ecuaciones logaritmicas 2013-i

Tema: SEMANA 5

Ecuaciones Logarítmicas. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales yLogarítmicas

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Definición: Si N y b son números positivos y si b≠1 entonces:

logb N=L ⇔ N=bL

Se observa que el concepto de un exponente y el de un logaritmo son simplemente dos formas diferentes de ver exactamente la misma cosa.

Ejemplo:

log 28=3 ⇔ 23=8

PROPIEDADES: A continuación se presentan las siguientes propiedades

1. a log a x=x , x>02.

log bb=1

3.log b1=0

4. log b(xn )=n log b x

5. log b(xy )=logb x+ logb y

6.log b(

xy)=logb( x )−logb( y )

7.log

bn(x )=1n

logb( x )

8.

9. Cambio de base de un sistema a otro:

log a x=

logb x

logb a

10. log b(x ). log x (b)=1

log b(x )= 1

log x (b )

Resolución de una ecuación logarítmica

La ecuación con la incógnita bajo el signo de logaritmo se llama ecuación logarítmica.Cuando se resuelve una ecuación logarítmica en la que aparecen una o varias expresiones de la forma

log b[ f ( x ) ]1) Se debe considerar las siguientes condiciones:

a) Base sea positiva y diferente de uno, es decir: b>0 ∧ b≠1

b) f ( x )>02) Utilizar las propiedades de logaritmos

Facultad de ingeniería y arquitectura Ciclo 2013-I

3) Aplicar que log b f ( x )=L ⇔ bL=f ( x )4) Resolver la ecuación resultante.

5) Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas.

Ejemplo 1: Determinar el valor de “x”, en:

Solución:

Al usar, la definición de logaritmo se tiene que

.

Esto implica que, y satisface la ecuación.

Por tanto, el CS: .

Ejemplo 2: Hallar el valor de “x”, en:

Solución:

Al utilizar, la definición de logaritmo se tiene que

.

En consecuencia, se resuelve la ecuación de primer orden

Por consiguiente, y satisface la ecuación.

Por tanto, el CS: .

Ejemplo 3: Encontrar los valores de “x”, en:

Solución:

Haciendo uso, de la Propiedad 4 se tiene que

.


Por consiguiente,

Luego, al usar la propiedad 8 se tiene

Al multiplicar en aspa

Por tanto, el CS: .

Ejemplo 4: Hallar “x”, en:

Solución:

Al restar, se tiene que

Luego, al usar la definición de logaritmo, se tiene que

Esto implica que, y satisface la ecuación.

Por tanto, el CS: .

Ejemplo 5: Resuelva la ecuación:

Solución:

Al hacer uso, de la propiedad 4 se tiene que

Luego,


Por consiguiente,

Por tanto, el CS: .

Ejemplo 6: Determinar los valores de “x”, en:

Solución:

Al utilizar, la propiedad 5 se tiene que

.

Luego, al usar la propiedad 8, se tiene

Esto implica que,

Por tanto, el CS: .

Ejemplo 7: Resolver:

Solución:

Como, satisface la ecuación, entonces el C.S. =

Ejemplo 8: Resolver: Solución:


Como, satisface la ecuación, entonces el C.S. =

Ejemplo 9: Resolver: log x 12−3 logx2 4+log x 6=4

1°)

2°) log x 12−3

2log x 4+log x 6=4

(por prop. 7)

log x 12−log x 43 /2+log x 6=4

log x(12. 6

43/2 )=4

log x 9=4

3° ) x4=9

4° ) x2=3

x2−(√3 )2=0

( x−√3 ) ( x+√3 )=0

x=√3 ∨ x=−√3 (no se toma porque )

Pero,

Por lo tanto, C.S = {√3}

Ejemplos 10: Resolver: Solución:

Aplicando la definición de logaritmo

Las dos satisfacen en la ecuación.

C.S =


Ejemplos 11: Resolver:

Solución:

Las dos cumplen en la ecuación.

C.S =

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

NIVEL I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


NIVEL II

II. Resolver las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones logarítmicas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Resolver el siguiente sistema

8. En el siguiente sistema

9. Resolver el sistema

10. Si: , calcular:

M=

11. Hallar un número tal que el doble de su logaritmo en base 10 exceda en una

unidad al logaritmo en base 10 de dicho número aumentado en 11/10.

