ecuaciones finales

7/26/2019 Ecuaciones FInales

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4.3) Hallar la solucin general de la ecuacin de segundo grado

3y +2y +y=0

para hallar sus raices usaremos la ecuacion caracteristica

3r2+2r+1=0

De donde tenemos la races usando r=b b24 ac

2a

r1=13+

2

3i r

2=13

2

3i

De donde tenemos la ecuacin Yc

Y=C1

ex3cos

2

3x+C

2ex3sin

2

3x

4.4) Resolver la ecuacin diferencial usando el mtodo de

coecientes indeterminados

y(4 )+2 +y=(x1 )2

Sea: (D4+2D2+1 )y=0

Hallamos la ecuacin caracterstica tendramos la siguiente forma:

r4+2 r2+1=0 de donde tenemos las raices r1=r2=r3=r4=0+i

De donde tendramos la ecuacin caracterstica:

c

1+xc2+c

3x

2+c4x

3

yc=

Ahora determinamos una Yp:

Para anular la funcin de (x1 )2 D3

D3 (D4+2D2+1 )y=0 r3 (r4+2r2+1 )=0


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De donde tenemos la races:r1=r

2=r

3=r

4=0+i y r

5=r

6=r

7=0

c

1+xc2+c

3x

2+c4x

3

y=

Donde mi Y particular seria

yp=A+Bx+C x2

y p=A+B+Cx y p=A+Bx+C x2

y(4)

p=A+B+C

Remplazando en la ED inicial:

( A+B+C+2

(A+B+2

C)+(A+Bx+C x2

)=x2

2

x+1

C x2+Bx+3C+3 B+4A=x22x+1 A=1B=2C=1

Remplazando

c

1+xc2+c

3x

2+c4x

3

y=

4.5) compruebe que el operador anulador es el anulador de la

ecuacin diferencial indicada

D2+64 ANULA y=2cos8x5sin8x

Saemos !ue: " (D# $ % & entonces de donde

: (D2+64 ) (2cos8x5sin 8x )=0

8x

8x5sin +128cos8x320sin8x=0

2cosD2

D2

8x

8x40cos+128cos8x320sin 8x=0

16sin

DD


3/8

128cos 8x+320sin 8x+128cos8x320sin8x=0=0

cumplecomo papel de anulador D2+64 y=2cos8x5sin8x

Resuelve por el mtodo de coecientes indeterminados

y +3y 10y=x ( ex+1)

determine laecuacion caracteristica

r2+3 r10=0de donde tenemoslas raices r1=2 r2=5

yc=c1 e2x+c2 e

5x

Ahora determinamos una solucin particular:

(D1 )2 (D2+3D10)y=0

(r1 )2 (r2+3 r10 )=0de donde tenemos las raices r1=2 r2=5 r3=r 4=1

y=c1 e2x+c2e

5x+A ex+Bx ex

de donde mi yp=A ex+Bx ex y p=A e

x+B ex y p=A ex+B ex

Remplazando en la ecuacin inicial: 10xB exex (6A4 B )=x ex+x

B= 1

10y A=

1

40

Remplazando en la Ecuacin inicial:y=c1 e

2x+c2e5x+ 1

40ex+ 1

10x ex

4.6) Resolver por el mtodo de variacin de parmetros

y +3y +2y=sin ex

Sea: (D2+3D+2)y=sinex de donde la ecuacin caracterstica seria

r2+3 r+2=0 de donde las raicestenemos r1=2 r2=1


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yc=c1 e2x+c2 e

x y p=u1e

2x+u2 ex

'sando el ros)eno w= e

2xex

2e2x x ex=e3x

Ahora calculando los *alores de: ui=w i

wg (x ) dx

Hallaremos w1=0 e

x

1 x ex=ex w2=

e2x

0

2e2x 1=e2x

Ahora hallaremos los *alores deu1y u

2

u1=e2xsinex dxexcosexsin ex

u2=exsin ex dx cosex

+inalmente tendi,ramos la solucin general

yp=( excos e

xsinex ) e2x(cosex)ex

4.!) resolver la ecuacin diferencial dada por le mtodo de "uler

3x2

y +6xy +y=0

Sea por teora de Euler se hace una sustitucin:

y=xm y =m xm1 y =m(m1)xm2

Sustitu$endo en la ecuacin diferencial inicial tendramos:

3x2 (m (m1 )xm2 )+6xm xm1+xm=0

xm (3m23m+m+1)=0

xm (3m22m+1 )=0

De donde saco mis races m1=1

3

+ 2

3

i m2=

1

3

2

3

i


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Y=C1

e

x

3cos

2

3x+C

2e

x

3sin

2

3x

5.#) una masa de un #$g se %a un resorte cu&a constante de

$'#6(m & luego el sistema completo se sumerge en un l*quido queimparte una fuer+a de amortiguamiento igual a #, veces la

velocidad instantnea. -etermine la ecuacin del movimiento

a# al inicio la masa se liera desde un punto situado -m dea.o de la

posicin de e!uilirio

Datos:

)%-/01m

2%d$1dt

+o%-&*

m%-)g

"a

ecuacin

del mo*imiento general es:

d2y

d t2+10

dy

dt+16y=0

Hallamos la ecuacin caracterstica

r2+10r+16=0

De donde tendramos las races

r1=8y r

2=2

3endramos la ecuacin complementaria

yc=c1 e8 t+c1e

2 t

=dy

dt=8c

1e8 t2c

2e2 t

Aplicamos las condiciones iniciales !ue nos dan

y (o )=1m=yo y ( o)=0=o


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Remplazando tendramos los *alores:

c1+c

2=1

8c12c

2=0

De donde tendramosc1=13

c2=4

3

Remplazando la ecuacin del mo*imiento seria

2%8

3e8 t

8

3e2 t

5.) una viga esta empotrada en su lado i+quierdo & libre en su lado

derec/o & 012)'0o donde o 2

(4# %o 5 carga constante

De6e4in $(4# sea por m,todo de dole integracin !"d

4y

d x4=#o

7ondiciones iniciales seg8n la *iga como nuestra *iga es empotrada se usa

$%& $ $9%o

"a *iga esta empotrada a su lado iz!uierdo 4%& entonces

Y%& 5 $9%&$(o# % & 5 $9%&

$(-#%& : $9(-#%&


7/8

Por coecientes indeterminados se integra la ecuacin !"d

4y

d x4=#o

(!"

d4

y

d x4

)dx

dxdx dx

"a solucin general de la ecuacin seria entonces

y=yc+yp

y (x )=c1+c2x+c3x2

+c4x3

+

#o

24!" x

4

Aplicamos las condiciones iniciales -# $%& 5 $9%&

Dondec1=0 $ c

2=0

Aplicamos las condiciones iniciales ;# $ (-#%& 5 $9(-#%&

$(4#% c

3x

2+c4x

3+ #o

24!" x

4

3enemos:c3L

2+c4L

3+ #o

24!"L

4

5 "%-


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