación diferencial

x2 ( z (x )´´ x2+4 z ( x )

´ x+2 z ( x ) )+x (z ( x )´ x2+z ( x ) 2x )−4 z ( x ) x

2=0

x4 z ( x )´´ +4 x3 z(x)

´ +2 z(x) x2+ z(x)

´ x3+2 z(x)x2−4 z ( x ) x

2=0

x4 z ( x )´´ +5x3 z (x )

´ =0

Observamos que z( x)siempre se simplificará cuando usemos este método.

Hacemos

v=z( x)´

Derivando


UNI

v´=z (x )´ ´

Reemplazando

x4 v´−5 x3 v=0

x4dvdx

=5x3 v

dyv

=5xdx

Integrando

∫ dvv

=∫ 5x dx

lnv=5 lnx+C

v=e ln x5

eC

v=k x5

Dónde K es una constante k>0

z( x)´ =k x5

∫ z(x)´ =¿∫ k x5 ¿

z=kx6

6+C

Donde C∈ R

3) Reemplazando en (1)

y2 (x)=kx8

6+C x2

Donde C∈ R, k>0

4) Dando valores: C=1, k=1

y2 ( x )=x8

6+x2

Son linealmente independientes con y1 ( x )


UNI

5) Así:

{x2 ; x8

6+ x2 }

Es R-base del conjunto de soluciones de la ecuación diferencial

Todas las soluciones se escribirían como la combinación lineal de estas 2.

Luego la solución general:

c1 x2+c2( x86 +x2)

Donde c1 yc2∈R

Para calcular soluciones simplemente daremos valores a c1 yc2 en esta expresión.

PROBLEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS

Resolver la ecuación: y , ,,−4 y ,=−x3+x… (1 )

SOLUCIÓN

Calculo de yh Ecuación: y , ,,−4 y ,=0

Ecuación característica: r3−4 r=0→r (r 2−4 )=0

→r (r+2 ) (r−2 )=0

∴r 1=0 , r2=−2 , r3=2

→ yh=c1+c2 e−2 x+c3 e

2x

Calculo de y p correspondiente a … (1 )

Vemos que f ( x )=−x3+x=Pm ( x ) (¿ polinomiode gradom=3 )


UNI

¿El número cero es raíz de la ecuación característica?

Sí, de multiplicidad s=1 (aparece1 vez ) , entonces

y p=x1 P3 ( x ) →y p=x (ax3+b x2+cx+d )

Calculo de los coeficientes de y p:

Derivamos

y p : y p, =4a x3+3b x2+2cx+d→ y p

,,=12a x2+6bx+2c

→ y p,, ,=24ax+6b

Reemplazamos en (1 ) :

24 ax+6b−4 (4a x3+3b x2+2cx+d )=−x3+ x

→−16 ax3−12b x2+(24a−8c ) x+ (6b−4d )=−x3+x

→Por C . I .

−16a=−1→a= 116

−12b=0→b=0

24 a−8c=1→c= 116

6b−4 d=0→d=0

Luego en y p , tenemos: y p=x ( 116 x3+ 116

x )→ y p=116

(x4+x2 )

y= yh+ y p

La solución general es: y=c1+c2 e−2x+c3 e

2 x+ 116

( x4+x2)

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL HOMOGENEA CON COEFICIENTE CONSTANTE


UNI

1.-y(4)−4 y´´ ´+6 y´ ´−4 y ´+ y=0

SOLUCION

y = erx

y = rerx

y = r2 erx

y = r3 erx

y(4)= r 4 erx

Entonces:

r 4 erx - 4r3 erx + 6r2 erx - 4ℜrx + erx = 0

erx (r 4−4 r3+6 r2−4 r+1) = 0

→ erx diferente de 0

El polinomio característico de la ecuación diferencial es:

P(r)= r 4−4 r3+6 r2−4 r+1=0

De donde, damos solución al polinomio y hallamos sus raíces:

r1=1 r2=1 r3=1r 4=1 (raíces reales de multiplicidad 4)Luego el sistema fundamental de soluciones es :

y1=ex

y2=x . ex

y3=x2 . ex

y4=x3 . ex

Y la solución general es :


UNI

y g=c1 ex + c2 x . ex + c3 x

2 . ex + c4 x3 .e x

2. d6 yd x6

+¿ 6 d4 y

d x4+9 d2 y

d x2+4 y=0

SOLUCIÓN:

y(6 )+6 y(4 )+9 y(2)+4 y=0

y = erx

y = r2 erx

y(4)= r 4 erx

y(6 )= r6 erx

Entonces:

r6 erx + 6r 4 erx + 9r2 erx + 4 erx = 0

erx (r6+6 r 4+9 r2+4) = 0



P(r) = r6+6 r 4+9 r2+4=0

De donde, damos solución al polinomio y hallamos sus raíces:

r1=i demultiplicidad 2 r2=−ide multiplicidad2 r3=2i r4=−2i

Luego el sistema fundamental de soluciones es :

y1=cos x

y2=sin x


UNI

y3=¿ x cos x

y4=x sin x

y5=cos2x

y6=sin 2x


y g=¿ c1 cos x + c2 sin x + c3 xcos x + c4 x sin x + c5 cos2 x + c6 sin 2x

3.-y(4)− y=0

SOLUCIÓN:

y = erx

y(4)= r 4 erx

Entonces:

r 4 erx −erx = 0

erx (r 4−1) = 0



P(r)= r 4−1=0 De donde, damos solución al polinomio y hallamos sus raíces:

r1=−1 r2=1 r3=ir4=−i

Luego el sistema fundamental de soluciones es :

y1=e−x

y2=ex


UNI

y3=cos x

y4=sin x


y g=c1 e−x + c2 e

x + c3 cos x + c4 sin x

BIBLIOGRAFÍA

1.Ecuaciones diferenciales 2 – Cesar Saal R. y Félix Carrillo C.

2.Análisis Matemático IV – Eduardo Espinoza Ramos.


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