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José Agüera Soriano 2012 1
ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO
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José Agüera Soriano 2012 2
ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO
• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA CANTIDAD
DE MOVIMINTO
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José Agüera Soriano 2012 3
INTRODUCCIÓN
Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:
• ecuación de continuidad (conservación de la masa)
• ecuación de la energía (conservación de la energía)
• ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento).
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José Agüera Soriano 2012 4
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
En un flujo permanente,
QQQ 2211
222111 SVSVm
2211 SVSVQ
a) para gases,
b) para líquidos )( 21 V
1
1
S1
2
V
2S
2
volumen
de control
mmm 21
. .
.
.
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José Agüera Soriano 2012 5
2
21
1 zgp
zgp
E
22
11 z
pz
pH
Energía de un líquido en reposo (recordatorio)
En metros de columna de líquido,
La energía de un líquido en reposo viene dada por la suma
de dos términos: energía de presión y energía de posición.
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José Agüera Soriano 2012 6
S.I.en J/kg 2
2
zgpV
E
Energía de un líquido en movimiento
A las dos energías anteriores hay que sumar la energía
cinética del flujo:
m 2
2
zp
g
VH
En metros de columna de líquido,
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José Agüera Soriano 2012 7
Ecuación energía en conducciones de líquidos
H1 = H2 + Hr12 1222
22
11
21
22rHz
p
g
Vz
p
g
V
SLL
plano de referencia
z1
p /1
1V 2g/2
1H
22 /V 2g
/p2
z2
2H
12Hr
A
1
A'
B'
B
2
V
plano de carga inicial (PC)
línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP
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José Agüera Soriano 2012 8
p
gV 2 2
z
= altura cinética (desnivel entre LE y LP)
= altura de presión (desnivel entre LP y conducto)
= altura de posición respecto plano de referencia
SLL
plano de referencia
z1
p /1
1V 2g/2
1H
22 /V 2g
/p2
z2
2H
12Hr
A
1
A'
B'
B
2
V
plano de carga inicial (PC)
línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP
zp = altura piezométrica
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José Agüera Soriano 2012 9
Wt
El trabajo (cedido o recibido) que atraviesa los límites de un
sistema abierto se llama genéricamente, trabajo técnico, Wt
Cuando de turbomáquinas se trata, como ocurre en la figura,
es más intuitivo llamarlo trabajo interior en el eje.
turbina
Ecuación de la energía en máquinas de flujo líquido
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José Agüera Soriano 2012 10
H1 = H2 + |Hr12| + Ht
rt Hzzpp
g
VVH
21
212
22
1
2
Ecuación energía en máquinas de flujo líquido
H1
1z
rH 12
plano de referencia
tH
H2
tH
turbina
plano de referenciaz1
H1
2H
rH 12
tH
tH
bomba1
2 1
2
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José Agüera Soriano 2012 11
Representación gráfica
H1 H2 = |Hr12| + Ht
He
Hm
Ht
eH
Ht mH
TURBINA
1H 2H
tH
H
rH
H
BOMBA
H2 1
tH
r
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José Agüera Soriano 2012 12
Turbina de reacción
Potencia de un flujo
(W) J/s HQgP
(J/kg) sm sm :Gravedad
m :Altura 22
2Hg
g
H
kg/s mkg :Densidad
sm :Caudal
3
3
(caudal másico)
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José Agüera Soriano 2012 13
EJERCICIO
La energía de un caudal de agua de 60 m3/s, es
H = 50 m. Calcúlese su potencia.
Solución
CV) (40000kW 29430 W1029430
506081,91000
3
HQP
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José Agüera Soriano 2012 14
ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad
del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo
aceleran:
B
A
C
D
B
A
D
C
1V 2V
V1
2V
F
F
B
A
C
D
B
A
D
C
1V 2V
V1
2V
F
F
amF
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José Agüera Soriano 2012 15
1VC
V1
V
A'A
(a)
B'B
m1
F
A
V1
D
C
D'(c)
D
F
V2
C'
2m
C
(b)
2A
FD
V2
B
B
A
B'
A'
DD'
CC'
V2
1m
m2
F
1V
dp)Vm(ddtF
El impulso sobre la masa del volumen de control
provocará una variación de su cantidad de movimiento [ )( Vmd ]:
)()( CDB'A'A'ABB'C'CDD'CDB'A'
ABCDD'C'B'A'
pppp
ppdp
Esta variación dp del sistema es la corresponde al instante
(t + dt), menos la que tenía en el instante t:
)( dtF
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José Agüera Soriano 2012 16
1VC
V1
V
A'A
(a)
B'B
m1
F
A
V1
D
C
D'(c)
D
F
V2
C'
2m
C
(b)
2A
FD
V2
B
B
A
B'
A'
DD'
CC'
V2
1m
m2
F
1V
11221122
A'ABB'C'CDD'
VdtmVdtmVmVm
ppdpdtF
Por ser el régimen permanente
1122 VmVmF
válida para líquidos y para gases
)( 12 VVmF
.
