ecuaciones lineales y matrices

1.1 SISTEMAS LINEALES

Una gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales y socia-les, as como en ingeniera y en ciencias fsicas, tienen que ver con ecuaciones que re-lacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuacin del tipo

ax = b,que expresa la variable b en trminos de la variable x y la constante a, se denominaecuacin lineal. Aqu se utiliza la palabra lineal porque la grfica de la ecuacin ante-rior es una lnea recta. De manera anloga, la ecuacin

a1x1 + a2x2 + + anxn = b, (1)que expresa b en trminos de las variables x1, x2, . . . , xn y las constantes conoci-das a1, a2, . . . , an, se denomina ecuacin lineal. En muchas aplicaciones se nos dan by las constantes a1, a2, . . . , an y se nos dice que debemos determinar los nme-ros x1, x2, . . . , xn, denominados incgnitas, que satisfacen la ecuacin (1).

Una solucin de una ecuacin lineal (1) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . ,sn que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuando x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn se sus-tituyen en (1).

En consecuencia, x1 = 2, x2 = 3 y x3 = 4 es una solucin de la ecuacin lineal6x1 3x2 + 4x3 = 13,

ya que

6(2) 3(3) + 4(4) = 13.sta no es la nica solucin para la ecuacin lineal dada, ya que x1 = 3, x2 = 1 y x3 =7 tambin lo es.

De manera ms general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas x1,x2, . . . , xn al que podemos llamar simplemente sistema lineal, es un conjunto dem ecuaciones lineales, cada una con n incgnitas. Un sistema lineal puede denotarse sinproblema mediante

C A P T U L O

ECUACIONES LINEALESY MATRICES

1

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm .

(2)

1

Los dos subndices, i y j, se utilizan como sigue. El primer subndice, i, indica que es-tamos trabajando con la i-sima ecuacin, mientras que el segundo subndice, j, estasociado con la j-sima variable xj. As, la i-sima ecuacin es

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi.En (2), las aij son constantes conocidas. Dados los valores de b1, b2, . . . , bm, queremosdeterminar los valores de x1, x2, . . . , xn que satisfagan cada ecuacin en (2).

Una solucin del sistema lineal (2) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . , sn,que tiene la propiedad de que cada ecuacin en (2) se satisface cuando x1 = s1, x2 = s2,. . . , xn = sn se sustituyen en (2).

Para encontrar las soluciones del sistema lineal, usaremos una tcnica denominadamtodo de eliminacin. Esto es, eliminamos algunas de las incgnitas sumando unmltiplo de una ecuacin a otra ecuacin. Casi todos los lectores habrn tenido algunaexperiencia con esta tcnica en cursos de lgebra en niveles bsicos, aunque lo ms se-guro es que haya sido con la restriccin de hacerlo con sistemas lineales en los que m= n, es decir, sistemas lineales con tantas ecuaciones como incgnitas. En este cursoampliaremos este panorama, poniendo en prctica el mtodo citado tratando con siste-mas en los que tenemos m = n, m n y m n. En realidad, existe una gran cantidadde aplicaciones en que m n. Si nuestro problema involucra dos, tres o cuatro incg-nitas, solemos escribir x, y, z y w. En esta seccin utilizaremos el mtodo de elimina-cin como se estudi en cursos bsicos, y en la seccin 1.5 lo haremos de maneramucho ms sistemtica.

EJEMPLO 1 El director de un fondo de inversin tiene $100,000 para invertir. Las reglas del fondoestablecen que la inversin debe hacerse tanto en certificados de depsito (CD), como alargo plazo. El objetivo del director es obtener un rendimiento de $7,800 sobre las in-versiones al cabo de un ao. Los CD elegidos tienen un rendimiento de 5% anual, mien-tras que el bono ofrece 9% al ao. El director determina cmo sigue la cantidad x quedebe invertir en los CD, y la cantidad y que dedicar a comprar bonos:

Como la inversin total es de $100,000, debemos tener x + y = 100,000. Toda vezque el rendimiento deseado es de $7,800, obtenemos la ecuacin 0.05x + 0.09y = 7,800.Por lo tanto, tenemos el sistema lineal

(3)

Para eliminar x, sumamos (0.05) veces la primera ecuacin a la segunda, para obtener

en donde la segunda ecuacin no tiene trmino x; en otras palabras, hemos eliminadola incgnita x. Despus despejamos y en la segunda ecuacin, para obtener

y = 70,000,y sustituyendo y en la primera ecuacin de (3), obtenemos

x = 30,000.Para comprobar que x = 30,000, y = 70,000 es una solucin de (3), verificamos que es-tos valores de x y y satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema lineal dado. Enconsecuencia, el director del fondo debe invertir $30,000 en los CD y $70,000 en bo-nos a largo plazo.

x + y = 100,0000.04y = 2,800,

x + y = 100,0000.05x + 0.09y = 7,800.

2 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

EJEMPLO 2 Considere el sistema lineal

(4)

Nuevamente decidimos eliminar x. Para ello, sumamos (2) veces la primera ecuacina la segunda, y obtenemos

cuya segunda ecuacin no tiene sentido. Esto significa que la solucin del sistema li-neal (4) es el conjunto vaco; en trminos prcticos, podemos decir que el sistema notiene solucin, es un conjunto vaco. Podramos haber obtenido la misma conclusinobservando que en (4) el lado izquierdo de la segunda ecuacin es igual a dos veces ellado izquierdo de la primera ecuacin, pero el lado derecho de la segunda ecuacin noes dos veces el lado derecho de la primera ecuacin.


(5)

Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que da por resultado

(6)

Despus eliminamos y como sigue, con ayuda de la segunda ecuacin en (6). Multipli-camos la tercera ecuacin de (6) por para obtener

Luego intercambiamos la segunda y tercera ecuaciones, lo que nos da

(7)

Ahora sumamos 7 veces la segunda ecuacin a la tercera, para obtener

Al multiplicar la tercera ecuacin por 110, tenemos

(8)x + 2y + 3z = 6

y + 2z = 4z = 3.

x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4

10z = 30.

x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4

7y 4z = 2.

x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2

y + 2z = 4.

15 ,

x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2 5y 10z = 20.

x + 2y + 3z = 62x 3y + 2z = 143x + y z = 2.

x 3y = 70x + 0y = 21

x 3y = 72x 6y = 7.

Sec. 1.1 Sistemas lineales 3

Sustituyendo z = 3 en la segunda ecuacin de (8), encontramos que y = 2. Al susti-tuir estos valores de z y y en la primera ecuacin de (8), obtenemos x = 1. Para com-probar que x = 1, y = 2, z = 3 es una solucin de (5), verificamos que estos valoresde x, y y z satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema. En consecuencia, x = 1,y = 2, z = 3 es una solucin para el sistema lineal. La importancia del procedimien-to radica en el hecho de que los sistemas lineales (5) y (8) tienen exactamente las mis-mas soluciones. El sistema (8) tiene la ventaja de que puede resolverse con muchafacilidad, dando los valores anteriores para x, y y z.


(9)

Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y obtenemos

(10)

Despejamos y en la segunda ecuacin en (10) para obtenery = z 4,

donde z puede ser cualquier nmero real. Entonces, con base en la primera ecuacin de(10),

Por lo tanto, una solucin para el sistema lineal (9) esx = r + 4y = r 4z = r,

donde r es cualquier nmero real. Esto significa que el sistema lineal (9) tiene un n-mero infinito de soluciones. Cada vez que asignamos un valor a r, obtenemos otra so-lucin para (9). En consecuencia, si r = 1, entonces

x = 5, y = 3 y z = 1es una solucin, mientras que si r = 2, entonces

x = 2, y = 6 y z = 2

es otra solucin.


(11)x + 2y = 10

2x 2y = 43x + 5y = 26.

x = 4 2y + 3z= 4 2(z 4) + 3z= z + 4.

x + 2y 3z = 4 3y + 3z = 12.

x + 2y 3z = 42x + y 3z = 4.


Una vez ms, para eliminar x sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y(3) veces la primera ecuacin a la tercera, obteniendo

x + 2y = 106y = 24y = 4.

Multiplicando la segunda ecuacin por y la tercera por (1), tenemosx + 2y = 10

y = 4 (12)y = 4,

que tiene las mismas soluciones que (11). Al sustituir y = 4 en la primera ecuacin de(12), obtenemos x = 2. Por lo tanto, x = 2, y = 4 es una solucin para (11).


(13)

Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que nos da

x + 2y = 106y = 24y = 10.

Al multiplicar la segunda ecuacin por y la tercera por (1), obtenemos el sis-tema

x + 2y = 10y = 4 (14)y = 10,

que no tiene solucin. Como (14) y (13) tienen las mismas soluciones, concluimos que(13) no tiene solucin.

Estos ejemplos sugieren que un sistema lineal puede tener una solucin (es decir,una nica solucin), no tener solucin, o un nmero infinito de soluciones.

Hemos visto que el mtodo de eliminacin consiste de la realizacin repetida de lasoperaciones siguientes:

1. Intercambiar dos ecuaciones.2. Multiplicar una ecuacin por una constante diferente de cero.3. Sumar un mltiplo de una ecuacin a la otra.

No es difcil demostrar (ejercicios T.1 a T.3) que el mtodo de eliminacin propor-ciona otro sistema lineal que tiene exactamente las mismas soluciones que el sistemadado. El nuevo sistema lineal puede resolverse despus sin dificultad.

16

x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 20.

16


Como quiz haya notado, hasta el momento, hemos descrito el mtodo de elimina-cin nicamente en trminos generales, de manera que no hemos indicado regla algunapara seleccionar las incgnitas que sern eliminadas. Antes de proporcionar una descripcinsistemtica del mtodo de eliminacin en la siguiente seccin, hablaremos del conceptode matriz, lo que nos ayudar a simplificar en gran medida nuestra notacin, permitin-donos desarrollar herramientas para resolver muchos problemas importantes.

Considere ahora un sistema lineal con las incgnitas x y y;

a1x + a2y = c1 (15)b1x + b2y = c2.

La grfica de cada una de estas ecuaciones es una lnea recta, que denotamos median-te l1 y l2, respectivamente. Si x = s1, y = s2 es una solucin del sistema lineal (15), en-tonces el punto (s1, s2) pertenece a ambas rectas, l1 y l2. De manera recproca, si elpunto (s1, s2) est en ambas rectas, l1 y l2, entonces x = s1, y = s2 es una solucin parael sistema lineal (15). (Vea la figura 1.1.) En consecuencia, hemos llegado a las mismastres posibilidades mencionadas, siguiendo una alternativa geomtrica:

1. El sistema tiene una solucin nica; esto es, las rectas l1 y l2 se intersecan exacta-mente en un punto.

2. El sistema no tiene solucin; es decir, las rectas l1 y l2 no se intersecan.3. El sistema tiene un nmero infinito de soluciones; en otras palabras, las rectas l1 y

l2 coinciden.

