7. ECUACIONES NO LINEALESIntroduccinEs muy comn para la resolucin de problemas el tener que encontrar las races de una ecuacin. A continuacin se presentan varios mtodos de cmo obtenerlas. El problema consiste en resolver la ecuacin no lneal f(x) = 0

MTODO GRFICO.-Consiste en graficar la funcin y =f(x) y a travs de la grfica determinar los puntos de interseccin con el eje X, los que en realidad resultan ser las soluciones de la ecuacin f(x)=0.

MTODO DE INTERPOLACIN.- Se tabula la funcin y = f(x) y se determina los intervalos unitarios donde se encuentran las races de la ecuacin

BiseccinPara el intervalo[a,b], calcular, calcular las races de f(x)=0:(1)c=(a+b)/2Sif(a)yf(c)tienen distinto signo, el prximo intervalo es[a,c], en caso contrario el nuevo intervalo es[c,b]. Hay dos posibles condiciones de corte, la primera es que el valorcencontrado sea una raz (f(c)) y la segunda es que el intervalo en el que buscamos sea tan chico como deseemos (ba). En este ltimo caso la raz esa+b2La cota de error en la iteracin n-sima es(2)en2(n+1)(ba)ObservacionesSe gana un dgito binario de precisin por cada iteracin, o sea un dgito decimal cada 10/3 iteracionesPunto FijoDada la ecuacinf(x)=0, hay que despejarxen funcin dex, es decir(3)x=(x)Para que se pueda hacer punto fijo tiene que cumplirse lo siguiente: Tiene que existir un intervalo[a,b]sobre la abscisa tal quef(x)caiga en el intervalo[a,b]pero sobre la ordenada. En todo punto de ese intervalo, la derivada de la funcin despejada tiene que tener mdulo menor a 1.Entonces se elige un punto inicial cualquiera y la sucesin(4) Pn+1=(Pn)converge al nico punto fijo de ese intervalo, o sea a la raz buscada.La cota de error en la iteracin n-sima es(5)enkn1k|p1p0|dondekes la cota de la derivada en el intervalo (o sea algo menor a 1).Segn sea la convergencia de la derivada, si una ecuacin tiene ms de una raz capaz que no se pueden calcular todas por punto fijo porque en un entorno de alguna la derivada puede ser siempre mayor a 1, entonces no se puede usar punto fijo.

Mtodo de NewtonPara que se pueda usar, tiene que cumplirse que: La funcin tenga derivada segunda en algn intervalo que contiene a la raz. La derivada en la raz no se anule (raz simple).La sucesin est dada por la siguiente expresin(6)xn+1=xnf(xn)/f(xn)Hay que elegir un valor inicial tal que(7)x0=m00.44es conveniente utilizar el Mtodo de la secante. De lo contrario, se utiliza el Mtodo de Newton.

Mtodo de la secanteEl mtodo de la secante surge como variante del mtodo de Newton, ya que en ese mtodo es necesario calcular una funcin y su derivada en cada iteracin. En el mtodo de la secante solamente se evala la funcinf(x). Como contrapartida, este mtodo no converge tan rapidamente como el mtodo de Newton (de orden 2 de convergencia), pero tiene una convergenciaR=1+521.618033989.La sucesin est dada por la siguiente expresin(11)xn+1=x nf(x n)(xnxn-1)/(f(xn)f(xn-1))Mtodo de la cuerdaEn este caso se cambia la derivada por la pendiente de la recta que une los extremos del intervalo. Es decir,(12)f(x)=(f(b)f(a))/(ba)y la sucesin queda(13)xn+1=xn(ba)/(f(b)f(a))f(xn)Mtodo Regula FalsiSi se tiene una funcinf(x)en el intervalo[a,b], el Mtodo de Regula Falsi toma la lnea secante que pasa por los puntosf(a)yf(b). Luego se toma el valorcdonde esta recta cruza con el ejex=0, siendocla primera aproximacin a la raz def(x). Hay que tener en cuenta de quef(a)f(b)