ecuaciones lineales o de primer grado
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Prof. Silvia Alejandra Córdova 1
Instituto de Nivel Terciario Nº 6029- Tartagal
Carrera: Tecnicatura Superior en Administración Pública con Orientación al Desarrollo Local
Asignatura: Matemática
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Llamamos ecuación a toda igualdad entre expresiones numéricas, tal que por lo menos una de ellas
dichas expresiones es desconocida (variable) y que se verifica o cumple para determinados valores que
puede tomar la misma.
Ejemplo: 2 3 19, sólo se verifica cuando 8
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones pueden ser de diferentes tipos, según sean las expresiones que intervengan en ellas, su
grado y la cantidad de incógnitas.
Ejemplos:
• 2 3 19 es una ecuación de 1º grado con una incógnita
• 2 5 es una ecuación de 1º grado con dos incógnitas
• 5 7 es una ecuación de 2º grado con una incógnita
• es una ecuación trigonométrica con una incógnita
• 2 es una ecuación logarítmica.
• 2,5 5 es una ecuación exponencial
En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en cuenta
si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a estudiar las
ecuaciones lineales.
Identidad Se verifica para cualquier
valor dado a sus letras.
Ejemplo:
Igualdad algebraica
Ecuación Se verifica para algunos
valores dados a sus letras.
Ejemplo:
2 3 5
Las letras que aparecen en la
ecuación se llaman incógnitas
Recordemos:
Las soluciones de una ecuación son los valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la
igualdad.
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ECUACION LINEAL
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas de
exponente 1.
2x + 3 = 5
Ejemplos de ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita. 3x – x = 2x
x + 5 = 5
x + y = 24 Ejemplo de ecuación con dos incógnita
Resolvamos las siguientes ecuaciones
a)
Se puede resolver “despejando”
2 5 3 5 3
2
1
Esta ecuación tiene una sola solución x=1. Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el
valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos sustituir el valor hallado en la
ecuación.
Verificación:
2 3 5
2 . 1 3 5
2 3 5
5 5
b)
Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica para infinitas parejas de números. Por
ejemplo:
1, 23 1 23 24
5 , 29 5 29 24
24 , 0 24 0 24
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c) –
3 – 2
2 2
2 – 2 0
0. 0
En este ejemplo observamos que hemos obtenido 0.x = 0 , pensemos entonces que numero al
multiplicarlo por cero me da como resultado 0, cualquier número comprueba esta igualdad por lo que
decimos que tiene infinitas soluciones
d) 5
5 5 – 5 0.
En este ejemplo obtenemos 5 = 0.x ¿Existe algún número que al multiplicarlo por 0 me de cómo
resultado 5?, no existe, por lo tanto la igualdad no tiene solución
Actividades:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) 15
3 93 2)
4 6 18 578
3) 5 5 15 4) 2 16
5
5) 3 6 5 2 6) 2 4 3 3
7) 1 2 4 4 3 2 5 8) 4
53 6
12
9) 24
23
25
1 32 10) 25
12 45
Lenguaje coloquial y simbólico
Las ecuaciones (expresiones algebraicas) suelen ser una herramienta muy importante a la hora de
sintetizar o modelizar mediante una fórmula el comportamiento de variables interdependientes. En
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este sentido por ejemplo en física permite relacionar la fuerza que se realiza al empujar un cuerpo con
la velocidad que adquiere el mismo, según la cantidad de masa del que esté constituido. Otro caso
sería cuando queremos obtener una fórmula que nos permita calcular cuanto será el costo por un
servicio de remís, sabiendo que este esta en función de la tarifa mínima y la cantidad de cuadras
recorridas en total, Etc.
Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en
cuenta los siguientes pasos:
leer comprensivamente el enunciado;
traducir al lenguaje simbólico;
armar la expresión de la ecuación correspondiente;
resolver la ecuación;
verificar el resultado obtenido.
Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso.
En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco.
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?
Veamos como se traduce del lenguaje coloquial al simbólico entonces:
Piensa un número x
Súmale 15 x + 15
Multiplica por 3 el resultado 3(x + 15)
Al resultado réstale 9 3(x + 15) ‐ 9
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Divide por 3 (3(x +15) ‐ 9):3
Resta 9 (3(x + 15) ‐ 9):3 ‐ 9
El espectador dice 32
Entonces la ecuación encontrada es: : –
Ahora solo nos queda resolver la ecuación y verificar la solución, tarea que dejo para que practiquen
ustedes.
Veamos el siguiente cuadro que muestra algunos ejemplos clásicos de cómo pasar del lenguaje
coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren ecuaciones
lineales.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
La suma de un número y su consecutivo 1
Un número par 2
El siguiente de un número par 2 1
La suma de tres números consecutivos 1 2
La mitad de un número 2
La tercera parte de la diferencia entre dos números 3
El perímetro de un rectángulo 2 2
Actividades:
1) Expresar en forma simbólica.
Al sumar un número a, con su opuesto, se obtiene cero.
Dado un número, multiplicarlo por 2, sumar 4, multiplicar por 5, dividir por 10 y restar 2.
El doble de un número a
Un número m, mas su doble, más su mitad.
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El triple del resultado de sumar cinco a un número
El siguiente de un número b
La mitad del siguiente de un número b.
El anterior de un número b,
La edad de un hombre dentro de 20 años.
La edad que tenía hace 10 años.
2) Expresar en lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico Lenguaje coloquial
A= b . h
a2 – b2 > 6
(m + n )2= 9
3.(x+5) = y
| | 2
Ejercitación adicional
1) Resolver y verificar las siguientes ecuaciones
a) 34 . – 2
12 5
3 – 210 b) 2 3 6
3
12 1
2 3
c) 3 27
5 33
2 92 3 d)
3 13 0,75 3
13
e) 13
34
2) Daniela y Víctor son hermanos y sus edades actuales son d y v respectivamente. Dentro de 5
años, la edad de Víctor será una vez y media la edad de su hermana. ¿Cuál o cuáles de las siguientes
expresiones permite calcular la edad de Daniela conociendo la de Víctor?
a) d= (8v + 2,5 ) : 1,5
b) d= (v+5): 1,5
c) d= 1,5 (v+5)
d) d= (v‐2.5):1,5
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3) Un automóvil consume ¼ de combustible en un viaje, luego 2/3 del resto en otro viaje y aún le
quedan 15 litros en el tanque. ¿Cuál es la capacidad total del tanque de combustible?
4) En un conocido hipermercado, al finalizar la actividad diaria se contabilizaron en caja 1520
billetes. La cantidad de billetes de $ 50 era la cuarta parte de la cantidad de billetes de $ 100. La de $
10, el triple de la cantidad de $ 50.
Se contaron tanto billetes de $ 5 como la mitad de la correspondiente a los de $ 10. ¿Cuántos billetes
de $ 50 había en la caja? ¿Cual fue la recaudación total?
5) Martín le lleva 4 años a su hermano Luis. ¿Que edad tiene cada uno actualmente si hace 5 años
la edad de Martín era el doble de la de su hermano?
6) La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 63. Calcular dichos números.
7) El perímetro de un rectángulo es 216m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos
del largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
8) El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor
que la base. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
9) Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene ahora?