Figura 1.1

Ahora, consideremos un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incgnitas, x, yy z:

(16)

La grfica de cada una de estas ecuaciones es un plano, y se denota con P1, P2 y P3,respectivamente. Como en el caso de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos in-cgnitas, el sistema lineal en (16) puede tener una solucin nica, no tener solucin otener una infinidad de soluciones. Estas situaciones se ilustran en la figura 1.2. Paracomprender de forma ms concreta algunos de los casos posibles, piense en que las pa-redes (planos) de una habitacin se intersecan en un nico punto: una esquina de la ha-bitacin; de esta manera, el sistema lineal tiene una solucin nica. Ahora piense en losplanos como si se tratara de las pginas de un libro. Cuando el libro se sostiene abier-to, tres de sus pginas se intersecan en una lnea recta (el lomo); en este caso, el siste-ma lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Por otra parte, cuando se cierra ellibro, aparentemente las tres pginas son paralelas y no se intersecan, por lo que pode-mos decir que el sistema lineal no tiene solucin.

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3.


y

x

(b) No hay solucinl1

l2

y

x

(a) Una nica solucin

l1

l2

y

x

(c) Una infinidad de solucionesl1

l2

EJEMPLO 7 (Planeacin de produccin) Un fabricante produce tres tipos diferentes de productosqumicos: A, B y C. Cada producto debe pasar por dos mquinas de procesamiento:X y Y. La manufactura del producto requiere los tiempos siguientes en las mquinas X y Y:

1. Una tonelada de A requiere 2 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.2. Una tonelada de B requiere 3 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.3. Una tonelada de C requiere 4 horas en la mquina X y 3 horas en la mquina Y.

La mquina X est disponible durante 80 horas a la semana, y la mquina Y puede uti-lizarse 60 horas a la semana. Como la gerencia no quiere que las costosas mquinas Xy Y estn ociosas, le gustara saber cuntas toneladas debe manufacturar de cada pro-ducto, de modo que las mquinas se utilicen a su capacidad total. Daremos por sentadoque el fabricante puede vender todos los productos que se manufacturen.

Para resolver este problema, denotamos con x1, x2 y x3, respectivamente, el nme-ro de toneladas de productos A, B y C que se fabricarn. El nmero de horas que la m-quina X ser utilizada es

2x1 + 3x2 + 4x3,que debe ser igual a 80. Por lo tanto, As tenemos que

2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.De manera similar, el nmero de horas que emplear la mquina Y es 60, por lo que te-nemos

2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.Desde el punto de vista matemtico, nuestro problema consiste en determinar los valo-res no negativos de x1, x2 y x3 tales que

2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.

Este sistema lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Siguiendo el mtodo delejemplo 4, vemos que todas las soluciones estn dadas por

x1 = 20 x32x2 = 20 x3x3 = cualquier nmero real tal que 0 x3 20,


Figura 1.2

(a) Una nica solucin

P1

P2

(c) Una infinidad de soluciones(b) No hay solucin

P3

P2

P1

P3P1

P3

P2

toda vez que debemos tener x1 0, x2 0 y x3 0. Cuando x3 = 10, tenemosx1 = 5, x2 = 10, x3 = 10

mientras que

cuando x3 = 7. Observe que una solucin es tan buena como la otra. Ninguna es me-jor, a menos que se nos diera ms informacin o se nos plantearan algunas restric-ciones.

x1 = 132 , x2 = 13, x3 = 7


En los ejercicios 1 a 14, resuelva el sistema lineal dado por me-dio del mtodo de eliminacin.

15. Dado el sistema lineal

2x y = 54x 2y = t,

(a) determine un valor de t para que el sistema tenga unasolucin.

(b) determine un valor de t para que el sistema no tengasolucin.

(c) Cuntos valores diferentes de t pueden seleccionarseen la parte (b)?

16. Dado el sistema lineal

2x + 3y z = 0x 4y + 5z = 0,

(a) verifique que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1 es una solucin.(b) verifique que x2 = 2, y2 = 2, z2 = 2 es una solucin.(c) x = x1 + x2 = 1, y = y1 + y2 = 1 y z = z1 + z2 = 1

es una solucin del sistema lineal?(d) 3x, 3y, 3z, donde x, y y z son como en la parte (c), es

una solucin del sistema lineal?

17. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodode eliminacin

18. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodode eliminacin

19. Existe un valor de r tal que x = 1, y = 2, z = r sea una so-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo

2x + 3y z = 11x y + 2z = 7

4x + y 2z = 12.

4x = 82x + 3y = 1

3x + 5y 2z = 11.

2x + y 2z = 53y + z = 7

z = 4.

Trminos claveEcuacin linealIncgnitasSolucin de una ecuacin linealSistema lineal

Solucin de un sistema linealMtodo de eliminacinSolucin nica

Sin solucinInfinidad de solucionesManipulacin de un sistema lineal

1.1 Ejercicios

1. x + 2y = 83x 4y = 4.

2. 2x 3y + 4z = 12x 2y + z = 5

3x + y + 2z = 1.3. 3x + 2y + z = 2

4x + 2y + 2z = 8x y + z = 4.

4. x + y = 53x + 3y = 10.

5. 2x + 4y + 6z = 122x 3y 4z = 153x + 4y + 5z = 8.

6. x + y 2z = 52x + 3y + 4z = 2.

7. x + 4y z = 123x + 8y 2z = 4.

8. 3x + 4y z = 86x + 8y 2z = 3.

9. x + y + 3z = 122x + 2y + 6z = 6.

10. x + y = 12x y = 53x + 4y = 2.

11. 2x + 3y = 13x 2y = 3

5x + 2y = 27.

12. x 5y = 63x + 2y = 15x + 2y = 1.

13. x + 3y = 42x + 5y = 8

x + 3y = 5.

14. 2x + 3y z = 62x y + 2z = 83x y + z = 7.

20. Existe un valor de r tal que x = r, y = 2, z = 1 sea una so-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo

21. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-mente en los tres planos que se muestran en cada inciso dela figura 1.2.

22. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-mente en los tres planos que se muestran en cada inciso dela figura 1.3.

Figura 1.3

23. Una refinera produce gasolina con azufre y sin azufre. Pa-ra producir cada tonelada de gasolina sin azufre 5 minutosen la planta mezcladora y 4 minutos en la planta de refina-cin, mientras que cada tonelada de gasolina con azufre re-quiere 4 minutos en la planta mezcladora y 2 minutos en laplanta de refinacin. Si la planta mezcladora est disponi-ble 3 horas y la de refinacin 2 horas, cuntas toneladasde cada tipo de gasolina deben producirse de modo que lasplantas operen a toda su capacidad?

24. Un fabricante produce dos tipos de plsticos: regular y es-pecial. La produccin de cada tonelada de plstico regularrequiere dos horas en la planta A y 5 horas en la planta B;para producir cada tonelada de plstico especial se necesi-tan 2 horas en la planta A y 3 horas en la planta B. Si laplanta A est disponible 8 horas diarias y la planta B 15horas al da, cuntas toneladas de cada tipo de plsticopueden producirse diariamente de modo que ambas plantasse utilicen al mximo de su capacidad?

25. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades decarbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unida-des de protenas, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbo-hidratos. Por su parte, cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protenas, 3 unidades de grasa y 2 unidadesde carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente25 unidades de protenas, 24 unidades de grasa y 21 unida-des de carbohidratos, cuntas onzas de cada tipo de ali-mento deben utilizarse?

26. Un fabricante produce reveladores de pelcula de 2, 6 y 9minutos. La fabricacin de cada tonelada del revelador de2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 minutosen la planta B. Para manufacturar cada tonelada del revela-dor de 6 minutos son necesarios 12 minutos en la planta A y12 minutos en la planta B. Por ltimo, para producir cadatonelada del revelador de 9 minutos se utiliza 12 minutosla planta A y 12 minutos la planta B. Si la planta A estdisponible 10 horas al da y la planta B 16 horas diarias,cuntas toneladas de cada tipo de revelador de pelculapueden producirse de modo que las plantas operen a todasu capacidad?

27. Suponga que los tres puntos (1,5), (1, 1) y (2, 7) estnen la parbola p(x) = ax2 + bx + c.(a) Determine un sistema lineal de tres ecuaciones con tres

incgnitas que deba resolverse para determinar a, b y c.(b) Resuelva el sistema lineal que obtuvo en la parte (a)

para a, b y c.28. Una herencia de $24,000 se dividi en tres fideicomisos; el

segundo fideicomiso recibi el doble del primero. Los tres fi-deicomisos pagan una tasa de inters de 9, 10 y 6% anual,respectivamente; al final del primer ao, el rendimiento totalfue de $2,210. Cunto se invirti en cada fideicomiso?

3x 2z = 4x 4y + z = 5

2x + 3y + 2z = 9.


P3

P2

P1

(a)

P1P3

P2

(b)

(c)

P3

P1 P2

Ejercicios tericos

T.1. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al intercam-biar dos ecuaciones en (2) tiene exactamente las mismassoluciones que (2).

T.2. Demuestre que el sistema lineal obtenido al remplazar unaecuacin en (2) por un mltiplo constante de la ecuacindiferente de cero, tiene exactamente las mismas solucionesque (2).

T.3. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al remplazaruna ecuacin en (2) por ella misma ms un mltiplo de otra

ecuacin en (2) tiene exactamente las mismas solucionesque (2).

T.4. El sistema lineal

ax + by = 0cx + dy = 0

siempre tiene solucin para cualesquiera valores de a, b, cy d?

1.2 MATRICES

Si analizamos el mtodo de eliminacin descrito en la seccin 1.1, observaremos lo si-guiente. Al realizar los pasos necesarios, slo modificamos los nmeros que aparecenjunto a las incgnitas x1, x2, . . . , xn. En consecuencia, podramos buscar una forma deescribir un sistema lineal sin tener que mantener las incgnitas. En esta seccin defini-remos un objeto, una matriz, que nos permite hacer precisamente eso: escribir sistemaslineales de una manera compacta que facilite la automatizacin del mtodo de elimina-cin en una computadora, dndonos un procedimiento rpido y eficaz para determinarlas soluciones. Su uso, sin embargo, no nos proporciona solamente la oportunidad decontar con una notacin conveniente, sino tambin como veremos a continuacinresolver sistemas de ecuaciones lineales y otros problemas computacionales de manerarpida y eficiente, desarrollando operaciones sobre las matrices y trabajando con ellasde acuerdo con las reglas que cumplen. Por supuesto, como debe hacer cualquier bue-na definicin, la del concepto de matriz no slo permite mirar de otra forma los proble-mas existentes, sino que, adems, da lugar a muchas nuevas preguntas, algunas de lascuales estudiaremos en este libro.

DEFINICIN Una matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn nmeros reales (o complejos)ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales:

La i-sima fila de A es

La j-sima columna de A es

Diremos que A es m por n (que se escribe m n). Si m = n, decimos que A es unamatriz cuadrada de orden n, y que los nmeros a11, a22, . . . , ann forman la diagonalprincipal de A. Nos referimos al nmero aij, que est en la i-sima fila (rengln) y laj-sima columna de A, como el i, j-simo elemento de A, o la entrada (i, j) de A, y so-lemos escribir (1) como

A = [aij].Para simplificar, en este libro restringiremos nuestra atencin (salvo en el apndi-

ce A) al anlisis de las matrices cuyas entradas son nmeros reales. Sin embargo, tambinse estudian las matrices con entradas complejas, mismas que tienen gran importanciaen muchas aplicaciones.

a1 ja2 j

.

