ecuaciones iteradas

8/17/2019 ECUACIONES ITERADAS

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5.3 INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES

Integrales iteradas

Puesto que la integral parcial ∫gi( x)

g2( x)

f ( x , y ) dy es una función sólo de x, podemos a

su vez integrar la función resultante con respecto a x ahora. Si f es continua en

una región de tipo 1, entonces. (17.4

∫gi( x)

g2( x)

f ( x , y ) dy dx=¿∫a

b

[∫gi( x)

g2( x)

f ( x , y ) dy ]dx∫

a

b

¿

!n una integral iterada de f en la región. "a idea #$sica en (17.4 es realizar

integraciones sucesivas. "a integral parcial de una función de x, la cual es luego

integrada de manera usual, de x=a a x=b . !l resultado final de am#as

integraciones ser$ un n%mero real. &e manera seme'ante, definimos una integral

iterada de una función continua f en una región de tipo mediante.

∫h1( y)

h2( y)

f ( x , y ) dx dy=¿∫c

d

[∫h1 ( y)h2 ( y)

f ( x , y ) dx

]dy

∫c

d

¿

EVALUAR ∫−1

3

∫1

2

(6 x y2 ,−4 x y )dy dx

Solución Por el resultado de (a ) del e'emplo 1,

∫−1

3

∫1

2

(6 x y2 ,−4 x y )dy dx=∫−13

[∫1

2

(6 x y 2−4 x

y)dy] dx

¿∫−1

3

(14 x−4 xln 2)dx

2 2 3


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Integrales iteradas dobles

"as integrales iteradas de la sección precedente proporcionan los medios para

evaluar una integral do#le ∬ f ( x , y ) dA en una región de tipo 1 o de tipo ), o#ien una región tal que pueda expresarse como la unión de un numero finito de

estas regiones.

*!+!- 17.)

Sea f continua una región ,

(i) Si es de tipo 1, entonces (17./

∫ R

∫ f ( x , y )dA=∫a

b

∫g

1( x)

g2( x)

f ( x , y ) dydx

(ii) Si es de tipo ), entonces (17.7

∫ R ∫ f ( x , y )dA=∫c

d

∫h1 ( y)

h2 ( y)

f ( x , y ) dxdy

!l teorema 17.), es el an$logo para integrales do#les del teorema fundamental del

c$lculo. *eorema 0.11. Sean R una región de tipo 1 z=f ( x , y ) continua no

negativa en R . !l $rea del plano vertical, es el $rea #a'o la traza de superficie

z=f ( x , y ) en el plano x2 constante, por lo tanto est$ dada por la integral

parcial3

A ( x )=∫g

1 ( x)

g2 ( x)

f ( x , y ) dy


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ariando ahora x se suman todas las $reas desde x 2 a hasta x= b, se o#tiene el

volumen V del sólido situado arri#a de R de#a'o de la superficie3

V =∫a

b

A ( x ) dx=∫a

b

∫g

1 ( x )

g2 ( x )

f ( x , y ) dy dx

magen 17.1)

EJEMPLO

!valuar la integral do#le∬

R

e x+3 y

dA en la región limitada por las gr$ficas

de y=1, y= 2, y= x, y y= -x+ 5.

SOLUCION 3 5omo se ve en la figura 17.16, la región es de tipo ) por lo

tanto, por (17.7 integramos primero con respecto a x de la frontera izquierda

x= y, a la frontera derecha x= 5-y:

∫ R∫e

x +3 y dA=∫1

2

∫ y

5− y

e x+3 y dxdy

¿∫1

2

e x+3 y ]dy

¿∫1

2

[ e5+2 y−e4 y ] dy

¿[1

2e

5+2 y−14

e4 y

]12

¿1

2 e

9−1

4 e

8−1

2e

7+1

4 e

4≈ 2771.64


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5.1 INTRODUCCION

!n los cap8tulos anteriores tratamos la definición, propiedades aplicaciones de laderivada ahora entraremos a la parte del c$lculo integral, a esta rama del c$lculo,

Leibniz la llamó originalmente calculu u!!a"#$iu. !n 1/9/, persuadido por el

matem$tico suizo :ohann ;ernoulli, "ei#niz le cam#ió el nom#re original el lat8n, la

nación de suma ser$ importante en el desarrollo completo de la integral.

