ecuaciones segundo grado - 2da parte

CAPACIDADES

Identifica una ecuación bicuadrada Analiza la solución de ecuaciones bicuadradas Resuelve situaciones problemáticas de ecuaciones bicuadradas aplicando

diversos métodos en su solución.

MatemáticaTercero A,B,C,D,E

1. DEFINICIÓN

Existen ecuaciones de grado superior al segundo, que mediante un cambio de incógnita se reducen a ecuaciones de segundo grado. Un caso notable es la ECUACIÓN BICUADRADA que es la

de la forma a x4+bx2+c=0.

Mediante el cambio de una variable x2 = y ; la ecuación se transforma en :

a x4+bx2+c=0

a (x2)2+b(x¿¿2)+c=0¿

a y2+by+c=0

Ejemplo : Resolver : x4−13 x2+36=0

La ecuación se puede escribir así

(x2)2−13 (x¿¿2)+36=0¿ (I)

Hacemos el cambio de variable :

x2 = y (II)

Reemplazamos (II) en (I) :

y2−13 y+36=0

y -9

y -4

Luego : y1 = 9 ; y2 = 4

Reemplazamos el valor de y = 9 ; 4 en la

expresión II :

x2 = y x2 = 9 x1 = 3 ; x2 = -3

x2 = y x2 = 4 x1 = 2 ; x2 = -2

∴ El conjunto solución de la ecuación

x4−13 x2+36=0 es :

c.s = { -3; -2; 2 ; 3 }

2. Número de Raíces de una Ecuación

Bicuadrada

Como el grado de una ecuación indica el número de raíces o soluciones de la ecuación, entonces una ecuación bicuadrada que es de grado 4, tendrá 4 raíces o soluciones como lo mostrado en el ejemplo anterior.Para dichas raíces se cumple : x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 . x2 . x3 . x4 = ca

x1 . x2 + x3 . x4 = ba

3. Métodos de resolución

Una ecuación bicuadrada puede resolverse por factorización o por aplicación de la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.

x4−13 x2+36=0

Hacemos el cambio de variable :

x2 = y

Reemplazamos:

y2−13 y+36=0

y=−(−13)±√(−13)2−4 (1 )(36)

2(1)

y = 13± 5

2 y1 = 9 ; y2 = 4

Reemplazamos el valor de y = 9 ; 4

x2 = y x2 = 9 x1 = 3 ; x2 = - 3

x2 = y x2 = 4 x1 = 2 ; x2 = -2

∴ El conjunto solución de la ecuación

x4−13 x2+36=0 es :

c.s = { -3; -2; 2 ; 3 }

BIMESTRE : III UNIDAD : V Docentes Responsables: Luzmila Zumarán Piscoya , Rita Merino


PARTE I :

PARTE II:

1. x4 – 10x2 – 9 = 0

2. 9 x4 -10x2 + 1 = 0

3. x4 -16x2 - 225 = 0

4. x2+ 1

x2=2

5.

(3 x−7 )2−4(3 x−7 )=32

6.

(2 x−a )2=b(2 x−a )+2b2

7. x4 – 169 x2 = 0

8. x2

x+1+ x+1

x2 =52

9. 4x4 + 17x2 + 4 = 0

Una ecuación es irracional si la incógnita está bajo un signo radical. Se consideran dos casos:

1º Caso : Cuando la ecuación tiene un solo término con una variable en el radicando procediendo

de la siguiente manera :

1. Se aísla en el primer miembro al término que contiene la variable en el radical

2. Se eleva cada miembro de la ecuación a la potencia entera igual al índice de la raíz

3. Se resuelve la ecuación resultante y se verifican los resultados

En la presente sesión de aprendizaje aprenderemos a reconocer y trabajar con ecuaciones irracionales así como resolver

a ) x4−5x2+4=0 b ) x4−12x2+27=0 c) 2x4−2=0 d ) 2x4+10x2+12=0

e ) 3x4−27x2+60=0 f ) x4−17x2+16=0 g ) 2x 4−32=0 h) 3x4−24x2+36=0

i ) x4

2−6x2+27=0 j) 3x4+18=15x2 k ) 5x 4+20x2+15=0 l )−5x2+3x2=0

m) x4+900−61x2=0 n )x4

2+x2−4=0 ñ) 35x2+50+5x4=0 o )x

4

2−2x2+1,5=0


Ejemplo : Resolver la ecuación :

3 x+√x−1=7

Resolución:

1º ) Aislamos el radical√ x−1=7−3 x

2º) Elevamos al cuadrado ambos miembros:

(√ x−1)2=(7−3 x)2

x−1=49−42 x+9 x2

9 x2−43 x+50=0

9x -25

x - 2

Luego : ( 9x-25) ( x-2 ) = 0

Donde : i) 9x – 25 = 0

x1 = 25/9 ( P. Falsa)

ii) x – 2 = 0

x2 = 2 ( P. Verdadera)

c.s { 2 }

En el ejemplo a la raíz x1 se le denomina solución extraña puesto que al comprobar los valores en la ecuación no arroja como resultado el valor esperado 7.

2º Caso: Cuando la ecuación tiene más de un radical cuadrático:

1. Se aísla un radical de preferencia el más complejo.

2. Se eleva ambos miembros al cuadrado 3. Se repiten los pasos anteriores hasta que

se eliminen los radicales que contiene variables.