.

.

am j

(1 j n).

ai1 ai2 ain (1 i m);

A =

a11 a12 a1 j a1na21 a22 a2 j a2n.

.

.

.

.

. ..

. ..

.

ai1 ai2

columna j

(rengln) ifila

ai j ain.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 am j amn

.


(1)

EJEMPLO 1 Sean

Entonces, A es una matriz de 2 3 con a12 = 2, a13 = 3, a22 = 0 y a23 = 1; B es unamatriz de 2 2, con b11 = 1, b12 = 4, b21 = 2 y b22 = 3; C es una matriz de 3 1,con c11 = 1, c21 = 1 y c31 = 2; D es una matriz de 3 3; E es una matriz de 1 1, y Fes una matriz de 1 3. En D, los elementos d11 = 1, d22 = 0 y d33 = 2 forman la dia-gonal principal.

Por conveniencia, en los ejemplos y ejercicios ilustrativos de los captulos 1 a7 centramos gran parte de nuestra atencin en matrices y expresiones que slo tienennmeros reales. Por otra parte, aunque aparecen en algunos ejemplos de los captulos 8 y9, es en el apndice A donde puede encontrarse una introduccin a los nmeros com-plejos y a sus propiedades, as como ejemplos y ejercicios que muestran cmo se utili-zan estos nmeros en lgebra lineal.

Las matrices de 1 n o n 1 tambin se denominan un n-vectores, y lo denota-remos mediante letras minsculas en negritas. Cuando se sobreentienda el valor de n,nos referiremos a los n-vectores slo como vectores. En el captulo 4 analizaremos losvectores a detalle.

EJEMPLO 2

Si todas las entradas de un n-vector son iguales a cero, se denota con 0.

Observe que si A es una matriz de n n, los renglones de A son matrices de 1 n.El conjunto de todos los n-vectores con entradas reales se denota con Rn. De manera si-milar, el conjunto de todos los n-vectores con entradas complejas se denota medianteCn. Como se indic anteriormente, en los primeros siete captulos de este libro trabaja-remos casi por completo con vectores en Rn.

EJEMPLO 3 (Despliegue de valores en forma de tabla) La matriz siguiente proporciona las dis-tancias entre las ciudades indicadas (en millas terrestres).

EJEMPLO 4 (Produccin) Suponga que un fabricante tiene cuatro plantas, en cada una de las cua-les se manufacturan tres productos. Si denotamos con aij el nmero de unidades del pro-ducto i elaboradas por la planta j en una semana, la matriz de 4 3

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Planta 1 560 340 280Planta 2 360 450 270Planta 3 380 420 210Planta 4 0 80 380

Londres

Londres 0 785 3,469 5,959Madrid 785 0 3,593 6,706Nueva York 3,469 3,593 0 6,757Tokio 5,959 6,706 6,757 0

Nueva York TokioMadrid

u = 1 2 1 0 es un 4-vector y v = 11

3

es un 3-vector.

A = 1 2 31 0 1 , B =1 42 3 , C =

112

,D =

1 1 02 0 13 1 2

, E = 3 , F = 1 0 2 .

Sec. 1.2 Matrices 11

proporciona la produccin semanal del fabricante. Por ejemplo, en una semana, la plan-ta 2 produce 270 unidades del producto 3.

EJEMPLO 5 La tabla siguiente, en donde se lista el factor de congelacin del viento, muestra cmouna combinacin de la temperatura y la velocidad del viento hace que un cuerpo sesienta ms fro que la temperatura real. Por ejemplo, cuando la temperatura es de 10 Fy el viento es de 15 millas por hora, el cuerpo pierde la misma cantidad de calor que laque perdera si la temperatura fuera de 18 F sin viento.

Esta tabla puede representarse como la matriz

EJEMPLO 6 Con el sistema lineal considerado en el ejemplo 5 de la seccin 1.1,

podemos asociar las matrices siguientes:

En la seccin 1.3, llamaremos A a la matriz de coeficientes del sistema lineal.

DEFINICIN Una matriz cuadrada A = [aij], en donde cada trmino fuera de la diagonal principal esigual a cero, es decir, aij = 0 para i j, es una matriz diagonal.

EJEMPLO 7

son matrices diagonales.

G = 4 00 2 y H =3 0 00 2 0

0 0 4

A =1 22 2

3 5

, x = xy , b = 104

26

.

x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 26,

A = 5 12 7 0 5 10 1510 3 9 15 22 27 3415 11 18 25 31 38 45

20 17 24 31 39 46 53

.

F

15 10 5 0 5 10mph

5 12 7 0 5 10 1510 3 9 15 22 27 3415 11 18 25 31 38 4520 17 24 31 39 46 53


DEFINICIN Una matriz diagonal A = [aij], en donde todos los trminos de la diagonal principal soniguales, es decir, aij = c para i = j y aij = 0 para i j, es una matriz escalar.

EJEMPLO 8 Las siguientes son matrices escalares:

Los motores de bsqueda para localizacin y recuperacin de informacin en In-

ternet, utilizan matrices para seguir el rastro de las ubicaciones en donde sta se en-cuentra, el tipo de informacin que se halla en cada ubicacin, las palabras clave queaparecen en ellas, e incluso la manera en que los sitios Web se vinculan entre s conotros. En gran medida, la eficacia de Google estriba en la manera en que utiliza lasmatrices para determinar cules sitios estn referenciados en otros sitios. Esto es, en lu-gar de mantener de manera directa el rastro del contenido de la informacin de una p-gina Web real o de un tema de bsqueda individual, la estructura de la matriz de Googledetermina las pginas Web que coinciden con el tema de bsqueda, y luego presentauna lista de tales pginas en un orden de importancia.

Suponga que existen n pginas Web accesibles durante cierto mes. Una manerasencilla de comprender las matrices que conforman el esquema de Google, consiste enimaginar una matriz A de n n, denominada matriz de conectividad, la cual slo con-tiene ceros al principio. Para construir las conexiones se procede como sigue. Cuandose detecta que el sitio Web j est vinculado con el sitio Web i, la entrada aij se hace iguala uno. Como n es muy grande su valor se calculaba en alrededor de 3 mil millonesen diciembre de 2002, casi todas las entradas de la matriz de conectividad A son ce-ro. (Las matrices como sta se denominan esparcidas, ralas o poco densas.) Si la fila(rengln) i de A contiene muchos unos, significa que existen muchos sitios vinculadosal sitio i. El software que controla el motor de bsqueda de Google considera que lossitios que estn vinculados con muchos otros son ms importantes (en otras palabras,les da una calificacin ms alta). Por lo tanto, tales sitios apareceran al principio de lalista de resultados de bsqueda que generara Google cuando el usuario solicitara temasrelacionados con la informacin del sitio i. Ya que Google actualiza su matriz de conec-tividad cada mes, n aumenta con el paso del tiempo, al agregarse nuevos enlaces y si-tios.

La tcnica fundamental que utiliza Google para calificar los sitios, emplea con-ceptos de lgebra lineal que estn fuera del alcance de este curso. Informacin adicio-nal sobre el tema puede encontrarse en las fuentes siguientes.

1. Berry, Michael W. y Murray Browne. Understanding Search EnginesMathematicalModeling and Text Retrieval. Filadelfia: Siam, 1999.

2. www.google.com/technology/index.html3. Moler, Cleve. The Worlds Largest Matrix Computation: Googles Page Rank Is an

Eigenvector of a Matrix of Order 2.7 Billion, MATLAB News and Notes, octubre de2002, pginas 12-13.

En matemticas, siempre que se presenta un nuevo objeto es preciso definir cuan-do dos de ellos son iguales. Por ejemplo, en el conjunto de todos los nmeros raciona-les, decimos que los nmeros y son iguales, aunque no se representen de la mismamanera. Lo que tenemos en mente es la definicin segn la cual es igual a cuandoad = bc. De acuerdo con esto, tenemos la siguiente definicin.

DEFINICIN Dos matrices de m n, A = [aij] y B = [bij], son iguales si aij = bij, 1 i m, 1 j n, es decir, si los elementos correspondientes son iguales.

cd

ab

46

23

I3 =1 0 00 1 0

0 0 1

, J = 2 00 2 .


EJEMPLO 9 Las matrices

son iguales si w = 1, x = 3, y = 0 y z = 5.

A continuacin definiremos varias operaciones que producirn nuevas matrices apartir de otras. Estas operaciones son tiles en las aplicaciones que involucran matrices.

SUMA DE MATRICES

DEFINICIN Si A = [aij] y B = [bij] son matrices de m n, la suma de A y B da por resultado lamatriz C = [cij] de m n, definida por

cij = aij + bij (i i m, 1 j n).Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B.

EJEMPLO 10 Sean

Entonces

Observe que la suma de las matrices A y B slo se define cuando A y B tienen elmismo nmero de filas (renglones) y el mismo nmero de columnas; es decir, slocuando A y B son del mismo tamao.

establecemos la convencin, al escribir A + B entendemos que A y B tienen el mis-mo tamao.

Hasta el momento, la suma de matrices slo se ha definido para dos matrices. Enocasiones, sin embargo, nuestro trabajo exigir que sumemos ms de dos matrices. Elteorema 1.1 de la seccin siguiente muestra que la suma de matrices satisface la propie-dad asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C. En la seccin 1.4 se consideran ms pro-piedades de las matrices, mismas que son similares a que satisfacen los nmeros reales.

EJEMPLO 11 (Produccin) Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos, A, B y C. Algunaspartes artes de cada uno se elaboran en la fbrica F1, ubicada en de Taiwn, y despusse terminan en la fbrica F2, de Estados Unidos. El costo total de cada producto constade los costos de manufactura y de embarque. En consecuencia, los costos (en dlares) decada fbrica pueden describirse mediante las matrices F1 y F2 de 3 2:


A =1 2 12 3 4

0 4 5

y B =1 2 w2 x 4

y 4 z

A = 1 2 42 1 3 y B =0 2 41 3 1 .

F1 =

Costo de manufactura

Costo de embarque

32 4050 8070 20

Modelo AModelo BModelo C

A + B = 1 + 0 2 + 2 4 + (4)2 + 1 1 + 3 3 + 1 =1 0 03 2 4 .

La matriz F1 + F2 proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cadaproducto. As, los costos totales de un producto del modelo C son $200 y $40, respec-tivamente.

MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

DEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n y r es un nmero real, el mltiplo escalar de A porr, rA, es la matriz B = [bij] de m n, donde

bij = raij (i i m, 1 j n).

Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r.

Si A y B son matrices de m n, escribimos A +(1)B como A B, y denomina-mos a esto diferencia de A y B.

EJEMPLO 12 Sean

Entonces

EJEMPLO 13 Sea p = [18.95 14.75 8.60] un 3-vector que representa los precios actuales de tresartculos almacenados en una bodega. Suponga que el almacn anuncia una venta endonde cada uno de estos artculos tiene un descuento de 20 por ciento.

(a) Determine un 3-vector que proporcione el cambio en el precio de cada uno de lostres artculos.

(b) Determine un 3-vector que proporcione los precios nuevos de los artculos.