"a pala#ra , cua derivada es la función dada f. !n este caso se denomina integral

indefinida, mientras que las integrales tratadas en este art8culo son las integrales

definidas. lgunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e

indefinidas.!n el presente documento se ver$ que un pro#lema igualmente importante es3

%a&a una 'uncin f , enc#n"$a$ una 'uncin cuya &e$ia&a ea la f &a&a.

!sto es, para una función dada f , se desea encontrar otra función > para la

cual F ´ ( x )=f ( x) para todo x en cierto intervalo.

&efinición3

Se dice que una función > es una antiderivada de una función si f si

F ´ ( x )=f ( x) en alg%n intervalo.

EJEMPLO

?na antiderivada de f ( x )=2 x es F ( x )= x2

, puesto que F ´ ( x )=2 x


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@+*5+@ &! " @*!A" @&!>@&3

Por conveniencia introduzcamos una notación para un a antiderivada de la función

si ´ ( x )=f ( x) , la antiderivada m$s genera de f se representar$ mediante3

∫ f ( x ) dx= F ( x )+C

l s8m#olo f se le llama símbolo de la integral, a la notación f ( x ) dx se le

llama integral indefinida de f ( x ) con respecto a x . "a función f ( x ) se

denomina integrando. !l proceso de encontrar una antiderivada reci#e el nom#re

de antidiferenciación o integración. l n%mero 5 se le llama constante de

integración. s8 como d /dx () denota diferenciación con respecto a x, el

s8m#olo ∫()dx denota integración con respecto a x.

" @*!A" &!>@&3

continuación es posi#le formular el concepto de integral definida. Para hacerlo,

consid=rense los cinco pasos siguientes.

y=f ( x)

1. dm8tase que f est$ definida en un intervalo cerrado [ a , b ] .

). &iv8dase el intervalo [ a , b ] en n su#intervalos [ xk −1 , xk ] de

amplitud∆ xk = xk − xk −1 . &enótese por P la partición

a= x0


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"as sumatorias de la forma (0.19, para las distintas particiones de [ a , b ] ,

se conoce como sumatoria(o sumas de iemann, en honor al famoso

matem$tico alem$n Aeorg >riedrich ;ernhard iemann(1B)/C1B//.

unque en el procedimiento anterior parece mu seme'ante al de los cinco pasos

que conducen a la definición de $rea #a'o una gr$fica, existen ciertas diferencias

importantes. +#s=rvese que una suma de iemann no requiere que f sea

continuo ni no negativo con el intervalo [ a , b ] .

5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE ENCOORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y

ESFÉRICAS

@*!A"!S *P"!S !@ 5++&!@&S 5"@&5S

Recordemos de la sección 17.5 que el área de un “recán!ulo "olar# es

∆ A=r¿∆ r ∆ θ $ donde r¿

es el radio medio. %e la &!ura 17.'()a* se +e

que el +olumen de una “cu,a cil-ndrica# es sim"lemene

∆ V = (áreadelabase ) . (al!ra )=r¿ ∆r ∆θ ∆ z

%e esa manera$ si F (r , θ , z) es una /unción coninua en la re!ión %$

como la que se muesra en la &!ura 17.'()0*$ enonces la ine!ral ri"le

de F en D esá dada "or


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∭ "

F (r , θ , z ) dV =∬ R [ ∫

f 1(r , θ)

f 2(r , θ)

F (r , θ , z) dz ]dA

¿∫a

#

∫ R1 (θ )

R2(θ )

∫f 1 (r ,θ )

f 2(r ,θ )

F (r , θ , z ) rdzdrdθ

>A? 17.4) B4B

EJEMPLO

!valuar la integral de volumen

V =∫0

2

∫0

√ 4− y2

∫√ y2− z2

6− y2− z2

dx dz dy

Solución3 Si introducimos coordenadas polares en el plano z mediante

y=r cos θ , z=r sin θ , entonces las coordenadas cil8ndricas de un punto en

el espacio de tres dimensiones son (r , θ , x ) . Due se muestra en la figura

17.44. hora #ien como2+¿ z2=r2

y¿

x=√ y 2+ z2 x=6− y2− z2=6−r2

Por lo tanto la integral se convierte en

V =∫0

2

∫0

√ 4− y2

∫√ y 2− z2

6− y2− z2

d xdr dθ

$=4

∫0

%

2

∫0

2

rx

]dr dθ

¿4∫0

%

2

∫0

2

( 6 r−r3−r2 ) dr dθ

¿4∫0

%

2

[3r2− r4

4−

r3

3 ] dθ02

¿64

% /2

dθ=32 %

!nidades c&bicas


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