12.

13.

14.


15.

A P L IC A C I O NE S D E L A S ECUAC I O NE S EX P O NENC IA LE S Y L O G A R ITMIC A S

1. Óptica Si un cristal obstruye 5% de la luz que pasa a través de él, el porcentaje

p de la luz que pasa por n cristales sucesivos está dado aproximadamente por

la siguiente ecuación: . ¿Qué porcentaje de la luz pasará a través de

20 cristales? ¿ y a través de 30?

2. Presión atmosférica La presión atmosférica p sobre un globo o un avión disminuye al aumentar la altura. Esta presión, medida en milímetros de mercurio, se relacionacon el número de kilómetros h sobre el nivel del mar mediante la fórmula:

Determine la presión atmosférica a una altura de 4km. ¿Cuál es la presión a una altura de 15km?

3. Satélites espaciales El número de vatios w proporcionados por la fuente de energía de un satélite espacial después de un periodo de días está dado por la fórmula:

¿Cuánta energía estará disponible después de 2 meses? ¿Cuánta energía estará disponible después de dos años (un año equivale a 365 días)?

4. Corriente alterna en un circuito RL. La ecuación que gobierna la cantidad de corriente I(en amperios) después de un tiempo t (en segundos) en un circuito RL individual, el cual consta de una resistencia R (en ohms), una inductancia L (en henrios) y una fuerza

electromotriz E(en voltios), es . Si E =120voltios, R = 20 ohms, y L=10 henrios, ¿Cuánta corriente I1 está disponible después de 0.50 segundos? ¿Después de 0.1 segundos? ¿ y luego de 1 segundo? ¿Cuál es la corriente máxima?. Si E =120 voltios, R = 5 ohms, y L = 10 henrios, ¿cuánta corriente I2 está disponible después de 0.3 segundos? ¿Después de 0.5 segundos? ¿y luego de un segundo? ¿Cuál es la corriente máxima?

5. Óptica Si un solo cristal obstruye el 20% de la luz que pasa por él, entonces el porcentaje de luz que pasa a través de n cristales consecutivos está dado aproximadamente por la ecuación:

¿Cuántos cristales son necesarios para bloquear al menos un 50% de la luz? ¿y para bloquear al menos el 85% de la luz?


6. Satélites espaciales El número de vatios w proporcionados por la fuente de energía de un satélite espacial después de un periodo d de días está dado por la fórmula

¿Cuánto tiempo transcurre hasta que la energía disponible llega a 30 vatios? ¿Y hasta que desciende solamente a 5 vatios?

7. Corriente alterna en un circuito RL La ecuación que gobierna la cantidad de corriente I(en amperios) después de un tiempo t (en segundos) en un circuitoR1 individual, el cual consta de una resistencia R (en ohmios), una inductancia L (en henrios) y una fuerza electromotriz E (en voltios) es

Si E =12 voltios, R =10 ohmios y L =5henrios, ¿Cuánto tiempo transcurre antes de obtener una corriente de 0.5 amperios? ¿y de 1 amperio?

8. Crecimiento de una función exponencial Suponga que se le ofrece un trabajo de un mes, donde se le pagara bien. ¿Cuál de las formas de pago siguientes resultan más redituables para usted? Un millón de dólares al final del mes. Tres centavos el primer

día del mes, 9 centavos el segundo día, 27 centavos el tercero y, en general, centavos el día n?

9. Bacterias El número de bacterias en un cultivo está dado por la fórmula,

, donde t se mide en horas. ¿Cuál es la población inicial del cultivo?

¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo ?

10. Velocidad Un paracaidista deportivo desde una altura razonable. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcionalidad es 0.3. Se demuestra que la velocidad del paracaidista en el tiempo t está dada por

Donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/seg.). Determinar la velocidad inicial del paracaidista. Determinar la velocidad después de 15 y 20 segundos.

11. Población de conejos. Suponga que la población de conejos se comporta de acuerdo con la fórmula de crecimiento logístico:

Donde, n0 es la población inicial. ¿Cuál será la población después de 10 años?

12. Población de aves. La población de una especie de ave está limitada por el tipo de habitad necesario para la anidación. La población esta modelada por la fórmula de crecimiento logístico:


Donde, t se mide en años. ¿Determine la población inicial de aves?


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