Solucin (a) Como el precio de cada artculo se reduce 20%, el 3-vector

proporciona la reduccin de los precios para los tres artculos.(b) Los precios nuevos de los artculos estn dados mediante la expresin

Observe que esta expresin tambin puede escribirse como

p 0.20p = 0.80p.


F2 =

Costo de manufactura

Costo de embarque

40 6050 50

130 20

Modelo AModelo BModelo C

A = 2 3 54 2 1 y B =2 1 33 5 2 .

A B = 2 2 3 + 1 5 34 3 2 5 1 + 2 =0 4 81 3 3 .

0.20p = (0.20)18.95 (0.20)14.75 (0.20)8.60= 3.79 2.95 1.72

p 0.20p = 18.95 14.75 8.60 3.79 2.95 1.72= 15.16 11.80 6.88 .

Si A1, A2, . . . , Ak son matrices de m n y c1, c2, . . . , ck son nmeros reales, enton-ces una expresin de la forma

c1A1 + c2A2 + + ckAk (2)

se denomina combinacin lineal de A1, A2, . . . , Ak, y c1, c2, . . . , ck se llaman coe-ficientes.

EJEMPLO 14 (a) Si

entonces es una combinacin lineal de A1 y A2. Por medio de lamultiplicacin por un escalar y la suma de matrices, podemos calcular C:

(b) 2[3 2] 3[5 0] + 4[2 5] es una combinacin lineal de [3 2], [5 0] y[2 5]. Puede calcularse (verifquelo) para obtener [17 16].

(c)

LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

DEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n, la matriz de n m, donde

es la transpuesta de A. En consecuencia, las entradas en cada fila de AT son las entra-das correspondientes en la columna de A.

EJEMPLO 15 Sean

aTi j = a ji (1 i n, 1 j m)

AT = aTi j

C = 3A1 12 A2


A1 =0 3 52 3 4

1 2 3

y A2 = 5 2 36 2 31 2 3

,

C = 30 3 52 3 4

1 2 3

12

5 2 36 2 31 2 3

=

52 10 272

3 8 21272 5 212

.

0.5 146

+ 0.4 es una combinacin lineal de0.14

0.2

146

y0.14

0.2

.0.460.4

3.08

.Puede calcularse para obtener (verifquelo)

A = 4 2 30 5 2 , B =6 2 43 1 2

0 4 3

, C = 5 43 2

2 3

,D = 3 5 1 , E =

213

.

Entonces

MATRICES DE BINARIAS (OPCIONAL)En gran parte de nuestro trabajo con lgebra lineal utilizaremos matrices y vectores cu-yas entradas son nmeros reales o complejos. Por lo que los clculos, como combinacioneslineales, se determinan utilizando propiedades de las matrices y la aritmtica estndar debase 10. Sin embargo, el continuo desarrollo de la tecnologa de cmputo ha trado alprimer plano el uso de la representacin binaria (base 2) de la informacin. En casi to-das las aplicaciones de cmputo, como juegos de vdeo, comunicaciones mediante fax,transferencia electrnica de dinero, comunicaciones satelitales, DVD o la generacin demsica en CD, la matemtica subyacente es invisible y por completo transparente parael espectador o el usuario. La informacin codificada en representacin binaria est tanextendida y desempea un papel tan importante que estudiaremos brevemente algunasde sus caractersticas. Iniciaremos con un anlisis general de la suma y multiplicacinbinarias, y luego hablaremos de una clase especial de matrices binarias, que tiene un lu-gar clave en la teora de la informacin y la comunicacin.

La representacin binaria de la informacin slo utiliza dos smbolos, 0 y 1. La in-formacin est codificada en trminos de 0 y 1 en una cadena de bits*. Por ejemplo, enlenguaje binario, el nmero decimal 5 se representa mediante la cadena 101, que se in-terpreta en trminos de base 2 como sigue:

5 = 1(22) + 0(21) + 1(20).Los coeficientes de las potencias de 2 determinan la cadena de bits, 101, que pro-

porciona la representacin binaria de 5.Al igual que utilizamos aritmtica de base 10 cuando tratamos con nmeros reales

y complejos, en otros escenarios empleamos aritmtica de base 2, es decir, aritmticabinaria. La tabla 1.1 muestra la estructura de la suma binaria, y la tabla 1.2 la estructu-ra de la multiplicacin binaria.

Las propiedades de la aritmtica binaria permiten la representacin de combinacio-nes de nmeros reales en forma binaria, suele estudiarse en cursos bsicos de cienciasde la computacin, o en cursos de matemticas finitas o discretas. No desviaremosnuestra atencin para analizar tales temas en este momento. En cambio, nuestro objeti-vo se centrar en un tipo particular de matrices y vectores cuyas entradas son dgitos bi-narios. Esta clase de matrices y vectores es importante en el estudio de la teora de lainformacin y en el campo de matemticas de cdigos de correccin de errores (tam-bin llamado teora de codificacin).

Tabla 1.1

+ 0 10 0 11 1 0

Tabla 1.2

0 10 0 01 0 1


AT = 4 02 5

3 2

, BT = 6 3 02 1 44 2 3

,CT = 5 3 24 2 3 , D

T = 35

1

, y ET = 2 1 3 .

*Un bit es un dgito binario (del ingls binary digit); esto es, un 0 o un 1.

DEFINICIN Una matriz binaria de m n, es una matriz en que todas las entradas son bits. Estoes, cada una de sus entradas es ya sea 0 o 1.

Un n-vector (o vector) binario es una matriz de 1 n o de n 1, todas cuyas en-tradas son bits.

EJEMPLO 16

EJEMPLO 17

Las definiciones de suma de matrices y multiplicacin por un escalar se aplicantambin a las matrices binarias, siempre y cuando utilicemos aritmtica binaria (de ba-se 2) para todos los clculos, y 0 y 1 como nicos escalares posibles.

EJEMPLO 18 Por medio de la definicin de la suma de matri-

ces y con ayuda de la tabla 1.1, tenemos

Las combinaciones lineales de matrices binarias o n-vectores binarios son muy f-ciles de calcular con ayuda de las tablas 1.1 y 1.2, si se toma en cuenta el hecho de quelos nicos escalares son 0 y 1.

EJEMPLO 19

De acuerdo con la tabla 1.1, tenemos que 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 0. Por lo tanto, elinverso aditivo de 0 es 0 (como es usual), y el inverso aditivo del 1 es 1. De aqu que,para calcular la diferencia de matrices binarias A y B, procedemos como sigue:

Como podemos ver, la diferencia de matrices binarias no aporta nada nuevo a las rela-ciones algebraicas entre matrices binarias.

A B = A + (inverso de 1) B = A + 1B = A + B.

c1u1 + c2u2 + c3u3 = 1 10 + 001 + 1

11

= 10 +00 +

11

= (1 + 0) + 1(0 + 0) + 1= 1 + 10 + 1 =

01 .

Sean c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, u1 = 10 , u2 =01 y u3 =

11 . Entonces

A + B =1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 1

0 + 1 1 + 0

=0 11 0

1 1

.

Sean A =1 01 1

0 1

y B =1 10 1

1 0

.

v =

11001

es un 5-vector binario, y u = 0 0 0 0 es un 4-vector binario.

A =1 0 01 1 1

0 1 0

es una matriz binaria de 3 3.


Las matrices binarias tambin se llaman matrices booleanas.

Trminos clave


MatrizFilas (renglones)ColumnasTamao de una matrizMatriz cuadradaDiagonal principal de una matrizElemento (o entrada) de una matrizij-simo elementoentrada (i, j)

n-vector (o vector)Matriz diagonalMatriz escalar0, vector ceroRn, el conjunto de todos los n-vectoresGoogleMatrices igualesSuma de matricesMltiplo escalar

Mltiplo escalar de una matrizDiferencia de matricesCombinacin lineal de matricesTranspuesta de una matrizBitMatriz binaria (o booleana)Matriz triangular superiorMatriz triangular inferior

1.2 Ejercicios

1. Sean

y

(a) Cules son los valores de a12, a22, a23?(b) Cules son los valores de b11, b31?(c) Cules son los valores de c13, c31, c33?

2. Si

determine a, b, c y d.

3. Si

determine a, b, c y d.

En los ejercicios 4 a 7, sean

4. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indicaen cada caso:(a) C + E y E + C (b) A + B(c) D F (d) 3C + 5O(e) 2C 3E (f) 2B + F

5. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indicaen cada caso:(a) 3D + 2F(b) 3(2A) y 6A(c) 3A + 2A y 5A(d) 2(D + F) y 2D + 2F(e) (2 + 3)D y 2D + 3D(f) 3(B + D)

6. De ser posible, calcule:(a) AT y (AT)T(b) (C + E)T y CT + ET(c) (2D + 3F)T(d) D DT(e) 2AT + B(f) (3D 2F)T

7. De ser posible, calcule:(a) (2A)T(b) (A B)T(c) (3BT 2A)T(d) (3AT 5BT)T(e) (A)T y (AT)(f) (C + E + FT)T

8. La matriz es una combinacin lineal de las matri-

ces ? Justifique su respuesta.

9. La matriz es una combinacin lineal de las

matrices ? Justifique su respuesta.

10. Sean

Si es un nmero real, calcule I3 A.

A =1 2 36 2 3

5 2 4

y I3 =1 0 00 1 0

0 0 1

.

1 00 1 y

1 00 0

4 10 3

1 00 1 y

1 00 0

3 00 2

A = 2 3 56 5 4 , B = 43

5

,

C = 7 3 24 3 5

6 1 1

.

a + b c + dc d a b =

4 610 2 ,

a + 2b 2a b2c + d c 2d =

4 24 3 ,

A = 1 2 32 1 4 , B =1 02 1

3 2

,C =

3 1 34 1 52 1 3

, D = 3 22 4 ,E =

2 4 50 1 43 2 1

, F = 4 52 3 ,y O =

0 0 00 0 00 0 0

.

Los ejercicios 11 a 15 tienen que ver con matrices binarias.

11. Sean

Calcule cada una de las expresiones

siguientes:(a) A + B (b) B + C (c) A + B + C(d) A + CT (e) B C.

12. Sean

Calcule cada una de las expresiones siguientes:

(a) A + B (b) C + D (c) A + B + (C + D)T(d) C B (e) A B + C D.

13. Sea

14. Sea u = [1 1 0 0]. Determine el 4-vector v tal que u + v = [1 1 0 0].

15. Sea u = [0 1 0 1]. Determine el 4-vector v tal que u + v = [1 1 1 1].

A + B = 0 00 0 .

A + C = 1 11 1 .

(a) Determine B de manera que

(b) Determine C de manera que

A = 1 00 0 .

D = 0 01 0 .

A + 1 01 0 , B =1 00 1 , C =

1 10 0 , y

C =1 1 00 1 1

1 0 1

.

A =1 0 11 1 0

0 1 1

, B =0 1 11 0 1

1 1 0

, y


T.1. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matricesdiagonales es una matriz diagonal.

T.2. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matrices es-calares es una matriz escalar.

T.3. Sea

(a) Calcule A AT.(b) Calcule A + AT.(c) Calcule (A + AT)T.

T.4. Sea 0 la matriz de n n tal que todas sus entradas soncero. Demuestre que si k es un nmero real y A es unamatriz de n n tal que kA = O, entonces k = 0 o A = O.