4. Se resuelve la ecuación y se verifican los resultados.

Ejemplo: √ x+√2 x+1=5

(√2 x+1)2=(5−√ x)2

2 x+1=25−10√ x+x 10√ x=24−x

(10√ x)2=(24−x)2

100 x=576−48 x+x2

x2−148 x+576=0 x - 4 x -144

Donde x1= 4 ( P. verdadera)

x2 = 144 ( P. Falsa )

c.s. = {4}

Resolver las siguientes ecuaciones :

a)√ x2+7 = x−7

b) √ x2+7 = x−7

c) √ x−4−√2−x=0

d) √ x−5−√−x+2=0

e) √ (1−x )2 = 9−x

f) √3 x+1 + √5 x = √16 x+1

g) √6−x + √x+7 − √12 x+1 = 0

Indique:

x2

3+x

a) 1 b) 2 c)3

d) 4 e) 5

h) √ x−1+√ x+2 = √34+x − √7+x

a) 0 b) 3 c) 4

d) 2 e) 5

i) Si √( x−1 )2=1−x

El conjunto solución de la ecuación es:

a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2

d) x e) x 1

j) √5 x−6 = 3 x−4

k) √ x−2x−3

+√ x−3x−2

=52


VALOR ABSOLUTO

Se llama valor absoluto de un número real “x” y se denota por |x| al número real no negativo que cumple:

x; x > 0

x; x ≥ 0

|x|= también: |x|= 0; x = 0

-x; x ≤ 0 -x; x < 0

Ejemplos:

|3|=3 ; pues 3 > 0

|x+1|=x2+1 ; pues: x2+1>0

|5|=−(−5 )=5 ; pues: -5 < 0

|√3−√7|=−(√3−√7 )=√7−√3 ; pues √3−√7<0

En la presente sesión de aprendizaje aprenderemos a reconocer como interpretar las

propiedades utilizadas en las ecuaciones con

a )√ x−5=2 b )−√3x−2=−1 c )√8x+9=5d )√5−2x=x−1 e )√4−4x−2=3x f ) x+1−√6−2x=0g ) 3√3x+16−12=x h )√2x+5−2x=3 i ) 3√5x+6−6−5x=0j )√2x+3x−1−5x=−2x−3 k ) 2√5x−1−2x+3=1+4x l ) 2√2x+3+ x+2=−4+5x m)√ x−3+√ x+5=4 n )√ x−2+√x+1=3 ñ )√2x−√ x+7+1=0


|0|=0

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Para resolver este tipo de ecuaciones se toma en cuenta los siguientes teoremas:

Teoremas:

1. |x|=a ↔ a≥0∧( x=a∨x=−a )

2. |x|=|a|↔ x=a x=-a

Ejemplos :

1. Resolver: |2 x−1|=7

Solución:

7 > 0 (2x-1=7 2x-1=-7)

7 < 0 (x=4 x=-3)

C.S.=-3;4

2. Resolver: |x−2|=5

Solución:

5 < 0 (x-2=5 x-2=-5)

5 > 0 (x-7 x=-3)

C.S.=-3;7

3. Resolver: |4 x−1|=−6

Solución:

Como: -6 < 0, no hay solución, ya que el valor absoluto

siempre es positivo, por lo tanto: C.S.=

4. Resolver:

|3 x−1|=x

Solución:

Como no se conoce el signo de “x”,

debemos considerar:

x ≥ 0 (3x-1= x 3x-1=-x)

x≥0∧(x=12∨x= 1

4 )

Como: x=1

2>¿ ¿

x=1

4>¿ ¿

C.S.=

{12

;14 }

5. Resolver:

|x2−5 x|=6

Solución:

x2-5x=6 x2-5x=-6

x2-5x-6=0 x2-5x+6=0

(x-6) (x+1) = 0 (x-3) (x-2)=0

C.S=-1;2;3;6


1.Encuentra el valor de las expresiones que se dan a continuación para: x= -4; y= 2; z = -3

a) |2 x− y|

b) 2|x|−|y|

c) |xyz|

d) |xy|z

e) |xz

y|

f) |x

y|z

g)

|xz|y

h)

|x− y|z

i)

|x+2 z|y

j)

|x− y||3 y+z|

k)

|x|−|y|3|y|+|z|

l)

|xy||x|+|y|

m)

|x|+|y|+|z|x+ y+z

2. Resolver la ecuación: |x−5|=4Indicando la mayor solución:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 9

3. Resolver la ecuación:|3 x−8|=4

Indicar una solución.

a) 1 b) 2 c)

43

d) -6 e) 20

4. Resolver la ecuación:|7−2 x|=9 Hallar una solución.

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) -3

5. Resolver la ecuación:|3 x−2|=|2 x+3|Hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

6. Resolver e indicar una raíz.|x−4|=|5−2 x|a) 3 b) 4 c) 9

d) 10 e) 20

7. Resolver la ecuación hallando el número de soluciones:

|5 x|=6−x

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

8. Resolver:

|2 x+1x−1

|=3

Hallar el número de soluciones

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

9. Resolver:

|x2−4 x|=0Hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3


d) 4 e) 6

10. Resolver: x2+6=5|x|a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

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