. .
.
.
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José Agüera Soriano 2012 17
g
VH
2
2
HgV 2
APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
Salida por un orificio
SLL
2=
V 2
Hg
p
ap
V
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José Agüera Soriano 2012 18
Flujo en tuberías con salida libre
Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre el
extremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud,
g
VHH
r2
2
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José Agüera Soriano 2012 19
Mayor longitud L de la tubería origina:
- más pérdida de carga Hr
- menos velocidad V del flujo en la tubería
- menos caudal Q
- menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L)
g
VHH
r2
2
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José Agüera Soriano 2012 20
línea piezométrica sin tobera ( )
V
p
Qmáx
B
SV
H
S
== HB SV
g2
21
línea piezométrica con tobera
plano de carga inicialSLL
A
A'
L
rHB'
LEV 2
LP
V
2g
BS
Bp
LP
i
VS
2g
=2g
p
SV 2
H
iV 2
LE
Salida por tobera
Se trata de colocar al final de la conducción una reducción de sección (tobera).
Cuanto más se reduzca la sección S de salida, menor será el caudal Q que circula, menor la velocidad V y menor Hr
tobera
línea piezométrica entre
Q = 0 y Q = Qmáx
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José Agüera Soriano 2012 21
En B, la energía H está prácticamente en forma de presión
(pB/). A lo largo de la tobera la velocidad aumenta y la presión
disminuye. A la salida S, pS = pa
una tobera es un transformador de energía potencial
(energía de presión en líquidos) en energía cinética.
VSSB
p
B H
g
2V
=
2i
ip
g
2V
2S
g
2V2
LELE
LP
LP
V
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José Agüera Soriano 2012 22
EJERCICIO
g
V
D
LH r
202,0
2
Solución
rr
rH
H
g
V
g
V
D
LH
0,005
100000,022 ;
20,02
22
sm 981,1 ; m 2,0 2 2 VgV
Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una
conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdida
de 40 m en un salto de 400 m. Tómese,
Velocidad en la conducción
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José Agüera Soriano 2012 23
Caudal
sm 556,1981,15,0 322 VrQ
Velocidad de salida
sm 04,84 m; 3602 S
2
S VgVH
Diámetro de salida
m 154,0 ;04,84556,1 SSS DVQS
El diámetro de la tobera pasa de 1 m a 0,15 m
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José Agüera Soriano 2012 24
Conducción hidroeléctrica de Villarino
m 30 m; 8,0
m 60 m; 7,0
:sidohaber De
m 40 m; 7,5
m 402
m 15000
r
r
r
HD
HD
HD
H
L
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José Agüera Soriano 2012 25
Tubo de Pitot
p
g
vh
2
2
Mide las alturas de presión y de velocidad en el punto M
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José Agüera Soriano 2012 26
FV
p
1
A
2
D
F
C
B
Fr
1·1p S
1
G
2
· Sp
22
F
rp FFF
Fuerza sobre un conducto corto
(Fr insignificante)
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José Agüera Soriano 2012 27
FV
p
1
A
2
D
F
C
B
Fr
1·1p S
1
G
2
· Sp
22
F
11 Sp
22 Sp
GFSpSpF )(2211
Fuerza sobre un conducto corto
Valoración indirecta de la fuerza F
fuerza sobre la sección 1
fuerza sobre la sección 2
fuerza de gravedad
Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son:
fuerza que ejerce la pared F
G
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José Agüera Soriano 2012 28
GFSpSpF )(2211
F
)( 122211 VVmGSpSpF
)122211 VV(mSpSpF
2211 SpSpF
Por otra parte,
Igualando y despejando
En conductos cortos G 0, en cuyo caso,
Cuando no hay flujo,
)12 VV(mF
.
.
.
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José Agüera Soriano 2012 29
Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo.
Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la
diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente
sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de
presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F.
Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presiones
a sustituir son las relativas.
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José Agüera Soriano 2012 30
EJERCICIO
Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción
hidráulica, de 90o y de 2,8 m de diámetro,
a) cuando fluyen 38,75 m3/s y la presión manométrica
es de 8 bar,
b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento
en el que se prevé que la presión en el codo se eleve
a 13 bar a causa de un golpe de ariete.
Solución a)
Velocidad media
m/s 29,64,1
75,38
2
S
QV
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José Agüera Soriano 2012 31
kN 5169,8 N 5169766
2437374926029
6,2938,7510001,4π108
0
25
111
VQSpFx
Fuerza sobre el codo
)( 122211 VVmSpSpF
kN 5169,8
N 51697662437374926029
2967538100041108
0
25
222
,,,
VQSpFy
.
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José Agüera Soriano 2012 32
kN 8004,8 N 8004797
4,110130 25
11
SpFx
kN 8004,8 N 8004797
4,110130 25
22
SpFy
Solución b)
El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última
situación más desfavorable.
2211 SpSpF
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José Agüera Soriano 2012 33