T.5. Una matriz A = [aij] se denomina triangular superior siaij = 0 para i > j. Se llama triangular inferior si aij = 0para i < j.

Matriz triangular superior(Los elementos que estn debajo de la diagonal

principal son cero.)

Matriz triangular inferior(Los elementos que estn arriba de la diagonal principal son cero.)

(a) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares superiores es una matriz triangularsuperior.

(b) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares inferiores es una matriz triangular in-ferior.

(c) Demuestre que si una matriz es al mismo tiempotriangular superior y triangular inferior, entonces esuna matriz diagonal.

T.6. (a) Demuestre que si A es una matriz triangular superior,entonces AT es triangular inferior.

(b) Demuestre que si A es una matriz triangular inferior,entonces AT es triangular superior.

T.7. Si A es una matriz de n n, cules son las entradas dela diagonal principal de A AT? Justifique su respuesta.

T.8. Si x es un n-vector, demuestre que x + 0 = x.

Los ejercicios T.9 a T.18 tienen que ver con matrices binarias.T.9. Haga una lista de todos los posibles 2-vectores binarios.

Cuntos hay?T.10. Haga una lista de todos los posibles 3-vectores binarios.

Cuntos hay?T.11. Haga una lista de todos los posibles 4-vectores binarios.

Cuntos hay?

a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 0an1 an2 an3 ann

a11 a12 a1n0 a22 a2n0 0 a33 a3n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 0 ann

A =a b cc d e

e e f

.

Ejercicios tericos

T.12. Cuntos 5-vectores binarios hay? Cuntos n-vectoresbinarios existen?

T.13. Haga una lista de todas las posibles matrices binarias de 2 2. Cuntas hay?

T.14. Cuntas matrices binarias de 3 3 hay?T.15. Cuntas matrices binarias de n n existen?T.16. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON

(los trminos de muchos aparatos electrnicos para apa-gado y encendido, respectivamente), y sea

Determine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unamatriz con cada entrada igual a OFF.

T.17. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON, ysea

Determine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unamatriz con cada entrada igual a ON.

T.18. Un interruptor de luz normal tiene dos posiciones (o esta-dos) encendido y apagado. Suponga que la matriz binaria

representa un conmutador de interruptores en donde 0 re-presenta apagado y 1 representa encendido.(a) Determine una matriz B tal que A + B represente el

conmutador de interruptores con el estado de cada in-terruptor invertido.

(b) Sea

La matriz B del inciso (a) tambin invertir los es-tados del conmutador de interruptores representadopor C? Verifique su respuesta.

(c) Si A es cualquier matriz binaria de m n que repre-senta un conmutador de interruptores, determine unamatriz binaria B de m n tal que A + B inviertatodos los estados de los interruptores en A. Justifiquepor qu B invertir los estados de A.

C =1 10 0

1 0

.

A =1 00 1

1 1

A =ON ON OFFOFF ON OFF

OFF ON ON

.

A =ON ON OFFOFF ON OFF

OFF ON ON

.

Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 21

Para utilizar MATLAB en esta seccin, primero deber leer lassecciones 12.1 y 12.2, las cuales proporcionan informacin bsicaacerca del programa as como de las operaciones matriciales conel mismo. Le pedimos que siga con cuidado los ejemplos o ilustra-ciones de las instrucciones de MATLAB que aparecen en las secciones 12.1 y 12.2 antes de intentar realizar estos ejercicios.ML.1. Introduzca las siguientes matrices en MATLAB.

Utilice los comandos apropiados de MATLAB para desple-gar lo siguiente:(a) a23, b23, b12.(b) fila1(A), columna3(A), fila2(B).(c) Escriba el comando format long de MATLAB y des-

pliegue la matriz B. Compare los elementos de B in-dicados en el inciso (a) y los del despliegue actual.Observe que el comando format short despliega los

valores redondeados a cuatro decimales. Restablezcael formato a format short.

ML.2. Escriba el comando H = hilb(5) en MATLAB; (Observeque el ltimo carcter es un punto y coma, el cual sirvepara suprimir el despliegue del contenido de la matriz H;vea la seccin 12.1.). Para obtener ms informacin acercadel comando hilb, escriba help hilb. Utilice los coman-dos apropiados de MATLAB para hacer lo siguiente:(a) Determine el tamao de H.(b) Despliegue el contenido de H.(c) Despliegue el contenido de H como nmeros racio-

nales.(d) Extraiga las tres primeras columnas como una matriz.(e) Extraiga las dos ltimas filas (renglones) como una

matriz.Los ejercicios ML.3 a ML.5 emplean matrices binarias y los co-mandos complementarios descritos en la seccin 12.9.ML.3. Utilice bingen para resolver los ejercicios T.10 y T.11.ML.4. Utilice bingen para resolver el ejercicio T.13. (Sugeren-

cia: una matriz de n n contiene el mismo nmero deentradas que un n2-vector.)

ML.5. Resuelva el ejercicio 11 utilizando binadd.

A = 5 1 23 0 1

2 4 1

,

B = 4 2 2/ 31/ 201 5 8.2

0.00001 (9 + 4)/ 3

.

1.3 PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIN DE MATRICESEn esta seccin presentaremos la operacin de multiplicacin de matrices. A diferenciade la suma, algunas de las propiedades de la multiplicacin de matrices la distinguen dela multiplicacin de nmeros reales.

Ejercicios con MATLAB

DEFINICIN El producto punto o producto interior de los n-vectores a y b es la suma de los pro-ductos de las entradas correspondientes. En consecuencia, si

entonces

(1)

De manera similar, si a o b (o ambas) son n-vectores escritos como una matriz de 1 n,el producto punto a b est dado por (1). El producto punto de los vectores en Cn sedefine en el apndice A.2.

El producto punto es una operacin importante que usaremos tanto en sta comoen secciones posteriores.

EJEMPLO 1 El producto punto de

es

u v = (1)(2) + (2)(3) + (3)(2) + (4)(1) = 6.

EJEMPLO 2 Sean a = [x 2 3] y Si a b = 4, determine x.

Solucin Tenemos

a b = 4x + 2 + 6 = 44x + 8 = 4

x = 3. EJEMPLO 3 (Aplicacin: clculo de la calificacin promedio de un curso) Suponga que un pro-

fesor utiliza cuatro notas para determinar la calificacin promedio que obtiene un estu-diante en un curso: cuestionarios, dos exmenes de una hora y un examen final. Cadauna de estas notas tiene una ponderacin de 10, 30, 30 y 30%, respectivamente. Si lascalificaciones de un estudiante son, en cada rubro, 78, 84, 62 y 85, podemos calcular elpromedio del curso haciendo

y calculando

w g = (0.10)(78) + (0.30)(84) + (0.30)(62) + (0.30)(85) = 77.1. As, el promedio del curso del estudiante es 77.1.

w =0.100.300.30

0.30

y g =788462

85

b =41

2

.

u = 123

4

y v = 232

1

a b = a1b1 + a2b2 + + anbn =n

i=1ai bi .*

a =

a1a2.

.

.

an

y b =

b1b2.

.

.

bn

,


*Tal vez ya est familiarizado con esta til notacin, la notacin de suma. De cualquier manera, la analizare-mos con detalle al final de esta seccin.

A B = ABm np p

iguales

m n

MULTIPLICACIN DE MATRICESDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m p, y B = [bij] es una matriz de p n, el producto de

A y B, que se denota mediante AB, es la matriz C = [cij] de m n, definida como

(2)

La ecuacin (2) dice que el i, j-simo elemento de la matriz producto es el produc-to punto de la i-sima fila, fili (A) y la j-sima columna, colj (B) de B; esto se muestraen la figura 1.4.

ci j = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai pbpj=

p

k=1aikbk j (1 i m, 1 j n).


Observe que el producto de A y B slo est definido cuando el nmero de filas deB es exactamente igual al nmero de columnas de A, como se indica en la figura 1.5.

EJEMPLO 4 Sean

Entonces

AB = (1)( 2) + (2)(4) + ( 1)(2) (1)(5) + (2)(3) + (1)(1)(3)( 2) + (1)(4) + (4)(2) (3)(5) + (1)(3) + (4)(1)= 4 26 16 .

A = 1 2 13 1 4 y B =2 54 3

2 1

.

Figura 1.4 colj(B)b11

bp1

b21...

b12

bp2

b22...

b1j

bpj

b2j...

b1n

bpn

b2n...

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

fili(A)

a11

ai1

am1

a21...

.

.

.

a12

ai2

am2

a22...

.

.

.

a1p

aip

amp

a2p...

.

.

.

. . .

. . .

. . .

. . .

c11

cm1

c21...

c12

cm2

c22...

c1n

cmn

c2n...cij

. . .

. . .

. . .

= .

pk = 1

fili(A) . colj(B) = aik bkj

Figura 1.5

tamao de AB

EJEMPLO 5 Sean

Calcule la entrada (3, 2) de AB.

Solucin Si AB = C, la entrada (3, 2) de AB es c32, que es fil3(A) col2(B). Ahora tenemos

EJEMPLO 6 El sistema lineal

puede escribirse (verifquelo) por medio del producto de matrices como

EJEMPLO 7 Sean

Si determine x y y.

Solucin Tenemos

Entonces2 + 4x + 3y = 12y = 6,

por lo que x = 2 y y = 6. Las propiedades bsicas de la multiplicacin de matrices se estudiarn en la sec-

cin siguiente. Por lo pronto, diremos que la multiplicacin de matrices requiere mu-cho ms cuidado que la suma, ya que las propiedades algebraicas de la multiplicacinde matrices difieren de las que satisfacen los nmeros reales. Parte del problema se de-be al hecho de que AB se define slo cuando el nmero de columnas de A es igual alnmero de filas de B. En consecuencia, si A es una matriz de m p y B es una matrizde p n, AB es una matriz de m n. Qu ocurre con BA? Pueden suceder cuatro si-tuaciones diferentes:

1. Es posible que BA no est definido; esto pasar si n m.2. Si BA est definida, lo que significa que m = n, entonces BA es de p p, mientras

que AB es de m m; de esta manera, si m p, AB y BA son de tamaos diferentes.

AB = 1 x 32 1 1

24y

= 2 + 4x + 3y4 4 + y = 126 .

AB = 126 ,

A = 1 x 32 1 1 y B =24

y

.

1 2 13 0 4

xyz

= 25 .

x + 2y z = 23x + 4z = 5

fil3(A) col2(B) = 0 1 2 41

2

= 5.

A =1 2 34 2 1

0 1 2

y B = 1 43 12 2

.


3. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser iguales.4. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser diferentes.

EJEMPLO 8 Si A es una matriz de 2 3 y B es una matriz de 3 4, AB es una matriz de 2 4,mientras que BA no est definida.

EJEMPLO 9 Sean A de 2 3 y B de 3 2. Entonces AB es de 2 2, mientras que BA es de 3 3.

EJEMPLO 10 Sean

Entonces

En consecuencia, AB BA.

Uno se preguntara por qu la igualdad y la suma de matrices se definen de mane-ra natural, mientras que la multiplicacin de matrices parece mucho ms complicada.El ejemplo 11 nos proporciona una idea al respecto.

EJEMPLO 11 (Ecologa) Una siembra se roca con pesticidas para eliminar insectos dainos; sin em-bargo, las plantas absorben parte de las sustancias. Luego, los animales herbvoros dela zona comen las plantas contaminadas y absorben los pesticidas. Para determinar lacantidad de pesticida absorbida por uno de esos animales, procedemos de la manera si-guiente. Suponga que tenemos tres pesticidas y cuatro plantas. Sea aij la cantidad depesticida i (en miligramos) absorbida por la planta j. Esta informacin puede represen-tarse mediante la matriz

Imagine ahora, que tenemos tres animales herbvoros, y sea bij la cantidad de plantasdel tipo i que uno de ellos, de tipo j, come mensualmente. La informacin puede repre-sentarse mediante la matriz

La entrada (i, j) de AB proporciona la cantidad de pesticida del tipo i que ha absorbidoel animal j. En consecuencia, si i = 2 y j = 3, la entrada (2, 3) de AB es

3(8) + 2(15) + 2(10) + 5(20)= 174 mg de pesticida, 2 absorbidos por el herbvoro 3.

Ahora bien, si tuviramos p animales carnvoros (como el hombre) que se comen a losherbvoros, podramos repetir el anlisis para determinar cunto pesticida absorbe cadauno.

B =

Herbvoro 1 Herbvoro 2 Herbvoro 320 12 828 15 1530 12 1040 16 20

Planta 1Planta 2Planta 3Planta 4

A =

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 42 3 4 33 2 2 54 1 6 4

Pesticida 1Pesticida 2Pesticida 3

AB = 2 32 2 mientras que B A =1 7

1 3 .

A = 1 21 3 y B =2 10 1 .


A veces es til poder determinar una columna en el producto matricial AB sin te-ner que multiplicar las dos matrices. Puede demostrarse (ejercicio T.9) que la j-simacolumna del producto matricial AB es igual al producto matricial Acolj(B).

EJEMPLO 12 Sean

Entonces, la segunda columna de AB es

Observacin Si u y v son n-vectores, puede demostrarse (ejercicio T.14) que si los consideramoscomo matrices de n 1,

u v = uT v.

Esta observacin nos servir en el captulo 3. De manera similar, si u y v se consideranmatrices de 1 n, entonces

u v = uvT.

Por ltimo, si u es una matriz de 1 n y v es una matriz de n 1, u v = uv.

EJEMPLO 13 Sean Entonces

u v = 1(2) + 2(1) + (3)(1) = 3.Adems,

EL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR ESCRITO EN TRMINOS DE COLUMNAS

Sea

una matriz de m n, y sea

c =

c1c2.

.

.

cn

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

uT v = 1 2 3 21

1

= 1(2) + 2( 1) + (3)(1) + 3.

u = 123

y v = 21

1

.

Acol2(B) = 1 23 41 5

32 =

7177

.

A = 1 23 41 5

y B = 2 3 43 2 1 .


un n-vector, es decir una matriz de n 1. Como A es de m n y c es de n 1, el pro-ducto matricial Ac es la matriz de m 1

El lado derecho de esta expresin puede escribirse como

= c1col1(A) + c2col2(A) + + cncoln(A).

En consecuencia, el producto Ac de una matriz A de m n y una matriz c de n 1 pue-de escribirse como una combinacin lineal de las columnas de A, en las que los coefi-cientes son las entradas en c.

EJEMPLO 14 Sean

Entonces, el producto Ac escrito como una comunicacin lineal de las columnas deA es

Si A es una matriz de m p y B es una matriz de p n, podemos concluir que laj-sima columna del producto AB se puede escribir como una combinacin lineal de lascolumnas de la matriz A, en la que los coeficientes son las entradas en la j-sima co-lumna de la matriz B:

col j (AB) = Acol j (B) = b1 j col1(A) + b2 j col2(A) + + bp j colp (A).

EJEMPLO 15 Si A y B son las matrices definidas en el ejemplo 12, entonces

AB = 1 23 41 5

2 3 43 2 1 =

4 7 66 17 1617 7 1

.

Ac = 2 1 34 2 2

234

= 2 24 3 12 + 4 32 = 56 .

A = 2 1 34 2 2 y c = 23

4

.

c1

a11a21.

.

.

am1

+ c2

a12a22.

.

.

am2

+ + cn

a1na2n

.

.

.

amn

Ac =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

c1c2.

.

.

cn

=

rengln1(A) crengln2(A) c

.

.

.

renglnm(A) c

=

a11c1 + a12c2 + + a1ncna21c1 + a22c2 + + a2ncn

.

.

.

am1c1 + am2c2 + + amncn

.


(3)

(4)

Las columnas de AB como combinaciones lineales de las columnas de A estn dadas por

SISTEMAS LINEALESA continuacin generalizaremos el ejemplo 6. Consideremos el sistema lineal de mecuaciones en n incgnitas,

Ahora definamos las siguientes matrices:

Entonces

Las entradas en el producto Ax son slo los lados izquierdos de las ecuaciones en(5). Por lo tanto, el sistema lineal (5) puede escribirse en forma matricial como

Ax = b.La matriz A es la matriz de coeficientes del sistema lineal (5), y la matriz

obtenida al agregar la columna b a A, se denomina matriz aumentada del sistema li-neal (5). La matriz aumentada de (5) se escribe como Recprocamente, cual-quier matriz con ms de una columna puede considerarse la matriz aumentada de unsistema lineal. La matriz de coeficientes y la matriz aumentada tienen una funcin esen-cial en nuestro mtodo de solucin de sistemas lineales.

A b .

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn bm

,

Ax =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

x1x2.

.

.

xn

=

a11x1 + a12x2 + + a1nxna21x1 + a22x2 + + a2nxn.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1 + am2x2 + + amnxn

.

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

, x =

x1x2.

.

.

xn

, b =

b1b2.

.

.

bm

.

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm .

col1(AB) = 46

17

= Acol1(B) = 2 131

+ 324

5

col2(AB) =

7177

= Acol2(B) = 3 131

+ 224

5

col3(AB) =

6161

= Acol3(B) = 4 131

+ 124

5

.


(5)


Si hacemos

podemos escribir el sistema lineal dado en forma matricial, como

Ax = b.La matriz de coeficientes es A y la matriz aumentada es

EJEMPLO 17 La matriz

es la matriz aumentada del sistema lineal

Con base en el anlisis anterior, se desprende que el sistema lineal en (5) puede es-cribirse como una combinacin lineal de las columnas de A, como

Recprocamente, una ecuacin las de (6) siempre describe un sistema lineal como en (5).

PARTICIN DE MATRICES (OPCIONAL)Si comenzamos con una matriz A = [aij] de m n, y eliminamos algunas filas (renglo-nes) o columnas (pero no todos), obtenemos una submatriz de A.

EJEMPLO 18 Sea

Si eliminamos la segunda fila y la tercera columna, obtenemos la submatriz

1 2 43 0 3 .

A = 1 2 3 42 4 3 5

3 0 5 3

.

x1

a11a21.

.

.

am1

= x2

a12a22.

.

.

am2

+ + xn

a1na2n

.

.

.

amn

=

b1b2.

.

.

bm

.

2x y + 3z = 43x + 2z = 5.

,2 1 3 43 0 2 5

2 0 1 52 3 4 73 2 2 3

.

A =2 0 12 3 4

3 2 2

, x =xy

z

y b =57

3

,

2x + z = 52x + 3y 4z = 73x + 2y + 2z = 3.


(6)

Para subdividir una matriz en submatrices, se pueden trazar rectas horizontales en-tre las filas (renglones) y rectas verticales entre las columnas. Por supuesto, la particinse puede realizar de muchas formas distintas.

EJEMPLO 19 La matriz

se puede separar como

Tambin podramos escribir

lo cual da otra particin de A. En consecuencia, podemos hablar de particiones de unamatriz.

EJEMPLO 20 La matriz aumentada de un sistema lineal es una matriz con una particin. As, si Ax =b, podemos escribir la matriz aumentada de este sistema como

Si A y B son matrices de m n que tienen una particin de la misma forma, A +B se obtiene simplemente sumando las submatrices correspondientes de A y B. De ma-nera anloga, si A es una matriz con una particin, el mltiplo escalar cA se obtiene for-mando el mltiplo escalar de cada submatriz.

Si A se divide como en (7) y

entonces un clculo directo nos muestra que

EJEMPLO 21 Sea

A =

1 0 1 00 2 3 12 0 4 00 1 0 3

= A11 A12A21 A22

AB =(A11 B11 + A12 B21 + A13 B31) (A11 B12 + A12 B22 + A13 B32)(A21 B11 + A22 B21 + A23 B31) (A21 B12 + A22 B22 + A23 B32)

.

B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34b41 b42 b43 b44b51 b52 b53 b54

=B11 B12B21 B22

B31 B32

,

A b .

A =a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45

=A11 A12 A13

A21 A22 A23

,

A = A11 A12A21 A22 .

A =a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45


(7)

y sea

Entonces

donde C11 debe ser A11B11 + A12B21. Verificamos como sigue que C11 es esta expre-sin:

Este mtodo de multiplicacin de matrices con una particin tambin se conoce co-mo multiplicacin por bloques. Las matrices con particin son tiles al trabajar conmatrices que exceden la capacidad de memoria de una computadora. De esta manera,al multiplicar dos matrices con particin se pueden conservar las matrices en un discoy llevar a la memoria solamente las submatrices necesarias para formar sus productos.Por supuesto, el resultado puede guardarse en el disco conforme se vaya calculando. Laparticin de las matrices debe hacerse de modo que los productos de las matrices corres-pondientes estn definidos. Gracias a la tecnologa de cmputo actual, las computado-ras con procesamiento paralelo utilizan las particiones para realizar ms rpidamentelos clculos con matrices.

La particin de una matriz implica una subdivisin de la informacin en bloques ounidades. El proceso inverso consiste en considerar matrices individuales como bloquesy unirlas para formar una matriz por bloques. El nico requisito es que, despus de unirlos bloques, todas las filas y todas las columnas tengan el mismo nmero de entradas.

EJEMPLO 22 Sean

Entonces tenemos

y

DC C

T =9 8 4 16 7 5 1

1 1 0 0

.

B D = 2 9 8 43 6 7 5 ,DC =

9 8 46 7 51 1 0

,

B = 23 , C = 1 1 0 y D =9 8 46 7 5 .

A11B11 + A12B21 = 1 00 22 0 00 1 1 +

1 03 1

1 3 03 1 2

= 2 0 00 2 2 +1 3 06 10 2

= 3 3 06 12 0 = C11.

AB = C =

3 3 0 1 2 16 12 0 3 7 50 12 0 2 2 2

9 2 7 2 2 1

= C11 C12C21 C22 ,

B =

2 0 0 1 1 10 1 1 1 2 21 3 0 0 1 0

3 1 2 1 0 1

= B11 B12B21 B22 .


Una prctica comn en muchas aplicaciones, consiste en hacer la unin de matri-ces en bloques para extender las estructuras de informacin. Por ejemplo, suele conser-varse la informacin de las ventas mensuales de cada ao en una matriz de 1 12, yluego unir tales matrices para construir la matriz de ventas histricas de varios aos. Demanera similar, los resultados de nuevos experimentos de laboratorio se adjuntan a lainformacin existente para actualizar una base de datos en una investigacin.

En el ejemplo 20 se dijo ya que la matriz aumentada del sistema lineal Ax = b esuna matriz por bloques. En ocasiones necesitaremos resolver varios sistemas lineales enlos que la matriz de coeficientes A es la misma, pero son diferentes los lados derechosde los sistemas, digamos b, c y d. En estos casos, encontramos conveniente considerarla matriz por bloques (Vea la seccin 6.7.)

NOTACIN DE SUMA (OPCIONAL)Habr ocasiones en que ser necesario emplear la notacin de suma. Por ello, a conti-nuacin revisaremos esta til y compacta notacin que se utiliza ampliamente en mate-mticas.

La expresin significa

a1 + a2 + + an.La letra i es el ndice de la suma; se trata de una variable muda o arbitraria que puederemplazarse por otra letra. Por lo tanto, podemos escribir

EJEMPLO 23 Si

a1 = 3, a2 = 4, a3 = 5 y a4 = 8,entonces

EJEMPLO 24 La expresin significa

r1a1 + r2a2 + + rnan.Es fcil demostrar (ejercicio T.11) que la notacin de suma satisface las siguientes pro-piedades:

EJEMPLO 25 Si

a =

a1a2.

.

.

an

y b =

b1b2.

.

.

bn

,

(i)n

i=1(ri + si )ai =

n

i=1riai +

n

i=1siai .

(ii)n

i=1c(riai ) = c

n

i=1riai .

n

i=1riai

4

i=1ai = 3 + 4 + 5 + 8 = 20.

n

i=1ai =

n

j=1a j =

n

k=1ak .

n

i=1ai

A b c d .


el producto punto a b se puede expresar mediante notacin de suma como

EJEMPLO 26 En trminos de la notacin de suma, podemos escribir la ecuacin (2), para el i,j-simo elemento del producto de las matrices A y B, como

Tambin es posible formar sumas dobles. As, la expresin significa que

primero sumamos sobre i y luego sumamos la expresin resultante sobre j.

EJEMPLO 27 Si n = 2 y m = 3, tenemos

= lado derecho de (8).

Resulta fcil demostrar (ejercicio T.12) que, en general,

(9)

La ecuacin (9) puede interpretarse como sigue. Sea A = [ai j] la matriz de m n.Si sumamos las entradas de cada fila (rengln) de A y sumamos luego los nmeros re-sultantes, obtenemos el mismo resultado que si sumramos las entradas de cada colum-na de A y luego sumramos los nmeros resultantes.

EJEMPLOS CON MATRICES BINARIAS (OPCIONAL)

En el caso de las matrices binarias, el producto punto y el producto matricial se calcu-lan de la manera usual, pero sin olvidar que debe usarse aritmtica de base 2.

EJEMPLO 28 Sean vectores binarias. Entonces

a b = (1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = 1 + 0 + 0 = 1.

a =10

1

y b =11

0

n

i=1

m

j=1ai j =

m

j=1

n

i=1ai j .

3

j=1

2

i=1ai j =

3

j=1(a1 j + a2 j )

= (a11 + a21) + (a12 + a22) + (a13 + a23)2

i=1

3

j=1ai j =

2

i=1(ai1 + ai2 + ai3)

= (a11 + a12 + a13) + (a21 + a22 + a23)

m

j=1

n

i=1ai j

ci j =p

k=1aikbk j (1 i m, 1 j n).

a b = a1b1 + a2b2 + + anbn =n

i=1aibi .


(8)

EJEMPLO 29 Sean matrices binarias. Entonces

EJEMPLO 30 Sean matrices binarias. Si , determine

x y y.

Solucin Tenemos

Entonces y + 1 + x = 1 y y + 1 = 1. Empleando la aritmtica de base 2, resulta quey = 0 y x = 0.

AB = 1 1 1 x1 1 0 1

y011

= y + 1 + xy + 1 = 11 .

AB = 11A =1 1 1 x1 1 0 1 y B =

y011

AB = (1)(0) + (1)(1) (1)(1) + (1)(1) (1)(0) + (1)(0)(0)(0) + (1)(1) (0)(1) + (1)(1) (0)(0) + (1)(0)= 1 0 01 1 0 .

A = 1 10 1 y B =0 1 01 1 0


Producto punto (producto interior)Producto de matricesMatriz de coeficientes

Matriz aumentadaSubmatrizParticiones de una matriz

Multiplicacin por bloquesNotacin de suma

Trminos clave

1.3 EjerciciosEn los ejercicios 1 y 2, calcule a b.

3. Sean a = [3 2 x] y Si a b = 17, determine x.

4. Sea Calcule w w.

5. Determine todos los valores de x tales que v v = 1, donde

6. Sean Si de-

termine x y y.

AB = 68 ,A =1 2 x3 1 2 y B =

yx1

.

v =

12

12x

.

w = sen cos

.

b =32

x

.

(d) a = 1 0 0 , b =10

0

1. (a) a = 1 2 , b = 41

(b) a = 3 2 , b = 12

(c) a = 4 2 1 , b =13

6

(d) a = 1 1 0 , b =

101

2. (a) a = 2 1 , b = 32

(b) a = 1 1 , b = 11

(c) a = 1 2 3 , b =20

1

En los ejercicios 7 y 8, sean

7. De ser posible, calcule:(a) AB (b) BA (c) CB + D(d) AB + DF (e) BA + FD

8. De ser posible, calcule:(a) A(BD) (b) (AB)D (c) A(C + E)(d) AC + AE (e) (D + F)A

9. Sean

Calcule las siguientes entradas de AB:(a) La entrada (1, 2) (b) La entrada (2, 3).(c) La entrada (3, 1) (d) La entrada (3, 3).

10. Si calcule DI2 e I2D.

11. Sean

Demuestre que AB BA.12. Si A es la matriz del ejemplo 4 y O es la matriz de 3 2

en la cual todas las entradas son cero, calcule AO.

En los ejercicios 13 y 14, sean

y

13. Utilice el mtodo del ejemplo 12 para calcular las siguientescolumnas de AB.(a) La primera columna (b) La tercera columna.

14. Utilice el mtodo del ejemplo 12 para calcular las siguientescolumnas de AB:(a) La segunda columna (b) La cuarta columna.

15. Sean

Exprese Ac como una combinacin lineal de las columnasde A.

16. Sean

Exprese las columnas de AB como una combinacin linealde las columnas de A.

17. Sean

(a) Verifique que AB = 3a1 + 5a2 + 2a3, donde aj esla j-sima columna de A para j = 1, 2, 3.

(b) Verifique que

18. Escriba la combinacin lineal

como un producto de una matriz de 2 3 y un 3-vector.19. Considere el siguiente sistema lineal

(a) Determine la matriz de coeficientes.(b) Escriba el sistema lineal en forma matricial.(c) Determine la matriz aumentada.

20. Escriba el sistema lineal con matriz aumentada

21. Escriba el sistema lineal con matriz aumentada

22. Considere el siguiente sistema lineal:3x y + 2z = 42x + y = 2

y + 3z = 74x z = 4.

(a) Determine la matriz de coeficientes.(b) Escriba el sistema lineal en forma matricial.(c) Determina la matriz aumentada.

2 0 4 30 1 2 51 3 4 1

.

2 1 0 4 53 2 7 8 3

1 0 0 2 43 0 1 3 6

.

2x + w = 73x + 2y + 3z = 22x + 3y 4z = 3

x + 3z = 5.

3 23 + 425 + 2

31

AB = (filfil1 ( A)) B

( 2 ( A)) B .

A = 2 3 11 2 4 y B =35

2

.

A =1 2 12 4 3

3 0 2

y B =1 13 2

2 4

.

A = 2 3 41 2 3

5 1 2

y c =21

4

.

B =1 0 1 23 3 3 4

4 2 5 1

.

A =

1 1 23 2 44 2 32 1 5

A = 1 23 2 y B =2 1

3 4 .

I2 = 1 00 1 y D =2 3

1 2 ,

A = 2 31 4

0 3

y B = 3 1 31 2 4 .

A = 1 2 34 0 2 , B = 3 12 41 5

,C =

2 3 13 4 51 1 2

, D = 2 31 2 ,E =

1 0 32 1 53 4 2

, y F = 2 34 1 .


23. Cul es la relacin entre los sistemas lineales cuyas matri-ces aumentadas son las siguientes?

24. Escriba cada una de las siguientes matrices como un siste-ma lineal en forma matricial.

25. Escriba cada uno de los siguientes sistemas lineales comouna combinacin lineal de las columnas de la matriz decoeficientes.(a) 2x + 2y = 3

2x 2y = 5(b) 2x 3y + 5z = 2

2x + 4y 2z = 326. Sean A una matriz de m n y B una matriz de n p. Qu

podra decir acerca del producto matricial AB si:(a) A tiene una columna que consta nicamente de ceros?(b) B tiene una fila (rengln) que consta nicamente de ceros?

27. (a) Determine un valor de r tal que ABT = 0, donde:A = [r 1 2] y B = [1 3 1].

(b) Mencione una forma alternativa de escribir este producto.28. Determine un valor de r y un valor de s tales que ABT = 0,

dondeA = [1 r 1] y B = [2 2 s].

29. Formule el mtodo para sumar matrices que estn divididasen bloques, y verifquelo estableciendo dos particiones dis-tintas de las matrices

y determinando su suma.30. Sean A y B las siguientes matrices:

y

Determine AB mediante dos particiones distintas de A y B.

31. (Costos de produccin) Un fabricante de muebles producesillas y mesas que deben pasar por un proceso de armado yuno de acabado. Los tiempos necesarios para estos proce-sos estn dados (en horas) por la matriz

El fabricante tiene una planta en Salt Lake City y otra enChicago. Las tarifas por hora de cada proceso estn dadas(en dlares) por matriz

Qu interpretacin puede dar el fabricante a las entradasdel producto de matrices AB?

32. (Ecologa: contaminacin) Un fabricante elabora los pro-ductos P y Q en dos plantas, X y Y. Durante la fabricacinemiten los contaminantes bixido de azufre, xido ntrico ypartculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminan-te estn dadas (en kilogramos) por la matriz

Los reglamentos estatales y federales exigen la eliminacinde estos contaminantes. El costo diario por deshacerse decada kilogramo de contaminante est dado (en dlares) porla matriz

Qu interpretacin puede dar el fabricante a las entradasdel producto de matrices AB?

33. (Medicina) Un proyecto de investigacin nutricional tienecomo base de estudio a adultos y nios de ambos sexos. Lacomposicin de los participantes est dada por la matriz

El nmero de gramos diarios de protenas, grasa y carbo-hidratos que consume cada nio y adulto est dado por lamatriz

B =Protenas Grasa

Carbo-hidratos

20 20 2010 20 30

AdultosNios

A =Adultos Nios

80 120100 200

HombresMujeres

B =

Planta X Planta Y

8 127 9

15 10

Bixido de azufrexido ntricoPartculas suspendidas

A = 300 100 150200 250 400Producto PProducto Q

Bixido de azufre

xidontrico

Partculas suspendidas

B =

Salt LakeCity Chicago

9 1010 12

Proceso de armadoProceso de acabado

A = 2 23 4SillaMesa

Proceso de armado

Proceso de acabado

B =

1 2 3 4 12 1 3 2 11 5 4 2 32 1 3 5 73 2 4 6 1

.

A =

2 1 3 4 21 2 3 1 42 3 2 1 45 1 3 2 63 1 2 4 62 1 3 5 7

A =1 3 12 1 0

2 3 1

y B = 3 2 12 3 1

4 1 5

(a) x 12 + y25 + z

03 =

11

(b) x11

2

+ y21

0

+ z12

2

=00

0

1 2 3 12 3 6 2 y

1 2 3 12 3 6 20 0 0 0


(a) Cuntos gramos de protenas ingieren diariamente to-dos los hombres (nios y adultos) del proyecto?

(b) Cuntos gramos de grasas consumen a diario todas lasmujeres (nias y adultas)?

34. (Comercio) Una empresa de fotografa tiene una tienda encada una de las siguientes ciudades: Nueva York, Denver yLos ngeles. Cierta marca de cmara est disponible en losmodelos automtico, semiautomtico y manual. Adems,cada una tiene una unidad de flash correspondiente, la cualse vende por lo general junto con la cmara. Los precios deventa de las cmaras y de las unidades de flash estn dados(en dlares) por la matriz

El nmero de equipos (cmara y unidad de flash) disponi-bles en cada tienda est dado por la matriz

(a) Cul es el valor total de las cmaras en Nueva York?(b) Cul es el valor total de las unidades de flash en Los

ngeles?35. Sea s1 = [18.95 14.75 8.98] y

s2 = [17.80 13.50 10.79] 3-vectores que denotan losprecios de tres artculos en las tiendas A y B, respectiva-mente.

(a) Obtenga una matriz de 2 3 que represente la infor-macin combinada de los precios de los tres artculosen las dos tiendas.

(b) Suponga que cada tienda anuncia una venta en la que elprecio de cada artculo se reduce 20 por ciento. Obtengauna matriz de 2 3 que represente el precio de ventaen las dos tiendas.

Los ejercicios 36 a 41 tienen que ver con matrices binarias.36. Calcule a b a partir de los vectores binarios a y b.

37. Calcule a b a partir de los vectores binarios a y b.

38. Sean a = [1 x 0] y vectores binarios.

Si a b = 0, determine todos los posibles valores de x.

39. Sean y matrices binarias.

Si determine x y y.

40. A partir de las matrices binarias

calcule AB y BA.

41. A partir de la matriz binaria determine la

matriz B de 2 2 tal que AB = 1 00 1 .

A = 1 10 1 ,

A =1 1 00 1 0

0 0 1

y B =0 1 01 1 0

1 0 1

AB = 00 ,

B =11

1

A = 1 1 x0 y 1

b =x1

1

(a) a = 1 1 0 , b =10

1

(b) a = 1 1 , b = 11

(a) a = 1 1 0 , b =01

1

(b) a = 0 1 1 0 , b =

1110

.

B =

NuevaYork Denver

Losngeles

220 180 100300 250 120120 320 250

AutomticoSemiautomticoManual

A =

Auto-mtico

Semi-automtico Manual

200 150 12050 40 25

CmaraUnidad de flash


Ejercicios tericos

T.1. Sea x un n-vector.(a) Es posible que x x sea negativo? Explique.(b) Si x x = 0, cul es el valor de x?

T.2. Sean a, b y c n-vectores, y sea k un nmero real.(a) Demuestre que a b = b a.(b) Demuestre que (a + b) c = a c + b c.(c) Demuestre que (ka) b = a (kb) = k(a b).

T.3. (a) Demuestre que si A tiene una fila de ceros, AB tieneuna fila de ceros.

(b) Demuestre que si B tiene una columna de ceros, ABtiene una columna de ceros.

T.4. Demuestre que el producto de dos matrices diagonales esuna matriz diagonal.

T.5. Demuestre que el producto de dos matrices escalares esuna matriz escalar.

T.6. (a) Demuestre que el producto de dos matrices triangula-res superiores es una matriz triangular superior.

(b) Demuestre que el producto de dos matrices triangula-res inferiores es una matriz triangular inferior.

T.7. Sean A y B matrices diagonales de n n. Es cierto queAB = BA? Justifique su respuesta.

T.8. (a) Sea a una matriz de 1 n y B una matriz de n p.Demuestre que el producto de matrices aB puede

escribirse como una combinacin lineal de las filas deB, en los que los coeficientes son las entradas de a.

(b) Sean a = [1 2 3] y

Escriba aB como una combinacin lineal de las filas de B.T.9. (a) Demuestre que la j-sima columna del producto de

matrices AB es igual al producto de matrices Acolj(B).

(b) Demuestre que la i-sima fila (rengln) del productode matrices AB es igual al producto de matrices fili(A)B.

T.10. Sea A una matriz de m n cuyas entradas son nmerosreales. Demuestre que si AAT = O (la matriz de m mtal que todas sus entradas son cero), entonces A = O.

Para la resolucin de los ejercicios T.11 a T.13 es necesario elanlisis del material sealado como opcional.

T.11. Demuestre que la notacin de suma satisface las siguien-tes propiedades

T.12. Demuestre que

T.13. Diga si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.Luego, demuestre las verdaderas, y d un contraejemploen el caso de las que considere falsas.

T.14. Sean u y v n-vectores.(a) Si u y v se consideran matrices de n 1, demuestre que

u v = uTv.(b) Si u y v se consideran matrices de 1 n, demuestre que

u v = uvT.(c) Si u se considera una matriz de 1 n y v una matriz de

n 1, demuestre que u v = uv.

.

(a)n

i=1(ai + 1) =

n

i=1ai + n

(b)n

i=1

m

j=11 = mn

(c)m

j=1

n

i=1ai b j =

n

i=1ai

m

j=1b j

n

i=1

m

j=1ai j =

m

j=1

n

i=1ai j .

(b)n

i=1c(ri ai ) = c

n

i=1ri ai .

(a)n

i=1(ri + si )ai =

n

i=1ri ai +

n

i=1si ai .

B = 2 1 43 2 3

4 5 2

.


ML.1. Escriba el comando clear en MATLAB, y despus intro-duzca las siguientes matrices:

De ser posible, utilice los comandos apropiados de MATLAB para, calcular lo siguiente. Recuerde que, en MATLAB, un apstrofo indica una transpuesta.

ML.2. Introduzca en MATLAB la matriz de coeficientes del sistema

2x + 4y + 6z = 122x 3y 4z = 153x + 4y + 5z = 8

y llmela A. Introduzca el lado derecho del sistema yllmelo b. Forme la matriz aumentada asociada con estesistema lineal mediante el comando de MATLAB [A b].D un nombre a la matriz aumentada, por ejemplo aum,utilice el comando aum = [A b]. (No escriba el punto!)Observe que no aparece una barra entre la matriz decoeficientes y el lado derecho en la pantalla de MATLAB.

ML.3. Repita el ejercicio anterior con el siguiente sistema lineal:

4x 3y + 2z w = 52x + y 3z = 7x + 4y + z + 2w = 8.

ML.4. Introduzca las matrices

y

en MATLAB.(a) Utilice los comandos apropiados de MATLAB para

asignar fil2(A) a R y col3(B) a C. Sea V = R * C.Qu es V en trminos de las entradas del productoA * B?

(b) Utilice los comandos apropiados de MATLAB paraasignar col2(B) a C. Sea V = A * C. Qu es V entrminos de las entradas del producto A * B?

(c) Utilice los comandos apropiados de MATLAB paraasignar fil3(A) a R y luego calcule V = R * B.Qu es V en trminos de las entradas del productoA * B?

B =1 0 1 23 3 3 4

4 2 5 1

A =

1 1 23 2 44 2 32 1 5

(a) A C (b) A B(c) A = C (d) B A C A(e) (2 C 6 A ) B (f) A C C A(g) A A + C C.

A =

1 1213

14

15

16

, B = 5 2 , C = 4 54 941 2 3 .

Ejercicios con MATLAB

ML.5. Utilice el comando diag de MATLAB para formar cadauna de las siguientes matrices diagonales. El comandodiag permite formar matrices diagonales sin escribir to-das las entradas (para refrescar su memoria en tornodel comando diag, utilice la caracterstica de ayuda deMATLAB).(a) La matriz diagonal de 4 4 con diagonal principal

[1 2 3 4].(b) La matriz diagonal de 5 5 con diagonal principal

.

(c) La matriz escalar de 5 5 con nicamente cincosen la diagonal principal.

ML.6. En MATLAB, el producto punto de un par de vectorespuede calcularse mediante el comando dot. Si los vec-tores v y w se han introducido a MATLAB ya sea comofilas (renglones) o como columnas, su producto puntose calcula con el comando dot(v, w) del programa. Silos vectores no tienen el mismo nmero de elementos,aparecer un mensaje de error.(a) Utilice dot para calcular el producto punto de cada

uno de los siguientes vectores.

(b) Sea a = [3 2 1]. Determine un valor de k talque el producto punto de a con b = [k 1 4] seacero. Verifique sus resultados en MATLAB.

(c) Para cada uno de los siguientes vectores v, calculedot (v, v) en MATLAB.(i) v = [4 2 3]

Qu signo tiene cada uno de estos productos punto?Explique por qu esto es vlido para casi todos losvectores v. En qu situaciones no es vlido?

En los ejercicios ML.7 a ML.11 se utilizan matrices binarias ylos comandos adicionales descritos en la seccin 12.9.

ML.7. Utilice binprod para resolver el ejercicio 40.

ML.8. Dados los vectores binarios

utilice binprod para calcular a b.ML.9. (a) Utilice bingen para generar una matriz B cuyas co-

lumnas sean todos los posibles 3-vectores binarios.(b) Defina A = ones (3) y calcule AB por medio de

binprod.(c) Describa por qu AB slo contiene solamente co-

lumnas con ceros y unos. (Sugerencia: busque unpatrn que tenga como base las columnas de B.)

ML.10. Repita el ejercicio ML.9 con 4-vectores y A = ones (4).ML.11. Sea B una matriz de n n en donde todas las entradas

son unos. Calcule BB para n = 2, 3, 4 y 5. A qu esigual BB para n = k, donde k es cualquier entero positivo?

a =

1101

y b =

1001

,

.

(ii) v = 9 3 1 0 6

(iii) v =

12

53

.

(i) v = 1 4 1 , w = 7 2 0

(ii) v =

21

06

, w =

423

1

0 1 12 13 14

Sec. 1.4 Propiedades de las operaciones con matrices 39

1.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

En esta seccin analizaremos las propiedades algebraicas de las operaciones con matri-ces recin definidas. Muchas de estas propiedades son similares a las propiedades delos nmeros reales, que ya conocemos. Sin embargo, habr diferencias importantespor lo que respecta al comportamiento algebraico de ciertas operaciones, por ejemplola multiplicacin (como hemos visto en la seccin 1.3). Casi todas las propiedades se-rn enunciadas como teoremas, cuyas demostr

ecuaciones lineales y matrices

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